人教数学八年级上册数学几何九大模型练习（含解析）

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人教数学八年级上册数学几何模型一、8字模型结论:①∠A+∠B=∠C+∠D;②AB+CD＜AD+BC 斜8字型（蝴蝶型） 燕尾型1、如图，已知D是△ABC的BC边的延长线上一点，DF⊥AB，交AB于点F，交AC于点E，∠A=56°，∠D=30°，则∠ACB的度数为_________2、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为_________3、求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝_________ 1题 2题 3题 燕尾（飞镖）模型结论：∠BDC=∠A+∠B+∠C1、将一副直角三角板如图放置,使两直角边重合,则∠1的度数为__________2、如图，是一块不规则的纸片,∠ABC=∠DEF=80°,则∠A+∠C+∠D+∠F的度数为__________3、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . 1题 2题 3题A字模型结论：∠DBC+∠ECB=180°+∠A1、在△ABC中，∠A=75°，直线DE交AB于D，交AC于E，则∠BDE+∠CED=（ ）A.180° B.215° C.235° D.255°2、在△ABC中，E、F分别是AB，AC上的点，则∠1+∠2=224°，则∠A=（ ）A.17° B.44° C.68° D.无法确定 1题 2题 老鹰捉小鸡模型结论：∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE，翼下两角之和等于上下两角之和1、如图，把△ABC沿EF折叠，叠合后的图形如图所示，若∠A=60°，∠1=95，则∠2的度数为（ ）A.24°B.25°C.30°D.35°2、如图，将△ABC纸片沿DE 折叠，点A的对应点为A´，若∠B=60°，∠C=80°，则∠1＋∠2 等于（ ）A.40°B. 60°C.80°D.140°1题 2题五、双角平分线模型结论：双内角平分线 双外角平分线 内外角平分线∠D=90°+∠A ∠D=90°-∠A ∠D=∠A如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；∠A2016BC和∠A2016CD的平分线交于点A2017，求∠A2017的度数____________。2、如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=82°，则∠BEC=　 　；若∠A=a°，则∠BEC=　 　。【探究】（1）如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A=a°，则∠BEC=　 　；（2）如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；（3）如图4，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由。六、角平分线辅助线模型：1.如图，在△ABC中：∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD 2.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，求△EDF的面积．3.感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B十∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC应用：如图3，在四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a；则AB一AC＝______（用含a的代数式表示）. 一线三垂直模型（证明全等作为突破点）1.如图，已知矩形中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，，且，，矩形的周长为32cm，求AE的长．2.如图，在中，,，CF交AB于点E，，，若，，求CF的长.3.在△ABC中， ，，直线 经过点，且于，于E.（1）当直线 绕点 旋转到图1的位置时，求证： ① ≌ ；② .（2）当直线 绕点 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.八、“手拉手”全等模型在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD：结论：△ABE≌△DBCAE=DCAE与DC的夹角为60。△AGB≌△DFB△EGB≌△CFBBH平分∠AHCGF∥AC1、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：△ABE≌△DBCAE=DCAE与DC的夹角为60。AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：(1)△ABE≌△DBC(2)AE=DC(3)AE与DC的夹角为60。（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC九、将军饮马中四大模型——最短路径问题题型一 求两条线段和的最小值题型二 求两条线段差的最大值题型三 求三条线段和的最小值（双动点问题）题型四 最值问题的实际应用【知识梳理】一 两定点在直线的异侧二 两定点在直线的同侧三 两动点一定点问题四 造桥选址问题【题型1：两定一动——作图】1、（2023•海淀区一模）在一条沿直线铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（    ）A．B．C．D．【题型2：造桥选址问题】2、如图,和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN,使从A到B的路径AMNB最短的是假定河的两岸是平行线,桥与河岸垂直)( )【题型3：两定一动-求周长/线段和最小值/角度】3、如图，是等边三角形，D，E分别是边的中点，连接，点P是上一动点，若，则的最小值是（    ）A．2 B．4 C．8 D．164、如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是（ ）A．9 B．10 C．10.5 D．115、如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是（　　）A．30° B．15° C．20° D．35°【题型4：两动一定-求周长/线段和最小值/角度】6、如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA，OB于点E，F。若MN＝20cm，求△PEF的周长；若∠AOB＝35°，求∠EPF的度数．7、如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，求∠EAF的度数答案解析一、8字模型1、∠ACD+∠D=∠A+∠AFE 即∠ACD+30=56+90°，∠ACD=116°，∠ACB=180-116=64°2、∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于两个中间三角形的内角和，即360°3、二燕尾（飞镖）模型根据模型，∠1=对顶角=30°+45°+90°=165°3、∠B+∠F=115°-∠A ∠C+∠E=115°-∠D ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠A+∠D+115°-∠A+115°-∠D=230°三A字模型选C ∠BDE+∠CED=180°+∠A=180+75=255选B ∠A=∠1+∠2-180=224-180=44°四老鹰捉小鸡模型选B 延长B’E,C’F交于M,∠1+∠2=∠M+∠A且∠M=∠A，∠2=60+60-95=25°选C ∠1＋∠2=∠A’+∠A=2∠A=2x(180°-60-80)=80°五、双角平分线模型结论：1、2、六、角平分线辅助线模型：1、证明：方法1：在AB上取AE=AC，连接DE，∵AE=AC，∠1=∠2，且AD=AD，∴△ACD≌△AED（SAS），∴ED=CD，∠AED=∠C=2∠B，又∵∠AED=∠B+∠BDE，∴∠B=∠BDE，∴EB=ED，即△BED为等腰三角形．∴BE=ED=CD，∴AB=AE+EB=AC2、3、一线三垂直模型1、2、3、解：（1）证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ADC和△CEB中，∠ADC＝∠BEC，∠DAC＝∠ECB，AC＝BC，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②∴△ADC≌△CEB∴AD=CE，CD=BE，∵DE=CD+CE，∴DE=AD+BE；（2）不成立，理由如下，由（1）可得，同理可证△ADC≌△CEB，∴CD=BE，AD=CE，∵DE=CE-CD，∴DE=AD-BE．八、手拉手模型1、2、九、将军饮马模型1．A【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．【详解】解：甲、乙位于直线的两侧，根据两点之间线段最短，连接甲、乙两点，与直线交于点，点即为所求；故选A．【点睛】本题考查两点之间线段最短的公理，解题的关键是分析题中两点的位置是在直线的同侧还是异侧，在异侧连接两点即可，在同侧需做其中一点的对称点再连接．2．B【分析】根据两点之间线段最短、垂线段最短即可得．【详解】解：由两点之间线段最短、垂线段最短可知，煤炭加工厂到两个村庄路径最短的是：  ．故选：B．【点睛】本题考查了两点之间线段最短、垂线段最短，熟练掌握两点之间线段最短、垂线段最短是解3．C【分析】连接，由对称性知，，则，当P、B、E三点共线时，最小，从而求得最小值．【详解】解：连接，如图，由对称性知，，∴，当P、B、E三点共线时，最小，最小值为线段的长．∵是等边三角形，D，E分别是边的中点，∴，即的最小值为8；故选：C．4．A【分析】根据垂直平分线的性质，所以周长.【详解】∵直线m是中边的垂直平分线,∴∴周长∵两点之间线段最短∴∴的周长∵，∴周长最小为故选：A5．C【分析】作点E关于AD对称的点M，连接CM，与AD交于点F，推出EF+CF最小时即为CM，再根据等边三角形的性质可得结果．【详解】解：作点E关于AD对称的点M，连接CM，与AD交于点F，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴M在AB上，∴MF=EF，∴EF+CF=MF+CF=CM，即此时EF+CF最小，且为CM，∵AE=2，∴AM=2，即点M为AB中点，∴∠ECF=30°，故选C．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到CM是解题的关键．6.解：因为点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点，所以ME＝PE，NF＝PF.所以PE＋EF＋PF＝ME＋EF＋NF＝MN＝20 cm，即△PEF的周长是20 cm.解：如图，设MP与OA相交于点R，PN与OB相交于点T.由(1)知ME＝PE，PF＝NF，所以∠M＝∠EPM，∠N＝∠FPN.所以∠PEF＝2∠M，∠PFE＝2∠N.因为∠PRE＝∠PTF＝90°，所以在四边形OTPR中，∠MPN＋∠AOB＝180°.因为∠MPN＋∠M＋∠N＝180°，所以∠M＋∠N＝∠AOB＝35°.所以∠EPF＝180°－(∠PEF＋∠PFE)＝180°－2(∠M＋∠N)＝180°－35°×2＝110°7.图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长的最小值．连接AC因为∠ABC＋∠BCA＋∠BAC＝180°，∠ADC＋∠DCA＋∠DAC＝180°，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，∠BCA＋∠DCA＝50°，所以∠BAC＋∠DAC＝130°，即∠DAB＝130°.所以∠A′＋∠A″＝180°－∠DAB＝50°.因为∠A′＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，所以∠EAA′＋∠A″AF＝50°.所以∠EAF＝130°－50°＝80°特征及做法图示结论做法：往角两边做垂直AP=BP，OA=OB,△APO≌△BPO特征：在平分线上的垂直做法：延长△AOB为等腰三角形做法：平行△OQP为等腰三角形做法：截长补短△APO≌△BPO问题1作法图形原理在直线l上找一点P，使得PA+PB的和最小。连接AB，与直线l的交点P即为所求。两点之间，线段最短，此时PA+PB的和最小。问题2：将军饮马作法图形原理在直线l上找一点P,使得PA+PB的和最小。作B关于直线l的对称点C，连AC，与直线l的交点P即为所求。化折为直；两点之间，线段最短，此时PA+PB的和AC最小。问题3：两个动点作法图形原理点P在锐角∠AOB的内部，在OA边上找一点C,在OB边上找一点D,使得PC+PD+CD和最小。作P关于OA的对称点P1，作P关于OB的对称点P2，连接P1P2 。两点之间，线段最短，此时PC+PD+CD的和最小。问题4：造桥选址作法图形原理直线m∥n，在m，n上分别求点M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。将点A乡向下平移MN的长度得A1，连A1B，交n于点N，过N作NM⊥m于M。两点之间，线段最短，此时AM+MN+BN的最小值为A1B+MN。