九年级上学期期中数学试题

这是一份九年级上学期期中数学试题，共21页。试卷主要包含了 下列各数中，最小的数是， 若分式的值为0，则的值应为， 下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 满分：120分）
一.选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. B. C. 2023D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查有理数大小的比较，根据正数大于零，负数小于零，负数绝对值大的反而小，由此可得出答案．
【详解】由题可知：，
最小的数是．
故选：A．
2. 2023年10月8日第19届亚运会在杭州圆满落幕，中国队以金牌总数383位居金牌榜首．在下列给出的运动图片中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别；
根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”，逐项判断即可．
【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意；
B.是轴对称图形，符合题意；
C.不是轴对称图形，不符合题意；
D.不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
3. 联合国儿童基金会执行主任凯瑟琳·拉塞尔在当地时间2023年10月17日表示，自巴以新一轮冲突以来，短短11天已有超过300000名儿童被迫流离失所．世界呼吁和平．数据300000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法；
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据300000用科学记数法表示为，
故选：D．
4. 以下调查中，适合全面调查的是（ ）．
A. 了解全国中学生的视力情况B. 检测“神舟十六号”飞船的零部件
C. 检测台州的城市空气质量D. 调查某池塘中现有鱼的数量
【答案】B
【解析】
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
【详解】解：A．了解全国中学生的视力情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B． 检测“神舟十六号”飞船的零部件，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意；
C．检测台州的城市空气质量，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D．调查某池塘中现有鱼的数量，适合抽样调查，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查全面调查与抽样调查，关键是根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
5. 若分式的值为0，则的值应为（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据分子为零，分母不为0，即可求出x的值．
【详解】解：由分式的值为零的条件得x﹣1＝0，且x+3≠0，
解得：x＝1．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式值为0的条件，具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】题目主要考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法及除法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法及除法运算依次判断即可．
【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意；
B、，选项计算错误，不符合题意；
C、，选项计算错误，不符合题意；
D、，选项计算正确，符合题意；
故选：D．
7. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质可得 然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得 主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义．
【详解】解：绕点顺时针旋转得到

是等边三角形，



故选：．
8. 关于x的一元二次方程有两不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两不相等的实数根，
∴，
∴，
故选D．
9. 如图，已知的半径为4，且，，则的长为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，含直角三角形的性质；
连接，利用圆周角定理求出，可得，然后利用含直角三角形的性质求出即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：D．
10. 近期爆发的流感，叫甲型流感，简称甲流．该病毒传染性超强．某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；
患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，然后根据经过两轮传染后共有36人患了流感列方程即可．
【详解】解：设每一轮传染中平均每人传染了x人，
由题意得：，
故选：C．
11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图像可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题．
【详解】解： A．由二次函数图像可知，，由一次函数图像可知：矛盾，故不符合；
B．由二次函数图像可知，，由一次函数图像可知：，符合题意；
C．由二次函数图像可知，，由一次函数图像可知：矛盾，故不符合；
D．由二次函数图像可知，，由一次函数图像可知：矛盾，故不符合．
故选∶B．
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系．
12. “幻方”源于我国古代的“洛书”，它是一种将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的数之和都相等的游戏，如图是一个的幻方的部分，则的值为（ ）
A. B. 7C. D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用；
根据第一行的数字之和等于第三列的数字之和立方差可求出y，根据对角线上的数之和相等列方程可求出x，然后计算即可．
【详解】解：由题意得：，，
∴，，
∴，
故选：C．
二.填空题（共6小题）
13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．
14. 在一个不透明的袋中装有1个白球和2个红球，它们除颜色不同外，其余均相同现从袋中随机摸出一个小球，则摸到红球的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用红球的个数除以球的总数即可得到答案．
【详解】解；∵一共有3个球，其中红球有2个，且每个球被摸到的概率相同，
∴摸到红球的概率是，
故答案为：．
15. 抛物线顶点坐标是______.
【答案】(2，5)
【解析】
【详解】试题分析：二次函数的顶点坐标是(－h，k).
二次函数的顶点坐标是(2，5).
考点：本题考查的是二次函数的顶点坐标
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二次函数的顶点坐标，即可完成．
16. 如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________cm．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中120°所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：根据题意，重物的高度为
（cm）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．
17. 如图，抛物线经过点，，则的解集为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系；
根据函数图象结合与x轴的交点坐标，找出时对应的x的取值范围即可．
【详解】解：由函数图象得，抛物线开口向下，
∵抛物线与x轴交于点，，
∴的解集为或，
故答案为：或．
18. 如图，在直角坐标系中，点A在函数的图象上，轴于点B，的垂直平分线与y轴交于点C，与函数的图象交于点D，连结，，，，若四边形的面积等于，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质，设，由于垂直平分，可求出，根据计算即可．
【详解】解：设与交于点M，

垂直平分，
∴，点D与点M的纵坐标相同，
设，则，
当，则，
∴，，
，
解得：
故答案为：．
三.解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，先计算括号内的加法，再计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法．
【详解】解：原式
．
20. 下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：①以上解题过程中，第二步是依据_________（运算律）进行变形的；
②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________．
任务二：请直接写出该不等式的正确解集_________．
任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式需要注意的事项给其他同学提一条建议_________
【答案】任务一：①乘法分配律（或分配律）；
②五不等式两边都除以，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的基本性质；
任务二：．
任务三：见解析
【解析】
【分析】去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1，依此即可求解．
【详解】解：，第一步
，第二步
，第三步
，第四步
，第五步
任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的；
②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以，不等号的方向没有改变；
任务二：该不等式的正确解集是．
任务三：建议在解不等式，系数化为1一步时，注意若系数是负数，不等号要改变方向．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题词关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
21. 如图，中，点D、E分别为、的中点．
（1）过点C作，并交延长线于点F（要求尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作，根据平行线的判定可得；
（2）求出，，利用可直接证明；
（3）根据是的中位线求出，再利用全等三角形的性质得出答案．
【小问1详解】
解：如图所示：点F，即为所求；
【小问2详解】
证明：由作图知，，
∵点E为的中点，
∴，
又∵，
∴；
【小问3详解】
∵点D、E分别为、的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键．
22. 为积极创建“全市儿童青少年近视防控示范学校”，培养学生良好的用眼习惯，某校本学期开展了正确用眼知识竞赛，从中随机抽取20份学生答卷，并统计成绩（成绩得分用x表示，单位：分），收集数据如下：
86 82 90 99 98 96 90 100 89 83
87 88 81 90 93 100 96 100 92 100
整理数据：
分析数据：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表格中a，b，c的值；
（2）该校有2700名学生参加了知识竞赛，请估计成绩不低于90分的人数；
（3）请从中位数、众数中选择一个量，结合本题解释它的意义．
【答案】（1）5；91；100
（2）1755人 （3）中位数：在统计的问卷的成绩中，最中间的两个分数的平均数是91分，众数：在统计的问卷的成绩中，得100分的人数最多．
【解析】
【分析】（1）用总人数减去已知人数即可得到a的值；将这20个数据按大小顺序排列，第10和11个数据的平均数即为中位数，出现次数最多的数据即为众数；
（2）先求出样本中不低于90分的人数所占样本的百分比，再乘以2700即可得到结果；
（3）根据中位数和众数的意义进行回答即可．
【小问1详解】
（人）；
将这组数据按照从小到大的顺序重新排列为：81，82，83，86，87，88，89，90，90，90，92，93，96，96，98，99，100，100，100，100
∴中位数（分）
∵100出现次数最多，出现4次，
∴众数；
【小问2详解】
估计成绩不低于90（分）的人数是（人），
答：估计成绩不低于90（分）的人数是1755人；
小问3详解】
中位数：在统计问卷的成绩中，最中间的两个分数的平均数是91分，
众数：在统计的问卷的成绩中，得100分的人数最多．
【点睛】本题主要考查了平均数、众数、中位数在实际问题中的正确应用，熟练掌握定义和计算公式是解题的关键
23. 为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
【答案】（1）（，且x为整数）
（2）每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克
【解析】
【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析式；
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量=每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案．
【小问1详解】
解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴（，且x为整数）；
【小问2详解】
解：设每平方米小番茄产量为W千克，
．
∴当时，w有最大值12.5千克．
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
24. 如图，是的外接圆，点O在边上，的平分线交于点D，连接、，过点D作的平行线与的延长线相交于点P．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出即可得出结论；
（2）先判断出，再判断出，即可得出结论；
（3）先求出，再判断出，利用勾股定理求出，最后用得出比例式求解即可得出结论．
【小问1详解】
证明：连接．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴是的切线；
【小问2详解】
证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：∵是直径，
∴，
∵，，
由勾股定理得：，
由（1）知，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出是解本题的关键．
25. 视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“”形图都是正方形结构，同一行的“”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
【答案】（1）①反比例；②；；（2）（3）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．
（1）①由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系；
②由待定系数法可得，将代入得：；
（2）由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得；
（3）由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案．
【详解】（1）①由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系；
②设，将其中一点代入得：，
解得：，
，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
将 代入得：；
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；
（2），
在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，
当时，，
，
；
（3）由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，
由相似三角形性质得，
由探究1知，
，
解得，
答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．
26. 综合与实践：在数学活动课上，老师带领同学们以“矩形的折叠”为主题展开综合与实践活动．
（1）如图1，老师的操作如下：
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：再一次折叠纸片，使点A落在上，记作点M，并使折痕经过点B，得到折痕．把纸片展平，连接．则 度．
（2）“先锋”小组将矩形纸片剪成正方形纸片后继续探究，过程如下：
操作三：如图2，将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，则与的数量关系是 ．
操作四：如图3，改变折痕的位置（点P不与点A、D重合），使点M位于EF的下方，则“操作三”中与的数量关系还成立吗？请说明理由．
（3）“启思”小组继续思考，经过讨论，提出如下问题：如图3，当正方形纸片的边长为10，时，求AP的长．
【答案】（1）
（2）；成立，理由见解析
（3）
【解析】
分析】（1）连接，证明，结合可以求出，即可得到答案；
（2）结合折叠和正方形的性质证明，即可得到；
（3），根据正方形和折叠的性质可以得到，，，根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：如下图所示，连接，
由题意可得，，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,
故答案为：；
【小问2详解】
解：（1）如下图所示，
根据折叠的性质得，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如下图所示，
根据折叠的性质得，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴结论依然成立；
【小问3详解】
解：如下图所示，
∵的边长为10，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
则,，
∴，
在直角三角形中，
∴，
解方程得，
∴．3
4
a
8
平均数
中位数
众数
92
b
c
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
（1）探究1 检测距离为5米时，①猜想n与b满足______函数关系（填：一次或二次或反比例）；
②直接写出n与b的函数关系式为______；③求视力值1.2所对应行的“”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“”形图所成的角叫做分辨视角．视力值n与分辨视角（分）的对应关系近似满足．
（2）探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性求出对应的分辨视角的范围．
素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的Ⅰ号“”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“”测得的视力相同．
（3）探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行“”形图边长．