浙教版（2024）九年级上册第4章 相似三角形4.1 比例线段课时练习

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一、成比例线段的概念
1．比例的项：
在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
二、比例的性质
三、黄金分割
如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）
四、平行线分线段成比例定理
两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．

【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．
五、平行线分线段成比例定理的推论
平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，．

六、平行线分线段成比例定理的推论的逆定理
若或或，则有EF//BC．
【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．
【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明与F重合即可．
考点精讲
一．比例的性质（共7小题）
1．（2022•鄞州区校级开学）已知＝5，则的值是（ ）
A．B．﹣C．D．
【分析】根据已知可得b＝5a，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：∵＝5，
∴b＝5a，
∴＝＝＝﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2．（2022•萧山区二模）若2m＝3n，则的值是 ．
【分析】根据比例的基本性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵2m＝3n，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3．（2021秋•丽水期末）已知2a＝3b，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据比例的基本性质进行计算即可；
（2）利用（1）的结论，然后用设k法进行计算即可．
【解答】解：（1）∵2a＝3b，
∴＝；
（2）∵＝；
∴设a＝3k，b＝2k，
∴＝
＝
＝．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
4．（2021秋•温州月考）计算：
（1）已知3：x＝5：2，求x的值．
（2）已知＝，y≠0，求的值．
【分析】（1）根据比例的性质直接计算即可；
（2）根据比例的性质直接计算即可．
【解答】解：（1）∵3：x＝5：2，
∴5x＝6，
解得x＝；
（2）∵＝，y≠0，
∴5y＝3（2y﹣x），
5y＝6y﹣3x，
y＝3x，
∴．
【点评】本题考查了比例的性质，代数式的求值；熟练掌握比例的性质是解决问题的关键．
5．（2021秋•余杭区月考）已知，求的值．
【分析】直接利用已知设a＝3k，b＝2k，c＝6k，进而代入得出答案．
【解答】解：设＝＝＝k，则a＝3k，b＝2k，c＝6k，
＝＝﹣．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数表示出各数是解题关键．
6．（2022•鄞州区校级开学）已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值．
【分析】设＝＝＝k，得出x＝2k，y＝3k，z＝4k，再根据2x+3y﹣z＝18，求出k的值，然后得出x，y，z的值，从而得出x+y+z的值．
【解答】解：设＝＝＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∵2x+3y﹣z＝18，
∴4k+9k﹣4k＝18，
∴k＝2，
∴x＝4，y＝6，z＝8，
∴x+y+z＝4+6+8＝18．
【点评】此题考查比例的性质，关键是设＝＝＝k，得出k的值．
7．（2021秋•江干区校级期中）根据条件求值．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【分析】（1）把化成+1，再把＝代入计算，即可得出答案；
（2）根据＝，得出y＝3x，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）∵＝，
∴＝+1＝+1＝．
（2）∵＝，
∴y＝3x，
∴＝＝﹣．
【点评】此题考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
二．比例线段（共7小题）
8．（2021秋•宁波期中）下面四组线段中，成比例的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4B．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
C．a＝4，b＝6，c＝8，d＝10D．a＝
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、1×4＝2×2，故选项符合题意；
B、2×5≠3×4，故选项不符合题意；
C、4×10≠6×8，故选项不符合题意；
C、×3≠×，故选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
9．（2021秋•西湖区校级月考）已知线段a是线段b，c的比例中项，b＝4cm，c＝9cm，则a为（ ）cm．
A．36B．﹣36C．6D．﹣6
【分析】根据题意可得a2＝bc，代入数值，解答出即可，注意线段为正值．
【解答】解：由题意得，a2＝bc，
∵b＝4cm，c＝9cm，
∴a2＝36，
∴a＝6或﹣6（舍去）；
故选：C．
【点评】本题主要考查了比例线段，注意理解比例中项的定义．
10．（2021秋•下城区校级月考）比例尺为1：2000000的地图上，A、B两地间的图上距离为2厘米，则两地间的实际距离是（ ）千米．
A．0.4B．4C．40D．400
【分析】设两地间的实际距离是x厘米，根据比例尺的定义得到2：x＝1：2000000，再利用比例的性质求出x，然后把单位化为千米即可．
【解答】解：设两地间的实际距离是x厘米，
根据题意得2：x＝1：2000000，
解得x＝4000000cm，
所以两地间的实际距离是40千米．
故选：C．
【点评】本题考查了比例线段，理解比例尺的定义是解决问题的关键．
11．（2022•钱塘区一模）已知线段a＝+1，b＝﹣1，则a，b的比例中项线段等于 2 ．
【分析】根据比例中项的定义直接列式求值，问题即可解决．
【解答】解：设a、b的比例中项为x，
∵a＝+1，b＝﹣1，
∴x2＝ab＝（+1）（﹣1）＝（）2﹣12＝5﹣1＝4
∴x＝＝2（舍去负值），
即a、b的比例中项线段等于2，
故答案为：2．
【点评】该题主要考查了比例中项等基本概念问题和根式的乘法；熟练掌握比例中项的概念和根式的化简方法是解决问题的关键．
12．（2021秋•衢江区期末）在比例尺为1：5000的地图上，甲、乙两地相距20cm，则它们的实际距离为 1000cm ．
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，列比例式即可求得甲乙两地的实际距离．要注意统一单位．
【解答】解：设甲乙两地的实际距离为x cm，则
1：5000＝20：x，
解得x＝100000，
100000cm＝1000m．
即它们的实际距离为1000m．
故答案为：1000cm．
【点评】考查了比例线段，熟练运用比例尺进行计算，注意单位的转换．
13．（2021秋•鹿城区校级期中）（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．
（2）已知x：y＝4：3，求的值．
【分析】（1）设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
（2）设x＝4k，y＝3k，代入计算，于是得到结论．
【解答】解：（1）设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a＝3，b＝6，
x2＝3×6＝18，
x＝（负值舍去）．
∴线段a，b的比例中项是3．
（2）设x＝4k，y＝3k，
∴＝＝﹣．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
14．（2021秋•射阳县校级期末）已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【分析】（1）利用a：b：c＝3：2：6，可设a＝3k，b＝2k，c＝6k，则3k+2×2k+6k＝26，然后解出k的值即可得到a、b、c的值；
（2）根据比例中项的定义得到x2＝ab，即x2＝4×6，然后根据算术平方根的定义求解．
【解答】解：（1）∵a：b：c＝3：2：6，
∴设a＝3k，b＝2k，c＝6k，
又∵a+2b+c＝26，
∴3k+2×2k+6k＝26，解得k＝2，
∴a＝6，b＝4，c＝12；
（2）∵x是a、b的比例中项，
∴x2＝ab，
∴x2＝4×6，
∴x＝2或x＝﹣2（舍去），
即x的值为．
【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便．
三．黄金分割（共9小题）
15．（2022•富阳区一模）已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（ ）
A．B．C．3﹣D．﹣1
【分析】根据黄金比值为计算即可．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP＝×AB＝×2＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金比值为是解题的关键．
16．（2021秋•舟山期末）某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（ ）米．
A．4.14B．2.56C．6.70D．3.82
【分析】设该车车身总长为xm，由黄金分割点的定义得到汽车倒车镜到车尾的水平距离为x米，再根据题意列方程x﹣x＝1.58，然后解方程即可．
【解答】解：设该车车身总长为x米，
∵汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，
∴汽车倒车镜到车尾的水平距离为x米，
∴x﹣x＝1.58，
解得：x≈4.14，
即该车车身总长约为4.14米．
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
17．（2021秋•嘉兴期末）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，若AB＝4，则AP的值为 2﹣2 ．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段＝AB×，代入计算即可．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，AB＝4，
∴AP＝4×＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
【点评】此题考查了黄金分割点的概念．识记黄金分割的公式是解题的关键．
18．（2018秋•长兴县期末）若线段AB＝6cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为 3（﹣1） cm（结果保留根号）．
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
【解答】解：根据黄金分割点的概念和AC＞BC，得：AC＝AB＝3（﹣1）．
故本题答案为：3（﹣1）．
【点评】此题考查了黄金分割点的概念，要熟记黄金比的值．
19．（2021•金东区校级模拟）黄金比，这个比用四舍五入法精确到0.01的近似数是 0.62 ．
【分析】把黄金比按要求用四舍五入法即可得出答案．
【解答】解：≈0.62，
故答案为：0.62．
【点评】本题考查了黄金比以及近似数，熟记黄金比是解题的关键．
20．（2022•西湖区模拟）已知线段AB＝2，点P为线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则AP﹣BP＝ 2﹣4 ．
【分析】根据黄金分割的概念、黄金比值计算即可．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP＝AB＝，
则BP＝2﹣AP＝3﹣，
∴AP﹣BP＝（﹣1）﹣（3﹣）＝2﹣4，
故答案为：2﹣4．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．
21．（2021•西湖区校级三模）如图，已知矩形ABCD．
（1）作出正方形ABFE，点E，点F分别在线段AD，BC上（尺规作图）；
（2）若AD＝8，点E为线段AD的黄金分割点且AE＞ED，求AE的长．
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据黄金分割的比值可得答案．
【解答】解：（1）如图，
首先以A为圆心，以AB的长为半径画弧，交AD于E，
再以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC于F，
最后连接EF，正方形ABFE即为所求．
（2）∵AD＝8，点E为线段AD的黄金分割点，
∴AE＝•AD＝•8＝4（）．
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握角平分线的尺规作图是解题的关键．
22．（2021秋•拱墅区校级期中）（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c．
（2）如图，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝4，求AC的长．
【分析】（1）由c是a，b的比例中项，得到c2＝ab，代入即可求出答案；
（2）由黄金分割点的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）∵c是 a，b的比例中项，
∴c2＝ab＝4.5×2＝9，
∴c1＝3，c2＝﹣3，
∴c为3或﹣3；
（2）∵C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝4，
∴AC＝AB＝×4＝2﹣2．
【点评】本题考查了黄金分割点的概念以及比例中项，正确运用黄金比进行计算是解题的关键．
23．（2021•杭州模拟）如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？
【分析】（1）要求AM的长，只需求得AF的长，又AF＝PF﹣AP，PF＝PD＝＝，则AM＝AF＝﹣1，DM＝AD﹣AM＝3﹣；
（2）根据（1）中的数据得：＝，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．
【解答】解：（1）在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2，由勾股定理知PD＝＝＝，
∴AM＝AF＝PF﹣AP＝PD﹣AP＝﹣1，
DM＝AD﹣AM＝3﹣．
故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；
（2）点M是AD的黄金分割点．
由于＝，
∴点M是AD的黄金分割点．
【点评】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．
四．平行线分线段成比例（共10小题）
24．（2021秋•温州期末）如图，l1，l2，l3是一组平行线，直线AC，DF分别与这组平行线依次相交于点A，B，C和点D，E，F．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平行线分线段成比例和题目中的条件解答即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∴＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查平行线分线段成比例，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用平行线分线段成比例解答．
25．（2021秋•越城区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AE＝4，EC＝2，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，写出比例线段，代入线段的值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，用此定理写出比例线段是解题关键．
26．（2022•拱墅区校级开学）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝EC，BD＝4，AE＝3，则AB的长为 2+4 ．
【分析】利用平行线分线段成比例可得，代入可求得AD，利用线段的和差可得AB的长．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD＝EC，
∴AD2＝AE•BD＝3×4＝12，
∴AD＝2，
∴AB＝AD+BD＝2+4．
故答案为：2+4．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键．
27．（2022•镇海区校级开学）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2，则BD的长为 4 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
∵AC＝6，CE＝3，DF＝2，
∴＝，
解得：BD＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
28．（2021秋•余杭区月考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，，射线ED和CB的延长线交于点F，则的值为 ．
【分析】过点B作BH∥EF交AC于H，根据平行线分线段成比例定理求出，进而求出＝，再根据平行线分线段成比例定理计算即可．
【解答】解：过点B作BH∥EF交AC于H，
则＝＝，
∵＝，
∴＝，
∵BH∥EF，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键．
29．（2021•西湖区校级三模）正方形纸片ABCD中，E，F分别是AB、CB上的点，且AE＝CF，CE交AF于M．若E为AB中点，则＝ 2 ；若∠CMF＝45°，则＝ +1 ．
【分析】①如图1中，延长交DC的延长线于点T．构造全等三角形解决问题即可．②根据正方形的性质得到AB＝BC，等量代换得到BE＝BF，根据全等三角形的性质得到AM＝CM，EM＝FM，推出点M在点A和点C的对称轴上，连接BD，过M作MG⊥BC于G，则点M在BD上，根据等腰三角形的判定得到BE＝BM，设BG＝GM＝x，得到BE＝BM＝x，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：①如图1中，延长交DC的延长线于点T．
在正方形ABCD中，
∴∠ABC＝∠BD＝∠FCT＝90°，AB＝CB，
∵AE＝CF，AE＝EB，
∴BE＝BF＝CF，
在△BAF和△CTF中，
，
∴△ABF≌△CTF（ASA），
∴AB＝CT，
∴CT＝2AE，
∵AE∥CT，
∴＝＝2，
②如图2中，
在△ABF与△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠BAF＝∠BCE，
在△AEM与△CFM中，
，
∴△AEM≌△CFM（AAS），
∴AM＝CM，EM＝FM，
∴点M在点A和点C的对称轴上，
连接BD，过M作MG⊥BC于G，
则点M在BD上，
∴∠ABM＝∠CBM＝45°，
∵∠AME＝∠CMF＝45°，
∴∠AME＝∠CBM，
∴∠BEM＝∠BAM+∠AME＝∠BME＝∠CBM+∠BCM，
∴BE＝BM，
∵MG⊥BC，
∴BG＝GM，
设BG＝GM＝x，
∴BE＝BM＝x，
∵MG∥BE，
∴△CMG∽△CEB，
∴＝＝，
∴＝＝+1，
故答案为：2，+1．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
30．（2021秋•拱墅区月考）如图，直线a∥b∥c，＝5，则＝ ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵直线a∥b∥c，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
31．（2021秋•定海区校级月考）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．求证：AF：FD＝AD：DB．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，＝，推出＝即可．
【解答】解：∵EF∥CD，DE∥BC，
∴＝，＝，
∴＝，
即AF：FD＝AD：DB．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意对应成比例．
32．（2021秋•下城区校级期中）如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝6，BC＝10，EF＝9，求DE的长．
【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出DE的长．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3．AB＝6，BC＝10，
∴＝＝＝，
∵EF＝9，
∴DE＝．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
33．（2021秋•嵊州市校级月考）如图：AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝5，BC＝10，AE＝9，AB＝12．求EG，FG的长．
【分析】在△ABC中，根据平行线分线段成比例求出EG，在△BAD中，根据平行线分线段成比例求出EF，即可求出FG＝EG﹣EF．
【解答】解：∵△ABC中，EG∥BC，
∴△AEG∽△ABC，
∴，
∵BC＝10，AE＝9，AB＝12，
∴＝，
∴EG＝，
∵△BAD中，EF∥AD，
∴＝，
∵AD＝5，AE＝9，AB＝12，
∴＝，
∴EF＝．
∴FG＝EG﹣EF＝﹣＝．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
一、单选题
1．（2021·温州市实验中学九年级月考）如图，已知AB∥CD∥EF且AC∶CE＝3∶4，BF＝14，则DF的长为（ ）
A．8B．7C．6D．3
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【详解】解：由题意：∵AB∥CD∥EF，
∴AC∶CE＝BD∶DF＝3∶4，
所以设BD＝3x，DF＝4x，
所以3x＋4x＝14，即x＝2，
∴DF＝4x＝8
故答案选：A
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，关键是找出对应的比例线段，写出比例式，用到的知识点是平行线分线段成比例定理．
2．（2021·温州市实验中学九年级月考）若＝，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先将变形为﹣1，再代入计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴＝﹣1＝﹣1＝．
故选：D．
【点睛】考查了比例的性质，解题的关键是将变形为．
3．（2019·浙江温州·九年级期末）如图，在中，E，F，G依次是对角线上的四等分点，连结并延长交于点M，连结并延长交于点H．若，的长为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】根据AD∥BC，得到，根据四等分点和MG得到CG，可得MC=MF=4，再证明可得HF，可得MH．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴，
∵E，F，G依次是对角线BD上的四等分点，MG=1，
∴，
∴CG=3，
∴MF=MC=MG+CG=4，
∵AD∥BC，
∴，
∴HF=4，
∴MH=MF+HF=8，
故选D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的性质，解题的关键是根据平行线得到相应的比例式．
4．（2020·浙江九年级期末）已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（ ）
A．AB2＝AC2+BC2B．BC2＝AC•BA
C．D．
【答案】C
【详解】黄金分割定义知，,所以AC2=AB.
设AB=1，AC=x,
,
解得：x=. 选C.
5．（2021·浙江九年级期末）有一种有趣的读数法：如图，在图纸上确定纵轴与横轴，从交点O处开始依次在两轴上画出单位相同的标度，再作两轴交角的角平分线OP，OP上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,拿一根直尺，使得它的两端分别架在横轴和纵轴上，且OA=a，OB=b，读出直尺与OP的交点C的标度就可以求出OC的长度．当a=4，b=6时，读得点C处的标度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通过分别向横轴和纵轴作辅助线得到等腰三角形，建立线段之间的对应关系，同时利用平行线分线段成比例的推理，建立比例关系式即可求解．
【详解】解：如图所示，过C点分别向OA、OB作垂线，垂足分别为点D、点E，
因为∠AOB=90°，OP平分∠AOB，
∴∠BOC=∠AOC=45°，
∴∠BOC=∠OCE=∠AOC=∠OCD=45°，
∴OE=CE=CD=OD,
设OE=CE=CD=OD=x,
∴BE=6-x，
∵CE∥OA，
∴,
∴，
∴，
∵OP上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,
∴点C处的标度等于CD的长，即为，
故选：A．
【点睛】本题综合考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义和平行线分线段成比例定理的推论等内容，解决本题的关键是正确理解题意与图形，能在图形中得到对应等量关系，能正确作出辅助线构造相似三角形等，本题蕴含了数形结合等思想方法．
二、填空题
6．（2021·杭州市采荷中学九年级二模）线段，点为线段的黄金分割点（），则的长为______．
【答案】
【分析】根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可．
【详解】解：线段，点是线段的黄金分割点，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
7．（2021·浙江九年级月考）如图，在△ABC中，点D在AC边上，AD：DC=1：2，点E是BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，BC=12，则BF=_________．
【答案】3
【分析】过E作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出DG：DC=1：2，根据已知和平行线分线段成比例得出EG：FC=2：3，再根据BC=12，即可得出BF的值．
【详解】解：过E作EG∥BC，交AC于G，
∵EG∥BC，E为BD中点，BC=12，
∴DG=CG，，
∴EG=6，
又∵AD：DC=1：2，
∴AG：AC=2：3，
∵EG∥BC，
∴，
∴FC=9，
∵BC=12，
∴BF=BC-FC=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．
8．（2021·浙江衢江·九年级期末）数2和8的比例中项是___．
【答案】
【分析】根据比例中项的概念：比例中项的平方等于两个数的乘积，设2和8的比例中项是x，列出方程计算即可．
【详解】设2和8的比例中项是x，
，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】题主要考查了比例中项的概念，设出未知数列出方程是解题的关键．
9．（2021·温州市实验中学九年级月考）若线段a＝4，b＝9，则线段a，b的比例中项为____________．
【答案】6
【分析】由四条线段a，x，x，b成比例，根据成比例线段的定义解答即可．
【详解】解：设线段a，b的比例中项为c,c>0,
根据比例中项原则：c2＝ab，
∴c2＝4×9，
∴c＝6
故答案：6．
【点睛】本题考查成比例线段、比例中项等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
10．（2020·浙江拱墅·树兰中学九年级月考）如图，在中，是边上的一点，为的中点，联结并延长交于点，则__________
【答案】1：9
【分析】过D做DM∥AC，得出△AEG≌△DMG，进而得出EG=MG，再根据平行线分线段成比例定理即可得出BG与EG关系，从而得出1:9．
【详解】过D做DM∥AC，
∴∠EAG=∠MDG，∠AEG=∠DMG
∵G为AD的中点
∴AG=DG
∴△AEG≌△D MG
∴EG=MG，
∵BD:DC=4:1
∴BM:EM=BD:DC=4:1
∴BM=4EM=8EG
∴BG=9EG
∴EG: BG =1:9
故答案是1:9
【点睛】本题主要考察了全等三角形和平行线成比例定理等知识点，根据已知条件做出合适的辅助线是解题关键．
11．（2021·浙江衢州·）将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点O重合，AB在x轴正半轴上，且，点E在AD上，，将这副三角板整体向右平移_______个单位，C，E两点同时落在反比例函数的图象上．
【答案】
【分析】分别求出，，假设向右平移了m个单位，将平移后的店代入中，列出方程进行求解即可．
【详解】过E作EN⊥DB, 过C作CM⊥BD，
∴，
由三角板及 ，可知，BD=12，CM=BM=DB=6，
∴ ，
∵，，
∴EN//OB，
∵
∴，
∴．
设将这副三角板整体向右平移m个单位，C，E两点同时落在反比例函数的图象上．
∵，，
∴平移后，，
∴，
∴，
解得．
经检验：是原方程的根，且符合题意，
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊三角形以及平移规律，平行线分线段成比例，反比例函数的性质，掌握平移规律，反比例函数的性质是解题的关键．
三、解答题
12．（2019·浙江温州·九年级期末）（1）已知，求的值．
（2）已知线段，求线段a，b的比例中项．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据比例的基本性质求解即可；
（2）根据比例中项的定义得到结果，注意负值舍去．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵线段，
∴，
∴线段a，b的比例中项为（负值舍去） ．
【点睛】本题主要考查比例线段，熟练掌握线段的比例中项的定义是解题的关键．
13．（2021·浙江杭州·）如图，AD平分，过点D作于点M，的延长线于点N，且．
（1）求证：．
（2）若，求BD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）6．
【分析】（1）根据AD平分，，，可得，，利用，易证，即有；
（2）根据，，可得，即是等腰直角三角形，得到，利用，根据平行线的性质有，即有：．
【详解】解：（1）∵AD平分，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴
（2）∵
∴
又∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴,
即有：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质，平行线分线段成比例等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
14．（2020·浙江九年级期末）已知：正方形中，为边中点，为边中点，交于，交于，连接．
（1）求证：；
（2）求的值；
【答案】（1）见解析；（2）6：4：5
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
（2）分别求出、、即可解决问题；
【详解】解：（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
．
（2），，
，
，
在中，，，
，
，
同法可得，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15．（2021·浙江婺城·）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B在格点上，点C是线段AB与格线的交点．利用网格和无刻度的直尺按下列要求画图．
（1）在图1中，过点B作AB的垂线．
（2）在图2中，过点C作AB的垂线．
【分析】（1）直接利用网格作出所求垂线即可；
（2）结合（1）的作图，再利用平行线分线段成比例定理作图即可．
【详解】解：（1）BD即为所求；
（2）CE即为所求．
【点睛】本题主要考查了过点作直线的垂线，灵活运用网格进行分析是解答本题的关键．
16．（2021·浙江宁波·九年级一模）如图①，在的方格图中，矩形的顶点均在格点上，已知，，点为的中点，连结．
（1）求的长；
（2）请用无刻度的直尺在边上找一点，使得，并求的长；
（3）如图②，在（2）的条件下，点为线段上一动点，过作，分别交，于点，，连结和，求的最小值．
【答案】（1）；（2）见解析，；（3）
【分析】（1）利用勾股定理即可求解；
（2）取格点G，连接AG交CD于F，再利用平行线分线段成比例定理即可求得AF的长；
（3）将沿方向平移至处，当，，三点共线时，有最小值．过作交的延长线于点，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）∵为的中点，，
∴．
又∵，，
∴；
（2）作图如下．
由图得，，，
∵，
∴，
∴△AGE是等腰直角三角形，
∴∠EAF=45°，
∵GH∥AD，
∴，即，
∴；
（3）将沿方向平移至处，
∴四边形是平行四边形，且点是定点，
则，
当，，三点共线时，有最小值．
∵MN∥AF，且AM∥FN，
∴四边形AMNF是平行四边形，
∴，∠45°，
过作交的延长线于点．
∴，
则．
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，作出恰当的辅助线，找出所求问题需要的条件．
17．（2021·浙江瑞安·）矩形ABCD中，AF、CE分别平分∠BAD，∠BCD，并交线段BC，AD于点F，E．当动点P从点A匀速运动到点F时，动点Q恰好从点C匀速运动到点B．记AP＝x，BQ＝y，且y与x满足关系式：y＝﹣x＋10．
（1）判断AF与CE的位置关系，并说明理由．
（2）求AF，CF的长度．
（3）①当PQ平行于△ECD的一边时，求所有满足条件的x的值．
②连接DB，对角线DB交PQ于点O，若点O恰好为PQ的三等分点，请直接写出x的值．
【答案】（1）AF∥CE，理由见解析；（2）CF＝6，AF＝4；（3）①x的值为，，4；②x的值为
【分析】（1）直接利用角平分线的性质再结合矩形的性质进而可得出AFCE；
（2）由AP＝x，BQ＝y，且y与x满足关系式：y＝﹣x＋10.可得BC＝10，AF＝4，根据角平分线的性质再结合矩形的性质求出∠BAF＝45°，可得出BF＝AF＝4，即可得CF＝6；
（3）①分三种情况：PQEC；PQCD；PQED，根据点P、点Q的位置结合y与x的关系式即可求解；
②过点P作PN⊥AB于N，PM⊥BC于M，OT⊥BC于T，OG⊥AB于G，OG与PM交于点H，分两种情况根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：（1）AFCE，
理由：∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，
∴∠FAE＝∠BAE，∠FCE＝∠FCD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE＝∠FCD＝90°，AD∥BC，
∴∠FAE＝∠FCE，∠FCE＝∠CED，
∴∠FAE＝∠CED，
∴AFEC；
（2）∵AP＝x，BQ＝y，且y与x满足关系式：y＝﹣x＋10．
当x＝0时，y＝10，即BC＝10，
当y＝0时，x＝4，此时AP＝4＝AF，
∵四边形ABCD是矩形，AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝45°，
∴BF＝AF•sin45°＝AF＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝6；
（3）①分三种情况：
PQEC时，
由（1）可知AFEC，
∵点P在线段AF上，点Q在线段BC上，
∴此时点Q与点F重合，y＝BQ＝BF＝4，
∴4＝﹣x＋10．解得：x＝；
PQCD时，如图：
∵四边形ABCD是矩形，AF平分∠BAD，∠B＝90°，
∴∠AFB＝45°，ABPQCD，
∴＝＝，
∴＝，即，
解得：x＝；
PQED时，
∵点P在线段AF上，点Q在线段BC上，
∴此时点P与点F重合，x＝AF＝4，
综上，所有满足条件的x的值为，，4；
②过点P作PN⊥AB于N，PM⊥BC于M，OT⊥BC于T，OG⊥AB于G，OG与PM交于点H，
∵△ANP是等腰直角三角形，
∴AN＝PN＝GH＝BM＝x，MQ＝y﹣x，
∵点O恰好为PQ的三等分点，
∴分两种情况：
情况一：PO＝PQ时，
∵OGBC，OTPM，
∴，，
∴HO＝MQ＝，OT＝PM＝BN＝，
∴OG＝HO＋HG＝＋x＝=﹣，
∵点O在BD上，
∴，
∴
解得x=-（舍去）
情况二：QO＝PQ时，
∴HO＝MQ＝，OT＝PM＝BN＝，
∴OG＝HO＋HG＝＋x＝﹣x＋，
∵点O在BD上，
∴，
∴
解得x＝，
∴x的值为．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、一次函数的的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题关键是运用方程思想和分类讨论思想解决问题．
比例的性质
示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质：或
或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质：
已知，则当时，.