九年级上学期期中数学试题

这是一份九年级上学期期中数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共48分）
1. 下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
2. 一元二次方程的解是（ ）
A. B. C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：
∴或，
解得：，，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
3. 将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，如图，则的大小为（ ）
A. 80°B. 100°C. 120°D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【详解】由旋转的性质可知∠B=∠ADE，AB=AD，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B=∠ADB=∠ADE=40°，利用邻补角即可求出∠EDP的度数．
解：由旋转的性质可知：∠ADE=∠B=40°，AB=AD，∠BAD=100°.
∵AB=AD,∠BAD=100°，
∴∠B=∠ADB=40°，
∴∠EDB=∠ADE +∠ADB=40°+40°=80°
∴∠EDP=180°-∠EDB=180°-80°=100°.
故选B.
4. 如果0是关于的一元二次方程的一个根，那么的值是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把代入一元二次方程得，解方程得，然后根据一元二次方程的定义得到的值．
【详解】解：把代入一元二次方程
得，
解得，
而，
所以的值为3．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
5. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数平移规律“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，
得到的抛物线解析式为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象的平移法则是解题的关键．
6. 已知一元二次方程，根据下列表格中的对应值：
可判断方程的一个解的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】观察表格可知，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间．
【详解】解：根据表格可得：方程的一个解的范围是，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的估算，弄清表格中的数据是解此题的关键．
7. 函数与在同一坐标系内的图象是图中的（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用过，过，可知两图象交于，故选项B符合题意．
【详解】解：∵与，
∴过，过，只有B选项符合题意，
故选：B
【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图象综合．熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．
8. 一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以（每次降价的百分率），列出函数关系式，即可求解．
【详解】解：∵每次降价的百分率都是x，
∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是．
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
9. 某地有两人患了流感，经过两轮传染后又有70人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人
【答案】A
【解析】
【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，第一轮传染后有人患了流感，第二轮有人，根据两轮后共有72人，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，第一轮传染后有人患了流感，第二轮有人，依题意，得
解得：（舍去）
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
10. 如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形，据此即可求解．
【详解】解：作AM⊥BC于M，如图：
重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形．
∵△ABC是等边三角形，AM⊥BC，
∴AB＝BC＝3，BM＝CM＝BC＝，∠BAM＝30°，
∴AM＝BM＝，
∴△ABC的面积＝BC×AM＝×3×＝，
∴重叠部分的面积＝△ABC的面积＝；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外心、等边三角形的性质以及旋转的性质，理解连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都为全等的等边三角形是关键．
11. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④关于的方程有四个根，且这四个根的和为4，其中正确的结论有（ ）

A. ①②③B. ②③④C. ①④D. ②③
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴的位置以及图象与轴的交点得到的取值，即可判断①；根据抛物线与轴的交点个数即可判断②；当时，的值最大，从而得到当时，，即可判断③；程有2个根，方程有2个根，由根与系数的关系即可判断④，从而得到答案．
【详解】解：抛物线开口方向向下，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
对称轴在轴右侧，即a、b异号，
，
，故①错误，不符合题意；
抛物线与轴有两个交点，
，
，故②正确，符合题意；
由图象可知，当时，的值最大，
当时，，
，
，故③正确，符合题意；
关于的方程有四个根，
方程有2个根，方程有2个根，
抛物线的对称轴为直线，
，
所有根之和为，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有②③④，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与轴的交点，一元二次方程根与系数的关系等知识点，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．
12. 经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（ ）
A. 10B. 12C. 13D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得的横坐标，即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线
∵抛物线经过两点
∴，
即，
∴，
∵抛物线与轴有交点，
∴，
即，
即，即，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（共24分）
13. 点关于原点的对称点是，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得m、n的值，进而可得的值．
【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标是，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
14. 抛物线的对称轴是______．
【答案】直线
【解析】
【分析】根据抛物线的对称轴是直线即可确定．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
故答案为：直线．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握由抛物线的顶点坐标式写出抛物线的对称轴方程，比较容易．
15. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据一元二次方程定义和一元二次方程根的判别式列不等式组求解即可．
【详解】解：根据题意，得
，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
16. 将二次函数的图象绕着顶点旋转后得到的新图象的解析式是___________．
【答案】
【解析】
【分析】将其绕顶点旋转后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，可据此得出所求的结论．
【详解】解：二次函数的图象绕着顶点旋转后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，
则旋转后的二次函数解析式是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，在绕抛物线顶点旋转过程中，二次函数的开口大小和顶点坐标都没有变化．
17. 已知a，b是一元二次方程两个实数根，则的值为_____．
【答案】7
【解析】
【分析】利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：和是一元二次方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
18. 在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．根据这个法则，下列结论中错误的是______．（只填写番号）
①；
②若，则；
③是一元二次方程；
④方程有一个解是．
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据运算法则，一一判断即可．
【详解】解：①，故①符合题意；
②若，则，∴，
，
∴，故②不符合题意；
③
，是一元一次方程，故③符合题意；
④方程，即，
整理得，由于，
∴，
方程无实数解，故④符合题意；
综上，①③④符合题意；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，实数的运算等知识，解题的关键是理解题意，学会利用新的定义解决问题．
三、解答题（共78分）
19. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用公式法即可求解，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：，，，
，
，
解得：，．
20. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上，
（1）画出将向下平移4个单位长度得到；
（2）画出绕点C逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析，点的坐标
【解析】
【分析】本题主要考查了作图平移变换，旋转变换等知识，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
（1）根据平移的性质即可画出图形；
（2）根据旋转的性质即可画出图形，从而得出点的坐标；
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
∴点的坐标．
21. 已知关于x的方程x2＋ax＋a－1＝0.
（1）若方程有一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有实数根．
【答案】（1）a＝0，x2＝－1；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）将x=1代入方程x2＋ax＋a－1＝0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
【详解】（1）因为x＝1是方程x2＋ax＋a－1＝0的解，
所以把x＝1代入方程x2＋ax＋a－1＝0得，
1＋a＋a－1＝0，解得a＝0
∵ x1＋x2＝－a，∴ 1＋x2＝0，∴ x2＝－1
（2）∵ △=a2－4（a－1）＝a2－4a＋4＝（a－2）2≥0，
∴无论a何值，此方程都有实数根.
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，熟记“两根之和等于- ，两根之积等于 ”是解题的关键．
22. 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每提高元，每天就减少售出件，但要求销售单价不得超过元．要使每天销售这种工艺品盈利元，那么每件工艺品售价应为多少元？
【答案】元
【解析】
【分析】设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件，根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
【详解】解：设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
故每件工艺品售价应为元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是），围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长是（单位：），面积是（单位：）．

（1）求与的函数关系式及的取值范围；
（2）如果要围成面积为的花圃，的长为多少米？
（3）长为多少时，花圃面积最大，最大面积是多少？
【答案】（1）
（2）要围成面积为的花圃，的长为9米．
（3），最大面积为：．
【解析】
【分析】（1）根据面积关系列函数表达式即可；
（2）将代入（1）中表达式，再解方程并检验即可求解；
（3）利用（1）中的函数关系式，利用二次函数的性质可得答案．
【小问1详解】
解：根据题目数量关系得，，
根据题意，，
∴，
∴．
【小问2详解】
将代入得，
整理得：，
∴，
∵，则不符合题意舍去，
∴要围成面积为的花圃，的长为9米．
【小问3详解】
∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
∴当时，面积最大，
此时，
最大面积为：；
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，理解题意，确定相等关系建立函数关系式与方程是解本题的关键．
24. 如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高离水面2米时，水面宽4米，如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：

（1）如图2，求该抛物线的函数解析式．
（2）当水面下降1米，到处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）
【答案】（1）；
（2）水面宽度增加米
【解析】
【分析】（1）根据题意可设该抛物线的函数解析式为，再把点代入，即可求解；
（2）根据题意可得水面下降1米，到处时，点D的纵坐标为，把代入，可得到水面的宽度，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意可设该抛物线的函数解析式为，
∵当拱顶高水面2米时，水面宽4米．
∴点，，
把点代入得：，
解得：，
∴该抛物线的函数解析式为；
【小问2详解】
解：∵水面下降1米，到处，
∴点D的纵坐标为，
当时，，
解得：，
∴此时水面宽度为米，
∴水面宽度增加米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据图中信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键．
25. 已知关于x的方程
（1）求证此方程总有实数根
（2）若方程的两个实数根都为整数，求k的值．
【答案】（1）详见解析．
（2）或或或．
【解析】
【分析】（1）分类讨论，当时，方程为一元一次方程，一定有一个实数根；当利用根的判别式，则一元二次方程必有两个实数根；综合以上即可得证．
（2）题目要求两实数根均为整数，则两实数根的和也应为整数，结合根与系数关系定理即可求解．
【小问1详解】
证明：当时，方程为一元一次方程，此方程有一个实数根；
当时，方程为一元二次方程，
，即，
当k取除以外的任意实数时，此方程总有两个实数根．
综上可得，不论k取何值，此方程总有实数根．
【小问2详解】
方程的两个实数根都为整数，
且方程的两个解之和也为整数，
即是整数，
即是整数，
或或或．
【点睛】本题考查的是一元二次方程中根的判别式和根与系数关系定理的知识点，解题关键是掌握根的判别式及根与系数的关系，易错点是在中未考虑到的情况导致解答不全面．
26. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求抛物线解析式及，两点坐标；
（2）以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为，，
（2）或或
（3）
【解析】
【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令，即可求得两点的坐标；
（2）分三种情况讨论，当，为对角线时，根据中点坐标即可求解；
（3）根据题意，作出图形，作交于点，为的中点，连接，则在上，根据等弧所对的圆周角相等，得出在上，进而勾股定理，根据建立方程，求得点的坐标，进而得出的解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴交于，
∴
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，
当时，
解得：，
∴
【小问2详解】
∵，，，
设，
∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形
当为对角线时，
解得：，
∴；
当为对角线时，
解得：
∴
当为对角线时，
解得：
∴
综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或
【小问3详解】
解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，

∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
设，则
解得：（舍去）
∴点
设直线的解析式为
∴解得：.
∴直线的解析式
∵，，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，，
∴．…
3.09
3.10
3.11
3.12
…
…
0.11
…