人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用同步达标检测题

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用同步达标检测题，共19页。试卷主要包含了2　不等式，给出下列条件，下列不等式正确的是等内容，欢迎下载使用。
2.2.4 均值不等式及其应用
基础过关练
题组一 对均值不等式的理解

1.不等式(x-2y)+1x-2y≥2成立的前提条件为( )
A.x≥2yB.x>2y
C.x≤2yD.x0,y>0,且x+y≤4,则下列不等式中恒成立的是( )
A.1x+y≤14B.1x+1y≥1
C.xy≥2D.1xy≥1
3.给出下列条件:①ab>0;②ab0,b>0;④a0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是( )
A.1ab>12B.1a+1b≤1
C.ab≥2D.1a2+b2≤18
题组二 利用均值不等式比较大小
6.若a,b∈R,则a2+b2与2|ab|的大小关系是( )
A.a2+b2≥2|ab|B.a2+b2=2|ab|
C.a2+b2≤2|ab|D.a2+b2>2|ab|
7.已知a>0,b>0,且a≠b,则a+b2,ab,a2+b22,2aba+b中最小的是( )
A.a+b2B.ab
C.a2+b22D.2aba+b
8.若00,则函数y=t2-4t+1t的最小值为( )
A.-2B.12C.1D.2
16.(2020贵州遵义高一下期中)已知x∈0,14,则x(1-4x)取得最大值时x的值为( )
A.14B.16C.18D.110
17.(2020江西师范大学附属中学高一下期中)函数y=3+x+x21+x(x>-1)的最小值是( )
A.23B.23-1
C.23+1D.23-218.(2020福建师大附中高二上月考)已知a>0,b>0,若不等式2a+1b≥m2a+b恒成立,则m的最大值等于( )
A.10B.9C.8D.7
题组四 利用均值不等式进行证明
19.设x>0,求证:x+22x+1≥32.
20.已知a,b,c为不全相等的正实数.求证:a+b+c>ab+bc+ca.
21.已知a,b,c为不全相等的正实数,且abc=1.求证:a+b+c0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.005x)倍.现将在A生产线少投资的x万元全部投入B生产线,且每万元创造的利润为1.5(a-0.013x)万元,其中a>0.
(1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,求x的取值范围;
(2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润,求a的最大值.
能力提升练
一、单项选择题
1.(2020吉林白城洮南第一中学高一第一次月考,)若关于x的不等式x2+2x0)
C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.1x2+1>1(x∈R)
10.()下列结论正确的是( )
A.当x>0时,x+1x≥2
B.当x>2时,x+1x的最小值是2
C.当x0,y>0时,xy+yx≥2
11.()设a>0,b>0,下列不等式恒成立的是( )
A.a2+1>a
B.a+1ab+1b≥4
C.(a+b)1a+1b≥4
D.若1a+1b=1,则ab≤4
三、填空题
12.()若x>1,则不等式x2+3x-1的最小值为 .
13.()已知x>-1,则函数y=(x+10)(x+2)x+1的最小值为 .
14.(2020福建连城一中高一上月考,)若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立,则a的取值范围是 .
15.(2020浙江丽水高一期末,)若正数a,b满足a2+4b2+1ab=4,则a= ,b= .
四、解答题
16.(2020山东济南外国语学校高一期中,)已知函数y=x2-x+m.
(1)当m=-2时,求不等式y>0的解集;
(2)若m>0,y0,求证:a2b+b2c+c2a≥a+b+c.
18.(2020安徽六安舒城中学高一上第二次月考,)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q=3x+1x+1(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元,每件产品的销售价为“平均每件产品生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和,该企业生产的产品恰好当年完成销售.
(1)试写出年利润W(万元)关于年广告费x(万元)的函数解析式;
(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大年利润为多少?
19.()设a>b>0,求a2+1ab+1a(a-b)的最小值.
20.()为迎接北京冬奥会,某校要设计如图所示的一张矩形宣传广告牌,该广告牌含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目,这三个矩形栏目的面积之和为60 000 cm2,四周空白的宽度为10 cm,栏目与栏目之间的中缝空白的宽度为5 cm,怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸(单位:cm),使整个矩形广告牌面积最小?
21.(2020山东济南历城二中十月月考,)已知关于x的不等式x2-2mx+m+2≤0(m∈R)的解集为M.
(1)当M为空集时,求实数m的取值范围;
(2)在(1)的条件下,求m2+2m+5m+1的最小值;
(3)当M不为空集,且M⊆{x|1≤x≤4}时,求实数m的取值范围.
答案全解全析
第二章 等式与不等式
2.2 不等式
2.2.4 均值不等式及其应用
基础过关练
1.B 因为均值不等式成立的前提条件是各项均为正,所以x-2y>0,即x>2y.故选B.
2.B 解法一:取x=1,y=2,满足x+y≤4,排除A、C、D,故选B.
解法二:∵0a2+b2.
9.A A.∵x2>0,3x2>0,∴x2+3x2≥2x2·3x2=23,当且仅当x2=3x2,即x2=3时,等号成立,故A项正确.
B.当a=1,b=1时,a2+b20,b>0时,ab≤a+b2,故不正确;
D.当a0时,a+4a≥4成立,故不正确.
10.答案 x≤a+b2
解析 由题意可得(1+x)2=(1+a)(1+b)≤1+a+1+b22=1+a+b22,当且仅当a=b时,等号成立,所以1+x≤1+a+b2,即x≤a+b2.
11.A 当a,b为正实数时,由ab≤a+b2,得
ab≤a+b22=222=1,当且仅当a=b=1时,等号成立.
∴ab的最大值为1.
12.C ∵x>0,y>0,x+3y=1,∴1x+13y=1x+13y(x+3y)=2+3yx+x3y≥2+23yx·x3y=4,当且仅当3yx=x3y,即x=3y=12时取等号,故1x+13y的最小值为4.故选C.
13.C ∵x>2,∴x-2>0,
∴y=x+1x-2=(x-2)+1x-2+2≥2(x-2)·1x-2+2=4,
当且仅当x-2=1x-2(x>2),即x=3时,等号成立,∴a=3.
14.D y=x2-4x+52x-4=(x-2)2+12(x-2)=12(x-2)+1x-2,
因为x≥52,所以x-2>0,
所以y=x2-4x+52x-4=12(x-2)+1x-2≥12×2(x-2)·1x-2=1.
当且仅当x-2=1x-2,即x=3时取等号.
所以y=x2-4x+52x-4有最小值,最小值为1.
15.A 因为t>0,所以y=t2-4t+1t=t+1t-4≥2t·1t-4=-2,当且仅当t=1t,即t=1时,等号成立.故函数的最小值为-2.故选A.
16.C 因为x∈0,14,所以4x>0,1-4x>0,
所以x(1-4x)=14·4x(1-4x)≤14·4x+1-4x22=116,
当且仅当4x=1-4x,即x=18时,等号成立.
17.B ∵x>-1,∴x+1>0,
∴y=3+x+x21+x=31+x+x=31+x+x+1-1≥23-1,
当且仅当31+x=x+1,即x=3-1时等号成立,
所以y=3+x+x21+x(x>-1)的最小值为23-1.故选B.
18.B 因为a>0,b>0,2a+1b≥m2a+b,
所以m≤2a+1b(2a+b)=5+2ba+2ab.
又因为5+2ba+2ab≥5+4=9,当且仅当a=b时等号成立,所以m≤9,故m的最大值为9.
19.证明 因为x>0,所以x+12>0,
所以x+22x+1=x+1x+12=x+12+1x+12-12≥2x+12·1x+12-12=32.
当且仅当x+12=1x+12,即x=12时,等号成立.
20.证明 ∵a>0,b>0,c>0,
∴a+b≥2ab>0①,b+c≥2bc>0②,c+a≥2ca>0③,
∴2(a+b+c)≥2(ab+bc+ca),
即a+b+c≥ab+bc+ca.
又∵a,b,c为不全相等的正实数,
∴①②③式中三个等号不能同时成立.
∴a+b+c>ab+bc+ca.
21.证明 因为a,b,c都是正实数,且abc=1,
所以1a+1b≥21ab=2c,
1b+1c≥21bc=2a,
1a+1c≥21ac=2b,
以上三个不等式相加,得
21a+1b+1c≥2(a+b+c),又因为a,b,c不全相等,所以此式不能取等号,
所以a+b+c0,h>0),则有2a+2(2h)+2(ah)=32,即a+2h+ah=16,∵a+2h+ah≥22aℎ+ah,当且仅当a=2h时,等号成立,∴16≥22aℎ+ah,即(aℎ)2+22·aℎ-16≤0,
解得00,即m1+m2>10.
所以顾客实际所得黄金质量大于10 g.
25.答案 400
解析 设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为320000+2n2+48nn=320000n+2n+48≥2320000n·2n+48=1 600+48=1 648,当且仅当320000n=2n,即n=400时,等号成立,故一共使用了400天.
26.解析 (1)由题意,得1.5(1+0.005x)(500-x)≥1.5×500,整理,得x2-300x≤0,解得0≤x≤300,又x>0,故00,∴a≤x125+500x+1.5恒成立,
又x125+500x≥4,当且仅当x=250时等号成立,
∴00,b>0,所以ab+16ba≥2ab·16ba=8(当且仅当a=4b时,等号成立),由题意得x2+2x0,所以3xy=x+y+1≥2xy+1,所以3xy-2xy-1≥0,即3(xy)2-2xy-1≥0,所以(3xy+1)(xy-1)≥0,
所以xy≥1,所以xy≥1,当且仅当x=y=1时,等号成立,所以xy的最小值为1.
8.D 由正数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2,
∴xyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-3≤12xy·4yx-3=1,
当且仅当x=2y>0时取等号,此时z=2y2.
∴2x+1y-2z=22y+1y-22y2=-1y-12+1≤1,当且仅当y=1时取等号,
即2x+1y-2z的最大值为1.
二、多项选择题
9.BC 对于A,当x=12时,x2+14=x,所以A不一定成立;对于B,当x>0时,x+1x≥2x·1x=2,当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立,所以B一定成立;对于C,不等式显然恒成立,所以C一定成立;对于D,因为x2+1≥1,所以00时,x>0,x+1x≥2,当且仅当x=1时取等号,结论正确;在B中,x+1x≥2x·1x=2,当且仅当x=1时取等号,而x>2,故等号取不到,因此当x>2时,x+1x的最小值不是2,结论错误;在C中,因为x0,则y=4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3≤-2×(5-4x)·15-4x+3=1,当且仅当5-4x=15-4x,即x=1时取等号,结论错误;显然D正确.故选AD.
11.ABC ∵a2+1-a=a-122+34>0,
∴a2+1>a,故A恒成立;
∵a+1a≥2,b+1b≥2,
∴a+1ab+1b≥4,当且仅当a=b=1时,等号成立,故B恒成立;
∵a+b≥2ab,1a+1b≥21ab,∴(a+b)1a+1b≥4,当且仅当a=b时,等号成立,故C恒成立;
∵a>0,b>0,∴1=1a+1b≥21a·1b,∴ab≥4,当且仅当a=b=2时,等号成立,故D不恒成立.故选ABC.
三、填空题
12.答案 6
解析 因为x>1,所以x-1>0,
所以x2+3x-1=(x-1)2+2(x-1)+4x-1=(x-1)+4x-1+2≥2(x-1)·4x-1+2=6,
当且仅当x=3时取等号,所以x2+3x-1的最小值为6.
13.答案 16
解析 由x>-1得x+1>0,则y=[(x+1)+9][(x+1)+1]x+1
=(x+1)2+10(x+1)+9x+1=(x+1)+9x+1+10≥2(x+1)·9x+1+10=6+10=16,当且仅当x+1=9x+1,即x=2或x=-4(舍去)时,等号成立,所以ymin=16.
14.答案 aa≥15
解析 因为x>0,所以xx2+3x+1=1x+1x+3≤12x·1x+3=15,
当且仅当x=1x(x>0),即x=1时等号成立,故a的取值范围是aa≥15.
15.答案 1;12
解析 因为a2+4b2+1ab=4,a2+4b2+1ab=(a-2b)2+4ab+1ab≥(a-2b)2+24ab·1ab=(a-2b)2+4≥4,当且仅当a-2b=0且4ab=1ab,即a=1,b=12时,等号成立,所以a=1,b=12.
四、解答题
16.解析 (1)当m=-2时,y=x2-x+m=x2-x-2,∴当y>0时,x2-x-2>0,
由x2-x-2=0,得x1=-1,x2=2,
故不等式y>0的解集为{x|x2}.
(2)∵y0,
∴1a+4b=1a+4b(a+b)
=ba+4ab+5
≥2ba·4ab+5=9,
当且仅当ba=4ab,即a=13,b=23时,等号成立.
故1a+4b的最小值为9.
17.证明 ∵a>0,b>0,c>0,
∴a2b,b2c,c2a均大于0,∴a2b+b≥2a2b·b=2a①,b2c+c≥2b2c·c=2b②,c2a+a≥2c2a·a=2c③,当且仅当a=b=c时,等号同时成立,
①②③三式相加得a2b+b+b2c+c+c2a+a≥2a+2b+2c,∴a2b+b2c+c2a≥a+b+c.
18.解析 (1)由题意可得,产品的生产成本为(32Q+3)万元,每万件产品的销售价为32Q+3Q×150%+xQ×50%万元,
∴年销售收入为32Q+3Q×150%+xQ×50%·Q=32(32Q+3)+12x万元,
∴W=32(32Q+3)+12x-(32Q+3)-x=12(32Q+3-x)=-x2+98x+352(x+1)(x≥0).
(2)令x+1=t(t≥1),
则W=-(t-1)2+98(t-1)+352t
=50-t2+32t.
∵t≥1,∴t2+32t≥2t2·32t=8,
当且仅当t2=32t,即t=8时,等号成立,
∴W的最大值为50-8=42,此时x=7.
即当年广告费投入7万元时,企业年利润最大,最大年利润为42万元.
19.解析 因为a>b>0,所以a2+1ab+1a(a-b)=a2-ab+ab+1ab+1a(a-b)=ab+1ab+a(a-b)+1a(a-b)≥2+2=4,
当且仅当ab=1,a(a-b)=1,即a=2,b=22时,等号成立.所以当a=2,b=22时,a2+1ab+1a(a-b)取得最小值4.
20.解析 设每个矩形栏目的高为a cm,宽为b cm(其中a>0,b>0),则ab=20 000,
∴b=20000a,
∴整个矩形广告牌的高为(a+20)cm,宽为(3b+30)cm,
∴整个矩形广告牌的面积S=(a+20)(3b+30)=30(a+2b)+60 600
=30a+40000a+60 600
≥30×2a×40000a+60 600
=12 000+60 600=72 600,
当且仅当a=40000a,即a=200时,取等号,
此时b=100.
故当矩形栏目的高为200 cm,宽为100 cm时,可使整个矩形广告牌的面积最小.
21.解析 (1)∵M为空集,
∴Δ=4m2-4(m+2)