九年级上学期期中数学试题

这是一份九年级上学期期中数学试题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列关于防范“新冠肺炎”的标志中是轴对称图形，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
【详解】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．原图既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2. 下列方程中，①，②，③，④，⑤，一元二次方程的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义解答．
【详解】解：①符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
②当a=0时不是一元二次方程；
③去括号化简后可得：-x-6=-3，不是一元二次方程；
④分母里含有未知数，为分式方程，不是一元二次方程；
⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的基础知识，熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程是解题关键．
3. 如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面宽，则水深是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，，根据C是的中点，D是的中点，垂径定理推出，，，推出O、C、D三点共线，得到，设，，根据勾股定理推出，得到．
【详解】解：连接，，
∵是横放圆柱形的玻璃水杯内水最深处，
∴C是的中点，D是的中点，
∴，，，
∴O、C、D三点共线，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，，（不合题意，舍去），
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，一元二次方程等，解题的关键是熟练掌握垂径定理的推论，勾股定理解直角三角形，解一元二次方程．
4. 关于二次函数下列说法中错误的是（ ）
A. 用配方法可化成B. 将它的图像向下平移5个单位，会经过原点
C. 函数有最大值，最大值为D. 当时，y随x的增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】先用配方法把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的顶点式可判断其开口方向、对称轴、顶点坐标；再令x=0可求得与y轴的交点坐标即可解答．
【详解】解:由，故A正确，不符合题意；
令可得，即函数图像与y轴的交点坐标为，将它的图像向下平移5个单位，会经过原点，故B正确，不符合题意；
由，则其对称轴为，开口向上，顶点坐标为，对称轴为，即函数有最小值-4，故C选项错误,符合题意；
当时，y随x的增大而减小，D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图像的性质等知识点，掌握二次函数的图像与坐标轴交点的求法是解题的关键．
5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
6. 在同一坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先分别根据二次函数和一次函数的图象得出的符号，再根据两个函数的图象与y轴的交点重合，为点，同时结合抛物线的对称轴，再逐项判断即可．
【详解】∵ 与y轴的交点为
二次函数与y轴的交点为
∴两个函数与y轴交于同一点，
A、由二次函数的图象可知，
由一次函数的图象可知，
两个函数图象得出的的符号不一致，则此项不符题意
B、由二次函数的图象可知，
由一次函数的图象可知，
两个函数图象得出的符号不一致，则此项不符题意
C、由二次函数的图象可知，
由一次函数的图象可知，
两个函数图象得出的的符号一致，且都经过点，抛物线的对称轴为直线则可得则此项符合题意
D、由二次函数的图象可知，
由一次函数的图象可知，
两个函数图象得出的的符号一致，
但是抛物线的对称轴为直线则可得 与题干信息矛盾，则此项不符题意
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的图象综合，熟练掌握一次函数与二次函数的图象特征是解题关键．
7. 如图，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到点D，使BD＝OB，连接AD，若∠DAC＝78°，则∠ADO等于（ ）
A. 70°B. 64°C. 62°D. 51°
【答案】B
【解析】
【分析】先根据切线长定理，由AB、AC为⊙O的切线得到∠BAO＝∠CAO，根据切线的性质得OB⊥AB，加上BD＝OB，则可判断△AOD为等腰三角形，于是根据等腰三角形的性质得∠BAO＝∠BAD，即∠CAO＝∠BAO＝∠BAD，然后利用∠DAC＝∠BAD+∠BAO+∠CAO＝78°可计算出∠BAD＝26°，再利用∠ADO＝90°﹣∠BAD求解．
【详解】解：∵AB、AC为⊙O的切线，
∴∠BAO＝∠CAO，OB⊥AB，
∵BD＝OB，
∴AB垂直平分OD，
∴AO＝AD．
∴△AOD为等腰三角形，
∴∠BAO＝∠BAD，
∴∠CAO＝∠BAO＝∠BAD，
∵∠DAC＝∠BAD+∠BAO+∠CAO＝78°，
∴3∠BAD＝78°，
解得∠BAD＝26°，
∴∠ADO＝90°﹣∠BAD＝90°﹣26°＝64°．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
8. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根据方程有实数根得出，求出不等式的解集，结合二次根式的意义求得答案即可.
【详解】解：当时，变为；
此时方程有实数根；
当时，由题意知，，且，
∴ .
综上所述：当时，关于的方程有实数根，
故选：C.
9. 如果方程的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方程的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程的两个根设是和，一定是两个正数，且一定有，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围．
【详解】解：∵方程有三根，
∴，有根，方程的，得．
又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．
∴有，，而已成立；
当时，两边平方得：．
即：．解得．
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系和三角形三边关系，利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
10. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为(1，﹣4a)，点A(4，y1)是该抛物线上一点，若点D(x2，y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②若y2＞y1，则x2＞4；③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；④若方程a(x+1)(x﹣3)＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据顶点坐标得到对称轴表达式，根据二次函数的对称性，得到x=-2和x=4时y的值关于对称轴对称，即可判断①；
结合①中结论，根据函数图像即可判断②；
首先根据对称轴得到a和b的关系，然后根据顶点坐标得到a和c的关系，求出当x=4时，y的值即可判断③；
根据二次函数与一元二次方程的关系，得到a(x+1)(x﹣3)＝0的解，而a(x+1)(x﹣3)＝﹣1为函数y=a(x+1)(x﹣3)和直线y=-1的交点，即将函数y=a(x+1)(x﹣3)向上平移一个单位时，新函数与x轴的交点即为a(x+1)(x﹣3)＝﹣1的解，可判断④．
【详解】①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为
∴函数的对称轴为x＝
∴根据二次函数的对称性，当x=-2和x=4时，y的值相等
∴当x=-2时，y=4a﹣2b+c＞0
于是①的结论正确；
②∵点A（4，y1）关于直线x＝1的对称点为
∴当y2＞y1，则x2＞4或x2＜﹣2，
于是②错误；
③当x＝4时，y1＝16a+4b+c＝16a﹣8a﹣3a＝5a，
∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，
于是③错误；
④∵方程有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，
∴抛物线与直线y＝﹣1交点的坐标和
∵抛物线时，x＝﹣1或3，
即抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）和（3，0），
∴﹣1＜x1＜x2＜3，
于是④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的综合知识，二次函数和一元二次方程，二次函数和不等式，题目综合性较强，熟练掌握二次函数的基本知识并灵活运用是本题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则y1，y2，y3的大小关系是_____．
【答案】y2＞y1＞y3
【解析】
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
【详解】解：抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m的开口向下，对称轴是直线，当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，
∵（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，
∴点（1，y3）关于对称轴x＝﹣2的对称点是（﹣5，y3），
∵﹣5＜﹣3＜﹣2，
∴y2＞y1＞y3．
故答案为：y2＞y1＞y3．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
12. 边长分别为3、4、5的三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为________.
【答案】2:5
【解析】
【详解】解：设三角形为△ABC，
∵32+42=52，
∴△ABC为直角三角形，
∴外接圆的直径为5，
∴外接圆的半径为2.5，
设内切圆的半径为r，
∵S△ABC=（AB+BC+CA）•r，
即×3×4=×（3+4+5）r，解得r=1，
∴该三角形内切圆半径与外接圆半径之比为2：5，
故答案是：2：5．
13. 为执行国家药品降价政策，某药品经过两次降价，每瓶零售价由128元降至98元，则平均每次降价的百分率为 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】设平均每次降价的百分率为，由经过两次降价后的价格原价（平均每次降价的百分率），即可列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14. 用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的全面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是圆锥的侧面积的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．根据扇形面积公式求出扇形面积，扇形弧长及底面圆的半径，根据圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系解答即可．
【详解】解：扇形面积，
则这个圆锥的侧面积为，
设底面圆的半径为，
∴，
解得：，
圆锥的底面积为：，
∴这个圆锥的全面积为，
故答案为：
15. 如图，射线OP与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OP上一点，过点A作x轴的垂线与x轴交于点E．△AOE绕着点O逆时针旋转90°后能与△BOC重合，△BOC沿着y轴翻折能与△DOC重合，若点D恰好在抛物线y＝x2（x＞0）上，则点A的坐标是_____．
【答案】（3，）
【解析】
【分析】设AE＝t，利用含30度的直角三角形三边的关系别说出OE得到A（3t，t），再利用旋转的性质得到B（﹣t，3 t），接着利用关于y轴对称点的坐标特征得到D（t，3 t），然后把D（t，3 t）代入y＝x2得t2＝3t，最后解方程求出t即可得到点A的坐标．
【详解】设AE＝t，
在Rt△AOE中，∵∠AOE＝30°，
∴OE＝3AE＝3t，
∴A（3t，t），
∵△AOE绕着点O逆时针旋转90°后能与△BOC重合，
∴BC＝AE＝t，OC＝OE＝3t，
∴B（﹣t，3 t），
∵△BOC沿着y轴翻折能与△DOC重合
∴D（t，3 t），
把D（t，3 t）代入y＝x2得t2＝3t，解得t1＝0（舍去），t2＝3，
∴点A的坐标为（3，3）．
故答案是：（3，3）．
【点睛】考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了旋转的性质和对称的性质．
16. 如图，过点A折叠边长为2的正方形ABCD，使B落在，连接D，点F为D的中点，则CF的最小值为 _____．
【答案】-1##-1+
【解析】
【分析】连接AF，证明∠AFD＝90°，则有F在以AD为直径圆上，取AD的中点G，连接CG交圆于点F，则CF为最小值，采用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∵折叠边长为2的正方形ABCD，使B落在，
∴A＝AB，
∴A＝AD，
∵F为D的中点，
∴AF⊥D，
∴∠AFD＝90°，
∴F在以AD为直径的圆上，取AD的中点G，连接CG交圆于点F，则CF为最小值，
∵DG＝AD＝1，CD＝2，
∴，
∴．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、折叠的性质以及圆的相关知识，根据∠AFD＝90°，判断点F在以AD为直径的圆上，是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分）
17. 解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
【解析】
【分析】（1）利用解一元二次方程公式法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答；
（3）利用解一元二次方程公式法进行计算，即可解答；
（4）利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【小问1详解】
解： ，
，
，
，；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
或，
，；
【小问3详解】
解：，
，
，
，；
【小问4详解】
解：，
整理得：，
，
或，
，．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-4，1），B（-1，-1），C（-3，2）
（1）△与△ABC于原点O中心对称，画出△
（2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△，画出
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据中心对称的性质作图，可得点A1的坐标．
（2）根据旋转的性质作图即可．
【小问1详解】
解：如图，△A1B1C1即为所求．
【小问2详解】
解：如图，△A2B2C2即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握中心对称和旋转的性质是解答本题的关键．
19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2
（1）求k的取值范围；
（2）若，求出k的值．
【答案】（1）k＜2；
（2）-8．
【解析】
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到，即可求出k的范围；
（2）利用根与系数的关系即可求出k的值．
【小问1详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
【小问2详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2，
∴，，
∵，
∴，即：
整理得：，
∴，
解得：，，
∵，
∴
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，根与系数的关系（韦达定理）．熟记当时，方程有两个不等根；当时，方程有两个相等的根；当时，方程无根；将做适当变形是解本题的关键．
20. 如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF．
（1）求证：△AFO≌△CEB；
（2）若BE＝4，CD＝8，求：
①⊙O的半径；
②求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）①8；②
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理知BC＝BD，再利用圆周角定理知∠A＝∠DCB，而∠AFO＝∠CEB，故可证明△AFO≌△CEB；（2）①利用垂径定理得出CE=43，设 OC＝r，则 OE＝r﹣4，根据勾股定理可得r2＝（r﹣4）2+（43）2，即可求出r；②根据阴影部分等于扇形OABD的面积减去△CDO的面积即可求出.
【详解】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD，
∴BC＝BD，
∴∠A＝∠DCB，
∴OF⊥AC，
∴∠AFO＝∠CEB，
∵BE＝OF，
∴△AFO≌△CEB（AAS）．
（2）①∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD，
∴CE＝CD＝43
设 OC＝r，则 OE＝r﹣4，
∴r2＝（r﹣4）2+（43）2
∴r＝8．
②连结 OD．
∵OE＝4＝OC，
∴∠OCE＝30°，∠COB＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵△AFO≌△CEB，
∴S△AFO＝S△BCE，
∴S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD
＝﹣
＝﹣16.
【点睛】此题主要考查圆综合问题，解题的关键是熟知垂径定理、圆周角定理、扇形面积求法及圆内的勾股定理的使用.
21. 新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表：
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q（只）与第x天的关系为（，且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为元/只．
（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式；
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的日利润W（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
【答案】（1），
（2）且x为整数；第5天利润最大
【解析】
【分析】（1）前五天，口罩价格每天涨1块，日销售量每天增加5个，据此作答即可；
（2）利用每天的销售量乘以每只口罩的利润即可得到口罩销售的日利润，再结合二次函数的性质即可作答．
小问1详解】
通过表格发现：前五天，口罩价格每天相比前一天涨1块，日销售量相比前一天每天增加5个，
∵第一天的销售价格为2元每只，销售量为70只，
∴，，
即：所求的函数关系式为：，；
【小问2详解】
根据（1）中的结果可知：
当时，，
即：，
此时二次函数的对称轴为：，
∴当时，随着x的增大而增大，
即当时，，
当时，，
即：，
∴当时，，
∵，
∴第5天利润最大，
综上：
日利润W（元）与x的函数关系式为：且x为整数；
第5天利润最大，最大为495元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，找准等量关系，列出函数关系式，掌握二次函数的图象与性质，是解答本题的关键．
22. 如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA=PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D．
（1）求证：MC是⊙O的切线；
（2）若AB=20，BC=16，连接PC，求PC的长；
（3）试探究AC、BC与PC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）142
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）连接，证明，从而得到即可得证；
（2）过点作于点，利用圆周角定理，和等腰三角形的性质和判定，以及勾股定理分别求出，再利用进行计算即可；
（3）延长至点，使得，连接，证明，推出为等腰直角三角形即可得证．
【小问1详解】
证明：如图所示：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵是的直径，
∴，
∴
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
过点作于点，
又
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
∴．
【小问3详解】
．
证明：延长至点，使得，连接，
则，
∵四边形内接于，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查圆和三角形的综合应用．熟练掌握圆中常见的等量关系，圆周角定理，切线的判定和性质，以及通过添加辅助线构造三角形全等是解题的关键．题型的难度较大，在中考中属于几何的压轴题．
23. 如图，抛物线y=+bx+c的对称轴为x=﹣1，该抛物线与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．
（2）试判断△BCD的形状，并予证明．
（3）在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=﹣2x+3，顶点D为（﹣1，4）；(2)△DCB为直角三角形，理由详见解析；(3) 存在满足条件的点P，其坐标为（﹣1，1）或（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，0）或（﹣1，6）．
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称性得到点B的坐标为（﹣3，0），故设抛物线为两点式方程y=a（x﹣1）（x+3），把点C的坐标代入即可求得a的值；利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式，即可得到顶点D的坐标；
（2）过D作DT⊥y轴于T，则可求得∠DCT=45°，∠BCO=45°，则可判断△BCD的形状；
（3）可设出P（﹣1，t），则可分别表示出AP、CP、AC的长度，分AP=CP、AP=AC和CP=AC三种情况分别可得到关于t的方程，可求得P点坐标．
【详解】解：（1）点A（1，0）关于x=﹣1的对称点B（﹣3，0），
设过A（1，0）、B（﹣3，0）的抛物线为y=a（x﹣1）（x+3），
该抛物线又过C（0，3），则有：3=﹣3a，解得a=﹣1，
即y==﹣2x+3，顶点D为（﹣1，4）；
（2）△DCB为直角三角形，理由如下：
过D点，作DT⊥y轴于T，如图1，
则T（0，4）．
∵DT=TC=1，
∴△DTC为等腰直角三角形，
∴∠DCT=45°，
同理可证∠BCO=45°，
∴∠DCB=90°，
∴△DCB直角三角形；
（3）设P（﹣1，t），
∵A（1，0），C（0，3），
∴==，==，==10，
∵△APC为等腰三角形，
∴有AP=CP、AP=AC和CP=AC三种情况，
①当AP=CP时，则有=，即=，解得t=1，此时P（﹣1，1）；
②当AP=AC时，则有=，即=10，解得t=，此时P（﹣1，）或（﹣1，）；
③当CP=AC时，则有=，即=10，解得t=0或t=6，此时P（﹣1，0）或P（﹣1，6）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（﹣1，1）或（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，0）或（﹣1，6）第x天
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