九年级上学期期中数学试题

这是一份九年级上学期期中数学试题，共27页。试卷主要包含了 下列各式中，是二次函数的是， 用配方法解方程，则方程可变为等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2. 下列各式中，是二次函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如 、、是常数，的函数，叫做二次函数．
【详解】解：A、，是一次函数，故本选项不合题意；
B、，是一次函数，故本选项不合题意；
C、，是二次函数，故本选项符合题意；
D、，右边中不是整式，不是二次函数，故本选项不合题意．
故选：C．
3. 用配方法解方程，则方程可变为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：，
，
，即，
故选：D．
4. 下列关于二次函数图象的性质，说法正确的是（ ）
A. 抛物线的开口向下
B. 抛物线 的对称轴为直线
C. 抛物线 在对称轴左侧，即时，y随x的增大而减小
D. 抛物线 的顶点坐标为
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的性质和题目中函数的解析式，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】A. 当时，抛物线的开口向下，A选项错误；
B.抛物线 的对称轴为直线，B选项错误；
C.抛物线 在对称轴左侧，即时，y随x的增大而减小，C选项正确；
D.抛物线 的顶点坐标为，D选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是熟记二次函数的性质．
5. 如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键．
根据中心对称的性质判断即可．
【详解】解：与关于点O成中心对称，
，，，故A，B，C选项正确，，故D选项错误．
故选：D．
6. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式得到它的增减性，从而判断因变量的大小关系．
【详解】解：二次函数的图象开口向下，所以在对称轴左边，y随着x的增大而增大，在对称轴右边，y随着x的增大而减小，
对称轴是，
∵，且到对称轴的距离是3，到对称轴的距离是1，4到对称轴的距离是2，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性．
7. 若关于x的方程x2﹣6x+a＝0有实数根，则常数a的值不可能为（ ）
A. 7B. 9C. 8D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】由根的判别式可求得a的取值范围，再判断即可．
【详解】解：
∵关于x的方程x2﹣6x+a＝0有实数根，
∴，即，解得
∴不可能为10，
故选D．
【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
8. 如图，是的角平分线，；垂足为交的延长线于点，若恰好平分．给出下列三个结论：①；②；③．其中正确的结论共有（ ）个
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由BF∥AC，是的角平分线，平分得∠ADB=90；利用AD平分∠CAB证得△ADC≌△ADB即可证得DB=DC；根据证明△CDE≌△BDF得到.
【详解】∵,BF∥AC,
∴EF⊥BF，∠CAB+∠ABF=180，
∴∠CED=∠F=90，
∵是的角平分线，平分，
∴∠DAB+∠DBA=(∠CAB+∠ABF)=90，
∴∠ADB=90，即，③正确；
∴∠ADC=∠ADB=90，
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠BAD,
∵AD=AD,
∴△ADC≌△ADB,
∴DB=DC，②正确；
又∵∠CDE=∠BDF，∠CED=∠F，
∴△CDE≌△BDF,
∴DE=DF，①正确；
故选：D.
【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定及性质，角平分线的定义.
9. 如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点D的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，连接，，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点，经过第2026次旋转后，顶点D在的位置，先求出点的坐标，再证明即可．
详解】解：连接，，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点，

在正六边形中，，，
，
，
将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，
，即8次旋转一周，
余2，
，
故经过第2026次旋转后，顶点D在的位置，
，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
10. 已知，抛物线的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是数形结合，根据二次函数的性质，结合图象逐项进行判断即可．
【详解】解：A、∵抛物线开口向上，
∴，所以A选项错误；
B、∵对称轴在y轴的右侧，
∴，
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴，
∴，所以B选项错误；
C、由图象可知当时，，
∴，所以C选项错误；
D、当时，，
∴，所以D选项正确．
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 点与点关于原点对称，则的坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：点与点关于原点对称，则的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．
12. 如果抛物线y=x2﹣6x+c的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于____．
【答案】c=6或12
【解析】
【分析】根据题意得顶点的纵坐标是3或-3，列出方程求出解则可．
【详解】解：根据题意得：
±3，
解得：c=6或12．
故答案为：c=6或12．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记顶点的纵坐标公式是解题的关键．
13. 如图，在正方形中，点将对角线三等分，且．点在正方形边上，则满足的点的个数是________个．

【答案】个
【解析】
【分析】作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，可得点H到点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
【详解】如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，
∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝6，
∴EC＝4，FC＝2＝AE，
∵点M与点F关于BC对称，
∴CF＝CM＝2，∠ACB＝∠BCM＝45°，
∴∠ACM＝90°，
∴EM＝，
则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为＜5，
在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE＋PF＝4＋2＝6，
∴点P在CH上时，＜PE＋PF≤6，
在点H左侧，当点P与点B重合时，
∵FN⊥BC，∠ABC＝90°，
∴FN∥AB，
∴△CFN∽△CAB，
∴，
∵AB＝BC＝AC＝，
∴FN＝AB＝，
CN＝BC＝，
∴BN＝BC－CN＝2，
BF＝ ，
∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE＝BF＝，
∴PE＋PF＝，
∴点P在BH上时，＜PE＋PF＜，
∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE＋PF＝5，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE＋PF＝5．
即共有8个点P满足PE＋PF＝5，
故答案为8．
【点睛】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．
14. 关于x的方程x2-kx+6=0有一根-2,那么这个方程的另一个根是________，k=________
【答案】 ①. -3 ②. -5
【解析】
【分析】先将该方程的已知根-2代入两根之积公式列出方程，解方程即可求出方程的另一根；然后再求k．
【详解】解：设方程的另一根为,
根据根与系数的关系可得:，
∵，
∴，
∵，，
∴由根与系数的关系可得：
,
,
,
.
故答案是：【答题空1】-3, 【答题空2】-5.
【点睛】解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后确定选择哪一个根与系数的关系式.
15. 在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝18，E为矩形ABCD一边的中点，∠ABE的平分线交边AD于点F，则AF的长为______．
【答案】4或或12
【解析】
【分析】分点E在BC上，点E在CD上，点E在AD上，三种情况分类讨论，点E在BC上时，根据∠ABE=90°，BF平分∠ABE，得到∠ABF=∠EBF=45°，根据AD∥BC，得到∠AFB=∠EBF=45°，推出∠ABF=∠AFB=45°，得到AF=AB=12；当点E在CD上时，过点F作FG⊥BE于点G，连接EF，根据CE=DE=6，求出，证明Rt△ABF≌Rt△GBF，推出EG=BE-BG=，根据∠ABF=∠EBF，FA⊥AB，FG⊥BE，得到FG=FA=x，根据，得到；当点E在AD上时，根据AE=DE=9，得到，证明Rt△ABF≌Rt△HBF，推出EH=BE-BH=3，过点F作FH⊥BE于点H，根据，求出AF=4．
【详解】∵矩形ABCD中，AB=CD=12，AD=BC=18，∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°，
设AF=x，则DF=18-x，
当点E在BC上时，∠ABE=90°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABF=∠EBF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBF=45°，
∴∠ABF=∠AFB=45°，
∴AF=AB=12；

当点E在CD上时，过点F作FG⊥BE于点G，连接EF，
∵E是CD的中点，
∴CE=DE=6，
∴,
∵∠ABF=∠EBF，FA⊥AB，FG⊥BE，
∴FG=FA=x，
∵BF=BF，
∴Rt△ABF≌Rt△GBF(HL)，
∴BG=AB=12，
∴EG=BE-BG=，
∵，
∴，
∴，即；

当点E在AD上时，
∵点E是AD中点，
∴AE=DE=9，
∴，
∴EH=BE-BH=3，
过点F作FH⊥BE于点H，
则FH=AF=x，EF=9-x，
∵BF=BF，
∴Rt△ABF≌Rt△HBF(HL)，
∴BH=AB=12，
∴EH=BE-BH=3，
∵，
∴，
∴x=4，即AF=4．
综上AF=4，或，或AF=12．
【点睛】本题主要考查了矩形，线段中点，角平分线，全等三角形，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握矩形的边角性质，线段中点的定义，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，运用勾股定理计算．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16. 用适当方法解下列方程
（1）3（x+2）2＝x（2+x）；
（2）2x2+3x﹣2＝0．
【答案】（1）x1＝﹣2，x2＝﹣3；（2）x1＝-2，x2＝
【解析】
【分析】（1）利用提公因式法解方程即可；
（2）利用十字相乘法解方程即可．
【详解】解：（1）∵3（x+2）2＝x（2+x），
∴3（x+2）2﹣x（2+x）＝0，
∴（x+2）（3x+6﹣x）＝0，
∴x+2＝0或2x+6＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣3；
（2）∵2x2+3x﹣2＝0，
∴（x+2）（2x-1）＝0，
∴x+2＝0或2x-1＝0，
∴x1＝-2，x2＝．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是掌握因式分解法解方程．
17. 在正方形网格中，A、B为格点，以点为圆心，为半径作圆A交网格线于点(如图（1）)，过点作圆的切线交网格线于点，以点A为圆心，为半径作圆交网格线于点(如图（2）)．
问题：
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）可以看作是由经过怎样的变换得到的？并判断的形状(不用说明理由)．
（4）如图（3），已知直线，且a∥b，b∥c，在图中用直尺、三角板、圆规画等边三角形，使三个顶点，分别在直线上．要求写出简要的画图过程，不需要说明理由．
【答案】（1）60° （2）见解析
（3）△AEB 可以看作是由 △ADC绕点A顺时针旋转60°得到的；△AED是等边三角形 （4）见解析
【解析】
【分析】（1）连接BC，通过证明△ABC是等边三角形，即可求出∠ABC的度数；
（2）在Rt△AEB与Rt△ADC中，通过HL证明△AEB≌△ADC；
（3）由旋转的性质即可得出△AED是等边三角形；
（4）利用HL定理可证△A′N′C′≌△A′M′B′，得∠C′A′N′=∠B′A′M′，于是∠B′A′C′=∠M′A′N′=60°，由A′B′=A′C′得△A′B′C′为等边三角形．
【小问1详解】
解：连接BC，如图所示：
由网格可知点C在AB的中垂线上，
∴AC=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．
∴∠ABC=60°；
【小问2详解】
解：如图所示：
∵CD切⊙A于点C，
∴∠ABE=∠ACD=90°，
在Rt△AEB与Rt△ADC中，
∴Rt△AEB≌Rt△ADC（HL）；
【小问3详解】
解：△AEB可以看作是由△ADC绕点A顺时针旋转60°得到的．△AED是等边三角形，理由如下：
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60°，
∵△ACD≌△ABE，
∴∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°，
∴∠EAD=60°，
∴△AEB可以看作是由△ADC绕点A顺时针旋转60°得到的，
又∵AE=AD，
∴△AED是等边三角形；
【小问4详解】
①在直线a上任取一点，记为点A′，作A′M′⊥b，垂足为点M′；②作线段A′M′的垂直平分线，此直线记为直线d；③以点A′为圆心，A′M′长为半径画圆，与直线d交于点N′；④过点N′作N′C′⊥A′N′交直线c于点C′，连接A′C′；⑤以点A′为圆心，A′C′长为半径画圆，此圆交直线b于点B′；⑥连接A′B′、B′C′，则△A′B′C′为所求等边三角形．
【点睛】本题综合性较强，考查了等边三角形的性质与判定，切线的性质，全等三角形的判定，旋转的性质和作图-复杂作图，第（4）题有一定的难度，熟知相关知识是解题的关键．
18. 如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标．
（1）图中点B的坐标是 ；
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 ；点A关于y轴对称的点D的坐标是 ；
（3）的面积是 ．
【答案】（1）
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）直接在坐标系中读出坐标即可；
（2）关于原点对称点特征：横坐标和纵坐标都互为相反数；关于y轴对称点特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变；依此作答即可；
（3）先根据勾股定理求出 ， ，，再根据勾股逆定理得出是直角三角形，且，即可求出的面积．
【小问1详解】
根据图示知，点B的坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
由（1）知，B，
∴点B关于原点对称的点C的坐标是；
∵点A的坐标，
∴点A关于y轴对称的点D的坐标是；
故答案为：；；
【小问3详解】
由勾股定理求得 ， ，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，熟练掌握轴对称，中心对称和勾股定理以及逆定理是解题的关键．
19. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．
（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．
【答案】（1）长15米，宽10米；（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设养鸡场的宽为xcm，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据题意列出一元二次方程，根据根的情况判断即可；
【详解】解：（1）设养鸡场宽为xcm，根据题意得：
，
解得：，，
当时，，
当时，（舍去），
∴养鸡场的长15米，宽10米；
（2）设养鸡场的宽为xcm，根据题意得：
，
整理得：，
∴，
∵方程没有实数根，
∴不能否达到200m2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．
20. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点．

（1）求k和n的值；
（2）若点也在反比例函数图象上，求当时，函数值y的取值范围；
（3）直接写出关于x的不等式的解集 ．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】此题考查一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求函数解析式，利用图象求函数值的范围，求不等式的解集：
（1）将点的坐标代入一次函数解析式及反比例函数解析式即可求出k和n的值；
（2）根据反比例函数的增减性解答；
（3）即为反比例函数图象在一次函数图象上方，据此解答．
【小问1详解】
解：当时，，
∴点B的坐标为．
∵反比例函数的图象过点，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴当时，y随x值增大而减小，
∵时，时，
∴当时，；
【小问3详解】
由图象可知，不等式的解集是或，
故答案为或．
21. 黎明同学利用业余时间开设网店销售台灯，第一个月售出A，B两种型号的护眼台灯各50台，售后进行统计得知：A型护眼台灯的平均每台利润是160元，B型护限台灯的平均每台利润是20元．经网络调查发现：①A型护眼台灯每多销售1台，则其平均每台利润减少2元；每少销售1台．则其平均每台利润增加2元；②B型护眼台灯的平均每台利润始终不变．黎明同学计划第二个月销售A，B两种型号的护眼台灯共100台，设A型护眼台灯比第一期增加x台，第二个月按计划售完A型护眼台灯与B型护眼台灯的利润分别为W1、W2（单位：元）．
（1）用含x的代数式分别表示W1、W2；
（2）当x取何值时、第二个月按计划售完A，B两种型号的护眼台灯所获得的总利润最大？最大总利润是多少？
【答案】（1），；（2）当时，第二个月按计划售完A，B两种型号的护眼台灯所获得的总利润最大，最大总利润是9200元
【解析】
【分析】（1）设A型护眼台灯比第一期增加x台，则A型护眼台灯一共销售台，B型护眼台灯一共销售台，然后根据利润=单台利润×数量求解即可；
（2）设获得的总利润为W，根据（1）中所求的代数式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）设A型护眼台灯比第一期增加x台，则A型护眼台灯一共销售台，B型护眼台灯一共销售台，
由题意得：，
；
（2）设获得的总利润为W，
∴
，
∵，
∴，
∵，
∴当时，W有最大值，最大值为9200，
∴当时，第二个月按计划售完A，B两种型号的护眼台灯所获得的总利润最大，最大总利润是9200元，
答：当时，第二个月按计划售完A，B两种型号的护眼台灯所获得的总利润最大，最大总利润是9200元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，列代数式，多项式乘以多项式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
22. 如图，在平面直角坐标系中．

（1）记外接圆的圆心为点，求点的坐标；
（2）为x轴上的一点，且，求证：直线与圆M相切；
（3）在轴上是否存在点，使得，若存在，直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点的坐标为；
（2）见解析 （3）点坐标为或.
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，推出外接圆的直径为，据此即可求解；
（2）利用两边对应成比例且夹角相等，证明，推出，连接，利用圆周角定理即可证明结论；
（3）过点M作交圆M于点Q，以点Q为圆心，为半径作圆，交y轴正半轴于点P，则，过点Q作轴于点N，连接，分两种情况讨论，即可求解.
【小问1详解】
解：∵，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴外接圆的直径为，
∴外接圆的圆心点的坐标为；
【小问2详解】
解：∵，即，又，
∴，
∴，
连接，

∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴直线与圆M相切；
【小问3详解】
解：过点M作交圆M于点Q，当点Q在x轴上方时，以点Q为圆心，为半径作圆，交y轴正半轴于点P，则，
过点Q作轴于点N，连接，

则四边形是矩形，
∴，，
∵圆Q是的外接圆，
∴，
∴，
∴，
∴点坐标为；
过点M作交圆M于点Q，当点Q在x轴下方时，以点Q为圆心，为半径作圆，交y轴负半轴于点P，则，

同理，求得点坐标；
综上，点坐标为或.
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
23. 如图，抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+2m（其中m＞0）与其对称轴l相交于点P．与y轴相交于点A（0，m）连接并延长PA、PO，与x轴、抛物线分别相交于点B、C，连接BC将△PBC绕点P逆时针旋转，使点C落在抛物线上，设点C、B的对应点分别是点B′和C′．
（1）当m＝1时，该抛物线的解析式为： ．
（2）求证：∠BCA＝∠CAO；
（3）试问：BB′+BC﹣BC′是否存在最小值？若存在，求此时实数m的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+1；（2）见解析；（3）BB′+BC﹣BC′存在最小值，m＝1+.
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标代入二次函数表达式得：m＝a（﹣m﹣1）2+2m，解得：a＝﹣，把m＝1代入上式，即可求解；
（2）求出点B、C的坐标，即可求解；
（3）当点B′落在BC′所在的直线时，BB′+BC﹣BC′存在最小值，证△BAO∽△POD，即可求解．
【详解】解：（1）把点A的坐标代入二次函数表达式得：m＝a（﹣m﹣1）2+2m，解得：a＝﹣，
则二次函数的表达式为：y＝﹣（x﹣m﹣1）2+2m…①，
则点P的坐标为（m+1，2m），点A的坐标为（0，m），
把m＝1代入①式，整理得：y＝﹣x2+x+1，
故：答案为：y＝﹣x2+x+1；
（2）把点P、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：
，解得：，
则直线PA的表达式为：y＝x+m，
令y＝0，解得：x＝﹣m﹣1，即点B坐标为（﹣m﹣1，0），
同理直线OP的表达式为：y＝x…②，
将①②联立得：a（x﹣m﹣1）2+2m﹣x＝0，其中a＝﹣，
该方程的常数项为：a（m+1）2+2m，
由韦达定理得：x1x2＝xC•xP＝＝＝﹣（m+1）2，
其中xP＝m+1，
则xC＝﹣m﹣1＝xB，
∴BC∥y轴，
∴∠BCA＝∠CAO；
（3）如图当点B′落在BC′所在的直线时，BB′+BC﹣BC′存在最小值，
设：直线l与x轴的交点为D点，连接BB′、CC′，
∵点C关于l的对称点为C′，
∴CC′⊥l，而OD⊥l，∴CC′∥OD，∴∠POD＝∠PCC′，
∵∠PB′C′+∠PB′B＝180°，
△PB′C′由△PBC旋转而得，
∴∠PBC＝∠PB′C′，PB＝PB′，∠BPB′＝∠CPC′，
∴∠PBC+∠PB′B＝180°，
∵BC∥AO，
∴∠ABC+∠BAO＝180°，
∴∠PB′B＝∠BAO，
∵PB＝PB′，PC＝PC′，
∴∠PB′B＝∠PBB′＝，
∴∠PCC′＝∠PC′C＝，
∴∠PB′B＝∠PCC′，
∴∠BAO＝∠PCC′，
而∠POD＝∠PCC′，
∴∠BAO＝∠POD，
而∠POD＝∠BAO＝90°，
∴△BAO∽△POD，
∴，
将BO＝m+1，PD＝2m，AO＝m，OD＝m+1代入上式并解得：
m＝1+（负值已舍去）．