(人教A版选择性必修第一册)高二数学同步讲义第一章《空间向量与立体几何》单元综合检测卷(拔尖C卷)(原卷版+解析)

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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》综合检测卷（拔尖C卷）单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．，若三向量共面，则实数（       ）A．3 B．2 C．15 D．52．如图，三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的值为（       ）A． B．1 C． D．3．如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（       ）A． B． C． D．4．设x，,向量，且，则的值为（　　）A．-1 B．1 C．2 D．35．在直三棱柱中，底面是以B为直角项点，边长为1的等腰直角三角形，若在棱上有唯一的一点E使得，那么（       ）A．1 B．2 C． D．6．如图，圆台的轴截面ABCD为等腰梯形，，E为弧AB的中点，F为母线BC的中点，则异面直线AC和EF所成角的正切值为（       ）A． B． C． D．27．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆的直径，为圆上的点，则的最大值为（       ）A．4 B． C．5 D．8．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（       ）A． B． C． D．多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．若l1，l2，l3是三条互相平行的直线，l1与l2之间距离为1，l1与l3之间距离为1，l2与l3之间距离为，A，B是直线l1上的点，且，C，D分别是直线l2，l3上的点，则（       ）A．的面积是定值 B．面积的最小值是C．三棱锥的体积是 D．10．已知空间向量、、都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（       ）A．向量的模是3 B．、、两两垂直C．向量和夹角的余弦值为 D．向量与共线11．如图，四棱锥，平面平面ABCD，侧面PAD是边长为的正三角形，底面ABCD为矩形，，点Q是PD的中点，则下列结论正确的有（       ）A．平面PAD B．直线QC与PB是异面直线C．三棱锥的体积为 D．四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为12．若正方体的棱长为1，且，其中，则下列结论正确的是（       ）A．当时，三棱锥的体积为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，的最小值为D．若，点P的轨迹为一段圆弧填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．下列关于空间向量的说法中，正确的有___________.①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则②若非零向量，，满足，，，则有③是，共线的充分不必要条件④若，共线，则14．设,是正方体的棱和的中点,在正方体的条面对角线中,与截面成角的对角线的数目是______.15．设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．16．正四棱柱中，，，点为侧面上一动点（不含边界），且满足.记直线与平面所成的角为，则的取值范围为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；(2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有．18．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求:(1)的长;(2)直线与所成角的余弦值.19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：如图，在正方体，中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，为棱上的动点，为棱上的动点，______，则是否存在点，，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．如图所示，在直三棱柱中，，，，.(1)求证：；(2)在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由．21．如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，E是的中点．(1)若的中点是M，求证：平面；(2)若，求平面与平面所成二面角的正弦值．22．某商品的包装纸如图1所示，四边形ABCD是边长为3的菱形，且∠ABC＝60°，，．将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N重合，记为点P，恰好形成如图2所示的四棱锥形的包装盒．(1)证明：底面ABCD；(2)设T为BC边上的一点，且二面角的正弦值为，求PB与平面PAT所成角的正弦值．高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》综合检测卷（拔尖C卷）单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．，若三向量共面，则实数（       ）A．3 B．2 C．15 D．5【答案】D【分析】利用向量共面的坐标运算进行求解即可.【详解】∵，∴与不共线，又∵三向量共面，则存在实数m，n使即，解得．故选：D．2．如图，三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的值为（       ）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】先证明平面，得到，再根据空间向量的线性运算和数量积的定义，计算即可.【详解】取的中点，连接，和都是等边三角形，，，平面，平面，平面，面，，在中，，，由余弦定理，.故选：A.3．如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解.【详解】解：，，，，所以，故选：B4．设x，,向量，且，则的值为（　　）A．-1 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据向量的垂直和平行列出相应的方程组，解得的值，可得答案.【详解】由得： ，解得，故，故选：A.5．在直三棱柱中，底面是以B为直角项点，边长为1的等腰直角三角形，若在棱上有唯一的一点E使得，那么（       ）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，设出，根据垂直和唯一的点E得到方程由唯一解，根据二次函数根的分布问题求出.【详解】如图，以B为坐标原点，BA，BC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，，则，则，因为在棱上有唯一的一点E使得，所以在上有唯一的解，令，可知，故要想在上有唯一的解，只需，因为，所以解得：故选：B6．如图，圆台的轴截面ABCD为等腰梯形，，E为弧AB的中点，F为母线BC的中点，则异面直线AC和EF所成角的正切值为（       ）A． B． C． D．2【答案】C【分析】设圆台的上底面圆心为，下底面圆心为，则为圆台的高，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，求出，可得，设异面直线AC和EF所成角为，利用同角三角函数关系式可得答案.【详解】设圆台的上底面圆心为，下底面圆心为，则，连接，因为是弧AB的中点，所以，以为原点，分别以为轴建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，，设异面直线AC和EF所成角为，所以，可得.故选：C.7．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆的直径，为圆上的点，则的最大值为（       ）A．4 B． C．5 D．【答案】A【分析】根据已知条件作出图形，利用向量的线性运算及数量积公式，结合锐角三角函数即可求解.【详解】如图所示由题意可知，，因为为的中点，所以,所以，当时，取最小值，此时取最大值，所以的最大值为4.故选:A.8．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求解异面直线与所成角的余弦值.【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接以为原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则则又异面直线所成角的范围为故异面直线与所成角的余弦值为故选：A多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．若l1，l2，l3是三条互相平行的直线，l1与l2之间距离为1，l1与l3之间距离为1，l2与l3之间距离为，A，B是直线l1上的点，且，C，D分别是直线l2，l3上的点，则（       ）A．的面积是定值 B．面积的最小值是C．三棱锥的体积是 D．【答案】ABD【分析】构造直三棱柱中，使得且，则可以看做所在直线，可以看做所在直线，可以看做所在直线，如图所示建立空间直角坐标系，根据面积公式及锥体的体积公式判断A、B、C，再根据空间向量的坐标运算判断D；【详解】解：如图所示直三棱柱中，且，则可以看做所在直线，可以看做所在直线，可以看做所在直线，如图建立空间直角坐标系，设，，，，则，，对于A：因为，且，即到的距离均为，所以为定值，故A正确；依题意即为在底面的投影，所以，即面积的最小值是，故B正确；因为点到平面的距离，所以，故C错误；所以，，所以，故D正确；故选：ABD10．已知空间向量、、都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（       ）A．向量的模是3 B．、、两两垂直C．向量和夹角的余弦值为 D．向量与共线【答案】BC【分析】利用向量的模的性质将的模转化为数量积求解，即可判断选项，计算数量积根据结果判断选项，利用两个向量夹角的余弦公式进行求解，即可判断选项，利用向量的夹角公式求出向量与的夹角，即可判断选项．【详解】对于选项，因为空间向量都是单位向量，且两两垂直，所以，且，则，所以向量的模是，故选项错误；对于选项，因为空间向量都是单位向量，且两两垂直，所以，故、、两两垂直，故选项正确；对于选项，设与的夹角为，则，所以向量和夹角的余弦值为，故选项 正确；对于选项，因为，同理可得，则，所以向量与的夹角为，则向量与不共线，故选项错误．故选：．11．如图，四棱锥，平面平面ABCD，侧面PAD是边长为的正三角形，底面ABCD为矩形，，点Q是PD的中点，则下列结论正确的有（       ）A．平面PAD B．直线QC与PB是异面直线C．三棱锥的体积为 D．四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为【答案】BD【分析】取的中点，的中点，连结，，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，看其是否与共线，从而可判断选项A；易知直线QC与PB不相交，再说明直线QC与PB不共线，从而可判断选项B；根据可求出体积，可判定选项C；将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，求出正四面体的棱长，从而可求出正四面体的表面积，可判定选项D．【详解】解：取的中点，的中点，连结，，因为三角形为等边三角形，所以，因为平面平面，所以平面，因为，所以，，两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示，则，，因为点时的中点，所以，平面的一个法向量为，显然与不共线，所以与平面不垂直，故选项A不正确；，则不共线，故直线QC与PB不共线，由图可知直线QC与PB不相交，所以直线QC与PB是异面直线，所以B正确；三棱锥的体积为，所以C不正确；设四棱锥外接球的球心为，，，则，所以，解得，即，，为矩形对角线的交点，所以四棱锥外接球的半径为3，设四棱锥外接球的内接正四面体的棱长为，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为，所以，得，所以正四面体的表面积为，所以D正确．故选：BD．【点睛】本题主要考查了线面垂直，异面直线的定义，棱锥的体积以及棱锥的外接球等知识，综合性强，同时考查了转化能力和运算求解能力．12．若正方体的棱长为1，且，其中，则下列结论正确的是（       ）A．当时，三棱锥的体积为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，的最小值为D．若，点P的轨迹为一段圆弧【答案】AC【分析】当时，可得点P的轨迹，根据线面平行的判定定理及性质，可得P到平面的距离不变，即可判断A的正误；当时，可得点P的轨迹，利用反证法可证，P到平面的距离在变化，即可判断B的正误；当时，可得三点共线，利用翻折法，可判断C的正误；如图建系，求得各点坐标，分别求得和的余弦值，列出方程，计算分析，可判断D的正误，即可得答案.【详解】因为，其中，所以点P在平面内运动，对于A：取AD中点E、中点F，连接EF，所以，因为平面，平面，所以平面，当时，则，所以点P在线段EF上运动，因为平面，所以无论点P在EF任何位置，P到平面的距离不变，即高不变，所以三棱锥的体积为定值，故A正确；对于B：取中点G，中点H，连接GH，当时，，所以点P在GH上运动，假设平面，又，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，与已知矛盾，故假设不成立，所以GH不平行平面，所以P在GH上运动时，P到平面的距离在变化，所以三棱锥的体积不是定值，故B错误；对于C：连接，，，当时，可得三点共线，将沿翻折至与平面共面，如下图所示连接AB，当P为AB与交点时，最小，即为AB，因为均为面对角线，所以，即为等边三角形，又，，所以，，所以在中，由正弦定理得，所以，故C正确；对于D：分别以DA、DC、为x，y，z轴正方向建系，如图所示，则，设，所以，所以因为平面，平面，所以，又，所以，所以，整理得，所以，即，所以P点轨迹为线段，故D错误故选：AC【点睛】解题的关键是熟练掌握线面平行判定与性质，向量共线、数量积求夹角等知识，综合性较强，难度较大，考查学生分析理解，计算求值的能力，属难题.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．下列关于空间向量的说法中，正确的有___________.①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则②若非零向量，，满足，，，则有③是，共线的充分不必要条件④若，共线，则【答案】①③【分析】由空间向量基本定理可判断①；根据空间向量的位置关系可判断②；由向量的数量积以及充分条件和必要条件的定义可判断③；根据共线向量的定义可判断④，进而可得正确答案.【详解】对于①：若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故①正确；对于②：若非零向量，，满足，，，则与不一定共线，故②不正确；对于③：由可得：，可得，即，所以，反向共线，故充分性成立，若，共线则，当时，不成立，故是，共线的充分不必要条件，故③正确；对于④：若，共线，则或与重合，故④不正确；所以正确的有①③，故答案为：①③.14．设,是正方体的棱和的中点,在正方体的条面对角线中,与截面成角的对角线的数目是______.【答案】【分析】由于平面不是特殊的平面,故建系用法向量求解,以为原点建系,正方体三边为坐标轴,求出平面的法向量,求解面对角线和的夹角,即可求得答案.【详解】以点为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴设正方体棱长为2,如图:则 , 当面对角线与截面成角, 需保证直线与法向量的夹角为,即其余弦值设平面的法向量 可得: ,取 ,则 当两条面对角线平行时,求解其中一条与面的法向量夹角即可. 平面中与平行,故不符合题意.综上所述,符合题意的面对角线为:共条.故答案为:.【点睛】本题考查了线面角求法,根据题意画出几何图形,掌握正方体结构特征是解本题的关键.对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,属于基础题.15．设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．【答案】【分析】以方向为轴，垂直于方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由的表达式即可求得最小值.【详解】以方向为轴建立空间直角坐标系，则，， 设 则，当时的最小值是， 取 则 又因为是任意值，所以的最小值是.取 则 又因为是任意值，所以的最小值是.故答案为：.16．正四棱柱中，，，点为侧面上一动点（不含边界），且满足.记直线与平面所成的角为，则的取值范围为_________.【答案】【分析】建立空间直角坐标系，设，由，得到，根据，得到或，然后利用线面角的向量求法求解.【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系：则，设，所以，因为，所以，则，因为，则，解得或，易知平面的一个法向量为，所以，则，所以，故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；(2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有．【分析】（1）通过证明来证得四点共面.（2）利用空间向量运算证得结论成立.【详解】(1).,所以，所以四点共面.(2).18．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求:(1)的长;(2)直线与所成角的余弦值.【分析】（1）利用基底表达，求解，从而求出；（2）计算出，用向量夹角余弦公式求解.【详解】(1)，，故，所以的长为；(2)，由（1）知：，设直线与所成角为∴，∴直线与所成角的余弦值为.19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：如图，在正方体，中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，为棱上的动点，为棱上的动点，______，则是否存在点，，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标可得向量的坐标，由向量的坐标运算可计算模长以及数量积，进而可求解.【详解】方案一：选条件①．假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，则，，，，，所以．设，，则，，，所以，．因为，所以，即．因为，，所以，所以．又，所以，故存在点，，满足，此时．方案二：选条件②．假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，则，，，，，所以．设，，则，，，所以，．因为，且，所以，解得．又，所以，故存在点，，满足，此时．方案三：选条件③．假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，则，，，，所以，．设，，则．因为，所以与不共线，所以，即，则，故不存在点，满足．20．如图所示，在直三棱柱中，，，，.(1)求证：；(2)在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由．【分析】（1）本题首先以为坐标原点建立空间直角坐标系，然后得出、，最后根据即可证得；（2）本题可假设点存在，则，然后通过得出，最后求出的值，即可得出结论.【详解】（1）因为，，，所以，如图所示，在直三棱柱中，以为坐标原点，直线、、分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，因为，，所以，，即.（2）若存在点使平面，则，，，，，，因为平面，所以存在实数、，使成立，则，解得，故在上存在点使平面，此时点为中点.21．如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，E是的中点．(1)若的中点是M，求证：平面；(2)若，求平面与平面所成二面角的正弦值．【分析】（1）取PC的中点F，连接EM，DF，FM，再根据已知得四边形DEMF是平行四边形，得到，然后利用线面平行的判定定理证明； （2）由平面，，建立空间直角坐标系，求得平面PCE的一个法向量，平面PAB的一个法向量为 ，由 求解可得答案.【详解】(1)如图所示：取PC的中点F，连接EM，DF，FM，因为四边形为矩形，E是的中点，所以，，所以，所以四边形DEMF是平行四边形，所以，又平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.(2)由平面，，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以 ，设平面PCE的一个法向量为 ，则，即 ，令 ，得，易知平面PAB的一个法向量为 ，则 ，设平面与平面所成二面角为，所以.22．某商品的包装纸如图1所示，四边形ABCD是边长为3的菱形，且∠ABC＝60°，，．将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N重合，记为点P，恰好形成如图2所示的四棱锥形的包装盒．(1)证明：底面ABCD；(2)设T为BC边上的一点，且二面角的正弦值为，求PB与平面PAT所成角的正弦值．【分析】（1）由勾股定理逆定理得AB⊥AE， AD⊥AF，由线面垂直的判定定理得证线面垂直；（2）由二面角平面角的定义得∠BAT为二面角的平面角，从而利用三角函数知识求得的长，然后建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．【详解】（1）由题意得，所以AB⊥AE，同理可得AD⊥AF．在翻折的过程中，垂直关系保持不变，所以PA⊥AB，PA⊥AD，又，底面ABCD，所以PA⊥底面ABCD．（2）因为底面ABCD，底面ABCD，所以．又，所以∠BAT为二面角的平面角．因为，所以．在中，∠ABT＝60°，所以，由正弦定理，得BT＝1．如图，以点A为原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，．设平面PAT的一个法向量为，则有，即，取，所以，所以，设PB与平面PAT所成角为，则，所以PB与平面PAT所成角的正弦值．