人教版数学八年级上册 因式分解与提取公因式法 教案

年级

八年级

课题

因式分解与提取公因式法

课型

新授

教学媒体

多 媒 体

教

学

目

标

知识

技能

1、了解因式分解的意义，了解因式分解和整式的乘法是整式的两种相反方向的变形；

2、会确定多项式中各项的公因式，会用提取公因式法分解多项式的因式。

过程

方法

通过与质因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想，通过对公因式是多项式的因式分解的学习，培养换元的意识。

情感

态度

在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心。

教学重点

因式分解的概念、提取公因式法。

教学难点

因式分解的概念和多项式中公因式的确定以及提公因式的具体方法。

教 学 过 程 设 计

教学程序及教学内容

师生行为

设计意图

一、情境引入

1.630能被哪些数整除，说说你是怎样想的？

2.当a=101，b=99时，求a2-b2的值。

对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2虽然可以直接把a=101，b=99代入进行计算，但如果应用平方差公式先把a2-b2变形成（a+b）（a-b）的形式再代入进行计算，将会使计算过程变得简洁。

二、探究新知

一、分解因式（因式分解）的概念.

1．计算：

（1）计算下列各式：

①3x（x－1）=__________;

②（m+4）（m－4）=__________;

③m（a+b+c）=__________;

④（y－3）2=__________;

（2）根据上面的算式填空：

①3x2－3x=（    ）（    ）;

②m2－16=（    ）（    ）;

③ma+mb+mc=（    ）（    ）;

④y2－6y+9=（    ）2.

问题：能分析一下两个题中的形式变换吗？

在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式.

教师提出问题,学生认真思考大胆回答。

学生练习，并演板。

教师让学生回答问题，然后订正。

教师概括总结，学生消化吸收。

通过对上面2个

解决方法和过程

的讨论，使学生

感知到把一个数

进行质因数分解

和把一个多因式

变为几个整式的

乘积是对数和式

的一种恒等变形，能使演算简便。

利用书上的因式

分解和整式乘法

的关系图，说明

因式分解和整式

乘法是对一个多

项式的两种不同

的变形，并强调

它们的特点。

教学程序及教学内容

师生行为

设计意图

在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解.

2.定义--因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式因式分解（或分解因式）。

因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即它们互为逆运算。

3．例1.判断下列各式由左边到右边的变形中，哪些是因式分解?

（1）6＝2×3         

（2）a（b＋c）＝ab＋ac

（3）a2－2a＋1＝a（a－2）＋1

（4）a2－2a＝a（a－2）      

（5）a＋1＝a（1＋1/a）

二.提公因式法.

1.公因式

多项式ma＋mb＋mc中，各项都有一个公共的因式m，称为该多项式的公因式。

一般地，一个多项式各项都有的公共的因式称为这个多项式的公因式。

例2.指出下列各多项式的公因式

（1）8a3b2＋12ab3c     （2）8m2n＋2mn

（3）－6abc＋3ab2－9a2b

分析：先要求学生思考这个问题的最后结果该是怎样的，然后仿照课本进行分析，注意讲清确定公因式的具体步骤，从数、字母和字母的次数3个方面进行分析；解完后要分析公因式和另一个因式之间的关系，并思考：如果（1）中提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式?从而把提公因式的“提”的具体含意深刻化，这是提公因式法的正确性的重要保证．

通过以上各题，你对确定多项式的公因式有什么方法？（学生归纳、总结）

2．提公因式法

定义：由m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc，得到ma＋mb＋mc＋=m(a＋b c),其中，一个因式是公因式m，另一个因式（a＋b＋c）是ma＋mb＋mc除以m所得的商，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

例3.把（1）2a2b－4ab2    (2)8a3b2＋12ab3c分解因式

解：（1）2a2b－4ab2

＝2ab·a－2ab·2b

＝2ab（a－2b）

（2）8a3b2＋12ab3c

＝4ab2·2a2＋4ab2·3bc

＝4ab2（2a2＋3bc）

教学程序及教学内容

部分学生回答，完成后，师生纠错。

让学生体验：  ma+mb+mc=m(a+b+c)从左到右是怎样得到的，你能对ax+2ay进行类似的变形吗?

例2是确定公因式和如何提公因式分解因式方法的具体化，所以教师要细致地讲解。

学生总结确定多项式的公因式的方法。

学生讨论：怎样检查因式分解是否正确？提公因式后的另一个公因式的项数和原多项式的项数有什么关系？

师生行为

要在学生充分理解化成整式的积的形式的基础上进行探究，要注意突出写成整式的积的形式的具体含义，使学生联想到可以运用整式的乘法来达到这个目的，为因式分解概念的建立埋下了伏笔。

要让学生清楚地知道具体的方法和步骤．

让学生明白如何正确应用提公因式的方法和操作程序。

设计意图

例4.把下列各式因式分解.

（1）-3x2-6xy+18x=-3x(x+2y-6)

（2）12（y-x）2-18（x-y）3

解：12（y-x）2-18（x-y）3

=12（x-y）2-18（x-y）3

=6（x-y）2[2-3（x-y）]

=6（x-y）2（2-3x+3y）

说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。

三、课堂训练

1．基础练习：

分解因式：

（1）m2(a－2)＋m(2－a)    （2）m－n－mn＋1

（3）a2n－an   

（4）（3a－4b）（7a－8b）＋（11a－12b）（8b－7a）

2．提高：分解因式：

四、小结归纳

学生谈本节课收获

1.举一个例子说说什么是因式分解。

2.什么是多项式的公因式？确定公因式该从哪几个方面进行考虑？

3.说说提公因式法的一般步骤。（1、确定提取的公因式；2、用公因式去除这个多项式，所得的商式作为另一个因式；3、把多项式写成这两个因式的积的形式）

五、作业设计

P170-171   1, 2, 3，4，5题.

学生板演，教师讲解。学生要明白每一步的做题依据。

学生独立完成各题，巩固所学内容。教师加以辅导。

教师总结记忆用提公因式法分解因式的技巧：

1.各项有“公”先提“公”，

  2.首项有负常提负．

  3.某项提出莫漏1．

  4.括号里面分到“底”．

学生明白（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

对因式分解概念的理解是本课的重点，公因式的确定和提公因式的具体方法是本课的关键，所以对知识的小结可从这些问题入手带领学生做深入的思考．

                                    15.4.1.因式分解与提公因式法

1、因式分解的意义                 3、提公因式法

2、确定公因式                     4、学生练习

教     学     反    思