八年级下册16.1 二次根式教学设计

16.1　二次根式

第2课时

教学目标

知识与技能

1.理解()2=a(a≥0)和=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.

2.用具体数据结合算术平方根的意义推出()2=a(a≥0)和探究=a(a

≥0),会用这个结论解决具体问题.

3.了解代数式的概念.

过程与方法

在明确()2=a(a≥0)和=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用

性.

情感态度与价值观

通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生

解决问题的能力.

教学重点与难点

【重点】　掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.

【难点】　能运用二次根式的性质化简.

教学准备

【教师准备】　教学所需的习题资料.

【学生准备】　课前自学教材第3-4页的内容.

教学过程

一、新课导入

教师出示问题:

1.什么叫二次根式?

2.当a≥0时,叫什么?当a<0时,有意义吗?

学生口答,老师点评.

通过前面的学习,我们知道了二次根式具有双重非负性.今天我们主要

学习一些二次根式的其他性质.

[设计意图]　复习旧知导入新知,让本节课自然过渡,为本节课学习奠定

了基础.

二、构建新知

1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)

[过渡语]　我们先来探究性质1: ()2=a(a≥0).

提问:你能解释下列式子的含义吗?

()2,()2,,()2.

学生口述,教师根据情况评价.

()2表示4的算术平方根的平方;()2表示2的算术平方根的平方;表示的算术平方根的平方;()2表示0的算术平方根的平方.

追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.

　()2=　　　　;()2=　　　　;=　　　　;()2=　　　　. 学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.

教师引导学生说出每一个式子的含义.

是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于4的非负数,因此有()2=4.是2的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于2的非负数,因此有()2=2.　是的算术平方根,

根据算术平方根的意义,　是一个平方等于的非负数,因此有=.表示0的算术平方根,因此有()2=0.

讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规

律吗?

　引导学生归纳得出二次根式的性质:一个非负数的算术平方根的平方等

于这个非负数,即()2=a(a≥0). 根据等式的定义，可得：a = ()2 (a≥0) 。利用这个式子，我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式。

　(教材例2)计算:

(1)()2;(2)(2)2.

学生独立完成,两名学生板演,再集体订正.

〔解析〕 (1)直接运用()2=a(a≥0)化简即可.(2)运用幂的性质(ab)2=a2b2.

　解:(1)()2=1.5.   (2)(2)2=22×()2=4×5=20.

　[解题策略]　把底数看成根号外因数与二次根式的积,按照积的乘方计

算即可.

【变式训练】　计算:(-2)2.

〔解析〕　把原式的底数看成是-2与的积,先利用(mn)2=m2n2,再根据()2=a(a≥0)化简.

解:(-2)2=(-2)2()2=4×3=12.

　[知识拓展]　形如(x)2的关于二次根式的运算可结合(ab)2=a2b2得到

(x)2=x2a.

　[设计意图]　让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质1,培养学生抽象概括的能力,并通过例题和变式训练及时巩固二次根式的

性质1,学会灵活运用.

2.二次根式的性质2:=a(a≥0)

[过渡语]　我们再来探究一下性质2:=a(a≥0).

提问:你能解释下列式子的含义吗?

,,　,.

教师引导学生说出每一个式子的含义.

表示2的平方的算术平方根;表示0.1的平方的算术平方根;　表示的平方的算术平方根;表示0的平方的算术平方根.

追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.=　　　　;=　　　　;=　　　　;=　　　　. 

　学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.

　∵4=22,∴=2,因此=2;∵0.01=0.12,∴=0.1,因此=0.1;∵=,∴　=,因此　=;∵0=02,∴=0,因此

=0.

讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规

律吗?

　引导学生归纳得出:一个非负数的平方的算术平方根等于这个数.即=a(a≥0). 根据等式的定义，可得：a= (a≥0)，利用这个式子，可以把任何一个非负数写成带有“    ”的形式。

　　(教材例3)化简:

　(1);　　　　　(2).

　引导学生根据=a(a≥0)进行分析:(1)因为16=42,所以=,再

计算即可得出结果.(2)因为(-5)2=52,所以=.

学生独立完成,集体订正.

　解:(1)==4.      (2)==5.

　[知识拓展]　(1)中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义.(2)化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即=a(a≥0);若a是负数,

则等于a的相反数-a,即=-a(a<0).小组讨论:()2和有什么关系?

　学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去

分析,得出:()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方根,=|a|=

[设计意图]　让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质2,培养学生抽象概括的能力,并通过例题练习及时巩固二次根式的性质2.

3.代数式

　提问:回顾我们学过的式子,如5、a、a+2b、-ab,这些式子

有哪些共同特征?

学生概括式子的共同特征,得出代数式的概念.

　这些式子都是用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,我

们称这样的式子为代数式.

学生举出一些例子,并书写,教师针对学生书写出现问题的地方进行指导.

　[设计意图]　学生通过观察式子的共同特征,形成代数式的概念,培养学生的概括能力.

三、课堂小结

　师生共同回顾本节课所学主要内容:

四、课堂检测

1.计算的结果是　　(　　)

A.-3　　　B.3　　　C.-9　　　D.9

解析:==3.故选B.

2.下列各式:①m2-3;②　(a>0);③a-1=6;④3x-5>0;⑤;⑥66.其中

代数式的个数是　　(　　)

A.2个　　B.3个　　C.4个　　D.5个

　解析:③a-1=6是方程,不是代数式;④3x-5>0是一元一次不等式,也不

是代数式;其余都是代数式.故选C.

3.　+　的值是　　　　. 

解析:　+　=2+2=4.故填4.

4.(1)当x　　　　时,=2-x成立; 

(2)计算=　　　　. 

　 解析:(1)当x-2≤0时,=2-x,所以x≤2;(2)因为3<π,所以

3-π<0,因此=π-3.

答案:(1)≤2　(2)π-3

5.计算:(1);(2)(2)2;(3);(4)(-)2.

解:(1)=0.9.　(2)(2)2=22×()2=12.　(3)=(-2)2×=2.

(4)(-)2=(-1)2×()2=15.

五、板书设计

16.1　二次根式

　第2课时

1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)

　例1

2.二次根式的性质2:=a(a≥0)

例2

3.代数式

六、布置作业

【必做题】

　教材第4页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第2,3,4,5,6题.

【选做题】

教材第5页习题16.1第7,8,9,10题.

七、教学反思

成功之处：本节课通过“观察——归纳——运用”的模式,让学生对知识的形成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位,适当增加了拓展性的练习,层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高.

不足之处：在探究二次根式的性质时,通过“提问——追问——讨论”的形式展开,保证了活动有一定的针对性,但是学生发挥主体作用不够.

再教设计：在探究完成二次根式的性质1后,总结学习方法,再放手让学生自主探究二次根式的性质2.既可以提高学习效率,又可以培养学生自学能力.