人教版（2024）八年级下册16.1 二次根式教案

这是一份人教版（2024）八年级下册16.1 二次根式教案，共19页。教案主要包含了教学目标，教学重，教学过程，代数式及其写法，二次根式的乘法，二次根式的除法，最简二次根式，二次根式的加减等内容，欢迎下载使用。
一、教学目标：
1.掌握二次根式的概念和性质;
2.理解最简二次根式的概念;
3.掌握二次根式的四则运算;
4.利用二次根式解决一些综合性的数学问题.
二、教学重、难点：
重点：掌握二次根式的概念和性质;掌握二次根式的四则运算.
难点：利用二次根式解决一些综合性的数学问题
三、教学过程：
知识网络
知识梳理
一、二次根式的概念
一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.
1.表示a的算术平方根；
2.a可以是数，也可以是式；
3.形式上含有二次根号；
4.a≥0，≥0 (双重非负性)；
5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果.
二、二次根式的有意义的条件
1.单个二次根式如有意义的条件：A≥0
2.多个二次根式相加如有意义的条件：
3.二次根式作为分式的分母如或有意义的条件：A＞0
4.二次根式与分式的和如或有意义的条件：A≥0且B≠0
三、二次根式的性质
性质一：一般地，(a≥0)
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件.
性质二：一般地，根据算术平方根的意义， (a≥0)，(a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
即：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
四、代数式及其写法
回顾我们学过的式子，如5，a，a+b，-ab，，-x3，， (a≥0)，它们都是用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
代数式书写格式注意事项：
1.表示数的字母相乘时，可用“· ”代替乘号或省略不写.如：a×b 通常写作a·b或ab.
2.数和字母相乘时，数字应写在字母前面.如： a×2通常写作2a.
3.带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数.如：×a通常写作a.
4.含有字母的除式中用分数线代替除号.如：3÷y 通常写作: .
5.最后一步是加、减运算时，如果有单位，要用括号把代数式括起来.如：温度由2℃上升t℃后是(2+t)℃.
六、二次根式的乘法
1.二次根式的乘法法则：•=(a≥0，b≥0)
即：二次根式相乘，________不变，________相乘.
语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
2.积的算术平方根的性质：（a≥0，b≥0）
语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
应用范围：我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
七、二次根式的除法
1.二次根式的除法法则：(a≥0，b＞0)
即：二次根式相除，________不变，________相除.
语言表述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
2.二次根式的商的算术平方根的性质:
语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
八、最简二次根式
(1) 被开方数不含分母；
(2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
九、二次根式的加减
1.同类二次根式:化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式.
2.二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式(同类二次根式)进行合并.
加减法的运算步骤：
(1)化—将非最简二次根式的二次根式化简；
(2)找—找出被开方数相同的二次根式；
(3)并—把被开方数相同的二次根式合并.
“一化简二判断三合并”
十、二次根式的混合运算
1.二次根式的混合运算：
二次根式的混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.
2.二次根式与乘法公式的综合运用：
二次根式中单乘多、多乘多、多除单与整式乘法非常相似，均可以运用整式乘法法则与整式乘法公式进行计算.运用的乘法公式主要是：平方差公式与完全平方公式.
考点梳理
考点解析
考点1：二次根式的相关概念有意义的条件
例1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
分析：
二次根式有：(1)(4)(5)(7)(9)
例2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

解（1）由题意得x-1＞0，
∴x＞1.
（2）∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，
∴x≥-3.
∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.
∴x≥-3 且x≠1.
【点睛】要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
例3.已知,求3x+2y的算术平方根.
解：由题意得
∴x=3，y=8，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
【点睛】若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
【迁移应用】
【1-1】下列式子：①；②；③；④；⑤，是二次根式的有（ ）
A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤
【1-2】使式子有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
【1-3】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．
解：由题意得
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
考点2：二次根式的性质及其应用
例4.若，求a-b+c的值.
解：因为
由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,
解得a=2,b=3,c=4.
所以a-b+c=2-3+4=3.
【点睛】多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
例5.已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示,化简．
解：由数轴可得：，，，
原式
．
【点睛】利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.
例6.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：++
+.
解：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴
∴+++


【迁移应用】
【2-1】下列计算正确的是（ ）
A．B． C． D．
【2-1】成立的条件是（ ）
A．x≥3 B．x＞3 C．x≤3 D．x＜3
【2-3】若，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．1
【2-4】如图，实数a，b，c是数轴上A，B，C三点所对应的数，化简．
解：由数轴可知，
，，
∴，，，
∴
．
考点3：二次根式的运算及典型应用
例7.计算：
解：
【点睛】二次根式的混合运算的运算顺序与整式的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，在具体运算中可灵活运用运算律和乘法公式简化运算.
例8.计算：

解：(1)原式
(2)原式
【点睛】有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.
例9.已知，，求的值．
解：∵，
，
∴
．
例10.化简求值：．
解：原式＝
＝
＝；
把代入，得：原式＝．
【迁移应用】
【3-1】下列各式计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【3-2】计算：
(1)； (2);
解:（1）原式==；
（2）原式===
【3-3】先化简，再求值：,其中
解：原式
当时，原式
考点4：二次根式的实际应用
例11.把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒．求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）．
解：
例12.某居民小区有块形状为矩形的绿地，长为米，宽为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．
(1)求矩形的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
（1）解：矩形的长为米，宽为米，
∴矩形的周长为（米）．
答：矩形的周长为米．
（2）解：通道的面积为
（平方米），
则购买地砖需要花费（元）．
答：购买地砖需要花费336元．
【迁移应用】
【4-1】如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个面积是125的正方形ABCD，，图中空白部分是一个小正方形，求这个小正方形的周长．
解：∵正方形ABCD的面积是125，
∴，
∵，
∴，
∴空白部分的小正方形的边长为，
∴这个小正方形的周长为．
【4-2】已知a,b,c满足.
(1)求a,b,c的值；
(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.
分析：(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数必须为零；(2)根据三角形的三边关系来判断.
解：(1)由题意得；
(2)能.理由如下：∵，即a＜c＜b，
又∵ ∴ a+c＞b，
∴能够成三角形，周长为
【4-3】为了表示对老师的敬意，张昊同学特地做了两张大小不同的正方形的画送给老师，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2.他想：如果再用金色细彩带把画的边镶上会更漂亮．他手上现有1.2m长的金色细彩带．请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够用，还需买多少厘米的金色细彩带？(≈1.414，结果保留整数)
解：镶壁画所用的金色彩带的长为：
4×（+）
=4×（20+15）
=140≈197.96（cm），
因为1.2m=120cm＜197.96cm，
所以小号的金色彩带不够用≈78（cm），即还需买78cm的金色彩带．
考点5：二次根式中的规律性问题
例13.观察下列等式：
①；
②；
③
…回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：
（2）计算： ．
【答案】（1）；（2）
【详解】试题分析：根据分母有理化的性质，由各式的特点，结合平方差公式化简计算即可.
试题解析：（1）
=
= ；
（2）
=+…+
=．
【迁移应用】
【5-1】将一组数，2，，2，，…，2按图中的方法排列：
若3的位置记为（2，3），2的位置记为（3，2），则这组数中最大数的位置记为______．
【答案】（17,6）
【详解】观察、分析这组数据可发现：第一个数是的积；第二个数是的积；第三个数是的积， 的积.
∵这组数据中最大的数：，
∴是这组数据中的第102个数.
∵每一行排列了6个数，而
∴是第17行第6个数，
∴这组数据中最大的一个数应记为（17，6）.
点睛：（1）这组数据组中的第个数为；（2）该组数据是按从左到右，从小到大，每行6个数进行排列的；（3）的商是数据所在的行数，的余数是数据所在的列数.
【5-2】观察下列等式：
第1个等式：a1=，
第2个等式：a2=，
第3个等式：a3==2-，
第4个等式：a4=，
…
按上述规律,回答以下问题：
(1)请写出第n个等式：an=__________.
(2)a1+a2+a3+…+an=_________
【答案】
【分析】（1）由题意，找出规律，即可得到答案；
（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．
【详解】解：∵第1个等式：a1=，
第2个等式：a2=，
第3个等式：a3==2-，
第4个等式：a4=，
……
∴第n个等式：；
故答案为：；
（2）
=
=；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，以及数字规律问题，解题的关键是掌握题目中的规律，从而进行解题．
【5-3】观察下列各式及证明过程：
①；
②；
③．
验证：；
．
（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用（为正整数，且）表示的等式．
【答案】（1），验证见解析；（2）（为正整数，）．
【分析】（1）应用二次根式对根式进行变形，总结规律，三个连续自然数的倒数，第一个乘以后两个的差，结果等于中间数作结果的系数，中间数的分母作结果中被开方数的分子，另两个数的分母的乘积作被开方数的分母，即可得到结果；
（2）根据（1）即可得到等式．
【详解】解：（1）猜想：
验证：；
（2）（为正整数，）．
【点睛】本题考查二次根式的化简，同时考查学生归纳总结的能力，特别注意写用含n的式子表示时一定要写上相应的n的取值范围．