初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质优秀达标测试

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专训12.3.2 角平分线的性质和判定的应用
1．在△ABC中，AB＝5，BC＝8，AC＝6，AD平分∠BAC，则S△ABD：S△ACD＝___．
【答案】5：6
【分析】
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得出DE＝DF，根据三角形的面积公式求出答案即可．
【详解】
解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
设DE＝DF＝R，
∵S△ABD＝＝R，S△ACD＝＝，
∴S△ABD：S△ACD＝5：6，
故答案为：5：6．
【点睛】
本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．如图，△ABC的周长为20cm，若∠ABC，ACB的平分线交于点O，且点O到AC边的距离为32cm，则△ABC的面积为____________cm2．

【答案】15．
【分析】
根据角平分线性质，可得OD=OE=OF=32cm，将三角形分三个小三角形，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】
解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结OA，
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，OD⊥BC，
∴OD=OE，OD=OF，
∴OD=OE=OF=32cm，
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12AB⋅OE+12BC⋅OD+12AC⋅OF=34AB+BC+AC=34×20=15cm2．
故答案为15．

【点睛】
本题考查角平分线性质，三角形面积，掌握角平分线性质，三角形面积求法是解题关键．
3．如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ____ 处．

【答案】4．
【分析】
作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，然后根据角平分线的性质进行判断．
【详解】
解：如图示，作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．
故答案是：4．

【点睛】
本题考查了角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
4．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，的面积是，则的长为__________

【答案】4
【分析】
过点作的垂线交于点，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积即可求出DH，从而求出结论．
【详解】
解：如图，过点作的垂线交于点，

由题意可得：平分，
∵，
∴，
∵，的面积为，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
5．如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是_____．

【答案】3
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，
解得AC=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
6．如图，的三边、、长分别是10、15、20，三条角平分线交于点，则等于__________．

【答案】
【分析】
由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA上的高相等，利用面积公式即可求解．
【详解】
解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，

∵O是三角形三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF．
∵AB＝10，BC＝15，CA＝20，　
∴＝(•AB•OE)：(•BC•OF)：(•CA•OD)＝＝．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质定理和三角形面积的计算方法是解题的关键．
7．如图，中，∠C＝90°，AD平分∠BAC， AB＝5，CD＝2，则的面积是______

【答案】5
【分析】
根据角平分线的性质求出DE，根据三角形的面积公式计算即可；
【详解】
如图：作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=2，
∵AB=5
∴△ABD的面积=×AB×DE=5，
故答案为：5．

【点睛】
本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键；
8．如图，已知于，交于点，于点，且，如果，则________．

【答案】40°
【分析】
由，且得平分．求出，再利用直角三角形两锐角互余求即可．
【详解】
解：∵ 于点，于点，且，
∴平分．
∵，
∴，
在中，．
故答案为：．
【点睛】
本题考查角平分线的判定与性质，直角三角形的锐角和性质，掌握角平分线的判定方法，会利用角平分线性质求角，直角三角形的锐角和性质，会利用直角三角形的锐角进行计算是解题关键．
9．已知点，当____时，点在二、四象限的角平分线上．
【答案】
【分析】
根据第二四象限角平分线上点的横坐标与纵坐标互为相反数列方程求解即可．
【详解】
解：∵点P（2m，m-1）在二、四象限的角平分线上，
∴2m=-（m-1），
解得m=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了点的坐标，熟记第二四象限角平分线上点的横坐标与纵坐标互为相反数是解题的关键．
10．如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则_________．

【答案】6．
【分析】
首先由角平分线的性质可知DF=DE=4，然后由S△ABC=S△ABD+S△ACD及三角形的面积公式得出结果．
【详解】
解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE=4．
又∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，AB=8，
∴×8×4+ ×AC×4=28，
∴AC=6．
故答案是：6．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质；利用三角形的面积求线段的长是一种很好的方法，要注意掌握应用．
11．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则________，_______，若，则为________．

【答案】
【分析】
根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解，同理求出∠A2，∠A3，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．
【详解】
∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，
∴∠A1=∠A=32°，
同理可得∠A2=16°，∠A3=8°，
∵∠A=α．
同理可得∠A1=∠A=α，∠A2=∠A1=α，
根据规律推导，
∴∠A2018=，
故答案为32°，8°，．
【点睛】
本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．
12．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝16，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，若 CD＝4，则△ABD 的面积为_____．

【答案】32．
【分析】
作 DE⊥AB 于 E，根据角平分线的性质求出 DE 的长，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：作 DE⊥AB 于 E，
∵AD 平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝4，
∴△ABD 的面积＝×AB×DE＝32，
故答案为：32
．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
13．如图所示，在中，，平分，于，，则________．

【答案】
【分析】
由角平分线的性质定理，得到CD=DE，然后等量代换即可得到答案．
【详解】
解：∵在中，，
∴DC⊥AC，
∵平分，，
∴CD=DE，
∴；
故答案为：8cm；
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理，正确得到CD=DE．
14．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，则△ABD的面积是_______．

【答案】6
【分析】
由角平分线上的点到角的两边距离相等性质解题．
【详解】
平分
点到AB的距离等于CD长度2，
所以
故答案为：6．
【点睛】
本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式等知识，是常见基础考点，掌握相关知识是解题关键．
15．已知BD丄AN于点B，交AE于点O，OC丄AM于点C，且OB= OC，如果∠OAB=25°，则∠ADB=________．

【答案】40°
【分析】
先根据DB⊥AN于B，OC⊥AM于点C，且OB=OC，得出AE平分∠MAN，再根据∠OAB=25°，得出∠MAN=50°，最后根据DB⊥AN于B，求得∠ADB即可．
【详解】
解：∵DB⊥AN于B，OC⊥AM于点C，且OB=OC，
∴AE平分∠MAN，
∵∠OAB=25°，
∴∠MAN=50°，
∵DB⊥AN于B，
∴Rt△ABD中，∠ADB=40°．

故答案为：40°
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质定理的逆定理，解决问题的关键是掌握：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
16．如图，∠AOB=45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=7，△OMN的面积为14，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为_____

【答案】8
【分析】
连接OP，过点O作OHNM交NM的延长线于H，首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明是等腰直角三角形，当OP最小时，的面积最小．
【详解】
解：如图所示，连接OP，过点O作OHNM交NM的延长线于H，

∵，且MN=7，,∴OH=4，
∵点P关于OA对称的点为，点P关于OB对称点为，
∴，，，
∵∠AOB＝45°，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴当最小时，的面积最小，
根据垂线段最短可知，OP的最小值为4，
∴的面积的最小值＝，
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考察了角平分线的应用及垂线段最短的公理，解题的关键在于证明是等腰直角三角形，找到OP的最小值．
17．如图，是内一点，且到三边、、的距离，若，_______度．

【答案】125
【分析】
根据，可知O点为三角形三角平分线的交点；根据角平分线性质，在△BOC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠BAC）=90°+∠BAC可得出结果．
【详解】
解：∵，
∴OB、OC为三角形的角平分线，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠BAC）
=90°+∠BAC=125°．
故答案为：125．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质；由题可以得到规律∠BOC=90°+∠BAC，关键是要学会对题目的反思，对规律的总结．
18．如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA=OB；再分别以点A、B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点P．若点C的坐标为()，则a的值为________．

【答案】3
【分析】
由题意根据角平分线的性质及第一象限内点的坐标特点进行分析计算即可得出答案．
【详解】
解：∵由题意可知，点C在∠AOB的平分线上，
∴，解得．
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质以及坐标点的性质，熟练掌握并利用角平分线的作法得出C点坐标性质是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，已知AC＝3，AD＝2，则点D到AB边的距离为_____．

【答案】1
【分析】
过D作DE⊥AB于点E，
根据角平分线的性质得到DE=DC，再求出DC即可得到答案.
【详解】
解：如图，过D作DE⊥AB于点E，
∵∠ACB＝90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC，
∵AC＝3，AD＝2，
∴CD＝3﹣2＝1，
∴DE＝1，
故答案为：1．

【点睛】
此题考查角平分线的性质定理，角平分线的性质定理在运用时需将角平分线与两个垂直一起运用.
20．如图，点在内部，，分别平分和，于点，若的周长为32，且，则的面积为__________．

【答案】48
【分析】
连接AO、作，利用角平分线的性质可得出，然后利用三角形的面积公式计算即可得出答案．
【详解】
解：如图，连接AO、作，

∵，分别平分和，于点
∴
∴
故答案为：48．
【点睛】
本题考查的知识点是角平分线的性质，根据题目作出辅助图是解此题的关键．
21．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____．

【答案】3
【分析】
过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．
【详解】
解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
由图可知，S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
×4×2+×AC×2＝7，
解得：AC＝3．
故答案为：3．

【点睛】
本题考查的知识点是角平分线的性质，根据角平分线的性质得出DE＝DF是解此题的关键．
22．如图，是的角平分线，于， 的面积是，则__________．

【答案】2cm
【分析】
过点D作，垂足为点F，根据BD是∠ABC的角平分线，得DE=DF，根据等高的三角形的面积之比等于其底边长之比，得△BDC与△BDA的面积之比，再求出△BDA的面积，进而求出DE．
【详解】
如图，过点D作，垂足为点F
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴DE=DF
∵的面积是
∴
即
∴DE=2cm
故答案为：2cm．

【点睛】
本题考查了三角形的问题，掌握角平分线的性质、等高的三角形的面积之比等于其底边长之比是解题的关键．
23．如图，中，与的平分线交于点，过作交，于，．若的周长比的周长大，到的距离为，则的面积为__________．

【答案】18
【分析】
根据角平分线定义和平行线的性质求出∠EOB=∠EBO，∠FCO=∠FOC，根据等腰三角形的判定得出OE=BE，OF=FC，求出BC的长，根据三角形的面积公式即可求出．
【详解】
解：∵∠B和∠C的平分线交于点O
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB
∵EF∥BC
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB
∴∠EOB=∠EBO，∠FCO=∠FOC
∴OE=BE，OF=FC
∴EF=BE+CF
∴AE+EF+AF=AB+AC
∵△ABC的周长比△AEF的周长大12cm
∴(AC+BC+AB)-(AE+AF+FE)=12
∴BC=12cm
∴cm2
故答案为：18
【点睛】
本题主要考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质以及三角形的面积，掌握以上知识点是解题的关键．
24．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是_____．

【答案】6m
【分析】
根据勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形的面积公式，Rt△ABC的面积等于△AOB、△AOC、△BOC三个三角形面积的和列式求出点O到三边的距离，然后乘以3即可．
【详解】
解：根据勾股定理得，斜边的长度＝ ，
设点O到三边的距离为h，
则S△ABC＝×8×6＝×（8+6+10）×h，
解得h＝2，
∴O到三条支路的管道总长为：3×2＝6m．
故答案为：6m．

【点睛】
本题考查了角平分线上的点到两边的距离相等的性质、勾股定理和三角形的面积，熟练掌握是解题的关键.
25．如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，BC=8，AB=10，则△FCD的面积为__________．

【答案】6.
【分析】
根据题意可证△ADE≌△ACD，可得AE=AC=6，CD=DE，根据勾股定理可得DE，CD的长，再根据勾股定理可得FC的长，即可求△FCD的面积．
【详解】
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，∠C=90°
∴CD=DE
∵CD=DE，AD=AD
∴Rt△ACD≌Rt△ADE
∴AE=AC
∵在Rt△ABC中，AC=＝6
∴AE=6
∴BE=AB-AE=4
∵在Rt△DEB中，BD2=DE2+BE2．
∴DE2+16=（8-DE）2
∴DE=3 即BD=5，CD=3
∵BD=DF
∴DF=5
在Rt△DCF中，FC==4
∴△FCD的面积为=×FC×CD=6
故答案为6．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，关键是灵活运用这些性质解决问题．
26．如图，在中，是它的角平分线，于点 E．若，，则的面积为___．

【答案】6
【分析】
作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质求出DF，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
作DF⊥BC于F，
∵CD是它的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DF=DE=2，
∴△BCD的面积=×BC×DF=6(cm2)，

故答案为6
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
27．如图，直线，直线分别与，PQ交于点A，B，小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交AB于点，②分别以C、D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点F，若∠ABP=70°，则______．

【答案】35°
【分析】
根据平行线的性质、角平分线的定义得∠BFA=∠BAF，再结合三角形外角的性质即可求解．
【详解】
解：∵MN//PQ，
∴∠NAF=∠BFA，
由题意得：AF平分∠NAB，
∴∠NAF=∠BAF，
∴∠BFA=∠BAF，
∵∠ABP=∠BFA+∠BAF，
∴∠ABP=2∠BFA=70°，
∴∠AFB=70°÷2=35°，
故答案为：35°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的基本作图、三角形外角的性质，此题难度不大，熟练掌握平行线和角平分线的基本作图是关键．
28．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点，则a与b的数量关系是______．

【答案】a+b=0
【分析】
根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号，可得a与b的数量关系为互为相反数．
【详解】
解：根据作图方法可得，点P在第二象限角平分线上，
∴点P到x轴、y轴的距离相等，即|b|=|a|，
又∵点P（a，b）第二象限内，
∴b=-a，即a+b=0，
故答案为：a+b=0．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质以及坐标与图形的性质，解题时注意：第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，得出P点位置是解题关键．
29．如图，在中，，，，以为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，点在边上，，连接，则的周长为____．

【答案】12．
【分析】
先利用线段的和差求得FC，再证明△ABD≌△AFD得出BD=DF，得出△DEC的周长等于DF+FC+DC=BC+FC=12．
【详解】
，，，
，
由作图方法可得：平分，
，
在和中
，
，
，
的周长为：．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定,作角平分线．熟练掌握全等三角形的几种判定定理，并能灵活运用是解题关键．
30．如图所示，，以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；以为端点作射线，在射线上取点，连接、．若测得，则_______．

【答案】
【分析】
根据基本作图得到OC=OD，结合OP平分∠AOB，可证△OMC全等于△OMD，得到∠OMD的度数，再利用外角性质得到∠MDB等于∠OMD与∠MOD的度数和，即可得到结果．
【详解】

解：由作法可得OC=OD，
又∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP=∠BOP=∠AOB=35°，
在△OMC和△OMD中，
∴△OMC≌△OMD
∴∠OMC=∠OMD=∠CMD=20°，
∴∠MDB=∠DOM+∠OMD=35°+20°=55°．
故答案为：55°．
【点睛】
本题考查作图—基本作图，熟练掌握5种基本作图是解题的关键．
31．如图，的面积为，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作于点，连接，则的面积是______．

【答案】6
【分析】
延长CD，交AB于点E，由题意易得CD=DE，进而根据三角形的中线与面积的关系可求解．
【详解】
解：延长CD，交AB于点E，如图所示：

由题意可得AP平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD，
∵CD⊥AD，
∴∠CDA=∠EDA=90°，
∵AD=AD，
∴△CDA≌△EDA（ASA），
∴CD=DE，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为6．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定及三角形的中线与面积的关系，熟练掌握全等三角形的性质与判定及三角形的中线与面积的关系是解题的关键．
32．如图，已知，以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，大于长为半径作弧，两条弧交于点，作射线过点作交于点．若则的度数_______．

【答案】
【分析】
由知，根据是的平分线可得答案；
【详解】
解：由作法知，是的平分线，
；
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、角平分线的定义以及平行线的性质．
33．如图，在中，，以为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，点在边上，，连接，则的周长为___________．

【答案】12
【分析】
根据题意，先证明△ABD≌△AFD，则BD=FD，AB=AF=5，则的周长=BC+CF，即可求出答案．
【详解】
解：根据题意可知，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠FAD，
∵AB=AF=5，AD=AD，
∴△ABD≌△AFD，
∴BD=FD，
∴FD+DC=BD+DC=BC=9，
∵FC=ACAF=85=3，
∴的周长为：FD+DC+FC=9+3=12；
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握作角平分线的方法，以及全等三角形的判定和性质进行解题．
34．如图，在矩形中，，以为圆心，任意长为半径画弧交于，再分别以为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，连接交边于则的周长为_________．

【答案】15+3
【分析】
作，根据角平分线的性质得到BE=EP，利用勾股定理求解即可；
【详解】
作，根据题意可知AE是的角平分线，

∴BE=EP，
在△ABE和△APE中，
，
∴，
∴AB=AP，
设BE=x，则PE=x，
∵，
∴，
∴，，
在Rt△PEC中，
，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案是．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质应用，准确分析是解题的关键．
35．下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程： 已知：如图，直线 l 和直线 l 外一点 A
求作：直线 AP，使得 AP∥l

作法：如图
①在直线 l 上任取一点 B（AB 与 l 不垂直），以点 A 为圆心，AB 为半径作圆，与直线 l
交于点 C．
②连接 AC，AB，延长 BA 到点 D；
③作∠DAC的平分线AP．
所以直线AP就是所求作的直线，
根据小星同学设计的尺规作图过程，完成下面的证明证明：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB_________（填推理的依据）
∵∠DAC 是△ABC 的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB
∴∠DAC＝2∠ABC
∵AP 平分∠DAC，
∴∠DAC＝2∠DAP
∴∠DAP＝∠ABC
∴AP∥l_________（填推理的依据）
【答案】（等边对等角）； （同位角相等，两直线平行）．
【分析】
首先要根据角平分线的尺规作图即，再分别根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定求解可得．
【详解】
解：（1）如图所示，直线即为所求．

（2）证明：，
（等边对等角），
是的外角，
.
，
平分，
，
，
（同位角相等，两直线平行），
故答案为：（等边对等角）；（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】
本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定．