北师大版（2024）九年级下册4 解直角三角形课后复习题

这是一份北师大版（2024）九年级下册4 解直角三角形课后复习题，共37页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，已知等边三角形ABC边长为2，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC长的最小值是( ）
A．B．C．3D．
2．若锐角三角形内的点满足，则称点为的费马点．如图，在中，，，则的费马点到，，三点的距离之和为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，正方形中，E、F分别为边、上的点，且，过F作，交于G，过H作于M，若，，则下列结论中：
①；②；③；④，
其中结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在DC边上，且CE＝2DE，连接AE交BD于点G，过点D作DF⊥AE，连接OF并延长，交DC于点P，过点O作OQ⊥OP分别交AE、AD于点N、H，交BA的延长线于点Q，现给出下列结论：①∠AFO＝45°；②OG＝DG；③DP2＝NH•OH；④sin∠AQO＝；其中正确的结论有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
5．如图，一根米长的竹竿斜靠在墙边，倾斜角为，当竹竿的顶端下滑到点时，底端向右滑到了点，此时倾斜角为，则的长为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
6．如果α是锐角，且sinα=，那么cs（90°﹣α）的值为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，，当已知和a时，求c，应选择的关系式是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线在第一象限内的图像经过OB边的中点C，则点B的坐标是（ ）
A．（ 1,）B．（，1 ）
C．（ 2,）D．（,2 ）
9．如图，在Rt△ABC中，BC＝5，tan∠ABC＝2，点E是边AC上一点，将△ABC沿斜边AB翻折得到△ABD，点C落在点D处，点E的对应点为F，点G是BD上一点，若CE＝DG，且∠FEG＝45°，则EG的长度为（ ）

A．B．C． D．
10．在中，，则的长为（ ）
A．6B．10C．D．16
11．如图，在平行四边形中，，的平分线与交于点，且点为边的中点，连结，作，垂足为，若，则的边长为（ ）
A．2B．C．D．3
12．如图，小黄站在河岸上的点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船的俯角是，若小黄的眼睛与地面的距离是米，米，平行于所在的直线，迎水坡AB的坡度为，坡长米，则此时小船到岸边的距离CA的长为（ ）米．（，结果保留两位有效数字）
A．11B．8.5C．7.2D．10
二、填空题
13．如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F．若BC=2，则EF的长为 ．
14．如图，在正方形中， 点分别在边上， 且， 交于点，交于点，的延长线交的延长线于点，且，连接．若，，则 ．
15．如图，中，，点D为AB上一点，过点D作，垂足为E，且，若，，则线段 ．
16．如图，在四边形中，，，，，点在上运动，且，点分别在上，连接，若，，则的值为 ．
17．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，则AB：BC＝ ．
三、解答题
18．如图，点B在数轴上对应的数是，以原点O为圆心、的长为半径作优弧，使点A在原点的左上方，且，点C为的中点，点D在数轴上对应的数为8．
(1)_____________；
(2)点P是优弧上任意一点，则的最大值为___________；
(3)在（2）的条件下，当最大，且时，固定的形状和大小，以原点O为旋转中心，顺时针旋转．
①连接，AD，在旋转过程中，与AD有何数量关系，并说明理由；
②直接写出在旋转过程中，点C到所在直线的距离d的取值范围．
19．如图，是的直径，，垂足为，交于点．
(1)用尺规作图：过点作，垂足为（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
(2)在（1）的条件下，求证：；
(3)若点是的中点（如图），求的值．
20．如图，在梯形中，其中底边，，连接对角线，为等边三角形，动点P从C点出发，沿折线方向以1个单位长度每秒匀速运动，同时Q点从B点出发，沿折线方向以1个单位长度每秒匀速运动，当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．设运动时间为x秒，P、Q两点间的距离为y；
(1)请直接写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)已知图象如图所示，若时，请直接写出x的取值范围．
21．小超在观看足球比赛时，发现了这样一个问题：两名运动员从不同的位置出发，沿着不同的方向，以不同的速度直线奔跑，什么时候他们离对方最近呢？
小超通过一定的测量，并选择了合适的比例尺，把上述问题抽象成如下数学问题：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D以1cm/s的速度从点C向点B运动，点E以2cm/s的速度从点A向点B运动，当点E到达点B时，两点同时停止运动，若点D，E同时出发，多长时间后DE取得最小值？
小超猜想当DE⊥AB时，DE最小，探究后发现用几何的知识解决这个问题有一定的困难，于是根据函数的学习经验，设C，D两点间的距离为xcm，D，E两点间的距离为ycm，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小超的探究过程，请补充完整：
（1）由题意可知线段AE和CD的数量关系是 ；
（2）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（3）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）结合画出的函数图象，解决问题，小组的猜想 ；（填“正确”或“不正确”）当两点同时出发了 s时，DE取得最小值，为 cm．
22．庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行，习近平总书记重要讲话引发各界青年热烈反响．某校为庆祝共青团成立100周年升起了共青团旗帜，李优和贺基旭想用所学知识测量该旗帜的宽度，他们进行了如下操作：如图，首先，李优在处竖立一根标杆，地面上的点、标杆顶端和点在一条直线上，米，米，米；然后，贺基旭手持自制直角三角纸板，使长直角边与水平地面平行，调整位置，恰好在点时点在一条直线上，米，米，已，，，，点在同一水平直线上，点在上，求旗帜的宽度．
23．如图1，在矩形中，，.是边上一点，设，点在射线上，满足，连接，，，，与交于点.

(1)当为的中点时，求证：；
(2)判断线段与的位置关系，并说明理由；
(3)若，求的长；
(4)如图2，在（1）的条件下，将绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为，.与射线交于点，与射线交于点，直接写出与之间的数量关系.
24．如图，在中，，分别以点，为圆心，长为半径在的右侧作弧，两弧交于点，分别连接，，，记与的交点为．
(1)补全图形，求的度数并说明理由；
(2)若，，求的长．
参考答案：
1．A
【分析】利用等边三角形的性质得出C点位置，进而求出OC的长．
【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，
当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短，
∴△ABC是等边三角形，
∴CE过点O，E为AB中点，则此时EO=AB=1，
故OC的最小值为：OC=CE-EO=BCsin60°-×AB=-1．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理以及等边三角形的性质，得出当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短是解题的关键．
2．A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理和解直角三角形，过作于点，过分别作，则，证明，所以点是的费马点，再通过解直角三角形即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】过作于点，过分别作，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，
∴点是的费马点，
∵，，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
即的费马点到，，三点的距离之和为，
故选：．
3．D
【分析】根据题目条件即可证明，即可判定①；根据得，，，由得到即可判定②；延长到Q，使，连接，证明，推出，求出，得出是等腰直角三角形，由勾股定理得，即可判定③；连接，证明，,根据，求出，根据，即可判定④．
【详解】四边形是正方形
，
在和中
①正确；
，
，即
②正确；
延长到Q，使，连接，如图：
四边形是正方形
，
在和中
是等腰直角三角形
③正确；
连接，如图：
，
设
则
在中
，即
，
④正确．
①②③④都正确．
故答案选：D．
【点睛】本题综合考查了正方形和三角形，解决问题的关键是添加辅助线，熟悉掌握正方形的边角性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的定义．
4．D
【分析】①由“ASA”可证△ANO≌△DFO，可得ON＝OF，由等腰三角形的性质可求∠AFO＝45°；
②由“AAS”可证△OKG≌△DFG，可得GO＝DG；
③通过证明△AHN∽△OHA，可得，进而可得结论DP2＝NH•OH；
④由外角的性质可求∠NAO＝∠AQO，由勾股定理可求AG，即可求sin∠AQO＝＝．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝DO＝CO＝BO，AC⊥BD，
∵∠AOD＝∠NOF＝90°，
∴∠AON＝∠DOF，
∵∠OAD+∠ADO＝90°＝∠OAF+∠DAF+∠ADO，
∵DF⊥AE，
∴∠DAF+∠ADF＝90°＝∠DAF+∠ADO+∠ODF，
∴∠OAF＝∠ODF，
∴△ANO≌△DFO（ASA），
∴ON＝OF，
∴∠AFO＝45°，故①正确；
如图，过点O作OK⊥AE于K，
∵CE＝2DE，
∴AD＝3DE，
∵tan∠DAE＝，
∴AF＝3DF，
∵△ANO≌△DFO，
∴AN＝DF，
∴NF＝2DF，
∵ON＝OF，∠NOF＝90°，
∴OK＝KN＝KF＝FN，
∴DF＝OK，
又∵∠OGK＝∠DGF，∠OKG＝∠DFG＝90°，
∴△OKG≌△DFG（AAS），
∴GO＝DG，故②正确；
∵∠DAO＝∠ODC＝45°，OA＝OD，∠AOH＝∠DOP，
∴△AOH≌△DOP（ASA），
∴AH＝DP，
∵∠ANH＝∠FNO＝45°＝∠HAO，∠AHN＝∠AHO，
∴△AHN∽△OHA，
∴，
∴AH2＝HO•HN，
∴DP2＝NH•OH，故③正确；
∵∠NAO+∠AON＝∠ANQ＝45°，∠AQO+∠AON＝∠BAO＝45°，
∴∠NAO＝∠AQO，
∵OG＝GD，
∴AO＝2OG，
∴AG＝＝OG，
∴sin∠NAO＝sin∠AQO＝，故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质是解题关键．
5．D
【分析】根据三角函数得出，进而得出，利用解答即可．
【详解】解：一根米长的竹竿斜靠在墙边，倾斜角为，，
，
米，
同理可得米，
米，
故选：D．
【点睛】此题考查解直角三角形的应用，关键是根据三角函数得出，的长解答．
6．B
【分析】根据：cs（90°﹣α）= sinα．
【详解】cs（90°﹣α）= sinα=．
故选B
【点睛】本题考核知识点：三角函数.解题关键点：理解cs（90°﹣α）= sinα.．
7．A
【分析】根据三角函数的性质求解即可．
【详解】在中，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查解三角形，解题的关键是熟练运用三角函数的定义求解．
8．C
【详解】试题分析：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，设点B的坐标为（a，b）（a＞0），∵三角形OAB是等边三角形，∴∠BOA=60°，在Rt△BOD中，tan60°=，∴b=a，∵点C是OB的中点，∴点C坐标为（,），∵点C在双曲线y=上，∴a2=，∴a=2，∴点B的坐标是（2，2），故选C．
考点：反比例函数综合题．
9．D
【分析】过点G作MG⊥EF于点N，AB和EF交于点O，利用解直角三角形和勾股定理求出AC，AB的长，再利用折叠的性质，易证CE=DF=DG=x，EF⊥AB，∠ABC=∠ABD，从而可证得∠ABC=∠ABD=∠DGM，再利用解直角三角形及勾股定理可求出MD，MG，MF的长；再由∠MFN=∠DGM，利用解直角三角形可证得MN=2FN，AO=2OF，从而可表示出OF，EF的长；然后根据EN＋FN=EF，建立关于x的方程，解方程求出x的值，利用解直角三角形求出EG的长．
【详解】过点G作MG⊥EF于点N，交AD于M，AB和EF交于点O，

∵ 在Rt△ABC中，BC=5，tan∠ABC=2，
∴，
解之：AC=10．
∴；
∵将△ABC沿斜边AB翻折得到△ABD，点C落在点D处，点E的对应点为F，
∴CE=DF=DG=x，EF⊥AB，∠ABC=∠ABD，
∵MG∥AB，
∴∠ABC=∠ABD=∠DGM，
∴
∴MD=2x，
∴Rt△MDG中．，
∴MF=MD-DF=2x-x=x=DF，
∵∠MFN+∠FMN=90°，∠MGD+∠FMN=90°，
∴∠MFN=∠MGD，
∴，
∴MN=2FN，
在Rt△MFN中，MF=，MN=2FN，
，即，
∴，
∵∠FEG=45°，且EF⊥AB，MG∥AB，
∴△ENG是等腰直角三角形，
∴
∵AF=10-x，
在Rt△AOF中，，
∴AO=2OF，
，即，
∴，
∴EF=2OF=，
∵EN＋FN=EF，
∴，
解之：，
∵Rt△ENG中，∠FEG=45°，
∴．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
10．B
【分析】根据余弦的定义得到，即可求．
【详解】解：在中，，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
11．A
【分析】过点F作FG⊥AB，结合平行四边形的性质和角平分线的定义证明AD=FD=2，然后利用锐角三角函数求解直角三角形
【详解】解：过点F作FG⊥AB
∵在平行四边形中，AB=CD=4，AB∥CD
∴∠DFA=∠FAB
∵为边的中点，
∴DF=2
又∵的平分线与交于点
∴∠DAF=∠FAB
∴∠DFA=∠DAF
∴AD=FD=2
∵
∴∠DEF=90°
在Rt△DEF中，
∴∠DAF=∠FAB=∠DAF=30°，EF=
同理AE=
∴AF=
在Rt△AFG中，FG=，
∴BG=4-3=1
∴在Rt△BFG中，
故选：A
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形，题目的综合性较强，难度中等．
12．D
【分析】把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到CA的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH﹣AE=EH即为AC长度．
【详解】过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．
∵i==43，设BE=4x，则AE=3x，AB=5x．
∵AB=10.5，∴x=2.1，∴BE=8.4，AE=6.3．
∵DG=1.6，BG=0.7，∴DH=DG+GH=1.6+8.4=10，AH=AE+EH=6.3+0.7=7．
在Rt△CDH中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=10，tan30°==，∴CH≈17．
又∵CH=CA+7，即17=CA+7，∴CA=17﹣7=10（米）．
故选D．
【点睛】本题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．
13．﹣1
【详解】解：过F点作FG∥BC,
∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴BD=CD==1,∠BAD=∠CAD=∠BAC=15°,AD⊥BC,
∵∠ACE=∠BAC,
∴∠CAD=∠ACE=15°,
∴AF=CF,
∵∠ACD=（180°-30°）÷2=75°,
∴∠DCE=75°-15°=60°,
在Rt△CDF中,
AF=CF==2,DF=CD•tan60°=,
∵FG∥BC,
∴GF：BD=AF：AD,即GF：1=2：（2+）,
解得GF=4-2,
∴EF：EC=GF：BC,即EF：（EF+2）=（4-2）：2,
解得EF=﹣1
故答案为:﹣1.
14．
【分析】此题重点正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，连接，可证明，得，，可推导出，再证明，则，而，所以，设，则，由勾股定理得可求得，，因此，熟练掌握知识点的应用及正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
【详解】连接，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，(不符合题意，舍去)，
∴，，
∴，
故答案为：．
15．1
【分析】作，由，得，设，证明可得，在中，由勾股定理得：，解得，，，即可解决问题．
【详解】解：作于H，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理和一元二次方程的求解，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．
16．
【分析】过点作于点，过点作于点，设，，先解得，，根据得，证明为等腰直角三角形得，，，再解得，，再由得，解得，，然后证明为等腰直角三角形得，，由此得，则，最后根据可得出答案．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，如下图所示：
设，，
在中，，，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，，
由勾股定理得：，
在中，，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
在中，，
，
由勾股定理得：，
，，，
，
又，
，
为等腰直角三角形，
，由勾股定理得：，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，平行线的性质，理解等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形的方法与技巧是解决问题的关键．
17．
【分析】如图连接EC，设AB＝a，BC＝b则CD＝2b．只要证明∠D＝60°，根据，即可解决问题．
【详解】解：如图连接EC，设AB＝a，BC＝b则CD＝2b．
由题意四边形ABCE是矩形，
∴CE＝AB＝a，∠A＝∠AEC＝∠CED＝90°，
∵∠BCF＝∠DCF＝∠D，
又∵∠BCF+∠DCF+∠D＝180°，
∴∠D＝60°，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为．
【点睛】本题考查直角梯形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，利用角相等这个信息解决问题，发现特殊角是解题的突破口，属于中考常考题型．
18．(1)
(2)30°
(3)
【分析】（1）利用扇形的面积公式计算即可．
（2）如图中，当与相切时，的值最大．解直角三角形即可解决问题．
（3）①如图中，连接，．证明，即可解决问题；②如图3，当中点P旋转至点B时，点C到所在直线距离最小为2，如图4，当中点P旋转至点Q时，点C到所在直线距离最大为6，即可得到取值范围．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴（大于半圆的扇形），
故答案为：．
（2）解：如图1中，当与相切时，的值最大．
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
同法当与相切时，，
∴的最大值为．
故答案为：．
（3）解：①结论：．理由：如图中，连接，．
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②由题意，，
如图，当中，点P旋转至点B时，点C到所在直线距离最小为2；
如图，当中，点P旋转至点Q时，点C到所在直线距离最大为6；
∴在旋转过程中，点C到所在直线的距离的取值范围为．
【点睛】本题考查了求扇形的面积，切线的性质，特殊角的三角函数，相似三角形的判定与性质，图形的性质等知识，综合性较强，难度较大，熟知相关知识，根据题意画图，并添加辅助线是解题关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法进行求作；
（2）根据直径所对的圆周角是直角，得，则，再根据等角的余角相等，证明，从而根据两角对应相等，就可证明三角形相似；
（3）在直角，只要找到与的关系即可．由于，是的中点，所以垂直平分，则；设，则，根据勾股定理求得的长，从而求解．
【详解】（1）解：如图，
（2）证明：是的直径
，
，
又，
，
，
，
；
（3）解： ，是的中点，
垂直平分，
，
设，则，
，
．
【点睛】本题主要考查了作垂线的方法、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及锐角三角函数，掌握相关定义以及性质是解题的关键．
20．(1)
(2)画出的图象见解析；当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）
(3)
【分析】（1）分两种情况考虑：点P在边上运动时，易得是等边三角形，则可求得的长；点P在边上运动时，设交于点E，利用三角函数知识即可求得；最后确定函数式；
（2）由函数式即可画出函数图象，根据图象即可写出一条性质；
（3）求出两个函数图象的交点，借助图象即可得x的取值范围．
【详解】（1）解：当点P在边上运动时，则；
由题意知：；
为等边三角形，
，；
，
是等边三角形，
，
；
当点P在边上运动时，设交于点E，如图，
，
，
；
，
；
，，
；
，
，
，
，
即；
综上，；
（2）解：画出的函数图象如下：
（3）解：当时，，整理得，
解得：，
故当时，．
【点睛】本题是几何与函数的综合，考查了一次函数图象与性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角函数等知识，分类讨论与数形结合是关键．
21．（1）AE＝2CD；（2）3.0；（3）详见解析；(4) 不正确，4，2.7．
【分析】（1）根据时间和速度可得AE和CD的长，可得结论；
（2）根据图象可得结论；
（3）画图象即可；
（4）作辅助线，根据勾股定理计算DE的长，根据二次函数的最值可得结论．
【详解】解：（1）由题意得：AE＝2x，CD＝x
∴AE＝2CD；
故答案为AE＝2CD；
（2）根据图象可得：当x＝3时，y＝3.0，
故答案为3.0；
（3）如图所示：
（4）如图所示，过D作DG⊥AB于G，
由（1）知：CD＝x，则BD＝8﹣x，
sin∠B＝，
∴，DG＝，BG＝，
∴EG＝AE+BG﹣10＝2x+﹣10＝，
∴y＝＝＝，
∵0≤x≤5，
∴当x＝4时，y有最小值是＝≈2.7，
故答案为不正确，4，2.7．
【点睛】本题属于三角形和函数的综合题，考查了勾股定理，函数图象，直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用勾股定理解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题．
22．旗帜的宽度是1.3米
【分析】
本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键；
如图，延长交于，则，证明和，可得和的值，最后由线段的和差可得结论．
【详解】解：如图，延长交于，则，
即
同理得：，
，
米．
答：旗帜的宽度是1.3米．
23．(1)见解析；
(2)，理由见解析；
(3)或；
(4)
【分析】（1）根据矩形的性质和平行线的性质证明，推出，得出，即可证得结论；
（2）根据矩形的性质和锐角三角函数可求出，作于点H，如图，求出，，即可求得，进而可得结论；
（3）分两种情况：当点N在点B左侧时，点N在点B右侧时，先求出，再根据30度角的直角三角形的性质求解；
（4）由（1）的结论可求得，即，进而可证明，推出，设，，然后代入上式整理即得结论.
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）关系为：，理由如下：
∵在矩形中，，，，
∴，
∴，
作于点H，如图，

∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
在直角三角形中，∵，
∴，
∴，
∴；
（3）当点N在点B左侧时，∵，
∴，
∴，
∴，
在直角三角形中，，
∴；
当点N在点B右侧时，∵，
∴，
∴，
∴，
在直角三角形中，，
∴；
综上，或；

（4）∵，
∴，
∵，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，
则，
∵，
∴，
整理，得：，
即与之间的数量关系为：.

【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、30度的直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，综合性强、难度较大，熟练掌握相关图形的判定和性质是解题的关键.
24．(1)图形见解析；；理由见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了解直角三角形、菱形的性质与判定，掌握作图过程中的弧和线段长度的转化是解题的关键．
（1）由作图可得四边形为菱形，由此可得的度数；
（2）在中，利用锐角三角函数的定义即可求出的长，从而可得出的长．
【详解】（1）解：补全的图形如图所示，，理由如下：
，
，
由作图可知，，
四边形为菱形，
，
．
（2）四边形为菱形，
，
在中，，，
，
．
x/cm
0
1
2
3
4
5
y/cm
6.0
4.8
3.8

2.7
3.0
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
D
D
B
A
C
D
B
题号
11
12








答案
A
D