选择性必修 第一册2.4 圆的方程同步达标检测题

这是一份选择性必修 第一册2.4 圆的方程同步达标检测题，共18页。试卷主要包含了若x，y满足，则的最小值是，已知的顶点坐标分别为，则等内容，欢迎下载使用。

单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（ ）
A．-7B．-5C．-2D．2
2．直线恒过定点M，则直线关于点M对称的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．若x，y满足，则的最小值是（ ）
A．5B．C．D．无法确定
4．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．5C．D．
5．过点作圆的两条切线，设切点分别为、，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．在平面直角坐标系中，以点为圆心，且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当 的面积最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
8．已知直线和与圆都相切，则圆的面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．下列的值中，不能使三条直线和构成三角形的有（ ）
A．4B．C．D．
10．已知的顶点坐标分别为，则（ ）
A．为直角三角形
B．过点P斜率范围是的直线与线段有公共点
C．是的一条中位线所在直线方程
D．是的一条高线所在直线的方程
11．圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知圆，一条光线从点射出经轴反射，下列结论正确的是（ ）
A．圆关于轴的对称圆的方程为
B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为
C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则
D．若反射光线与圆交于两点，则面积的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点为直线上任意一点，动直线经过的定点坐标为___________.
14．已知一直线的倾斜角为，且，则该直线的斜率的取值范围是______．
15．已知圆满足：圆心在直线上，且过圆与圆的交点，则圆的半径为__________．
16．当直线l：ax－y＋2－a＝0被圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9截得的弦长最短时，实数a的值为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知直线与直线垂直，垂足为，求过点H，且斜率为的直线方程.
18．在①它的倾斜角比直线的倾斜角小，②与直线垂直，③在轴上的截距为，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知直线l过点，且______，求直线l的方程．
19．经过点的直线l被两条直线和所截得的线段恰被点A平分，求直线l的方程．
20．圆C过点，且圆心在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程．
21．已知圆心为的圆经过这三个点．
(1)求圆的标准方程；
(2)直线过点，若直线被圆截得的弦长为10，求直线的方程．
22．已知点Q是圆上任意一点，点，点，点P满足，
(1)求P点的轨迹方程；
(2)求的最大值和最小值．
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》
综合检测卷（培优B卷）
单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（ ）
A．-7B．-5C．-2D．2
【答案】A
【分析】根据两点坐标，列出斜率表达式，然后根据倾斜角得到斜率，列出方程求解即可.
【详解】因为两点所在直线的倾斜角为，
则，即
故选:A.
2．直线恒过定点M，则直线关于点M对称的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求定点M的坐标，再利用相关点法求直线方程.
【详解】∵，即
则可得，解得
∴直线恒过定点
在所求直线上任取一点，设点关于点M对称的点为
则有，解得
∵点在直线上，则，即
∴所求直线方程为
故选：A.
3．若x，y满足，则的最小值是（ ）
A．5B．C．D．无法确定
【答案】C
【分析】由为圆上的点与原点距离的平方，结合圆的性质即得.
【详解】由，可得，
表示以为圆心，以为半径的圆，
设原点， ，
则（为圆上的点与原点距离的平方）的最小值是
．
故选：C．
4．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】A
【分析】先找出B关于直线的对称点C再连接AC即为“将军饮马”的最短路程.
【详解】如图所示，
设点关于直线的对称点为，在直线上取点P，连接PC，则．由题意可得，解得，即点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为．
故选：A．
5．过点作圆的两条切线，设切点分别为、，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，可知圆的圆心为，半径，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案．
【详解】解：根据题意，可知圆的圆心为，半径，
过点作圆的两条切线，设切点分别为、，
而，则，
则以为圆心，为半径为圆为，即圆，
所以为两圆的公共弦所在的直线，则有，
作差变形可得：；
即直线的方程为.
故选：B.
6．在平面直角坐标系中，以点为圆心，且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求得动直线过定点，再由已知得到圆心到顶点的距离为最大半径，由圆心，半径可确定满足条件的圆的标准方程.
【详解】解：直线，变形可得，
所以该动直线过定点，
则以点为圆心且与直线相切的所有圆中，圆心到定点的距离为最大半径，
所以半径的最大值为，
则半径最大的圆的标准方程为定点．
故选：A
7．过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当 的面积最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由截距式设出的方程，由此得出，结合基本不等式得出，从而得出当时，的面积最小，即可得出此时直线的方程.
【详解】设的方程为，则有
因为，所以，即
所以，当且仅当，即时，取“=”.
即当时，的面积最小.
此时的方程为，即.
故选：A
【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴围成图形的面积问题，涉及了基本不等式的应用，属于中档题.
8．已知直线和与圆都相切，则圆的面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由两平行间距离公式求得圆半径，再表示出圆面积，利用基本不等式、不等式的性质得最大值．
【详解】圆半径为，
由题意两直线平行，它们间的距离为，，
则，
显然只有时面积才可以取得最大值．
当时，，当且仅当，即时等号成立，
故选：B．
多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．下列的值中，不能使三条直线和构成三角形的有（ ）
A．4B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据题意，可分、、和三条直线经过一个点，四种情况分类讨论，即可求解.
【详解】由题意，
当三条直线和，
若时，可得；
当时，可得；
当时，则满足，无解；
当三条直线经过一个点时，把和的交点为，
代入直线中，可得，解得或，
综上可得，满足条件的为或或或.
故选：ACD.
10．已知的顶点坐标分别为，则（ ）
A．为直角三角形
B．过点P斜率范围是的直线与线段有公共点
C．是的一条中位线所在直线方程
D．是的一条高线所在直线的方程
【答案】AC
【分析】求直线的斜率，根据斜率关系判断与的位置关系，由此判断的形状，结合图像及两点斜率公式判断B，求的中位线方程，判断C，求的高的方程判断D.
【详解】由已知，所以，故为直角三角形，A正确；如图可得过点P与线段有公共点的直线斜率范围是，B错误；的中点为，的中点为，的中点为，过点，的直线方程为，所以为的一条中位线，故C正确；直线直线的斜率为，又，，所以直线与的三条边都不垂直，所以直线不是的高，故D错误，
故选：AC.
11．圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】由圆的几何关系可知圆心在直线x＋y＝0上，设出圆心坐标为（a，－a），利用圆心到圆上点的距离等于半径列方程即可求解.
【详解】由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为（a，－a），
则，解得a＝0或a＝1，
∴所求圆的方程为或,
故选：AD．
12．已知圆，一条光线从点射出经轴反射，下列结论正确的是（ ）
A．圆关于轴的对称圆的方程为
B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为
C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则
D．若反射光线与圆交于两点，则面积的最大值为
【答案】ABD
【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，由此可得对称圆的圆心和半径，进而得到所求圆的方程，知A正确；根据反射光线过圆心可知入射光线过点，由此可求得入射光线所在直线方程，知B正确；由反射光线经过点，可将转化为，由可知C错误；设，可求得，由正弦型函数的最值可知D正确.
【详解】对于A，由圆方程知：圆心，半径，
圆关于轴对称的圆的圆心为，半径为，
所求圆的方程为：，即，A正确；
对于B，反射光线平分圆的周长，反射光线经过圆心，
入射光线所在直线经过点，，
入射光线所在直线方程为：，即，B正确；
对于C，反射光线经过点关于轴的对称点，
，
，则，C错误；
对于D，设，
则圆心到切线的距离，
，
，
则当时，，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点为直线上任意一点，动直线经过的定点坐标为___________.
【答案】
【分析】由题意可得，得，从而可求出动直线过的定点.
【详解】由已知得：，故动直线方程为，
所以，
则，得
故定点为；
故答案为：
14．已知一直线的倾斜角为，且，则该直线的斜率的取值范围是______．
【答案】
【分析】由倾斜角和斜率的关系进行求解.
【详解】因为直线的倾斜角为，且，
当时，；
当时，；
即该直线的斜率的取值范围是.
故答案为：.
15．已知圆满足：圆心在直线上，且过圆与圆的交点，则圆的半径为__________．
【答案】
【分析】利用弦的中垂线过圆心可求圆心坐标，再联立两圆方程求得交点坐标即可求解.
【详解】设圆与圆的交点为,
由题可得，
由点斜式化简得的直线方程为，
因为为弦的中垂线，所以过点，
联立 解得，所以圆心.
联立，消元化简得，
解得或，所以,
所以圆的半径为.
故答案为:.
16．当直线l：ax－y＋2－a＝0被圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9截得的弦长最短时，实数a的值为________.
【答案】2
【分析】求出直线过的定点，数形结合得到当MC与l垂直时，弦长最短，利用垂直时斜率关系列出方程，求出实数a的值.
【详解】由ax－y＋2－a＝0得直线l恒过点M(1，2).又因为点M(1，2)在圆C的内部，
当MC与l垂直时，弦长最短，所以，所以×a＝－1，解得:a＝2 .
故答案为：2
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知直线与直线垂直，垂足为，求过点H，且斜率为的直线方程.
【答案】
【分析】根据垂直关系得到，结合垂足在直线上得到H(1，-2)及，从而可得直线方程.
【详解】解：∵∴解得，∴直线l1的方程为.
又∵点在直线l1上，∴，即H(1，-2).
又∵点H(1，-2)在直线l2上，.解得，
∴所求直线的斜率为，其方程为，即
18．在①它的倾斜角比直线的倾斜角小，②与直线垂直，③在轴上的截距为，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知直线l过点，且______，求直线l的方程．
【答案】选①，直线方程为；选②，直线方程为；选③，直线方程为.
【分析】选①,根据已知直线的倾斜角求直线l倾斜角，得直线斜率，利用点斜式求解，选②根据与已知直线垂直设所求直线，代入已知点求解，选③，根据轴上的截距知直线过点，两点式求解即可.
【详解】选①，的斜率，故直线倾斜角为，所以直线l的倾斜角为，
故直线l方程为：，即；
选②，与直线垂直，可设直线l方程为：，
又直线l过点，所以，解得，
故所求直线方程为；
选③，直线在轴上的截距为知，直线过点，又直线l过点，
故所求直线方程为，即.
19．经过点的直线l被两条直线和所截得的线段恰被点A平分，求直线l的方程．
【答案】
【分析】首先判断直线的斜率存在，设直线，分别联立方程组可得、坐标，由中点公式可得的方程，解出，代入直线方程即可．
【详解】当直线l的斜率不存在时，直线方程为，两交点为，不满足所截得的线段恰好被点P平分，
当直线l的斜率存在时，设直线且，
联立方程组可得，，
同理联立方程组可得，，
由中点坐标公式得，解得，
直线的方程为．
20．圆C过点，且圆心在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程，与直线方程联立解得圆心坐标，然后求出半径后可得圆标准方程；
（2）设线段的中点，用表示出，代入圆方程可得结论．
【详解】(1)直线的斜率，所以的垂直平分线m的斜率为1．
的中点，因此，直线m的方程为．即．
联立方程组，解得．所以圆心坐标为，又半径，
则所求圆的方程是．
(2)设线段的中点，则，解得
代入圆C中得，
即线段中点M的轨迹方程为．
21．已知圆心为的圆经过这三个点．
(1)求圆的标准方程；
(2)直线过点，若直线被圆截得的弦长为10，求直线的方程．
【答案】(1)；(2)或
【分析】（1）设圆的标准方程为，带入三点坐标解方程组可得答案；
（2）当直线的斜率不存在时，得直线方程求弦长；当直线的斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线的距离、圆的半径、弦的一半构成的直角三角形计算可得答案.
【详解】（1）设圆的标准方程为，
因为过，所以
，解得，
所以圆的标准方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，其方程为，
由，解得或，
所以直线被圆截得的弦长为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设其方程为，即，
圆心到直线的距离为，
因为直线被圆截得的弦长为10，所以，
即，解得，
直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
22．已知点Q是圆上任意一点，点，点，点P满足，
(1)求P点的轨迹方程；
(2)求的最大值和最小值．
【答案】(1)；(2)最大值8，最小值2.
【分析】（1）设，代入坐标化简即得点的轨迹方程；
（2）先判断两圆相离，再数形结合分析即得解.
【详解】（1）解：设，由可得，
化简得，所以点的轨迹方程为.
（2）解：点的轨迹为圆心坐标为，半径为2的圆.
点Q在圆上，两圆的圆心距为，所以两圆相离.
故的最小值为,最大值为.