(人教A版选择性必修第一册)高二数学同步讲义第一章《空间向量与立体几何》单元综合检测卷(基础A卷)(原卷版+解析)

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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》综合检测卷（基础A卷）单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．对于空间的任意三个向量､､，它们一定是（       ）A．共面向量 B．共线向量C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量2．已知正四面体的棱长为1，且，则（       ）A． B． C． D．3．在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（       ）A． B．C． D．4．已知空间向量，，，则下列结论正确的是（       ）A．且 B．且C．且 D．以上都不对5．在正方体中，E，F，G分别是，的中点，则（       ）A．平面 B．平面C．平面 D．平面6．已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（       ）A． B． C． D．7．如图，空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（       ）A． B． C． D．8．如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线，的位置关系是（       ）A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知，，，则下列结论正确的是（       ）A． B．C．为钝角 D．在方向上的投影向量为10．（多选题）下面四个结论正确的是（     ）A．空间向量，若，则B．若对空间中任意一点，有，则四点共面C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底D．任意向量满足11．在正方体中，E，F分别是和的中点，则下列结论错误的是（       ）A．平面CEFB．平面CEFC．D．点D与点到平面CEF的距离相等12．关于正方体，下列说法正确的是（       ）A．直线平面B．若平面与平面的交线为l，则l与所成角为C．棱与平面所成角的正切值为D．若正方体棱长为2，P，Q分别为棱的中点，则经过A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形的周长为填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量可作为空间的一组基底，若，且在基底下满足，则 __．14．以下真命题共有___________个.①一个平面的单位法向量是唯一的；②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行；③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交.15．已知是直线l的方向向量，是平面a的法向量．若，则_________．16．已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，已知，分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.求证：，，三点共线.18．如图，在平行四边形中，且，将沿折起，使与所成的角为60°．(1)求；(2)求点，间的距离．19．设，，且.记.(1)求与y轴正方向的夹角的余弦值；(2)若，，，向量与、都垂直，且，求的坐标.20．如图，在直四棱柱中，，，，．求证：；21．如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，．(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的正弦值；(3)求到平面的距离．22．在直角梯形中，，A为线段的中点，四边形为正方形．将四边形沿折叠，使得，得到如图（2）所示的几何体．(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)当F为线段的中点时，求二面角的余弦值．高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》综合检测卷（基础A卷）单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．对于空间的任意三个向量､､，它们一定是（       ）A．共面向量 B．共线向量C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量【答案】A【分析】结合共面向量定理及共线向量判断即可.【详解】若､不共线，则由共面向量定理知，､､共面；若､共线，则､､共线，也共面.故选：A.2．已知正四面体的棱长为1，且，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量减法的三角形法则和向量的数量积的定义和正四面体的定义即可求解.【详解】因为，所以.根据向量的减法法则，得，所以.故选：C.3．在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于、的表达式，再利用可求得结果.【详解】由已知，所以，，故选：D.4．已知空间向量，，，则下列结论正确的是（       ）A．且 B．且C．且 D．以上都不对【答案】C【分析】根据空间向量垂直平行的性质判断即可【详解】由题，因为，故，又，故故选：C5．在正方体中，E，F，G分别是，的中点，则（       ）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】A【分析】取、、的中点分别记为、、，画出图形根据线面平行的判定定理及空间向量法证明即可；【详解】解：取、、的中点分别记为、、，连接、、、，根据正方体的性质可得面即为平面，对于A：如图，，平面，平面，所以平面，故A正确；对于B：如图，在平面中，，则平面，所以B错误；对于C、D：如图，平面，因为过平面外一点作（）仅能作一条垂线垂直该平面，故C、D错误；其中平面可按如下证明：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，，所以，，，所以，，即，，又，平面，所以平面；故选：A6．已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点，所以，因为M为BC中点，N为AD中点，所以有，，根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为，故选：B7．如图，空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据空间向量线性运算法则用，，表示出，再根据数量积的运算律计算可得.【详解】解：，，．又，，，所以，，，所以，所以.故选：A．8．如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线，的位置关系是（       ）A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直【答案】C【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，再计算可得即可得直线，异面垂直.【详解】以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则，，，.∴，，∴，∴直线，异面垂直.故选：C多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知，，，则下列结论正确的是（       ）A． B．C．为钝角 D．在方向上的投影向量为【答案】BD【分析】利用向量垂直，平行的坐标关系判断A，B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D.【详解】因为，所以，不垂直，A错，因为，所以，B对，因为，所以，所以不是钝角，C错，因为在方向上的投影向量，D对，故选：BD.10．（多选题）下面四个结论正确的是（     ）A．空间向量，若，则B．若对空间中任意一点，有，则四点共面C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底D．任意向量满足【答案】ABC【分析】对于A，根据数量积的性质判断，对于B，利用空间向量共面定理判断，对于C，利用基底的定义判断，对于D，利用数量积的定义分析判断【详解】对于：空间向量，若，则，故正确；对于B：若对空间中任意一点，有，由于，则四点共面，故B正确；对于C：已知是空间的一组基底，若，则两向量之间不共线，故也是空间的一组基底，故C正确；对于D：任意向量满足，由于是一个数值，也是一个数值，则说明和存在倍数关系，由于是任意向量，不一定存在倍数关系，故D错误．故选：ABC．11．在正方体中，E，F分别是和的中点，则下列结论错误的是（       ）A．平面CEFB．平面CEFC．D．点D与点到平面CEF的距离相等【答案】BD【分析】A选项，线线平行证明线面平行；B选项，建立空间直角坐标系，利用向量解决线面关系；C选项，利用空间向量计算验证；D选项，得到点D与点中点O在，从而证明点D与点的中点O不在平面CEF，进而证明出点D与点到平面CEF的距离不相等.【详解】对选项A，因为E，F分别是和的中点，故，且平面CEF，平面CEF，故∥平面CEF成立.选项B，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为2，则，.故.故，不互相垂直.又平面CEF，故平面CEF不成立；对选项C，利用B选项建立的空间直角坐标系有，，故成立，选项D，若点D与点到平面CEF的距离相等，则点D与点的中点O在平面CEF上，连接AC，AE易得平面CEF即平面CAEF.又点D与点中点O在上，故点O不在平面CEF上，故D不成立.故选：BD12．关于正方体，下列说法正确的是（       ）A．直线平面B．若平面与平面的交线为l，则l与所成角为C．棱与平面所成角的正切值为D．若正方体棱长为2，P，Q分别为棱的中点，则经过A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形的周长为【答案】ABD【分析】对于A：利用空间向量可得∥，即直线平面；对于B：结合图形可得交线为l即直线，利用空间向量求异面直线夹角；对于C：，利用空间向量处理线面夹角问题；对于D：通过平行分析可知经过A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形．【详解】如图1，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则设平面的一个法向量，则有令，则，即∵，则，即∴∥，则直线平面，A正确；结合图形可知为平面与平面的交点，则交线为l即为直线∴，则∴l与所成角为，B正确；∵，则∴棱与平面所成角的正切值为，C不正确；如图2，取棱的中点，连接∵分别为的中点，则∥且又∵∥且，则∥且∴为平行四边形，则∥∵分别为的中点，则∥且∴为平行四边形，则∥∴∥同理可证：∥∴经过A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形∵，则其周长为，D正确；故选：ABD．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量可作为空间的一组基底，若，且在基底下满足，则 __．【答案】2【分析】根据题意利用向量相等列出方程组求出的值．【详解】因为，且，所以，解得故答案为：2．14．以下真命题共有___________个.①一个平面的单位法向量是唯一的；②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行；③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交.【答案】1【分析】利用单位向量和平面法向量的定义否定命题①；利用直线与平面平行的判定定理否定命题②；利用两个平面位置关系定义判断命题③.【详解】①一个平面的单位法向量有无穷多个.判断错误；②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行或这条直线在这个平面内.判断错误；③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交.判断正确.综上，正确命题共有1个故答案为：115．已知是直线l的方向向量，是平面a的法向量．若，则_________．【答案】【分析】根据线面垂直的性质，结合法向量的性质可得，进而求得再求解即可【详解】∵，∴，∴，故，解得，∴．故答案为：16．已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_________.【答案】##【分析】利用空间向量求点到平面的距离即可.【详解】由题可得，又是平面的一个法向量，∴则点P到平面的距离为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，已知，分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.求证：，，三点共线.【答案】证明见解析.【分析】设，，，结合已知条件可得，再由有公共端点，即可得结论【详解】证明：取的中点，连接，因为，分别为四面体的面与面的重心，所以在上，在上，设，，，因为为的重心，所以，因为，所以,所以，因为为的重心，所以，∴.又，∴，，三点共线.18．如图，在平行四边形中，且，将沿折起，使与所成的角为60°．(1)求；(2)求点，间的距离．【答案】(1)2或-2；(2)或【分析】（1）由空间向量数量积的定义即可求解；（2）由即可求解.【详解】(1)解：由已知得，翻折后与所成的角为60°，所以或120°，所以，或．(2)解：连接，由已知得，，，所以或5，解得或，即点，间的距离为或．19．设，，且.记.(1)求与y轴正方向的夹角的余弦值；(2)若，，，向量与、都垂直，且，求的坐标.【答案】(1)；(2)或【分析】（1）由向量的夹角公式计算即可.（2）由向量的模长公式以及数量积公式直接计算即可得到答案.【详解】(1)y轴正方向的单位向量，，.(2)若，，，，，即，设.由已知得解得或即或.20．如图，在直四棱柱中，，，，．求证：；【答案】证明见解析【分析】根据直四棱柱的性质可得，，再由，即可建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】证明：在直四棱柱中平面，平面．所以，．又，所以，，两两互相垂直，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．所以，．所以，所以．21．如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，．(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的正弦值；(3)求到平面的距离．【分析】（1）连接，，连接，即可得到，从而得证；（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；【详解】(1)证明：连接，，连接，在直三棱柱中为矩形，则为的中点，又为的中点，所以，平面，平面．平面．(2)解：，，，，．由直三棱柱中，底面，底面，，．以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，设与平面所成的角为，则，所以与平面所成角的正弦值为；(3)解：设到平面的距离为，则；22．在直角梯形中，，A为线段的中点，四边形为正方形．将四边形沿折叠，使得，得到如图（2）所示的几何体．(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)当F为线段的中点时，求二面角的余弦值．【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用即可向量法计算可得；【详解】(1)解：依题意可得、，，如图建立空间直角坐标系，则、、、、、，所以，，，设平面的法向量为，所以，令，则，，所以，设直线与平面所成角为，则(2)解：依题意可得，则，设平面的法向量为，所以，令，则，则，显然二面角的锐二面角，所以二面角的余弦值为；