高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用第2课时同步测试题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用第2课时同步测试题，共7页。
1．如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于( )
A.eq \f(25,4) B.eq \f(25,2)
C．eq \f(5,2) D．eq \f(5\r(2),2)
解析：选A.设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，
由题意知c＝5，则a2＋b2＝25，
则三角形的面积S＝eq \f(1,2)ab.
因为25＝a2＋b2≥2ab，所以ab≤eq \f(25,2)，
则三角形的面积S＝eq \f(1,2)ab≤eq \f(1,2)×eq \f(25,2)＝eq \f(25,4)，当且仅当a＝b＝eq \f(5\r(2),2)时取等号，即这个直角三角形面积的最大值为eq \f(25,4).
2．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( )
A．x＝eq \f(a＋b,2) B.x≤eq \f(a＋b,2)
C．x>eq \f(a＋b,2) D．x≥eq \f(a＋b,2)
解析：选B.由条件知A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，所以(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)
≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(（1＋a）＋（1＋b）,2)))eq \s\up12(2).
所以1＋x≤1＋eq \f(a＋b,2)，故x≤eq \f(a＋b,2).
3．(多选)设a>0，b>0，下列不等式恒成立的是( )
A．a2＋1>a B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,b)))≥4
C．(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4 D．若eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，则ab≤4
解析：选ABC.由于a2＋1－a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)>0，
所以a2＋1>a，故A恒成立；
由于a＋eq \f(1,a)≥2，b＋eq \f(1,b)≥2，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,b)))≥4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故B恒成立；
由于a＋b≥2eq \r(ab)，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(1,ab))，所以(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故C恒成立；
因为a>0，b>0，所以1＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(1,a)·\f(1,b))，所以ab≥4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，故D不恒成立．故选ABC.
4．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们可用该图证明( )
A．如果a>b，b>c，那么a>c
B．如果a>b>0，那么a2>b2
C．对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立
D．如果a>b，c>0那么ac>bc
解析：选C.可将直角三角形的两直角边长记作a，b，斜边长为c(c2＝a2＋b2)．则外围的正方形的面积为c2，也就是a2＋b2，四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为2ab.
故对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．
5．已知m＝a＋eq \f(1,a－2)(a>2)，n＝x＋4(xn B.m2，所以a－2>0.
m＝a＋eq \f(1,a－2)＝a－2＋eq \f(1,a－2)＋2≥2eq \r(（a－2）·\f(1,a－2))＋2＝4，
当且仅当a－2＝eq \f(1,a－2)，即a＝3时，等号成立．
因x1时，不等式eq \f(x2,x－1)的最小值是________．
解析：eq \f(x2,x－1)＝x＋1＋eq \f(1,x－1)＝x－1＋eq \f(1,x－1)＋2≥2eq \r(（x－1）·\f(1,x－1))＋2＝4，
当且仅当x－1＝eq \f(1,x－1)，即x＝2时，等号成立．
答案：4
7．如图有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.
解析：设阴影部分的高为x dm，
则宽为eq \f(72,x) dm，四周空白部分的面积是y dm2.
由题意，得y＝(x＋4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(72,x)＋2))－72＝8＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(144,x)))
≥8＋2×2eq \r(x·\f(144,x))＝56(dm2)．
当且仅当x＝eq \f(144,x)，即x＝12 dm时等号成立．
答案：56
8．规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙b＝eq \r(ab)＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊙k＝3，则k的值为________，此时函数y＝eq \f(k⊙x,\r(x))的最小值为________．
解析：由题意得1⊙k＝eq \r(k)＋1＋k＝3，即k＋eq \r(k)－2＝0，所以eq \r(k)＝1或eq \r(k)＝－2(舍去)，所以k＝1，y＝eq \f(k⊙x,\r(x))＝eq \f(\r(x)＋x＋1,\r(x))＝1＋eq \r(x)＋eq \f(1,\r(x))≥1＋2＝3，
当且仅当eq \r(x)＝eq \f(1,\r(x))，即x＝1时，等号成立．
答案：1 3
9．设a>0，b>0，且a＋b＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)，证明：a＋b≥2.
证明：由于a>0，b>0，
则a＋b＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)，
由于a＋b>0，则ab＝1，
即有a＋b≥2eq \r(ab)＝2，
当且仅当a＝b＝1时取得等号，
所以a＋b≥2.
10．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)≥9.
证明：因为a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，
所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)
＝eq \f(a＋b＋c,a)＋eq \f(a＋b＋c,b)＋eq \f(a＋b＋c,c)
＝3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)＋\f(b,c)))
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时，等号成立．
[B 能力提升]
11．若实数x>0，y>0，且x＋4y＝xy，则x＋y的最小值为( )
A．7 B.8
C．9 D．10
解析：选C.根据题意，实数x>0，y>0，若x＋4y＝xy，则eq \f(1,y)＋eq \f(4,x)＝1，
x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y)＋\f(4,x)))＝eq \f(x,y)＋eq \f(4y,x)＋5≥2eq \r(\f(x,y)×\f(4y,x))＋5＝9，
当且仅当x＝2y，即x＝6，y＝3时等号成立，
即x＋y的最小值为9，故选C.
12．已知不等式(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,x)＋\f(a,y)))≥16对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．1 B.2
C．4 D．6
解析：选C.(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,x)＋\f(a,y)))＝4＋a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4y,x)＋\f(ax,y)))，因为x＞0，y＞0，a＞0，所以eq \f(4y,x)＋eq \f(ax,y)≥2eq \r(\f(4y,x)·\f(ax,y))＝4eq \r(a)，当且仅当eq \f(4y,x)＝eq \f(ax,y)时取等号．由已知可得4＋a＋4eq \r(a)≥16，即a＋4eq \r(a)－12≥0，解得eq \r(a)≥2或eq \r(a)≤－6(舍去)，所以a≥4，即a的最小值为4.
13．(2020·扬州期末)如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________(单位：cm2)．
解析：如图所示，连接OC，
设|OB|＝x(0