(寒假)浙教版数学八年级寒假讲练第08讲 一元二次方程的解法-因式分解法（2份，原卷版+解析版）

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正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；
理解并掌握因式分解法解一元二次方程的应用
【基础知识】
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
【考点剖析】
考点1：因式分解法解一元二次方程
例1．方程的根为( )
A．B．C．D．或
例2．方程的解是（ ）
A．B．C．D．
例3．解下列方程
(1)
(2)
例4．用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
例5．用适当的方法解方程：
(1)．
(2)．
例6．一元二次方程的根是__________．
考点2：因式分解法解一元二次方程易错题
例7．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是 ( )
A．x1＝1，x2＝3B．x1＝4， x2＝－2
C．x1＝－1， x2 ＝3D．x1＝－4， x2＝2
例8．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）
A．(2x－2)(3x－4)=0 ， ∴2x－2=0或3x－4=0
B．(x+3)(x－1)=1 ，∴x+3=0或x－1=1
C．(x－2)(x－3)=2×3 ， ∴x－2=2或x－3=3
D．x(x+2)=0 ，∴x+2=0
考点3：因式分解法解一元二次方程的应用
例9．如果代数式与的值相等，那么x=______．
例10．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0B．x2+2x﹣20＝0C．x2﹣2x﹣20＝0D．x2﹣2x﹣3＝0
例11．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为______．
例12．已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程的一个根，则该三角形的周长为（ ）
A．11B．21C．11或21D．11或1
考点4：换元法
例13．已知，则的值是（ ）
A．3或B．或2C．3D．
例14．解方程：(x-2013)(x-2014)＝2015×2016．
考点5：分类讨论思想
例15．关于 的一元二次方程 的两实根都是整数，则整数 p的取值可以有（ ）
A．2个
B．4个
C．6个
D．无数个
例16．解方程的解是（ ）
A．B．C．D．
考点6：创新考点
例17．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（ ）
A．0，﹣B．0，C．﹣1，2D．1，﹣2
例18．于实数a，b先定义一种新运算“★”如下：a★b=，若，则实数m等于（ ）
A．6B．2C．2或D．2或或6
例19．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从图中取一列数1，3，6，10，…，记，，，…，那么，则的值是（ ）
A．13B．10C．8D．7
【真题演练】
一、单选题
1．（2022·天津·统考中考真题）方程的两个根为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·贵州遵义·统考中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0B．x2+2x﹣20＝0C．x2﹣2x﹣20＝0D．x2﹣2x﹣3＝0
3．（2020·湖南张家界·中考真题）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2B．4C．8D．2或4
4．（2017·四川凉山·中考真题）若关于x的方程x2＋2x－3＝0与有一个解相同，则a的值为( )
A．1B．1或－3C．－1D．－1或3
5．（2015·辽宁葫芦岛·统考中考真题）已知k、b是一元二次方程的两个根，且k＞b，则函数的图像不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、填空题
6．（2022·广西梧州·统考中考真题）一元二次方程的根是_________．
7．（2022·云南·中考真题）方程2x2+1=3x的解为________．
8．（2019·山东济宁·统考中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根为______．
9．（2021·四川遂宁·统考中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．
三、解答题
10．（2018·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：2(x-3)=3x(x-3)．
11．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
12．（2011·山东济南·中考真题） 已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程:
①② ③（n）
⑴请解上述一元二次方程①、②、③、（n）;
⑵请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．
【过关检测】
一、单选题
1．一元二次方程的解是（ ）
A．B．C．D．
2．方程x（x﹣2）＝3x的解为（ ）
A．x＝5B．x1＝0，x2＝5C．x1＝2，x2＝0D．x1＝0，x2＝﹣5
3．下列方程能用因式分解法求解的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．一元二次方程的解是
A．，B．，
C．，D．，
5．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（ ）
A．0B．1或2C．1D．2
6．如果能分解成的形式，则方程的两根为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程的根，则三角形的周长是（ ）
A．19B．11或19C．13D．11
8．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0B．x2+2x﹣20＝0C．x2﹣2x﹣20＝0D．x2﹣2x﹣3＝0
9．已知实数满足，则代数式的值是( )
A．7B．-1C．7或-1D．-5或3
10．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从图中取一列数1，3，6，10，…，记，，，…，那么，则的值是（ ）
A．13B．10C．8D．7
二、填空题
11．方程的解是____________．
12．三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 _____.
13．已知，求的值，若设，则原方程可变为__________，所以求出z的值即为的值，所以的值为__________．
14．若关于的方程和的解完全相同，则的值为________．
15．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为______．
16．已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．
17．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2＋3x＋m﹣1＝0为“友好方程”，则m的值_____．
18．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当时，a的值是__________．
（2）当时，代数式的值是__________．
三、解答题
19．用因式分解法解下列关于x的方程
（1） （2）
（3） （4）
20．解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
21．用因式分解法解下列方程：
(1)；
(2) ；
(3)；
(4).
22．用因式分解法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
23．阅读下面的例题．
解方程： ．
解：（1）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）．
（2）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）．
∴原方程的解是 ， ．
请参照上述方法解方程 ．
24．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”，如图所示：
根据排列规律，解答下列问题．
(1)第8行第4个数是 ；第15行第3个数是 ；
(2)数“190”在第几行？请说明理由．
25．材料1：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．例如：，都是因式分解．因式分解也可称为分解因式．
材料2：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程称作一元二次方程．一元二次方程的般形式是：（其中，，为常数且）．“转化”是一种重要的数学思想方法，我们可以利用因式分解把部分一元二次方程转化为一元一次方程求解．
例如解方程；
，
，
或，
原方程的解是，．
又如解方程：
，
，
．
原方程的解是．
请阅读以上材料回答以下问题：
（1）若，则_______；_______；
（2）请将下列多项式因式分解：
_______，________；
（3）在平面直角坐标系中，已知点，，其中是一元二次方程的解，为任意实数，求长度的最小值．
小敏：两边同除以，得
，
则．
小霞：移项，得，
提取公因式，得．
则或，
解得，．
已知实数同时满足，求代数式的值．