(寒假)浙教版数学七年级寒假讲练测第11讲 三元一次方程组及其解法（2份，原卷版+解析版）

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【学习目标】
1．理解三元一次方程(或组)的含义；
2．会解简单的三元一次方程组；
3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.
【基础知识】
一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1.三元一次方程的定义:
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．
要点：
(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．
(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．
2．三元一次方程组的定义：
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
要点：
(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．
（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．
二、三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的一般步骤
(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
要点：
（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：
（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．
三、三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；
2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
4．解这个方程组，求出未知数的值；
5．写出答案(包括单位名称)．
要点：
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【考点剖析】
例1．解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（ ）
A．① +③ ，① ×2﹣②B．① +③ ，③ ×2+②C．②﹣① ，②﹣③D．①﹣② ，① ×2﹣③
【答案】C
【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去
【解析】得：
得：
方程组变形为，刚好消去z
故选：C
【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键．
例2．已知方程组，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】将三个方程相加计算即可．
【解析】因为，
将三个方程相加，得2（x+y+z）=2-1+3，
解得=2，
故选B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键．
例3．已知，，则y与x的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】已知两等式相加消去k即可得到y与x的关系式．
【解析】解：联立得：，
①+②得：x+y=5．
故选：C．
【点睛】此题考查了解三元一次方程，利用了消元的思想，消去k是解本题的关键．
例4．已知方程组的解，使成立，则的值是( )
A．0B．C．1D．2
【答案】D
【分析】先利用方程组得出用含m的代数式表示x、y，再把x、y的值代入到，解方程即可得到m的值．
【解析】解：由题意可知，①，②，
由①+②并化简，可得，
由②×2-①并化简，可得，
将，的值代入，可解得．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组的知识，解题关键是熟练掌握加减消元法和代入消元法．
例5．解方程组：
【答案】
【分析】第一个与第三个方程相加解出x，第一个与第二个方程相加列出关于的方程组，再将x代入求出y，进而求出z的值，即可得到方程组的解．
【解析】解：得：
得： ④
把代入④得：
把，代入①得：
所以原方程组的解是：
【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：加减消元法与代入消元法．
例6．解方程组：
【答案】
【分析】利用消元法先把三元一次方程组变形为二元一次方程组，再解二元一次方程组即可得解．
【解析】解： ，
得，
把和④组成方程组得，
解此二元一次方程组得，
把，代入②得2×2+5×1-2z=11，
解得z=−1，
∴原方程组得解为．
【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，把三元一次方程组通过消元法化为二元一次方程组是解题的关键．
例7．解下列方程组：
（1） （2）
【答案】（1） （2）
【分析】（1）先标号利用加减消元法①+②得，（③-②）÷2得，再利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先标号利用加减消元法先消去z，再解x与y的二元方程组即可．
【解析】解：（1），
①+②得，
（③-②）÷3得，
④+⑤×2得4x=8，
解得x=2，
把x=2代入④得，
把代入②得y=-3，
∴；
（2），
①+③得，
（②+③）÷5×3得，
④-⑤得x=3，
把x=3代入④得y=2，
把x=3，y=2代入①得z=5，
∴．
【点睛】本题考查三元一次方程组的解法，掌握三元方程组消元转化二元方程组来解是解题关键．
例8．解三元一次方程组．
【答案】
【分析】先由①×2-②消去y，①×3+③消去y，得到，转化为解关于x，z的二元一次方程组，据此解答．
【解析】解：
①×2-②，得
①×3+③，得
解方程组
解得
把代入①，得，
所以原方程组的解为 ．
【点睛】本题考查加减消元法解三元一次方程组，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
例9．探索创新完成下面的探索过程：
给定方程组，如果令=A，=B，=C，则方程组变成______；
解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______．
【答案】；解方程组过程见解析；；；
【分析】根据换元法可以将原方程组化为，①+②+③得出然后分别求出A、B、C的值即可．
【解析】解：令=A，=B，=C，则方程组可变为：，
①+②+③得，
得：，
得：，
得：，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了换元法解方程组，根据题意得出，是解题的关键．
例10．两个小伙伴共带100只鸡蛋去卖，一个带得多，一个带得少，但卖了同样的价钱，一个对另一个说：“如果我有你那么多鸡蛋，我能卖15元．”另一个说：“如果我有你那么多鸡蛋，只能卖元．”问两人各有多少鸡蛋？希望你有尽可能简单的解答．
【答案】第一个闺蜜有40个鸡蛋，第二个闺蜜有60个鸡蛋
【分析】设第一个闺蜜有x个鸡蛋，第一个闺蜜鸡蛋的单价为a元，第二个闺蜜鸡蛋的单价为b元，根据两个小伙伴卖了同样的价钱，得到ax= b(100-x)，根据第二个闺蜜鸡蛋的单价如果为a元能卖15元，得到a(100-x)=15，根据第一个闺蜜鸡蛋的单价如果为b元只能卖元，得到bx=，把三个方程组成方程组解答．
【解析】解：设第一个闺蜜有x个鸡蛋，第一个闺蜜鸡蛋的单价为a元、第二个闺蜜鸡蛋的单价为b元，则：
，
解得：，，；
100-40=60（个）．
答：第一个闺蜜有40个鸡蛋，第二个闺蜜有60个鸡蛋．
【点睛】本题主要考查了三元方程组的应用，解决问题的关键是熟练掌握总价与单价和数量的关系，根据题中的等量关系列方程组，整体代入消元．
例11．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共
(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
(2)若工期要求不超过20天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．
【答案】(1)
(2)由甲队单独完成此项工程花钱最少．
【分析】（1）设甲、乙、丙各队单独完成全部工程各天，根据题意列出方程组，解方程组即可求解；
（2）设每天应支付甲、乙、丙分别为元，根据题意列出方程组，解方程组，进而求得答案．
【解析】（1）解：设甲、乙、丙各队单独完成全部工程各天，根据题意可知

解得：
（2）设每天应支付甲、乙、丙分别为元．
．
解之得∶．
因为工期要求不超过20天完成全部工程，
由(1)知可选甲或乙．
甲的费用为，
乙的费用为．
答∶由甲队单独完成此项工程花钱最少．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
例12．已知实数x，y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是先将①，②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组，则__________，_________．
(2)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
【答案】(1)-1，5
(2)-11
【分析】（1）利用①-②可得x-y的值，利用（①+②）可得x+y的值；
（2）根据新运算的定义可得出a、b、c的三元一次方程组，由可得出a+b+c的值，即的值．
【解析】（1），
由①-②可得：x-y=-1，
由（①+②）可得：x+y=5，
故答案为：-1，5；
（2）依题意得：，
由可得：a+b+c=-11，
即= a+b+c=-11．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是找出方程的关系并运用“整体思想”解方程．
例13．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组、则___________，__________．
(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
【答案】(1)，5
(2)30元
【分析】（1）利用第一个方程减去第二个方程即可得的值，先将两个方程相加可得的值，再两边同除以3即可得；
（2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，再根据两种购买方式下的费用建立方程组，然后根据所求的代数式，利用整体思想求解即可得．
（1）
解：，
由①②得：，
由①②得：，
解得，
故答案为：，5．
（2）
解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
由题意得：，
由①②得：，
则，
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、三元一次方程组的应用，熟练掌握整体思想是解题关键．
例14．在正方形网格中有9个数，若各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则称此图为“九宫图”．
(1)图（甲）就是一个九宫图的一部分，请你求出，的值；
(2)已知图（乙）和图（丙）都是不完整的九宫图．
填空：a=______，b=______，c=______；
d=______，e=______，f=______．
【答案】(1)x=-1，y=1
(2)0，-1，5；5，4，10
【分析】（1）根据题意列方程组求解即可；
（2）设图乙中三个空格中的数分别为x，y，z，列方程组可求出a，b，c的值；设图丙中三个空格中的数分别为d，e，f的值．
【解析】（1）由题意得
，
解得
．
（2）设图乙中三个空格中的数分别为x，y，z，由题意得
，
整理得
，
解得
．
故答案为：0，-1，5；
设图丙中三个空格中的数分别为m，n，h，由题意得
，
整理得
，
解得
．
故答案为：5，4，10．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键．
例15．先阅读下面材料，再完成任务：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数，满足，……①，，……②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则______，______；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么______．
【答案】（1）-1；1；（2）30元；（3）-11
【分析】（1）①+②，可得出的值，①-②，得的值；
（2）设购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本分别使用元、元、元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元”列出方程组，再根据方程组的特征求出，进一步可求出；
（3）根据新定义，将数值代入新定义里，列方程组求解即可得出答案．
【解析】（1）解：
①+②，得
；
①-②，得；
故答案为：-1，1；
（2）设购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本分别使用元、元、元，根据题意，得：
①×②－②得
∴（元）
答：5本日记本共需30元．
（3）
①②得
∴．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，熟练读懂题干中的“整体思想”是解题的关键．
【真题演练】
一、单选题
1．（2014·黑龙江·统考中考真题）今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【答案】B
【分析】设小虎足球队踢平场数是所负场数的k倍，依题意建立方程组，解方程组从而得到用k表示的负场数，因为负场数和k均为整数，据此求得满足k为整数的负场数情况．
【解析】解：设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意得
，
把③代入①②得，
解得：z=（k为整数）．
又∵z为正整数，
∴当k=1时，z=7；
当k=2时，z=5；
当k=16时，z=1．
综上所述，小虎足球队所负场数的情况有3种情况．
故选：B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用．解答方程组是个难点，用了换元法．
2．（2016·山东淄博·中考真题）小明用计算器计算（a+b）c的值，其按键顺序和计算器显示结果如表：
这时他才明白计算器是先做乘法再做加法的，于是他依次按键：
从而得到了正确结果，已知a是b的3倍，则正确的结果是（ ）
A．24B．39C．48D．96
【答案】C
【分析】根据题意得出关于，，的方程组，进而解出，，的值，进而得出答案．
【解析】解：由题意可得：，
则，
解得：，
故．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了计算器的应用以及方程组的解法，正确得出关于，，的等式是解题关键．
3．（2012·四川德阳·中考真题）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）.已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文，，，，.例如：明文1，2，3，4对应的密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为【 】
A．4，6，1，7B．4，1，6，7C．6，4，1，7D．1，6，4，7
【答案】C
【分析】已知结果（密文），求明文，根据规则，列方程组求解：
【解析】依题意，得
，解得．
故选C．
二、填空题
4．（2022·重庆·统考中考真题）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1∶3∶2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为_________．
【答案】4：3
【分析】设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，根据三种特产的总利润是总成本的25%列得，计算可得．
【解析】解：设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，由题意得
，
解得3y=4x，
∴y：x=4：3，
故答案为：4：3．
【点睛】此题考查了三元一次方程的实际应用，正确理解题意确定等量关系是解题的关键．
5．（2005·山东潍坊·中考真题）在潍坊市“朝阳读书”系列活动中，某学校为活动优秀班级发放购书券到书店购买工具书．已知购买1本甲种书恰好用1张购书券，购买1本乙种或丙种书恰好都用2张购书券．某班用4张购书券购书，如果用完这4张购书券共有________________种不同购法（不考虑购书顺序）．
【答案】6
【解析】只购买一种书时，购买方案有：甲4本；或乙2本；或丙2本；共三种买法；购买两种书时，购买方案有：甲2本、乙1本；或甲2本、丙1本或乙1本、丙1本；共三种买法；因此共有3+3=6种买法．
6．（2019·重庆·统考中考真题）某磨具厂共有六个生产车间，第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品，第五、六车间每天生产的产品数量分别是第一车间每天生产的产品数量的和．甲、乙两组检验员进驻该厂进行产品检验，在同时开始检验产品时，每个车间原有成品一样多，检验期间各车间继续生产．甲组用了6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完；乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完后，再用了4天检验完第六车间的所有成品（所有成品指原有的和检验期间生产的成品）．如果每个检验员的检验速度一样，则甲、乙两组检验员的人数之比是________．
【答案】18:19
【分析】设第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品为x个，每个车间原有成品m个，甲组检验员a人，乙组检验员b人，每个检验员的检验速度为c个/天，根据题意列出三元一次方程组，解方程组得到答案．
【解析】解：设第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品为x个，每个车间原有成品m个，甲组检验员a人，乙组检验员b人，每个检验员的检验速度为c个/天，
则第五、六车间每天生产的产品数量分别是和，
由题意得，，
得，，
把分别代入①得，，
把分别代入②得，，
则，
甲、乙两组检验员的人数之比是18:19，
故答案为18：19．
【点睛】本题考查的是三元一次方程组的应用，根据题意正确列出三元一次方程组、正确解出方程组是解题的关键．
7．（2019·四川内江·统考中考真题）若为实数，且，则代数式的最大值是_____．
【答案】26．
【分析】先利用加减消元法求出y,x的值，再把x,y代入代数式，求出z的值，即可解答
【解析】，
(1）﹣（2）得，，
把代入（1）得，，
则，
当时，的最大值是26，
故答案为26．
【点睛】此题考查解三元一次方程，解题关键在于掌握运算法则
8．（2013·湖北孝感·中考真题）如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是_____．
【答案】51．
【解析】寻找规律：∵5﹣1=4，12﹣5=7，22﹣12=10，即相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3，符合二阶递推式的特征．
∴可设石子数y与图形数n的关系式为：．
将（1，1），（2，5），（3，12）代入，得
．∴．
将（4，22）代入验算，符合．∴石子数y与图形数n的关系式为：．
∴当n=6时，．
故答案为：51
【过关检测】
一、单选题
1．下列方程中，三元一次方程共有( )
(1)x + y + z = 3； (2) x · y · z = 3；(3) ；(4) ．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用三元一次方程的定义判断即可．
【解析】解：（1）x + y + z = 3，是三元一次方程；
（2）x · y · z = 3，含有未知数的乘积项，是三元三次方程；
（3），是三元一次方程；
（4）分母含有未知数，是分式方程；
则三元一次方程有2个，
故选：B
【点睛】本题考查三元一次方程的知识，熟练掌握三元一次方程的定义是解题的关键．
2．解方程组时，为转化为二元一次方程组，最恰当的方法是（ ）
A．由②③消去zB．由②③消去yC．由①②消去zD．由①③消去x
【答案】B
【分析】根据解三元一次方程组的步骤先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，从而得出答案．
【解析】解：由②3+③得：11x+10z=35，
∴转化为二元一次方程组为，
故选：B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．
3．三元一次方程有无数个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把x、y和z的值代入方程检验即可．
【解析】因为方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，
所以把A、B、C、D选项中x，y与z的值代入方程检验可得：只有D选项能使方程左右两边相等.
故选：D.
【点睛】考查了三元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
4．解方程组，把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组，需要经过如下的步骤，请你选出正确的步骤（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】对各选项进行分析后即可判断．
【解析】A选项：得，得，故正确；
B选项：得，得，故错误；
C选项：得，得，故错误；
D选项：得，得，故错误.
故选：A.
【点睛】考查了解三元一次方程组，解题关键是利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
5．若，则等于（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据平方和绝对值的非负性得到三元一次方程组，解方程组即可.
【解析】解：由，可得
解得则.
故选A.
【点睛】本题考查平方和绝对值的非负性以及解三元一次方程组，利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题是解题关键．
6．已知满足y＝ax2＋bx＋c的x，y的对应值有x＝3，y＝0；x＝1，y＝0和x＝0，y＝3，则a，b，c三数值为( )．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意把x，y的值分别代入y＝ax2＋bx＋c得出三元一次方程组，求出方程组的解即可．
【解析】代入得：
③代入①，②得
④-⑤得：2a=2，
所以，a=1，
把a=1入⑤得，1+b=-3，
解得，b=-4，
所以，方程组的解为
故选A.
【点睛】本题考查了解三元一次方程组的应用，解此题的关键是能根据题意得出三元一次方程组，题目比较好，难度适中．
7．若方程组的解x和y相等，则a的值是（ ）
A．11B．10C．12D．4
【答案】A
【分析】理解清楚题意，构造三元一次方程组，解出a的数值即可.
【解析】解：根据题意可得： ，
把③代入①得，④，
把④代入②得，，解得a=11.
故本题答案为：A.
【点睛】本题的实质是解三元一次方程组，根据题意构造三元一次方程组并用代入法求解是解题的关键．
8．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少钱( )
A．128元B．130元C．150 元D．160元
【答案】C
【解析】设甲每件x元,乙每件y元，丙每件z元，根据题意可列方程组:

①+②得：
4x+4y+4z=600
等号两边同除以4，得：
x+y+z=150
所以购甲、乙、丙三种商品各一件共需150元钱.
故选C.
9．若且，则k的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用已知得出2y＋z＝kx① ，2x＋y＝kz② ，2z＋x＝ky③，进而求出3（x＋y＋z）＝k（x＋y＋z），再利用提取公因式法分解因式进而求出即可．
【解析】：解：∵，
∴，
∴①＋②＋③得：
3（x＋y＋z）＝k（x＋y＋z），
3（x＋y＋z）−k（x＋y＋z）＝0，
3（x＋y＋z）（3−k）＝0，
因为x＋y＋z不等于0，
所以3−k＝0，
即k＝3．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三元一次方程组、比例的性质，正确将已知变形得出3（x＋y＋z）＝k（x＋y＋z）是解题关键．
10．设，，…，是从1，0，-1这三个数取值的一列数，若++…+=69，，则，，…，中为0的个数是（ ）
A．173B．888C．957D．69
【答案】A
【分析】首先根据（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2018+1）2得到a12+a22+…+a20182+2156，然后设有x个1，y个-1，z个0，得到方程组 ，解方程组即可确定正确的答案．
【解析】解：（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2018+1）2=a12+a22+…+a20182+2（a1+a2+…+a2018）+2018
=a12+a22+…+a20142+2×69+2018
=a12+a22+…+a20142+2156，
设有x个1，y个-1，z个0
∴
化简得x-y=69，x+y=1845，
解得x=888，y=957，z=173，
∴有888个1，957个-1，173个0，
故答案为173．
【点睛】本题考查数字的变化类问题，解题关键是对给出的式子进行正确的变形，难度较大．
二、填空题
11．__________________（填“是”或“不是”）方程组的解．
【答案】不是
【分析】将代入到方程组中去检验即可．
【解析】解：把分别代入到方程组
看左、右两边的值是否相等即可，可发现它是第一、二个方程的解，不是第三个方程的解，所以它不是这个方程组的解．
故答案为：不是．
【点睛】本题考查三元一次方程组的解，解题关键是掌握三元一次方程组解的定义即：使方程组所有方程左右两边都相等的未知数的值为三元一次方程组的解．
12．已知，则___________．
【答案】9：5：3
【分析】先用②-①，得出，再把将代入①，得出，然后代入中计算即可得出答案．
【解析】解：，
②-①，得： ，则，
将代入①得：，则；
因此．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用加减消元或代入消元法把三元一次方程转化为二元一次方程是解题的关键．
13．解三元一次方程组，可_______________，并解得____________________．
【答案】 3
【分析】由①+②+③得到关于x一元一次方程组，即可求得x的值．
【解析】解：
由①+②+③得：
解得3．
故答案为: ；3．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
14．方程组的解是_____．
【答案】
【分析】利用加减消元法求出解即可．
【解析】解：，
①﹣③得：2z＝2，
解得：z＝1，
把z＝1代入②得，y＝2，
把y＝2，z＝1代入①得：x＝3，
则方程组的解为，
故答案为：．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是掌握运算法则．
15．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为_______________．
【答案】##0.75
【分析】将k看做已知数求出x与y，代入2x十3y= 6中计算即可得到k的値．
【解析】解：
①+②得：2x=14k，即x=7k，
将x=7k代入①得：7k+y=5k，即y=-2k，
将x=7k，y=-2k代入2x+3y=6得：14k-6k=6，
解得：k=
故答案为：
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值．
16．解三元一次方程组时，先消去z，得二元一次方程组，再消去y，得一元一次方程2x＝3，解得x＝，从而得y＝_____，z＝____．
【答案】 ， .
【分析】逐项代入求值即可解题.
【解析】解：将x＝代入x+3y=5得,y=,
将x＝,y=代入得z=,
∴y=, z=.
【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉代入求值的方法是解题关键.
17．我校创造节插花艺术比赛中同学们制作了若干个甲、乙、丙三种造型的花篮．甲种花篮由9朵玫瑰花、16朵水仙花和10朵百合花搭配而成，乙种花篮由6朵玫瑰花、8朵水仙花搭配而成．丙种花篮由6朵玫瑰花、12朵水仙花和10朵百合搭配而成．这些花篮一共用了240朵玫瑰花，300朵百合花，则水仙花一共用了_____朵．
【答案】440．
【分析】设甲种花篮a个，乙种花篮b个，丙种花篮c个，根据题意，列出方程组，然后根据方程组求出16a+8b+12c，即可求出水仙花一共用了多少朵.
【解析】设甲种花篮a个，乙种花篮b个，丙种花篮c个，
，
化简，得
，
（①+②）×4，得
16a+8b+12c＝440，
∵水仙花一共用了：16a+8b+12c，
∴水仙花一共用了440朵，
故答案为：440．
【点睛】此题考查的是三元一次方程组的应用，根据三元一次方程组求代数式的值是解决此题的关键.
18．阅读下列材料，然后解答后面的问题．
已知方程组，求x＋y＋z的值．
解：将原方程组整理，得

②－①，得x＋3y＝7，③
把③代入①，得x＋y＋z＝6.
仿照上述解法，解决下面问题．
已知方程组则x＋2y－z的值为________．
【答案】3
【分析】把2x+z看成一个整体，类比题干解法即可求出答案．
【解析】将原方程整理得，
②×2得-6（x+2y-z）+2（2x+z）=-2③，
①-③得8（x+2y-z）=24，
解得x+2y-z=3．
【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组的知识，解题的关键是利用整体法解方程组，此题难度不大．
三、解答题
19．
【答案】
【分析】先把①，②，③的左右两边分别相加，再进行整理即可得出，再利用加减消元法④－①、④－② 、④－③分别求得z、x、y的解即可．
【解析】解：，
①＋②＋③得： ，
即，
④－①得：
④－②得：
④－③得：
故方程组的解为：
【点睛】本题考查加减消元法求解三元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法求出．
20．解三元一次方程组.
【答案】
【分析】②-①得出-2y=4，求出y=-2，把y=-2代入①和③，即可得出一个关于x、z的方程组，七月初方程组的解即可．
【解析】解：
②-①得：-2y=4，
解得：y=-2，
把y=-2代入①得：x-2+z=4，
即x+z=6④，
把y=-2代入③得：4x-4+z=17，
即4x+z=21⑤，
由④和⑤组成一个二次一次方程组 ，
解得： ，
所以原方程组的解是： ．
【点睛】此题考查解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
21．解方程组：.
【答案】
【分析】用加减消元法解.
【解析】，
，得……④
，得……….⑤
由④和⑤组成一个二元一次方程组，
解得，把，
代入②得.解得，
故原方程组的解为.
【点睛】考查了解三元一次方程组，解题关键是利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
22．解方程组：.
【答案】.
【分析】用加减消元的方法即可解题.
【解析】
（2）-（1）×4,得7x=7,即x=1,
（3）-（1）×27得：77y=77,即y=1,把x=1，y=1代入（1），得-2z=-2,即z=1.
∴原方程组的解是： .
【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉加减消元的方法即可求解.
.
23．解方程组时，一马虎的学生把写错而得，而正确的解是,求a+b-c的值．
【答案】-12
【分析】把代入，把代入得到三元一次方程组，即可求出a,b,c，即可求解.
【解析】把代入，把代入
得解得
故a+b-c=-2-4-6=-12
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的解和解三元一次方程组，解题的关键是根据题意列出三元一次方程组.
24．阅读下列解方程组的过程：
解方程组：由①+②+③，得2(x+y+z)＝6，即x+y+z＝3．④
由④-①，得z＝2；由④-②，得x＝1；由④-③，得y＝0．
则原方程组的解为
按上述方法解方程组：
【答案】
【分析】三个方程相加可得x+y+z=12，然后用减法进行计算即可得答案.
【解析】，
①+②+③得：4x+4y+4z+48，即x+y+z=12④，
①-④得：x=3，
②-④得：y=4，
③-④得：z=5，
∴方程组的解为：.
【点睛】本题考查解三元一次方程组，三个方程相加求出x+y+z的值是解题关键.
25．某农场300名职工耕种51公顷田地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及设备资金如下表：
已知该农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？
【答案】种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为15公顷、20公顷和16公顷
【分析】设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜为z公顷，根据题意可得等量关系：①三种农作物的投入资金＝67万元；②三种农作物所需要的人力＝300名职工；③三种农作物的公顷数＝51公顷，根据等量关系列出方程组并求解即可．
【解析】解：设种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为x公顷、y公顷和z公顷，
根据题意得，解得
答：种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为15公顷、20公顷和16公顷.
【点睛】此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，抓住题目中的关键语句，找出等量关系，设出未知数，列出方程组．
26．小明到某服装商场进行社会调查,了解到该商场为了激励营业员的工作积极性,实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法,并获得如下信息:
假设营业员的月基本工资为元,销售每件服装奖励元:
(1)求的值；
(2)若营业员小丽某月的总收入不低于1800元,那么小丽当月至少要卖服装多少件?
(3)商场为了多销售服装,对顾客推荐一种购买方式:如果购买甲3件、乙2件、丙1件，共需315元；如果购买甲1件,乙2件,丙3件，共需285元，某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？
【答案】（1）x=800,y=3；（2）334；（3）150元.
【分析】（1）通过理解题意可知此题存在两个等量关系，即小丽的基本工资+提成=1400元，小华的基本工资+提成=1250元，列方程组求解即可；
（2）根据小丽基本工资+每件提成×件数=1800元，求得件数即可；
（3）理解题意可知，计算出甲、乙、丙各购买4件共多少钱即可．
【解析】解：（1）设营业员的基本工资为x元，买一件的奖励为y元．
由题意得
解得
即x的值为800，y的值为3．
（2）设小丽当月要卖服装z件，由题意得：
800+3z=1800
解得，z=333.3
由题意得，z为正整数，在z＞333中最小正整数是334．
答：小丽当月至少要卖334件．
（3）设一件甲为x元，一件乙为y元，一件丙为z元．
则可列
将两等式相加得4x+4y+4z=600，则x+y+z=150
答：购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元．
【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解；第三问的难点就在于思考的方向对不对，实际上，方向对了，做起来就方便多了．
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需设备资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元