人教版数学八上考点精讲精练突破训练11.2 与三角形有关的角（含答案详解）

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11.2 与三角形有关的角考点一、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论：①直角三角形的两个锐角互余。②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角8、三角形的外角考点二、三角形的外角（1）三角形的一个外角与相邻的内角互补。（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。＞或＞题型一：与平行线有关的三角形内角和问题1．（2022·贵州贵阳·八年级期末）如图，在中，，，ABCD，则的度数为（       ）A．90° B．85° C．60° D．55°2．（2022·全国·八年级）如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（       ）A．134° B．124° C．114° D．104°3．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，∠B=46°，∠ADE=40°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠C的大小是（　　）A．46° B．54° C．66° D．80°题型二：与角平分线有关的三角形内角和问题4．（2022·江西上饶·八年级期末）如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACD，若∠A＝80°，则∠D的度数为（       ）A．100° B．120° C．130° D．140°5．（2022·安徽滁州·八年级期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠DAE＝（       ）A．5° B．4° C．8° D．6°6．（2022··八年级期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（       ） A．31° B．59° C．62° D．69°题型三：三角形折叠中的角度问题7．（2022·内蒙古赤峰·八年级期末）如图，将的一角折叠，若，则（       ）A．50° B．65° C．115° D．130°8．（2022·山东青岛·八年级期末）如图，将△ABC一角沿DE折叠，A点落在点处，若∠A=50°，则∠1+∠2=（       ）A．90° B．100° C．130° D．1109．（2022·福建龙岩·八年级期末）如图，把纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得，，则∠2的度数为（       ）A．35° B．36° C．37° D．38°题型四：直角三角形的两个锐角互余问题10．（2022·全国·八年级）如图，直线a//b，Rt△ABC 如图放置，若∠1=28°，∠2=80°，则∠B的度数为(     )A．62° B．52° C．38° D．28°11．（2022·全国·八年级）如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（       ）个．A．5 B．4 C．3 D．212．（2022·全国·八年级课时练习）如图，BD是△ABC的角平分线交BC于点E，若，，则∠CAE的度数为（       ）A．12.5° B．17.5° C．22.5° D．27.5°题型五：三角形内角和定理的应用13．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，将一副三角板如图放置，则下列结论：①；②如果，则有BC∥AE；③如果，则有DE∥AB；④如果，必有．其中正确的有（       ）A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④14．（2022·河北秦皇岛·八年级期末）有下列四个命题：①对顶角相等；②同位角相等；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补；④有两个角是锐角的三角形是直角三角形．其中是真命题的个数有（        ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个15．（2022·全国·八年级专题练习）如图：CDAB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，∠BAC=40°，∠1=∠2，则下列结论：①∠ACE=2∠4；②CB⊥CF；③∠1=70°；④∠3=2∠4，其中正确的是（       ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④题型六：三角形外角的定义及其应用16．（2022·云南红河·八年级期末）如图，是的外角，平分，若，，则等于（       ）A．40° B．50° C．45° D．55°17．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，直线，点A在直线a上，点C、D在直线b上，且AB⊥BC，BD平分∠ABC，若∠1＝32°，则∠2的度数是（       ）A．13° B．15° C．14° D．16°18．（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上的点G处，此时∠BDC＝82°，则原三角形的∠B的度数为（       ）A．57° B．60° C．63° D．70°题型七：与三角形有关的角综合问题19．（2021·成都·八年级期末）已知△ABC中，∠A=60°，∠ACB=40°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点．（1）如图1，连接CE，①若CE∥AB，求∠BEC的度数；②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数．（2）若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数．20．（2022·山东枣庄·八年级期末）如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF．(1)求证：EA平分∠BEF；(2)若∠1=∠A，∠4=∠C，求证：AB∥CD．21．（2020·河北·保定市清苑区北王力中学八年级期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　   　；（2）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P的度数.（3）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.一、单选题22．（2022··八年级期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠α的度数为（       ）A．65° B．75° C．85° D．95°23．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，BD平分∠ABC交AC于点D．若，则∠ADB＝（            ）A．100° B．105° C．110° D．120°24．（2022·全国·八年级）如图所示，AD平分△ABC的外角∠CAE，交BC的延长线于D，若∠B＝60°，∠CAD＝75°，则∠ACD＝（       ）A．50° B．65° C．80° D．90°25．（2022·广西来宾·八年级期中）如图，在中，，则与∠A互余的角有（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个26．（2021·全国·八年级）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，（1）求∠BAE的度数；（2）求∠DAE的度数．27．（2021·广东·东莞市沙田瑞风实验学校八年级期中）如图，在中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得，连CF．求证：若，连接BE，BE平分，AC平分，求的度数．一：选择题28．（2022·陕西·咸阳市秦都区电建学校八年级期中）如图，将△ABC沿AC边所在直线平移至△EDF，ED交BC于点H，则①AE＝CF，②AB＝ED，③，④∠HCF＝∠HEC+∠B中正确的结论有（       ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个29．（2022·河北保定·八年级期末）如图，在中，是的平分线，为上一点，且于点．若，，则的度数为（       ）A． B． C． D．30．（2022·河北廊坊·八年级期末）如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形纸条的两条对边上，若，则的度数为（       ）A． B． C． D．31．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果∠A＝54°，那么∠BOC的度数是（       ）A．97° B．117° C．63° D．153°32．（2022·湖北随州·八年级期末）如图，，，则下列结论错误的是（       ）A． B． C． D．33．（2022·海南省直辖县级单位·八年级期末）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（　　）A．40° B．45° C．50° D．55°34．（2021·广西南宁·八年级期中）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则等于　　A． B． C． D．35．（2022·全国·八年级期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（       ）A．50° B．70° C．75° D．80°36．（2022·全国·八年级课时练习）如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，，则的度数为　　A． B． C． D．37．（2020·广东·惠州市光正实验学校八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，则∠BEC=（　　）A．∠A+∠D﹣45° B．（∠A+∠D）+45°C．180°﹣（∠A+∠D） D．∠A+∠D二、填空题38．（2021·宁夏西吉实验中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝_____．39．（2021·辽宁鞍山·八年级期中）如图，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE =______度．40．（2020·山东·临沭县青云镇青云初级中学八年级阶段练习）如图：在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，若∠BOC＝132°，则∠A等于_____度，若∠A＝60°时，∠BOC又等于_____41．（2022·全国·八年级）如图，把纸片沿折叠，使点落在图中的处，若，，则的大小为______.42．（2022·宁夏·吴忠市第二中学八年级期末）如图，在中，点是上的点，，将沿着翻折得到，则______°．43．（2022·全国·八年级课时练习）如图，若，则____________．44．（2022·全国·八年级课时练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则_______．三、解答题45．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．46．（2022·广东·普宁二中实验学校）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点（1）求证：；(2)若，，求的度数.47．（2022·全国·八年级）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD，若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．48．（2020·安徽·马鞍山东方实验学校八年级期中）如图，已知：点P是内一点．（1）求证：；（2）若PB平分，PC平分，，求的度数．49．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在中，是的平分线，，垂足为D，求证：．50．（2020·全国·八年级）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1．（1）当∠A为70°时，∵∠ACD-∠ABD=∠______∴∠ACD-∠ABD=______°∵BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线∴∠A1CD-∠A1BD=（∠ACD-∠ABD）∴∠A1=______°；（2）∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4、…、An，请写出∠A与∠An的数量关系______；（3）如图2，四边形ABCD中，∠F为∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的角，若∠A+∠D=230度，则∠F=______．（4）如图3，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A1的值为定值；②∠Q-∠A1的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值D【详解】解：∵AB∥CD，∠ACD=40°，∴∠A=∠ACD=40°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-85°=55°，故选：D．2．B【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质计算即可；【详解】∵AE平分∠BAC∴∠BAE=∠CAE=34°∵ED∥AC∴∠CAE+∠DEA=180°∴∠DEA=180°-34°=146°∵∠AED+∠AEB+∠BED=360°∴∠BED=360°-146°-90°=124°．故选：B．3．B【详解】解：∵∠ADE=40°，DE∥AB，∴∠BAD=40°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD=80°．∵∠B=46°，∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-46°-80°=54°．故选：B．4．C【分析】由三角形的内角和定理可求得∠ABC+∠ACB=100°，再由角平分线的定义可得∠CBD=∠ABC，∠BCD=∠ACB，再次利用三角形的内角的定理即可求∠D的度数．【详解】解：∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=100°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠CBD=∠ABC，∠BCD=∠ACB，在△BCD中，∠D=180°-（∠CBD+∠BCD）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-×100°=180°-50°=130°．故选：C．5．A【分析】利用三角形内角和定理求出∠C，利用直角三角形两个锐角互余求出∠DAC，利用角平分线的定义求出∠EAC，∠EAC减去∠DAC即可求出∠DAE．【详解】解：△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，AD是BC边上的高，，，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，，．故选A．【点睛】此题主要考查三角形内的角度求解，解题的关键是熟知角平分线、高及三角形的内角和定理的性质．6．B【分析】根据高线的定义可得∠AEB=90°，然后根据∠C=70°，∠ABC=48°求出∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．【详解】解：∵BE为△ABC的高，∴∠AEB=90°，∵∠C=70°，∠ABC=48°，∴∠CAB=62°，∵AF是角平分线，∴∠1=∠CAB=31°，在△AEF中，∠EFA=180°-31°-90°=59°．∴∠3=∠EFA=59°，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键．7．C【分析】根据折叠性质证得∠3=∠4，∠5=∠6，再根据平角定义求得∠4+∠5=115°，然后根据三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，由折叠性质得：∠3=∠4，∠5=∠6，∵∠1+∠3+∠4=180°，∠5+∠6+∠2=180°，∴∠1+∠2+2∠4+2∠5=360°，∵∠1+∠2=130°，∴2∠4+2∠5=360°－130°=230°，∴∠4+∠5=115°，∵∠4+∠5+∠A=180°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=∠4+∠5=115°，故选：C．【点睛】本题考查三角形折叠中的角度问题，熟练掌握折叠性质是解答的关键.8．B【分析】由折叠的性质可得，，由三角形的内角和定理可得，再由平角的定义可得，，从而可求．【详解】解：由折叠的性质可得，，，，，，，，．故选B．【点睛】本题主要考查折叠性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记折叠的性质及三角形的内角和定理并灵活运用．9．B【分析】根据折叠性质得出∠C′＝∠C＝35°，根据三角形外角性质得出∠DOC＝∠1﹣∠C＝71°，∠2＝∠DOC﹣∠C′＝71°﹣35°＝36°．【详解】解：如图，设C′D与AC交于点O， ∵∠C＝35°，∴∠C′＝∠C＝35°，∵∠1＝∠DOC+∠C，∠1＝106°，∴∠DOC＝∠1﹣∠C＝106°﹣35°＝71°，∵∠DOC＝∠2+∠C′，∴∠2＝∠DOC﹣∠C′＝71°﹣35°＝36°．故选：B．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和定理及三角形的外角定理是解题的关键．10．C【分析】如图：根据两直线平行、同位角相等可得∠1+∠3=∠2，进而求得∠3，再根据直角三角形的性质求得∠B即可．【详解】解：如图，∵ab,∴∠1+∠3=∠2，∵∠3=∠2-∠1=80°-28°=52°，∵∠ACB=90°，∴∠B+∠3 =90°，∴∠B=90°-52°=38°．故答案为：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活应用平行线的性质成为解答本题的关键．11．C【分析】利用平行线的性质与判定可得∠E=∠BME=∠AMF，根据同角的余角相等可得∠E=∠C，即可求解．【详解】解：∵∠BAC=∠EDF=90°，∴AB∥DE，∠E+∠F=90°，∴∠E=∠BME=∠AMF，∵EF⊥BC，∴∠C+∠F=90°，∴∠E=∠C，故与∠E相等的角有3个，故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质，余角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．12．C【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD＝∠ABC，∠AFB＝∠EFB＝90°，∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，根据三角形内角和得出∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，即可得出∠CAE．【详解】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝=17.5°，∠AFB＝∠EFB＝90°，∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，∵∠C=50°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，∴∠CAE=∠BAC-∠BAF=95°-72.5°=22.5°故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和垂直的定义，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用以上性质，进行推理计算．13．C【分析】根据三角板中角度的关系，平行线的判定，三角形内角和定理进行求解判定即可．【详解】解：由题意得∠DAE=∠BAC=90°，∠C=45°，∠D=30°，∠E=60°，∴∠3+∠2=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，故①正确；若∠2=45°，则∠3=45°，∴∠3=∠C，∴BC∥AE，故②正确；若∠2=30°，则∠1=60°，∵∠1≠∠D，∴DE与AB不平行，故③错误；若∠2=45°，则∠3=45°，∴∠3=∠C∵∠4+∠C=∠E+∠3，∴∠4=∠E，故④正确，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．14．C【分析】根据对顶角相等，平行线的性质，三角形内角和定理，逐项判断即可求解．【详解】解：①对顶角相等，原命题是真命题；②两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补，原命题是真命题；④有两个角是锐角的三角形不一定是直角三角形，原命题是假命题；∴真命题的个数有2个．故选：C．【点睛】本题主要考查了真假命题的判定，对顶角相等，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握对顶角相等，平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键．15．C【分析】根据角平分线的性质可得，，再利用平角定义可得∠BCF=90°，进而可得②正确；首先计算出∠ACB的度数，再利用平行线的性质可得∠2的度数，从而可得∠1的度数，进而可得③正确；利用三角形内角和计算出∠3的度数，然后计算出∠ACE的度数，可分析出①错误；根据∠3和∠4的度数可得④正确．【详解】解：如图，∵BC平分∠ACD，CF平分∠ACG， ∴∵∠ACG+∠ACD=180°，∴∠ACF+∠ACB=90°，∴CB⊥CF，故②正确，∵CD∥AB，∠BAC=40°，∴∠ACG=40°，∴∠ACF=∠4=20°，∴∠ACB=90°-20°=70°，∴∠BCD=70°，∵CD∥AB，∴∠2=∠BCD=70°，∵∠1=∠2，∴∠1=70°，故③正确；∵∠BCD=70°，∴∠ACB=70°，∵∠1=∠2=70°，∴∠3=40°，∴∠ACE=30°，∴①∠ACE=2∠4错误；∵∠4=20°，∠3=40°，∴∠3=2∠4，故④正确，故选：C．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的性质，理清图中角之间的和差关系是解题的关键．16．D【分析】根据三角形外角性质求出∠ACD，根据角平分线定义求出即可．【详解】解：∵∠A=70°，∠B=40°，∴∠ACD=∠A+∠B=110°，∵CE平分∠ACD，∴∠ECD=∠ACD=55°，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，能熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键．17．A【分析】延长CB交直线a于点E，根据平行线及三角形的内角和性质可求出∠ECF＝∠AEC＝58°，再根据三角形外角性质可求出∠2的度数．【详解】解：延长CB交直线a于点E，如图，∵AB⊥BC，∠1＝32°，∴∠ABC＝90°，∴∠AEC＝90°﹣∠1＝58°，∵ab，∴∠ECF＝∠AEC＝58°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝45°，∵∠ECF是△BCD的外角，∴∠2＝∠ECF﹣∠CBD＝13°．故选：A．【点睛】本题考查平行线及三角形外角的性质，解题时注意结合图形寻找已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向．18．C【分析】根据折叠的性质可知：∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG=∠A'BC，根据三角形外角性质可得：∠DBA＝∠BDC﹣∠A＝82°﹣40°＝42°，进一步可求出∠ABE＝∠A'BE＝21°，∠ABC＝3×21°＝63°，即原三角形的∠B=63°．【详解】解：由折叠性质可得，∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG=∠A'BC，∵∠BDC是△BDA的外角，∴∠DBA＝∠BDC﹣∠A＝82°﹣40°＝42°，∴∠ABE＝∠A'BE＝21°，∴∠ABC＝3×21°＝63°，即原三角形的∠B=63°，故选：C．【点睛】此题主要考查的是图形的折叠及三角形外角性质，能够根据折叠的性质发现∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG=∠A'BC是解答此题的关键．19．（1）①40°；②30°；(2)50°，130°，10°【分析】（1）①根据三角形的内角和得到∠ABC=80°，由角平分线的定义得到∠ABE=∠ABC=40°，根据平行线的性质即可得到结论；②根据邻补角的定义得到∠ACD=180°-∠ACB=140°，根据角平分线的定义得到∠CBE=∠ABC=40°，∠ECD=∠ACD=70°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）①如图1，当CE⊥BC时，②如图2，当CE⊥AB于F时，③如图3，当CE⊥AC时，根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论．【详解】解：（1）①∵∠A=60°，∠ACB=40°，∴∠ABC=80°，∵BM平分∠ABC，∴∠ABE=∠ABC=40°，∵CE∥AB，∴∠BEC=∠ABE=40°；②∵∠A=60°，∠ACB=40°，∴∠ABC=80°，∠ACD=180°-∠ACB=140°，∵BM平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠CBE=∠ABC=40°，∠ECD=∠ACD=70°，∴∠BEC=∠ECD-∠CBE=30°；（2）①如图1，当CE⊥BC时，∵∠CBE=40°，∴∠BEC=50°；②如图2，当CE⊥AB于F时，∵∠ABE=40°，∴∠BEC=90°+40°=130°，③如图3，当CE⊥AC时，∵∠CBE=40°，∠ACB=40°，∴∠BEC=180°-40°-40°-90°=10°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的画出图形辅助解决问题是解题的关键．20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由AE⊥CE易得∠2＋∠3＝90°且∠1＋∠4＝90°，由EC平分∠DEF易得∠3＝∠4，从而∠1＝∠2，故EA平分∠BEF；（2）利用AE⊥CE、∠1=∠A、∠4=∠C、三角形内角和，可得∠B+∠D=180°，进而得出AB∥CD．【详解】证明：(1)∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∴∠2＋∠3＝90°且∠1＋∠4＝90°．又∵EC平分∠DEF，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2，∴EA平分∠BEF．(2)∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∴∠1＋∠4＝90°．∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，∴∠B＋∠D＝180°－2∠1＋180°－2∠4＝360°－2(∠1＋∠4)＝180°，∴AB∥CD．【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、平行线的判定、垂直的性质等知识，由三角形内角和定理得出∠B+∠D=180°是本题的关键.21．（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）∠P=45°；（3）2∠P=∠D+∠B.【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义可得∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，将①+②整理可得2∠P=∠D+∠B，进而求得∠P的度数；（3）同（2）根据“8字形”中的角的规律和角平分线的定义，即可得出2∠P=∠D+∠B.【详解】解（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，∴∠A+∠D=∠C+∠B；（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，② ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB， ①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P， 即2∠P=∠D+∠B=50°+40°，∴∠P=45°；    （3）关系：2∠P=∠D+∠B；证明过程同（2）.22．B【分析】根据题意得出，，即可根据三角形内角和定理得出，根据对顶角的性质即可求出∠α的度数．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故选B．【点睛】本题考查了求三角板中的角度问题，包括三角形内角和定理，对顶角性质，熟练掌握三角形内角和定理，对顶角性质是本题的关键．23．A【分析】根据角平分线性质，可得，结合三角形内角和定理与外角定理即可．【详解】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴，∵即，又∵，∴，∵，即，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】此题主要考查了三角形角平分线，解题关键是熟练运用三角形内角和定理与外角定理．24．D【分析】先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质可得，然后在中，根据三角形的内角和定理即可得．【详解】解：∵平分，，∴，∵，∴，在中，，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线、三角形的外角性质、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．25．B【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，找出与∠A互余的角．【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高线，∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD＝90°，∴与∠A互余的角有2个，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余．26．(1) ∠BAE=30 °；(2) ∠EAD=20°．【分析】（1）由三角形内角和为180°结合已知条件易得∠BAC=60°，再结合AE平分∠BAC即可得到∠BAE=30°；（2）由AD是△ABC的高可得∠ADB=90°，结合∠ABC=40°可得∠BAD=50°，再结合∠BAE=30°即可解得∠DAE=20°．【详解】解：（1）∵在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，∴∠BAC=180°-40°-80°=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=30°；（2）∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°-90°-40°=50°，∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-30°=20°．【点睛】这是一道有关三角形角度的几何计算题，熟悉三角形内角和为180°，三角形高的定义和三角形角平分线的定义是解答本题的关键．27．（1）证明见解析；（2）.【分析】(1)求出≌，根据全等得出，根据平行线的判定得出即可；求出，根据三角形内角和定理求出即可．【详解】证明：在和中≌，，；解：平分，，，，，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．28．A【分析】根据平移的性质及三角形外角性质进行判断即可．【详解】由平移可知，AE=CF，AB=ED，，∠A=∠HEC，∵∠HCF＝∠A+∠B，∴∠HCF＝∠HEC+∠B，∴正确的有：①②③④，共4个．故选：A．【点睛】本题考查了平移的性质，三角形外角性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．29．A【分析】先根据EF⊥BC，∠DEF=15°可得出∠ADB的度数，再由三角形外角的性质得出∠CAD的度数，根据角平分线的定义得出∠BAC的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】∵EF⊥BC，∠DEF=15°，∴∠ADB=90°-15°=75°．∵∠C=35°，∴∠CAD=75°-35°=40°．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC=2∠CAD=80°，∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-35°=65°．故选：A．【点睛】考查了三角形内角和定理及外角的性质，解题关键是熟知三角形内角和是180°．30．D【分析】依据平行线的性质，即可得到∠3＝∠2＝50°，再根据三角形外角性质，可得∠3＝∠1＋30°，进而得出∠1＝50°−30°＝20°．【详解】解：如图，∵长方形纸条的对边平行，∠2＝50°，∴∠2＝∠3＝50°，根据三角形外角性质，可得∠3＝∠1＋30°，∴∠1＝50°−30°＝20°，故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．31．B【分析】根据角平分线的性质，得到∠BOC＝180°﹣(∠ABC+∠ACB)，再根据三角形内角和计算即可．【详解】∵BD，CE分别是△ABC的角平分线，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣(∠ABC+∠ACB)，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝54°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝126°，∴∠BOC＝180°﹣×126°＝117°，故选：B．【点睛】本题考查角平分线的定义，解决本题的关键是充分利用角平分线的定义得到角的关系，再与三角形内角和建立联系．32．C【分析】先证明可判断A，结合平行线的性质可判断B，再利用三角形的外角的性质可判断C，结合邻补角的定义可判断D，从而可得答案．【详解】解：∵，∴ 故A不符合题意； ∵， 故B不符合题意； 故C符合题意； 故D不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，三角形的外角的性质，证明是解本题的关键．33．C【分析】根据三角形外角性质求出∠ACD，根据角平分线定义求出即可．【详解】∵∠A=60°，∠B=40°，∴∠ACD=∠A+∠B=100°，∵CE平分∠ACD，∴∠ECD=∠ACD=50°，故选C．【点睛】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键．34．C【分析】根据三角形的内角和定理和三角形外角性质进行解答即可．【详解】如图：，，，，∴==，故选C．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、熟练掌握相关定理及性质以及一副三角板中各个角的度数是解题的关键.35．B【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可．【详解】∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=25°，∵∠B=60°，∠C=25°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°，故选B．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．36．C【详解】∵如图可知，，又∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，故选．点睛：本题主要考查了三角形内角和定理即三角形外角与内角的关系，解答本题的关键是求出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D=180°，此题难度不大．37．D【分析】根据四边形的内角和, ∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D），根据角平分线的定义可得 再根据三角形的内角和定理可得 然后整理即可得解；【详解】∵四边形的内角和=360°，∴∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D），∵∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，∴∴∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB） 故选D．【点睛】考查四边形的内角和，三角形的内角和以及角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键.38．67°．【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝134°，则利用邻补角定义计算出∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝226°，再根据角平分线定义得到∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，所以∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，然后再利用三角形内角和计算∠AEC的度数．【详解】解：∵∠B＝46°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°，∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°，∵AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA，∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，∴∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°．故答案为：67°．【点睛】本题考查角平分线的有关计算，三角形内角和定理，三角形外角的性质．在本题解题过程中，有些角单独计算不出来，所以把两个角的和看作一个整体计算（如：∠BAC+∠BCA，∠DAC+∠FCA），故掌握整体思想是解决此题的关键．39．10【分析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分的定义，根据三角形内角和是180°，角平分线平分角的度数解答即可【详解】因为，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，所以∠BAC=180°-60°-40°=80°，因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE=40°，又因为在△ACD中，AD⊥BC，∠C=40°，所以∠CAD=50°，所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=50°-40°=10°【点睛】本题的关键是掌握三角形内角和是180度40．     84     120°【分析】根据三角形内角和定理易得,利用角平分线定义可得: 进而利用三角形内角和定理可得∠A度数；【详解】解：(1)∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于O点， (2) ,,故答案为84，120°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．41．32°【分析】根据折叠性质以及，可知，、、，又∠AED+∠CED=180°，即可求出答案.【详解】由折叠的性质可知，又∴，根据三角形内角和可得：∴故答案为32°.42．20【分析】根据三角形内角和和翻折的性质解答即可．【详解】解：，将沿着翻折得到，，，，故答案为20【点睛】此题考查翻折的性质，关键是根据三角形内角和和翻折的性质解答．43．230°【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．【详解】解：如图∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C， ∴∠E+∠D+∠C=115°， ∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠F=115°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°， 故答案为：230°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．44．【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解，同理求出∠A2，∠A3，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A，∵∠A=α．∠A1=∠A=α，同理可得∠A2=∠A1=α，根据规律推导，∴，故答案为．【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．45．(1) 65°；(2) 25°【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°；（2）先根据直角三角形两锐角互余的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．【详解】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，∴∠CBD=130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=∠CBD=65°；（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°﹣65°=25°．∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．46．（1）证明见解析；（2）78°【分析】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到；（2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC【详解】解：（1）证明：，，，，；（2），，，，，．【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形证明．47．20°【分析】依据三角形内角和定理可得∠FGH=55°，再根据GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根据∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB=55°-35°=20°．【详解】∵∠EFG=90°，∠E=35°，∴∠FGH=55°，∵GE平分∠FGD，AB∥CD，∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，∵∠FHG是△EFH的外角，∴∠EFB=55°﹣35°=20°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．48．（1）证明见解析；（2）110°【分析】（1）延长BP交AC于D，根据△PDC外角的性质知∠BPC＞∠1；根据△ABD外角的性质知∠1＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A．（2）由三角形内角和定理求出∠ABC＋∠ACB＝140°，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果．【详解】（1）延长BP交AC于D，如图所示：∵∠BPC是△CDP的一个外角，∠1是△ABD的一个外角，∴∠BPC＞∠1，∠1＞∠A，∴∠BPC＞∠A；（2）在△ABC中，∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣40°=140°，∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，在△PBC中，∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣×140°=110°．【点睛】此题主要考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理、三角形的角平分线定义；熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理是解决问题的关键．49．见解析【分析】根据角平分线的定义可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，然后根据直角三角形两锐角互余列出等式解答即可．【详解】证明：是的平分线，，由三角形的外角性质得，，，，∴，，，．【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．50．（1）∠A；70°；35°；（2）∠A=2n∠An（3）25°（4）①∠Q+∠A1的值为定值正确，Q+∠A1=180°．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解；（2）由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠BAC=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此找出规律；（3）先根据四边形内角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB=360°-（α+β），根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（α+β）=2∠FBC+（180°-2∠DCF）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠F，从而得出结论；（4）依然要用三角形的外角性质求解，易知2∠A1=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE），利用三角形内角和定理表示出∠QEC+∠QCE，即可得到∠A1和∠Q的关系．【详解】解：（1）当∠A为70°时，∵∠ACD-∠ABD=∠A，∴∠ACD-∠ABD=70°，∵BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线，∴∠A1CD-∠A1BD=（∠ACD-∠ABD）∴∠A1=35°；故答案为：A，70，35；（2）∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，∴∠BAC=2∠A1=80°，∴∠A1=40°，同理可得∠A1=2∠A2，即∠BAC=22∠A2=80°，∴∠A2=20°，∴∠A=2n∠An，故答案为：∠A=2∠An．（3）∵∠ABC+∠DCB=360°-（∠A+∠D），∴∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（∠A+∠D）=2∠FBC+（180°-2∠DCF）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠F，∴360°-（α+β）=180°-2∠F，2∠F=∠A+∠D-180°，∴∠F=（∠A+∠D）-90°，∵∠A+∠D=230°，∴∠F=25°；故答案为：25°．（4）①∠Q+∠A1的值为定值正确．∵∠ACD-∠ABD=∠BAC，BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线∴∠A1=∠A1CD-∠A1BD=∠BAC， ∵∠AEC+∠ACE=∠BAC，EQ、CQ是∠AEC、∠ACE的角平分线，∴∠QEC+∠QCE=（∠AEC+∠ACE）=∠BAC，∴∠Q=180°-（∠QEC+∠QCE）=180°-∠BAC，∴∠Q+∠A1=180°．