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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程精练
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程精练，共68页。试卷主要包含了倾斜角的定义，倾斜角的范围，与已知直线平行的直线方程的求法，(2023·四川南充·高二期末等内容，欢迎下载使用。
知识点1 直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.
2．倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角
②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线
知识点2 直线的斜率
1．斜率的定义
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tanα.
2．斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．
知识点3 斜率与倾斜角的联系
知识点4 两条直线平行和垂直
1．对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.
注：（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②l1与l2不重合．
（2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.
（3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.
2．如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
注：（1）l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②k1≠0且k2≠0.
（2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
（3）判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
3．利用直线的斜截式方程解决直线平行与垂直问题的策略
已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，
(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.
(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
4．若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．
5．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
6．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
（1）由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．
（2）①可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；
②与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.
知识点5 直线的五种方程
知识点6 两直线的交点坐标
1、已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
2、直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：
知识点7 两点间的距离公式
1．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
知识点8 直线系过定点问题
1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.
3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
知识点9 点到直线的距离与两条平行线间的距离
知识点10 圆的标准方程
1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示．
3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
知识点11 点与圆的位置关系
(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内．
(2)根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断：
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外；
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内．
知识点12 圆的一般方程
1．圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(D,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(E,2)))2＝eq \f(D2＋E2－4F,4)，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径长为eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F).
注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：
(1)x2，y2项的系数均为1；
(2)没有xy项；
(3)D2＋E2－4F＞0.
3．常见圆的方程的设法
4. 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))
5. 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
知识点13 直线与圆的三种位置关系
注：直线与圆的位置关系及判断
知识点14 直线与圆相交
1．解决圆的弦长问题的方法
2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用．
知识点15 直线与圆相切
1．求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线）
2．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可写出切线方程．
3．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
4.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
5.切线长公式
记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；
知识点16 圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
知识点17 圆与圆的位置关系
1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
2．判定方法
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq \\al(2,1)＋Eeq \\al(2,1)－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq \\al(2,2)＋Eeq \\al(2,2)－4F2>0)，
联立方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
注：(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；
(2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；
(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．
(4)圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．
知识点18 圆与圆位置关系的应用
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得
(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③
方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．
(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．
(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．
两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长eq \f(l,2)，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．
知识点19 圆与圆的公切线
1、公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
2、公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离求解
知识点20 圆系方程
(1) 以为圆心的同心圆圆系方程：；
(2) 与圆同心圆的圆系方程为；
(3) 过直线与圆交点的圆系方程为
4 过两圆，圆：交点的圆系方程为
（，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.
题型一 直线的倾斜角与斜率
1．(2023·重庆长寿·高二期末）直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．(2023·江苏南通·高二期末）经过点，的直线的倾斜角为___________.
3．(2023·天津天津·高二期末）若直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，则l的斜率取值范围为_________________；其倾斜角的取值范围为_________________.
4．(2023·上海虹口·高二期末）直线与的夹角为________．
5．(2023·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型二 两条直线的平行和垂直
6．(2023·上海虹口·高二期末）设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．(2023·重庆九龙坡·高二期末）若直线与直线平行，则直线与之间的距离为_____．
8．(2023·四川南充·高二期末（文））“”是“直线：与直线：互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．(2023·湖南·宁乡市教育研究中心高二期末）已知、，直线，，且，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
10．【多选】(2023·河北保定·高二期末）已知两条直线、的方程分别为与，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则两条平行直线之间的距离为
C．若，则
D．若，则直线、一定相交
题型三 求直线的方程
11．(2023·福建·厦门外国语学校高二期末）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
12．(2023·广东深圳·高二期末）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A．B．
C．或D．或
13．(2023·广东汕尾·高二期末）瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为______．
14．(2023·安徽宣城·高二期末）已知直线l经过直线，的交点M．
(1)若直线l与直线平行，求直线l的方程；
(2)若直线l与x轴，y轴分别交于A，两点，且M为线段AB的中点，求的面积（其中O为坐标原点）．
15．(2023·重庆市青木关中学校高二期末）已知直线l过定点
(1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程；
(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
题型四 直线的交点坐标和距离问题
16．(2023·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
17．(2023·广东汕尾·高二期末）点为轴上的点，，，以，，为顶点的三角形的面积为8，则点的坐标为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
18．(2023·上海虹口·高二期末）已知点在直线上，则的最小值为________．
19．(2023·青海·大通回族土族自治县教学研究室高二期末（文））与直线平行，且距离为的直线方程为______．
20．(2023·河北·衡水市冀州区滏运中学高二期末）若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（ ）
A．或11B．或10
C．或12D．或11
题型五 直线的综合问题
21．(2023·广东深圳·高二期末）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
22．(2023·山东淄博·高二期末）已知：，，，，，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
23．(2023·山西朔州·高二期末（理））设点和，在直线：上找一点，使取到最小值，则这个最小值为__________
24．(2023·湖北省武汉市青山区教育局高二期末）已知直线方程为．
(1)若直线的倾斜角为，求的值；
(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
25．【多选】(2023·重庆·高二期末）对于直线.以下说法正确的有（ ）
A．的充要条件是
B．当时，
C．直线一定经过点
D．点到直线的距离的最大值为5
题型六 求圆的方程
26．(2023·贵州·遵义四中高二期末）已知直线l：x -y+2=0，一个圆的圆心C在x轴正半轴上，且该圆与直线l和y轴均相切．
(1)求该圆的方程；
(2)若直线x+ my -1=0与圆C交于 A、B两点，且|AB|=，求m的值．
27．(2023·广东深圳·高二期末）已知圆D经过点A（-1，0），B（3，0），C（1，2）.
(1)求圆D的标准方程；
(2)若直线l：与圆D交于M、N两点，求线段MN的长度.
28．(2023·四川·高二期末）已知圆经过点，两点，且圆心在直线：上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点且倾斜角为的直线与圆相交于，两点，求四边形的面积.
29．(2023·重庆·高二期末）已知点，直线，圆.
(1)若连接点与圆心的直线与直线垂直，求实数的值；
(2)若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求实数的值．
30．(2023·吉林·吉化第一高级中学校高二期末）若曲线表示圆，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型七 点和圆的位置关系
31．(2023·山东青岛·高二期末）点在圆的内部，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
32．(2023·湖南·新化县教育科学研究所高二期末）已知圆，点．
（1）若点在圆外部，求实数的取值范围；
（2）当时，过点的直线交圆于，两点，求面积的最大值及此时直线l的斜率．
33．(2023·吉林·长春十一高高二期末）若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（ ）
A．点P在圆上B．点P在圆外
C．点P在圆内D．以上都有可能
34．(2023·四川遂宁·高二期末（文））过点可以向圆引两条切线，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
35．(2023·北京八中高二期末）已知点和，圆，当圆C与线段没有公共点时，则实数m的取值范围为___________．
题型八 直线和圆的位置关系
36．(2023·上海徐汇·高二期末）直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线l与圆的位置关系是（ ）
A．直线l过圆心B．直线l与圆相交，但不过圆心
C．直线l与圆相切D．直线l与圆无公共点
37．(2023·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）若“直线与圆相交”，“”，则是的（ ）
A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
38．(2023·上海市虹口高级中学高二期末）直线与圆相切，则实数m等于（ ）
A．2B．C．或D．
39．(2023·广西梧州·高二期末（文））已知对任意的实数k，直线l：与圆C：有公共点，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
40．(2023·福建省福州第二中学高二期末）已知直线平分圆：，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型九 圆的切线问题
41．(2023·广东广州·高二期末）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A．B．
C．D．或
42．(2023·天津河北·高二期末）过点作圆的切线，则切线的方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
43．(2023·广东揭阳·高二期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B；
(1)求直线AB的方程；
(2)若M为圆上的一点，求面积的最大值．
44．(2023·广东韶关·高二期末）已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
45．(2023·全国·高二期末）若曲线y＝与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．(1，＋∞)D．(1，3]
题型十 圆的弦长问题
46．(2023·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）已知直线与圆相交于两点，则=__________．
47．(2023·河北保定·高二期末）已知圆过点、，且圆周被直线平分．
(1)求圆的标准方程；
(2)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
48．(2023·重庆市巫山大昌中学校高二期末）已知圆.
(1)求过点M（2，1）的圆的切线方程；
(2)直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；
(3)已知圆的圆心在直线y=1上，与y轴相切，且与圆相外切，求圆的标准方程.
49．(2023·甘肃酒泉·高二期末（理））直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）
A．B．C．D．
50．(2023·北京昌平·高二期末）已知圆，直线l过点且与圆O交于A，B两点，当面积最大时，直线l的方程为_________．
题型十一 圆与圆的位置关系
51．(2023·上海中学东校高二期末）已知圆截直线所得的弦长为．则圆M与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
52．(2023·湖南岳阳·高二期末）圆与圆外切，则实数_________．
53．(2023·天津·静海一中高二期末）若圆C：与圆D2的公共弦长为，则圆D的半径为___________.
54．(2023·贵州黔东南·高二期末（文））若圆与圆有3条公切线，则正数（ ）
A．3B．3C．5D．3或3
55．【多选】(2023·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）已知圆：和圆：相交于A，B两点，下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为，半径为1B．直线AB的方程为
C．线段AB的长为D．线段AB的长为
题型十二 与圆有关的轨迹问题
56．(2023·河北张家口·高二期末）在等腰直角三角形中，，平面上有动点，满足，则的最大值为___________.
57．(2023·江苏南通·高二期末）在平面直角坐标系中，线段的两端点，分别在轴正半轴和轴正半轴上滑动，若圆上存在点是线段的中点，则线段长度的最小值为 （ ）
A．4B．6C．8D．10
58．(2023·山西晋中·高二期末）在平面直角坐标系中，已知.
(1)求直线的方程；
(2)平面内的动点满足，到点与点距离的平方和为24，求动点的轨迹方程.
59．(2023·福建厦门·高二期末）圆与x轴相切于点A．点B在圆C上运动，则AB的中点M的轨迹方程为______（当点B运动到与A重合时，规定点M与点A重合）；点N是直线上一点，则的最小值为______．
60．【多选】(2023·江苏镇江·高二期末）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则可能的取值为（ ）
A．B．C．D．
题型十三 与圆有关的最值问题
61．(2023·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（ ）
A．-1B．C．+1D．6
62．(2023·安徽·六安外国语高级中学有限公司高二期末）圆上的点到直线的距离的最大值为__________.
63．(2023·上海奉贤区致远高级中学高二期末）已知直线l：和圆C：，____时，l被C截得的弦长最短.
64．(2023·福建三明·高二期末）设P为圆上一动点，Q为直线上一动点，O为坐标原点，则的最小值为___．
65．【多选】(2023·福建龙岩·高二期末）已知点，且点在圆上运动，则下列结论正确的是( )
A．的最大值为
B．的最小值为5
C．的最大值为
D．当最大时，的面积为1
题型十四 直线与圆、圆与圆位置关系的综合问题
66．【多选】(2023·辽宁朝阳·高二期末）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与圆一定有公共点
B．当时直线被圆截得的弦最长
C．当直线与圆相切时，
D．圆心到直线的距离的最大值为
67．【多选】(2023·江苏南通·高二期末）已知圆：和圆：相交于A，B两点，且点A在x轴上方，则（ ）
A．
B．过作圆的切线，切线长为
C．过点A且与圆相切的直线方程为
D．圆的弦AC交圆于点D，D为AC的中点，则AC的斜率为
68．【多选】(2023·广东深圳·高二期末）已知直线，圆，则（ ）
A．直线与圆相交
B．圆上的点到直线距离的最大值为
C．直线关于圆心对称的直线的方程为
D．圆关于直线对称的圆的方程为
69．【多选】(2023·重庆市实验中学高二期末）已知圆，点，过点A的直线与圆C交于两点P，Q，且．则（ ）
A．直线的斜率B．的最小值为2
C．的最小值为D．
70．【多选】(2023·河北石家庄·高二期末）设，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，下列说法正确的是（ ）
A．点在定圆上
B．点在圆外
C．线段长的最大值为
D．的最小值为
倾斜角
（范围）
斜率
（范围）
不存在
名称
条件
方程
图形
适用范围
点斜式
直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k
y－y0＝k(x－x0)
不表示垂直于轴的直线
斜截式
直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距)
y＝kx＋b
不表示垂直于轴的直线
两点式
P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 其中x1≠x2，y1≠y2
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
不表示垂直于坐标轴的直线
截距式
在x轴上截距a，在y轴上截距b
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线
一般式
A，B，C为系数
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
任何位置的直线
方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段的长度
公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
标准方程的设法
一般方程的设法
圆心在原点
x2＋y2＝r2
x2＋y2－r2＝0
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)D2＝0
与y轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝a2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)E2＝0
位置关系
交点个数
图示
相交
有两个公共点
相切
只有一个公共点
相离
没有公共点
位置关系
相交
相切
相离
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
几何法
（常用）
如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq \r(r2－d2)
代数法
若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|
注：直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数，结合韦达定理可得到
几何法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
代数法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2个
1个
0个
两圆的位置关系
相交
内切或外切
外离或内含
两圆外离
两圆外切
两圆相交
两圆内切
两圆内含
有2条外公切线和2条内公切线，共4条
有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
只有2条外公切线
只有1条外公切线
无公切线
第二章 直线和圆的方程章末重点题型归纳
知识点1 直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.
2．倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角
②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线
知识点2 直线的斜率
1．斜率的定义
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tanα.
2．斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．
知识点3 斜率与倾斜角的联系
知识点4 两条直线平行和垂直
1．对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.
注：（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②l1与l2不重合．
（2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.
（3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.
2．如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
注：（1）l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②k1≠0且k2≠0.
（2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
（3）判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
3．利用直线的斜截式方程解决直线平行与垂直问题的策略
已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，
(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.
(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
4．若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．
5．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
6．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
（1）由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．
（2）①可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；
②与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.
知识点5 直线的五种方程
知识点6 两直线的交点坐标
1、已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
2、直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：
知识点7 两点间的距离公式
1．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
知识点8 直线系过定点问题
1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.
3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
知识点9 点到直线的距离与两条平行线间的距离
知识点10 圆的标准方程
1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示．
3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
知识点11 点与圆的位置关系
(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内．
(2)根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断：
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外；
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内．
知识点12 圆的一般方程
1．圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(D,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(E,2)))2＝eq \f(D2＋E2－4F,4)，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径长为eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F).
注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：
(1)x2，y2项的系数均为1；
(2)没有xy项；
(3)D2＋E2－4F＞0.
3．常见圆的方程的设法
4. 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))
5. 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
知识点13 直线与圆的三种位置关系
注：直线与圆的位置关系及判断
知识点14 直线与圆相交
1．解决圆的弦长问题的方法
2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用．
知识点15 直线与圆相切
1．求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线）
2．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可写出切线方程．
3．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
4.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
5.切线长公式
记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；
知识点16 圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
知识点17 圆与圆的位置关系
1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
2．判定方法
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq \\al(2,1)＋Eeq \\al(2,1)－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq \\al(2,2)＋Eeq \\al(2,2)－4F2>0)，
联立方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
注：(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；
(2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；
(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．
(4)圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．
知识点18 圆与圆位置关系的应用
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得
(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③
方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．
(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．
(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．
两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长eq \f(l,2)，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．
知识点19 圆与圆的公切线
1、公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
2、公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离求解
知识点20 圆系方程
(1) 以为圆心的同心圆圆系方程：；
(2) 与圆同心圆的圆系方程为；
(3) 过直线与圆交点的圆系方程为
4 过两圆，圆：交点的圆系方程为
（，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.
题型一 直线的倾斜角与斜率
1．(2023·重庆长寿·高二期末）直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【解析】将直线一般式方程化为斜截式方程得：，
所以直线的斜率为，
所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为.
故选：C
2．(2023·江苏南通·高二期末）经过点，的直线的倾斜角为___________.
【解析】根据两点间斜率公式得：，
所以直线的倾斜角为：.
故答案为：
3．(2023·天津天津·高二期末）若直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，则l的斜率取值范围为_________________；其倾斜角的取值范围为_________________.
【解析】 因为直线l经过A(2，1)，B(1， )两点，
所以l的斜率为，
所以l的斜率取值范围为，
设其倾斜角为，，则，
所以其倾斜角的取值范围为，
故答案为：，
4．(2023·上海虹口·高二期末）直线与的夹角为________．
【解析】直线的斜率，即倾斜角满足，
直线的斜率，即倾斜角满足，
所以，
所以，
又两直线夹角的范围为，
所以两直线夹角为，
故答案为：.
5．(2023·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】直线过点且斜率为，与连接两点，的线段有公共点，
由图，可知，，
当时，直线与线段有交点．
故选：B．
题型二 两条直线的平行和垂直
6．(2023·上海虹口·高二期末）设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】当时，与的斜率相等，故平行，充分性成立，
若“直线与直线平行”，则满足，
解得：或1，经验证，：或1时，两直线不重合，故：或1，两直线平行，故必要性不成立.
故选：A
7．(2023·重庆九龙坡·高二期末）若直线与直线平行，则直线与之间的距离为_____．
【解析】由题设，，即，
所以，，
所以直线与之间的距离为.
故答案为：
8．(2023·四川南充·高二期末（文））“”是“直线：与直线：互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】依题意，，解得或，
所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A
9．(2023·湖南·宁乡市教育研究中心高二期末）已知、，直线，，且，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为、，直线，，且，
所以，即，
所以，所以，
所以
，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为，
故选：D
10．【多选】(2023·河北保定·高二期末）已知两条直线、的方程分别为与，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则两条平行直线之间的距离为
C．若，则
D．若，则直线、一定相交
【解析】若，则，，A正确；
由A知，，直线的方程可化为，
故两条平行直线之间的距离为，B正确；
由，则，，C不正确；
由A知时，，所以时，则直线、一定相交，D正确．
故选：ABD．
题型三 求直线的方程
11．(2023·福建·厦门外国语学校高二期末）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.
故选：C.
12．(2023·广东深圳·高二期末）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A．B．
C．或D．或
【解析】当直线过原点时，满足题意，方程为，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，设方程为，
∵直线过(1，2)，∴，∴，∴方程为，
故选：D﹒
13．(2023·广东汕尾·高二期末）瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为______．
【解析】因的顶点，，，则的重心，
显然的外心在线段AC中垂线上，设，
由得：，解得：，即点，
直线，化简整理得：，
所以欧拉线的方程为.
故答案为：
14．(2023·安徽宣城·高二期末）已知直线l经过直线，的交点M．
(1)若直线l与直线平行，求直线l的方程；
(2)若直线l与x轴，y轴分别交于A，两点，且M为线段AB的中点，求的面积（其中O为坐标原点）．
【解析】(1)由，得，
所以点M的坐标为，
因为，则设直线l的方程为，
又l过点，代入得，故直线l方程为.
(2)设，，因为为线段AB的中点，则
，所以，故，，
则的面积为.
15．(2023·重庆市青木关中学校高二期末）已知直线l过定点
(1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程；
(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
【解析】(1)直线的斜率为，于是得直线l的斜率，则，即，
所以直线l的方程是：.
(2)因直线l在两坐标轴上的截距相等，则当直线l过原点时，直线l的方程为：，即，
当直线l不过原点时，设其方程为：，则有，解得，此时，直线l的方程为：，
所以直线l的方程为：或.
题型四 直线的交点坐标和距离问题
16．(2023·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，
由，得，即和的交点为，
因为直线过点，
所以，得，
所以所求直线方程为，
故选：D
17．(2023·广东汕尾·高二期末）点为轴上的点，，，以，，为顶点的三角形的面积为8，则点的坐标为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【解析】设，直线的方程为，
点到直线的距离，，
所以，解得：或，
所以点的坐标为或.
故选：A
18．(2023·上海虹口·高二期末）已知点在直线上，则的最小值为________．
【解析】可以理解为点到点的距离，
又∵点在直线上，
∴的最小值等于点到直线的距离，
且.
故答案为：.
19．(2023·青海·大通回族土族自治县教学研究室高二期末（文））与直线平行，且距离为的直线方程为______．
【解析】由题意，设所求直线方程为，
因为直线与直线的距离为，
所以，解得或，
所以所求直线方程为或，
故答案为：或.
20．(2023·河北·衡水市冀州区滏运中学高二期末）若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（ ）
A．或11B．或10
C．或12D．或11
【解析】因为两条平行线与之间的距离是2，
所以，或，
故选：A
题型五 直线的综合问题
21．(2023·广东深圳·高二期末）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，由重心坐标公式得，
三角形的重心为，，
代入欧拉线方程得：，
整理得：①
的中点为，，
的中垂线方程为，即．
联立，解得．
的外心为．
则，
整理得：②
联立①②得：，或，．
当，时，重合，舍去．
顶点的坐标是．
故选：A．
22．(2023·山东淄博·高二期末）已知：，，，，，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意可知：直线 的方程为 ，直线的方程为，如图：
设关于直线的对称点为，则,
解得，故，
同理可求关于直线的对称点为,
连接,交于N，
而MN方程为y=2,联立得N点坐标为，
连接，分别交于,
方程为：，和直线方程联立，
解得H点坐标为,
PN的方程为x=2,和直线方程联立解得，
连接,则之间即为动点D点的变动范围，
而 ,
故FD斜率的取值范围是 ，
故选B.
23．(2023·山西朔州·高二期末（理））设点和，在直线：上找一点，使取到最小值，则这个最小值为__________
【解析】
设点关于直线：的对称点为
线段的中点在上
则
又，
解得，
故答案为：
24．(2023·湖北省武汉市青山区教育局高二期末）已知直线方程为．
(1)若直线的倾斜角为，求的值；
(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
【解析】(1)由题意可得.
(2)在直线的方程中，令可得，即点，
令可得，即点，
由已知可得，解得，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.
25．【多选】(2023·重庆·高二期末）对于直线.以下说法正确的有（ ）
A．的充要条件是
B．当时，
C．直线一定经过点
D．点到直线的距离的最大值为5
【解析】当时， 解得 或，
当时，两直线为 ，符合题意；
当时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当时，两直线为， ，
所以，故B正确；
直线即直线，故直线过定点，C错误；
因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ，
故D正确，
故选：BD.
题型六 求圆的方程
26．(2023·贵州·遵义四中高二期末）已知直线l：x -y+2=0，一个圆的圆心C在x轴正半轴上，且该圆与直线l和y轴均相切．
(1)求该圆的方程；
(2)若直线x+ my -1=0与圆C交于 A、B两点，且|AB|=，求m的值．
【解析】
(1)
设圆心为，，
则由题意得：，
解得：或（舍去），
故该圆的方程为
(2)
圆心到直线的距离为，
由垂径定理得：，
解得：
27．(2023·广东深圳·高二期末）已知圆D经过点A（-1，0），B（3，0），C（1，2）.
(1)求圆D的标准方程；
(2)若直线l：与圆D交于M、N两点，求线段MN的长度.
【解析】
(1)
解：设圆D的标准方程，
由题意可得，解得，
所以圆D的标准方程为；
(2)
解：由（1）可知圆心，半径，
所以圆心D（1，0）到直线l：的距离，
所以.
28．(2023·四川·高二期末）已知圆经过点，两点，且圆心在直线：上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点且倾斜角为的直线与圆相交于，两点，求四边形的面积.
【解析】
(1)
设圆心坐标为，由
则
解得，故， 半径，
∴圆的标准方程为.
(2)
由过点且倾斜角为，可得的斜率
则的方程为：
经过点，两点的直线斜率为，
则直线AB的方程为，则
又圆心在直线上，所以为圆的直径
则，又
则四边形为梯形，
梯形的高即为与之间的距离
故
29．(2023·重庆·高二期末）已知点，直线，圆.
(1)若连接点与圆心的直线与直线垂直，求实数的值；
(2)若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求实数的值．
【解析】(1)圆，，，，
， ，
(2)圆半径为，设圆心到直线的距离为，
则
又由点到直线距离公式得：
化简得：，解得：或
所以实数的值为和.
30．(2023·吉林·吉化第一高级中学校高二期末）若曲线表示圆，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】或.
故选：C.
题型七 点和圆的位置关系
31．(2023·山东青岛·高二期末）点在圆的内部，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为 ，所以 ，由于点 在圆 内
所以，所以，所以
故选：B
32．(2023·湖南·新化县教育科学研究所高二期末）已知圆，点．
（1）若点在圆外部，求实数的取值范围；
（2）当时，过点的直线交圆于，两点，求面积的最大值及此时直线l的斜率．
【解析】（1）根据题意，圆，即，
若在圆外，则有，
解得：，
即的取值范围为；
（2）当时，圆的方程为，圆心为，半径，
设，则，
当时，面积取得最大值，且其最大值为2，此时为等腰直角三角形，圆心到直线的距离，
设直线的方程为，即，
则有，解得，
即直线的斜率．
33．(2023·吉林·长春十一高高二期末）若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（ ）
A．点P在圆上B．点P在圆外
C．点P在圆内D．以上都有可能
【解析】因为直线与圆有两个公共点，
所以圆心到直线的距离小于半径1，即
，
所以，所以，
所以点与圆外，
故选：B
34．(2023·四川遂宁·高二期末（文））过点可以向圆引两条切线，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】把圆的方程化为标准方程得，即圆心坐标为，半径为
，
点到圆心的距离为，
∵在圆外时，过点可以向圆引两条切线，
∴，即,且，
解得，
故选：.
35．(2023·北京八中高二期末）已知点和，圆，当圆C与线段没有公共点时，则实数m的取值范围为___________．
【解析】当点和都在圆的内部时，，解得或
直线的方程为，即
圆心到直线的距离为，当圆心到直线的距离大于半径时，，且.
综上，实数m的取值范围为.
故答案为：
题型八 直线和圆的位置关系
36．(2023·上海徐汇·高二期末）直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线l与圆的位置关系是（ ）
A．直线l过圆心B．直线l与圆相交，但不过圆心
C．直线l与圆相切D．直线l与圆无公共点
【解析】直线过原点，斜率为，倾斜角为，依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，
因此，直线l的方程为：，又圆的圆心为，半径为，
于是得点到直线l的距离为，所以直线l与圆相切.
故选：C
37．(2023·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）若“直线与圆相交”，“”，则是的（ ）
A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】直线与圆相交，可得1，解得，
且，
∴“直线与圆相交”是“”的充分而不必要条件.
故选：B.
38．(2023·上海市虹口高级中学高二期末）直线与圆相切，则实数m等于（ ）
A．2B．C．或D．
【解析】因为直线与圆相切，故，即，故
故选：D
39．(2023·广西梧州·高二期末（文））已知对任意的实数k，直线l：与圆C：有公共点，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由直线可化为，则直线l过定点，
因为直线l：与圆C：有公共点，
所以定点在圆C上或圆C内，可得，解得，
故选：B
40．(2023·福建省福州第二中学高二期末）已知直线平分圆：，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】圆：，圆心，
直线平分圆：，
直线过圆心，即，
，
当且仅当，即，的最大值为.
故选：B
题型九 圆的切线问题
41．(2023·广东广州·高二期末）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A．B．
C．D．或
【解析】将点代入中，成立，
即点在圆上，
圆心和连线的斜率为 ，
故过圆上点的切线的斜率为 ，
则切线方程为，即，
故选：C
42．(2023·天津河北·高二期末）过点作圆的切线，则切线的方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【解析】圆的圆心为原点，半径为1，
当切线的斜率不存在时，即直线的方程为，不与圆相切，
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即
所以，解得或
所以切线的方程为或
故选：C
43．(2023·广东揭阳·高二期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B；
(1)求直线AB的方程；
(2)若M为圆上的一点，求面积的最大值．
【解析】(1)圆的圆心坐标为，半径为1，
则的中点坐标为，，
以为圆心，为直径的圆的方程为，
由，得①，
由，得②，
①②得：．
直线的方程为；
(2)
圆心 到直线的距离为
故圆上的点M到直线的距离的最大值为 ，
而 ,
故面积的最大值为 .
44．(2023·广东韶关·高二期末）已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】圆：化为标准方程：，其圆心,半径.
过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：
在△PAC中,有，即，变形可得：.
设，则.
所以当的值即x最小时，的值最大，此时最小.
而的最小值为点C到直线的距离，即，
所以.
故选：B
45．(2023·全国·高二期末）若曲线y＝与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．(1，＋∞)D．(1，3]
【解析】根据题意画出图形，如图所示．由题意可得，曲线y＝的图象为以(0，0)为圆心，2为半径的半圆，直线l恒过A(2，4)，由图当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，解得k＝；当直线l过B点时，直线l的斜率k＝，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.
故选：A.
题型十 圆的弦长问题
46．(2023·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）已知直线与圆相交于两点，则=__________．
【解析】根据圆的方程：，圆心坐标，半径，
∴圆心到直线距离，
所以，
故答案为：.
47．(2023·河北保定·高二期末）已知圆过点、，且圆周被直线平分．
(1)求圆的标准方程；
(2)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
【解析】(1)解：由题意得：
∵，，且直线过圆心
∴AB的中点坐标为
又
∴AB的垂直平分线方程为，即
联立，解得
∴圆C的圆心坐标为，
则圆C的标准方程为．
(2)
当斜率存在时，设直线方程为，即．
圆心，到直线的距离
解得
∴直线l的方程为
当斜率不存在时，也满足条件
则直线l的方程为或．
48．(2023·重庆市巫山大昌中学校高二期末）已知圆.
(1)求过点M（2，1）的圆的切线方程；
(2)直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；
(3)已知圆的圆心在直线y=1上，与y轴相切，且与圆相外切，求圆的标准方程.
【解析】(1)圆，
即，
其圆心为，半径为1.
因为点（2，1）在圆上，如图，
所以切线方程为y=1；
(2)
由题意得，圆的直径为2，
所以直线过圆心，
由直线的两点式方程，得，
即直线的方程为x+y-2=0；
(3)
因为圆E的圆心在直线y=1上，设圆E的圆心E（a，1），
由圆E与y轴相切，得R=a()
又圆E与圆相外切，所以，
由两点距离公式得，
所以，解得，
所以圆心，，
所以圆E的方程为.
49．(2023·甘肃酒泉·高二期末（理））直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】圆的圆心为，半径，
又直线，直线恒过定点，
当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦，
此时弦心距为．
所截得的最短弦长：．
故选：C．
50．(2023·北京昌平·高二期末）已知圆，直线l过点且与圆O交于A，B两点，当面积最大时，直线l的方程为_________．
【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
则由，得，所以
,
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为
原点到直线l的距离为：
当且仅当，即时取得等号.
由，解得
由
故直线l的方程为：，即
故答案为：
题型十一 圆与圆的位置关系
51．(2023·上海中学东校高二期末）已知圆截直线所得的弦长为．则圆M与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
【解析】由，即，
故圆心，半径，
所以点到直线的距离，
故，即，
解得：；
所以，；
又，圆心，，
所以，
且，
即圆与圆相交，
故选：B.
52．(2023·湖南岳阳·高二期末）圆与圆外切，则实数_________．
【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，则
根据题意可得：，即，∴
故答案为：9．
53．(2023·天津·静海一中高二期末）若圆C：与圆D2的公共弦长为，则圆D的半径为___________.
【解析】根据得公共弦方程为：.
因为公共弦长为，所以直线过圆的圆心.
所以，解得.
故答案为：
54．(2023·贵州黔东南·高二期末（文））若圆与圆有3条公切线，则正数（ ）
A．3B．3C．5D．3或3
【解析】由题可知两圆外切，又圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为4，
，
∴，又，
∴.
故选：B.
55．【多选】(2023·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）已知圆：和圆：相交于A，B两点，下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为，半径为1B．直线AB的方程为
C．线段AB的长为D．线段AB的长为
【解析】由圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，得(x－1)2+(y+2)2＝1，
A：则圆M的圆心为（1，－2），半径为1，故A正确；
B：联立圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，消去二次项，
可得直线AB的方程为x－2y－4＝0，故B正确；
C：圆心O到直线x－2y－4＝0的距离d，圆O的半径为2，
则线段AB的长为2，故C错误，D正确.
故选：ABD
题型十二 与圆有关的轨迹问题
56．(2023·河北张家口·高二期末）在等腰直角三角形中，，平面上有动点，满足，则的最大值为___________.
【解析】以为原点，方向分别为轴，轴的正方向建立如图所示平面直角坐标系，则
设，则
故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（如图），设直线交于
则共线得
故当最小时，最大
过点作的平行线交的延长线于点，则
故当与圆在处相切时，最小为，故的最大值为
故答案为：．
57．(2023·江苏南通·高二期末）在平面直角坐标系中，线段的两端点，分别在轴正半轴和轴正半轴上滑动，若圆上存在点是线段的中点，则线段长度的最小值为 （ ）
A．4B．6C．8D．10
【解析】设，，的中点为，则，
故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
问题转化为圆与圆有交点，
所以，，即，解得：，
所以线段长度的最小值为.
故选：C
58．(2023·山西晋中·高二期末）在平面直角坐标系中，已知.
(1)求直线的方程；
(2)平面内的动点满足，到点与点距离的平方和为24，求动点的轨迹方程.
【解析】(1)，
于是直线的方程为，即
(2)
设动点，于是，
代入坐标得，
化简得，
于是动点的轨迹方程为
59．(2023·福建厦门·高二期末）圆与x轴相切于点A．点B在圆C上运动，则AB的中点M的轨迹方程为______（当点B运动到与A重合时，规定点M与点A重合）；点N是直线上一点，则的最小值为______．
【解析】依题意得，，因为M为AB中点，所以，
所以点M的轨迹是以AC为直径的圆，又AC中点为，，
所以点M的轨迹方程为，圆心，
设关于直线的对称点为，
则有，解得，所以，
所以由对称性可知的最小值为．
故答案为：，
60．【多选】(2023·江苏镇江·高二期末）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则可能的取值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，则
因为，故即，
故的轨迹为圆（原点为圆心，半径为，不含两点），
因为分别在第二象限和第四象限，而圆在第一象限，
又在圆上，故圆与圆有公共点，
所以即，
解得，
故选：CD.
题型十三 与圆有关的最值问题
61．(2023·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（ ）
A．-1B．C．+1D．6
【解析】变形为，故圆心为，半径为1，故圆心到原点的距离为，故圆上的点到坐标原点的距离最小值为.
故选：A
62．(2023·安徽·六安外国语高级中学有限公司高二期末）圆上的点到直线的距离的最大值为__________.
【解析】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离的最大值为.
故答案为：
63．(2023·上海奉贤区致远高级中学高二期末）已知直线l：和圆C：，____时，l被C截得的弦长最短.
【解析】由题意，根据直线l：恒过，且当PC⊥l时弦AB的长度最短，结合直线垂直时斜率的关系求解即可
【详解】圆的C方程可化为：，直线l：即恒过，如图所示，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，弦AB的长度最短， 此时PC⊥l，又，所以直线l的斜率为，则，
故答案为：
64．(2023·福建三明·高二期末）设P为圆上一动点，Q为直线上一动点，O为坐标原点，则的最小值为___．
【解析】由圆，得圆心，半径，
取点A（3，0），则，
又，∴，∴，
∴，当且仅当直线时取等号．
故答案为：．
65．【多选】(2023·福建龙岩·高二期末）已知点，且点在圆上运动，则下列结论正确的是( )
A．的最大值为
B．的最小值为5
C．的最大值为
D．当最大时，的面积为1
【解析】如图所示，
的最大值为圆心到的距离加圆的半径，，∴的最大值为，故A正确；
如图当为线段和圆的交点时，取得最小值，故B错误；
如图当为线段延长线和圆的交点时，取得最大值，故C正确；
点在圆内，当与圆相切时，最大，即P在图中位置时.
显然此时是切线斜率时存在，设为，即kx－y＋3＝0，
则，解得，
∴切线方程为，即5x＋12y－36＝0，
显然过A的圆的另外一条切线是y轴，则切线长.
点B到切线PA的长度d＝，
∴，故D错误；
故选：AC．
题型十四 直线与圆、圆与圆位置关系的综合问题
66．【多选】(2023·辽宁朝阳·高二期末）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与圆一定有公共点
B．当时直线被圆截得的弦最长
C．当直线与圆相切时，
D．圆心到直线的距离的最大值为
【解析】由题意知直线过定点，且点在圆外部，所以错误；当时，的方程为，直线过圆心，截得的弦恰为直径，故B正确；当与圆相切时，，解得，故C正确；当与垂直时，圆心到的距离取得最大值，其最大值为，故正确.
故选：BCD.
67．【多选】(2023·江苏南通·高二期末）已知圆：和圆：相交于A，B两点，且点A在x轴上方，则（ ）
A．
B．过作圆的切线，切线长为
C．过点A且与圆相切的直线方程为
D．圆的弦AC交圆于点D，D为AC的中点，则AC的斜率为
【解析】依题意，由解得，则，
圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
，A正确；
过作圆的切线，切线长为，B不正确；
直线的斜率为，过点A且与圆相切的直线斜率为，该切线方程为，
即，C正确；
因D为圆的弦AC的中点，则，于是得点D在以线段为直径的圆上，
而点D在圆上，则由得直线的方程，其斜率为，D正确.
故选：ACD
68．【多选】(2023·广东深圳·高二期末）已知直线，圆，则（ ）
A．直线与圆相交
B．圆上的点到直线距离的最大值为
C．直线关于圆心对称的直线的方程为
D．圆关于直线对称的圆的方程为
【解析】由圆方程知：圆心，半径；
对于A，圆心到直线距离，直线与圆相交，A正确；
对于B，圆心到直线距离，圆上的点到直线距离的最大值为，B错误；
对于C，设直线关于圆心对称的直线方程为：，
则圆心到直线和到其对称直线的距离相等，，解得：（舍）或，直线关于圆心对称的直线的方程为，C正确；
对于D，设圆心关于直线对称的点为，则，解得：，
所求圆的圆心为，半径为，
圆关于直线对称的圆的方程为，D正确.
故选：ACD.
69．【多选】(2023·重庆市实验中学高二期末）已知圆，点，过点A的直线与圆C交于两点P，Q，且．则（ ）
A．直线的斜率B．的最小值为2
C．的最小值为D．
【解析】依题意圆的圆心坐标为，半径，
显然直线的斜率存在，设斜率为，则直线，即，
所以，解得，故A错误；
因为，所以，故C正确；
当直线与圆相切时，，又，所以不存在最小值，只存在最大值且，故B错误；
设，，由与，
消去整理得
所以，，
所以
，故D正确；
故选：CD
70．【多选】(2023·河北石家庄·高二期末）设，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，下列说法正确的是（ ）
A．点在定圆上
B．点在圆外
C．线段长的最大值为
D．的最小值为
【解析】因为直线与，满足，所以两直线互相垂直，
又两直线分别过定点，定点，所以是以为直径的圆，圆的方程为，故选项A错误；
圆与圆的圆心距为，
所以两圆相离，则点在圆外，故选项B正确；
因为，为弦的中点，所以，所以圆心到弦的距离为，
所以弦中点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
所以线段长的最大值为两圆心的距离加上两圆的半径，即，故选项C正确；
，
因为，
所以，故选项D错误．
故选：BC.
倾斜角
（范围）
斜率
（范围）
不存在
名称
条件
方程
图形
适用范围
点斜式
直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k
y－y0＝k(x－x0)
不表示垂直于轴的直线
斜截式
直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距)
y＝kx＋b
不表示垂直于轴的直线
两点式
P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 其中x1≠x2，y1≠y2
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
不表示垂直于坐标轴的直线
截距式
在x轴上截距a，在y轴上截距b
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线
一般式
A，B，C为系数
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
任何位置的直线
方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段的长度
公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
标准方程的设法
一般方程的设法
圆心在原点
x2＋y2＝r2
x2＋y2－r2＝0
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)D2＝0
与y轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝a2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)E2＝0
位置关系
交点个数
图示
相交
有两个公共点
相切
只有一个公共点
相离
没有公共点
位置关系
相交
相切
相离
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
几何法
（常用）
如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq \r(r2－d2)
代数法
若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|
注：直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数，结合韦达定理可得到
几何法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
代数法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2个
1个
0个
两圆的位置关系
相交
内切或外切
外离或内含
两圆外离
两圆外切
两圆相交
两圆内切
两圆内含
有2条外公切线和2条内公切线，共4条
有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
只有2条外公切线
只有1条外公切线
无公切线
知识点1 直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.
2．倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角
②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线
知识点2 直线的斜率
1．斜率的定义
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tanα.
2．斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．
知识点3 斜率与倾斜角的联系
知识点4 两条直线平行和垂直
1．对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.
注：（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②l1与l2不重合．
（2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.
（3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.
2．如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
注：（1）l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②k1≠0且k2≠0.
（2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
（3）判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
3．利用直线的斜截式方程解决直线平行与垂直问题的策略
已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，
(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.
(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
4．若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．
5．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
6．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
（1）由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．
（2）①可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；
②与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.
知识点5 直线的五种方程
知识点6 两直线的交点坐标
1、已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
2、直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：
知识点7 两点间的距离公式
1．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
知识点8 直线系过定点问题
1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.
3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
知识点9 点到直线的距离与两条平行线间的距离
知识点10 圆的标准方程
1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示．
3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
知识点11 点与圆的位置关系
(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内．
(2)根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断：
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外；
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内．
知识点12 圆的一般方程
1．圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(D,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(E,2)))2＝eq \f(D2＋E2－4F,4)，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径长为eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F).
注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：
(1)x2，y2项的系数均为1；
(2)没有xy项；
(3)D2＋E2－4F＞0.
3．常见圆的方程的设法
4. 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))
5. 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
知识点13 直线与圆的三种位置关系
注：直线与圆的位置关系及判断
知识点14 直线与圆相交
1．解决圆的弦长问题的方法
2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用．
知识点15 直线与圆相切
1．求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线）
2．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可写出切线方程．
3．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
4.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
5.切线长公式
记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；
知识点16 圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
知识点17 圆与圆的位置关系
1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
2．判定方法
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq \\al(2,1)＋Eeq \\al(2,1)－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq \\al(2,2)＋Eeq \\al(2,2)－4F2>0)，
联立方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
注：(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；
(2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；
(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．
(4)圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．
知识点18 圆与圆位置关系的应用
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得
(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③
方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．
(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．
(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．
两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长eq \f(l,2)，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．
知识点19 圆与圆的公切线
1、公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
2、公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离求解
知识点20 圆系方程
(1) 以为圆心的同心圆圆系方程：；
(2) 与圆同心圆的圆系方程为；
(3) 过直线与圆交点的圆系方程为
4 过两圆，圆：交点的圆系方程为
（，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.
题型一 直线的倾斜角与斜率
1．(2023·重庆长寿·高二期末）直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．(2023·江苏南通·高二期末）经过点，的直线的倾斜角为___________.
3．(2023·天津天津·高二期末）若直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，则l的斜率取值范围为_________________；其倾斜角的取值范围为_________________.
4．(2023·上海虹口·高二期末）直线与的夹角为________．
5．(2023·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型二 两条直线的平行和垂直
6．(2023·上海虹口·高二期末）设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．(2023·重庆九龙坡·高二期末）若直线与直线平行，则直线与之间的距离为_____．
8．(2023·四川南充·高二期末（文））“”是“直线：与直线：互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．(2023·湖南·宁乡市教育研究中心高二期末）已知、，直线，，且，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
10．【多选】(2023·河北保定·高二期末）已知两条直线、的方程分别为与，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则两条平行直线之间的距离为
C．若，则
D．若，则直线、一定相交
题型三 求直线的方程
11．(2023·福建·厦门外国语学校高二期末）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
12．(2023·广东深圳·高二期末）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A．B．
C．或D．或
13．(2023·广东汕尾·高二期末）瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为______．
14．(2023·安徽宣城·高二期末）已知直线l经过直线，的交点M．
(1)若直线l与直线平行，求直线l的方程；
(2)若直线l与x轴，y轴分别交于A，两点，且M为线段AB的中点，求的面积（其中O为坐标原点）．
15．(2023·重庆市青木关中学校高二期末）已知直线l过定点
(1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程；
(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
题型四 直线的交点坐标和距离问题
16．(2023·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
17．(2023·广东汕尾·高二期末）点为轴上的点，，，以，，为顶点的三角形的面积为8，则点的坐标为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
18．(2023·上海虹口·高二期末）已知点在直线上，则的最小值为________．
19．(2023·青海·大通回族土族自治县教学研究室高二期末（文））与直线平行，且距离为的直线方程为______．
20．(2023·河北·衡水市冀州区滏运中学高二期末）若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（ ）
A．或11B．或10
C．或12D．或11
题型五 直线的综合问题
21．(2023·广东深圳·高二期末）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
22．(2023·山东淄博·高二期末）已知：，，，，，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
23．(2023·山西朔州·高二期末（理））设点和，在直线：上找一点，使取到最小值，则这个最小值为__________
24．(2023·湖北省武汉市青山区教育局高二期末）已知直线方程为．
(1)若直线的倾斜角为，求的值；
(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
25．【多选】(2023·重庆·高二期末）对于直线.以下说法正确的有（ ）
A．的充要条件是
B．当时，
C．直线一定经过点
D．点到直线的距离的最大值为5
题型六 求圆的方程
26．(2023·贵州·遵义四中高二期末）已知直线l：x -y+2=0，一个圆的圆心C在x轴正半轴上，且该圆与直线l和y轴均相切．
(1)求该圆的方程；
(2)若直线x+ my -1=0与圆C交于 A、B两点，且|AB|=，求m的值．
27．(2023·广东深圳·高二期末）已知圆D经过点A（-1，0），B（3，0），C（1，2）.
(1)求圆D的标准方程；
(2)若直线l：与圆D交于M、N两点，求线段MN的长度.
28．(2023·四川·高二期末）已知圆经过点，两点，且圆心在直线：上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点且倾斜角为的直线与圆相交于，两点，求四边形的面积.
29．(2023·重庆·高二期末）已知点，直线，圆.
(1)若连接点与圆心的直线与直线垂直，求实数的值；
(2)若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求实数的值．
30．(2023·吉林·吉化第一高级中学校高二期末）若曲线表示圆，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型七 点和圆的位置关系
31．(2023·山东青岛·高二期末）点在圆的内部，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
32．(2023·湖南·新化县教育科学研究所高二期末）已知圆，点．
（1）若点在圆外部，求实数的取值范围；
（2）当时，过点的直线交圆于，两点，求面积的最大值及此时直线l的斜率．
33．(2023·吉林·长春十一高高二期末）若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（ ）
A．点P在圆上B．点P在圆外
C．点P在圆内D．以上都有可能
34．(2023·四川遂宁·高二期末（文））过点可以向圆引两条切线，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
35．(2023·北京八中高二期末）已知点和，圆，当圆C与线段没有公共点时，则实数m的取值范围为___________．
题型八 直线和圆的位置关系
36．(2023·上海徐汇·高二期末）直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线l与圆的位置关系是（ ）
A．直线l过圆心B．直线l与圆相交，但不过圆心
C．直线l与圆相切D．直线l与圆无公共点
37．(2023·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）若“直线与圆相交”，“”，则是的（ ）
A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
38．(2023·上海市虹口高级中学高二期末）直线与圆相切，则实数m等于（ ）
A．2B．C．或D．
39．(2023·广西梧州·高二期末（文））已知对任意的实数k，直线l：与圆C：有公共点，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
40．(2023·福建省福州第二中学高二期末）已知直线平分圆：，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型九 圆的切线问题
41．(2023·广东广州·高二期末）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A．B．
C．D．或
42．(2023·天津河北·高二期末）过点作圆的切线，则切线的方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
43．(2023·广东揭阳·高二期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B；
(1)求直线AB的方程；
(2)若M为圆上的一点，求面积的最大值．
44．(2023·广东韶关·高二期末）已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
45．(2023·全国·高二期末）若曲线y＝与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．(1，＋∞)D．(1，3]
题型十 圆的弦长问题
46．(2023·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）已知直线与圆相交于两点，则=__________．
47．(2023·河北保定·高二期末）已知圆过点、，且圆周被直线平分．
(1)求圆的标准方程；
(2)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
48．(2023·重庆市巫山大昌中学校高二期末）已知圆.
(1)求过点M（2，1）的圆的切线方程；
(2)直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；
(3)已知圆的圆心在直线y=1上，与y轴相切，且与圆相外切，求圆的标准方程.
49．(2023·甘肃酒泉·高二期末（理））直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）
A．B．C．D．
50．(2023·北京昌平·高二期末）已知圆，直线l过点且与圆O交于A，B两点，当面积最大时，直线l的方程为_________．
题型十一 圆与圆的位置关系
51．(2023·上海中学东校高二期末）已知圆截直线所得的弦长为．则圆M与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
52．(2023·湖南岳阳·高二期末）圆与圆外切，则实数_________．
53．(2023·天津·静海一中高二期末）若圆C：与圆D2的公共弦长为，则圆D的半径为___________.
54．(2023·贵州黔东南·高二期末（文））若圆与圆有3条公切线，则正数（ ）
A．3B．3C．5D．3或3
55．【多选】(2023·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）已知圆：和圆：相交于A，B两点，下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为，半径为1B．直线AB的方程为
C．线段AB的长为D．线段AB的长为
题型十二 与圆有关的轨迹问题
56．(2023·河北张家口·高二期末）在等腰直角三角形中，，平面上有动点，满足，则的最大值为___________.
57．(2023·江苏南通·高二期末）在平面直角坐标系中，线段的两端点，分别在轴正半轴和轴正半轴上滑动，若圆上存在点是线段的中点，则线段长度的最小值为 （ ）
A．4B．6C．8D．10
58．(2023·山西晋中·高二期末）在平面直角坐标系中，已知.
(1)求直线的方程；
(2)平面内的动点满足，到点与点距离的平方和为24，求动点的轨迹方程.
59．(2023·福建厦门·高二期末）圆与x轴相切于点A．点B在圆C上运动，则AB的中点M的轨迹方程为______（当点B运动到与A重合时，规定点M与点A重合）；点N是直线上一点，则的最小值为______．
60．【多选】(2023·江苏镇江·高二期末）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则可能的取值为（ ）
A．B．C．D．
题型十三 与圆有关的最值问题
61．(2023·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（ ）
A．-1B．C．+1D．6
62．(2023·安徽·六安外国语高级中学有限公司高二期末）圆上的点到直线的距离的最大值为__________.
63．(2023·上海奉贤区致远高级中学高二期末）已知直线l：和圆C：，____时，l被C截得的弦长最短.
64．(2023·福建三明·高二期末）设P为圆上一动点，Q为直线上一动点，O为坐标原点，则的最小值为___．
65．【多选】(2023·福建龙岩·高二期末）已知点，且点在圆上运动，则下列结论正确的是( )
A．的最大值为
B．的最小值为5
C．的最大值为
D．当最大时，的面积为1
题型十四 直线与圆、圆与圆位置关系的综合问题
66．【多选】(2023·辽宁朝阳·高二期末）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与圆一定有公共点
B．当时直线被圆截得的弦最长
C．当直线与圆相切时，
D．圆心到直线的距离的最大值为
67．【多选】(2023·江苏南通·高二期末）已知圆：和圆：相交于A，B两点，且点A在x轴上方，则（ ）
A．
B．过作圆的切线，切线长为
C．过点A且与圆相切的直线方程为
D．圆的弦AC交圆于点D，D为AC的中点，则AC的斜率为
68．【多选】(2023·广东深圳·高二期末）已知直线，圆，则（ ）
A．直线与圆相交
B．圆上的点到直线距离的最大值为
C．直线关于圆心对称的直线的方程为
D．圆关于直线对称的圆的方程为
69．【多选】(2023·重庆市实验中学高二期末）已知圆，点，过点A的直线与圆C交于两点P，Q，且．则（ ）
A．直线的斜率B．的最小值为2
C．的最小值为D．
70．【多选】(2023·河北石家庄·高二期末）设，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，下列说法正确的是（ ）
A．点在定圆上
B．点在圆外
C．线段长的最大值为
D．的最小值为
倾斜角
（范围）
斜率
（范围）
不存在
名称
条件
方程
图形
适用范围
点斜式
直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k
y－y0＝k(x－x0)
不表示垂直于轴的直线
斜截式
直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距)
y＝kx＋b
不表示垂直于轴的直线
两点式
P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 其中x1≠x2，y1≠y2
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
不表示垂直于坐标轴的直线
截距式
在x轴上截距a，在y轴上截距b
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线
一般式
A，B，C为系数
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
任何位置的直线
方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段的长度
公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
标准方程的设法
一般方程的设法
圆心在原点
x2＋y2＝r2
x2＋y2－r2＝0
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)D2＝0
与y轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝a2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)E2＝0
位置关系
交点个数
图示
相交
有两个公共点
相切
只有一个公共点
相离
没有公共点
位置关系
相交
相切
相离
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
几何法
（常用）
如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq \r(r2－d2)
代数法
若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|
注：直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数，结合韦达定理可得到
几何法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
代数法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2个
1个
0个
两圆的位置关系
相交
内切或外切
外离或内含
两圆外离
两圆外切
两圆相交
两圆内切
两圆内含
有2条外公切线和2条内公切线，共4条
有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
只有2条外公切线
只有1条外公切线
无公切线
第二章 直线和圆的方程章末重点题型归纳
知识点1 直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.
2．倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角
②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线
知识点2 直线的斜率
1．斜率的定义
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tanα.
2．斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．
知识点3 斜率与倾斜角的联系
知识点4 两条直线平行和垂直
1．对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.
注：（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②l1与l2不重合．
（2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.
（3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.
2．如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
注：（1）l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②k1≠0且k2≠0.
（2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
（3）判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
3．利用直线的斜截式方程解决直线平行与垂直问题的策略
已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，
(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.
(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
4．若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．
5．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
6．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
（1）由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．
（2）①可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；
②与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.
知识点5 直线的五种方程
知识点6 两直线的交点坐标
1、已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
2、直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：
知识点7 两点间的距离公式
1．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
知识点8 直线系过定点问题
1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.
3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
知识点9 点到直线的距离与两条平行线间的距离
知识点10 圆的标准方程
1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示．
3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
知识点11 点与圆的位置关系
(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内．
(2)根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断：
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外；
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内．
知识点12 圆的一般方程
1．圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(D,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(E,2)))2＝eq \f(D2＋E2－4F,4)，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径长为eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F).
注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：
(1)x2，y2项的系数均为1；
(2)没有xy项；
(3)D2＋E2－4F＞0.
3．常见圆的方程的设法
4. 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))
5. 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
知识点13 直线与圆的三种位置关系
注：直线与圆的位置关系及判断
知识点14 直线与圆相交
1．解决圆的弦长问题的方法
2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用．
知识点15 直线与圆相切
1．求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线）
2．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可写出切线方程．
3．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
4.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
5.切线长公式
记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；
知识点16 圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
知识点17 圆与圆的位置关系
1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
2．判定方法
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq \\al(2,1)＋Eeq \\al(2,1)－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq \\al(2,2)＋Eeq \\al(2,2)－4F2>0)，
联立方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
注：(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；
(2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；
(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．
(4)圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．
知识点18 圆与圆位置关系的应用
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得
(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③
方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．
(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．
(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．
两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长eq \f(l,2)，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．
知识点19 圆与圆的公切线
1、公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
2、公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离求解
知识点20 圆系方程
(1) 以为圆心的同心圆圆系方程：；
(2) 与圆同心圆的圆系方程为；
(3) 过直线与圆交点的圆系方程为
4 过两圆，圆：交点的圆系方程为
（，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.
题型一 直线的倾斜角与斜率
1．(2023·重庆长寿·高二期末）直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【解析】将直线一般式方程化为斜截式方程得：，
所以直线的斜率为，
所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为.
故选：C
2．(2023·江苏南通·高二期末）经过点，的直线的倾斜角为___________.
【解析】根据两点间斜率公式得：，
所以直线的倾斜角为：.
故答案为：
3．(2023·天津天津·高二期末）若直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，则l的斜率取值范围为_________________；其倾斜角的取值范围为_________________.
【解析】 因为直线l经过A(2，1)，B(1， )两点，
所以l的斜率为，
所以l的斜率取值范围为，
设其倾斜角为，，则，
所以其倾斜角的取值范围为，
故答案为：，
4．(2023·上海虹口·高二期末）直线与的夹角为________．
【解析】直线的斜率，即倾斜角满足，
直线的斜率，即倾斜角满足，
所以，
所以，
又两直线夹角的范围为，
所以两直线夹角为，
故答案为：.
5．(2023·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】直线过点且斜率为，与连接两点，的线段有公共点，
由图，可知，，
当时，直线与线段有交点．
故选：B．
题型二 两条直线的平行和垂直
6．(2023·上海虹口·高二期末）设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】当时，与的斜率相等，故平行，充分性成立，
若“直线与直线平行”，则满足，
解得：或1，经验证，：或1时，两直线不重合，故：或1，两直线平行，故必要性不成立.
故选：A
7．(2023·重庆九龙坡·高二期末）若直线与直线平行，则直线与之间的距离为_____．
【解析】由题设，，即，
所以，，
所以直线与之间的距离为.
故答案为：
8．(2023·四川南充·高二期末（文））“”是“直线：与直线：互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】依题意，，解得或，
所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A
9．(2023·湖南·宁乡市教育研究中心高二期末）已知、，直线，，且，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为、，直线，，且，
所以，即，
所以，所以，
所以
，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为，
故选：D
10．【多选】(2023·河北保定·高二期末）已知两条直线、的方程分别为与，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则两条平行直线之间的距离为
C．若，则
D．若，则直线、一定相交
【解析】若，则，，A正确；
由A知，，直线的方程可化为，
故两条平行直线之间的距离为，B正确；
由，则，，C不正确；
由A知时，，所以时，则直线、一定相交，D正确．
故选：ABD．
题型三 求直线的方程
11．(2023·福建·厦门外国语学校高二期末）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.
故选：C.
12．(2023·广东深圳·高二期末）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A．B．
C．或D．或
【解析】当直线过原点时，满足题意，方程为，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，设方程为，
∵直线过(1，2)，∴，∴，∴方程为，
故选：D﹒
13．(2023·广东汕尾·高二期末）瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为______．
【解析】因的顶点，，，则的重心，
显然的外心在线段AC中垂线上，设，
由得：，解得：，即点，
直线，化简整理得：，
所以欧拉线的方程为.
故答案为：
14．(2023·安徽宣城·高二期末）已知直线l经过直线，的交点M．
(1)若直线l与直线平行，求直线l的方程；
(2)若直线l与x轴，y轴分别交于A，两点，且M为线段AB的中点，求的面积（其中O为坐标原点）．
【解析】(1)由，得，
所以点M的坐标为，
因为，则设直线l的方程为，
又l过点，代入得，故直线l方程为.
(2)设，，因为为线段AB的中点，则
，所以，故，，
则的面积为.
15．(2023·重庆市青木关中学校高二期末）已知直线l过定点
(1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程；
(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
【解析】(1)直线的斜率为，于是得直线l的斜率，则，即，
所以直线l的方程是：.
(2)因直线l在两坐标轴上的截距相等，则当直线l过原点时，直线l的方程为：，即，
当直线l不过原点时，设其方程为：，则有，解得，此时，直线l的方程为：，
所以直线l的方程为：或.
题型四 直线的交点坐标和距离问题
16．(2023·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，
由，得，即和的交点为，
因为直线过点，
所以，得，
所以所求直线方程为，
故选：D
17．(2023·广东汕尾·高二期末）点为轴上的点，，，以，，为顶点的三角形的面积为8，则点的坐标为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【解析】设，直线的方程为，
点到直线的距离，，
所以，解得：或，
所以点的坐标为或.
故选：A
18．(2023·上海虹口·高二期末）已知点在直线上，则的最小值为________．
【解析】可以理解为点到点的距离，
又∵点在直线上，
∴的最小值等于点到直线的距离，
且.
故答案为：.
19．(2023·青海·大通回族土族自治县教学研究室高二期末（文））与直线平行，且距离为的直线方程为______．
【解析】由题意，设所求直线方程为，
因为直线与直线的距离为，
所以，解得或，
所以所求直线方程为或，
故答案为：或.
20．(2023·河北·衡水市冀州区滏运中学高二期末）若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（ ）
A．或11B．或10
C．或12D．或11
【解析】因为两条平行线与之间的距离是2，
所以，或，
故选：A
题型五 直线的综合问题
21．(2023·广东深圳·高二期末）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，由重心坐标公式得，
三角形的重心为，，
代入欧拉线方程得：，
整理得：①
的中点为，，
的中垂线方程为，即．
联立，解得．
的外心为．
则，
整理得：②
联立①②得：，或，．
当，时，重合，舍去．
顶点的坐标是．
故选：A．
22．(2023·山东淄博·高二期末）已知：，，，，，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意可知：直线 的方程为 ，直线的方程为，如图：
设关于直线的对称点为，则,
解得，故，
同理可求关于直线的对称点为,
连接,交于N，
而MN方程为y=2,联立得N点坐标为，
连接，分别交于,
方程为：，和直线方程联立，
解得H点坐标为,
PN的方程为x=2,和直线方程联立解得，
连接,则之间即为动点D点的变动范围，
而 ,
故FD斜率的取值范围是 ，
故选B.
23．(2023·山西朔州·高二期末（理））设点和，在直线：上找一点，使取到最小值，则这个最小值为__________
【解析】
设点关于直线：的对称点为
线段的中点在上
则
又，
解得，
故答案为：
24．(2023·湖北省武汉市青山区教育局高二期末）已知直线方程为．
(1)若直线的倾斜角为，求的值；
(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
【解析】(1)由题意可得.
(2)在直线的方程中，令可得，即点，
令可得，即点，
由已知可得，解得，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.
25．【多选】(2023·重庆·高二期末）对于直线.以下说法正确的有（ ）
A．的充要条件是
B．当时，
C．直线一定经过点
D．点到直线的距离的最大值为5
【解析】当时， 解得 或，
当时，两直线为 ，符合题意；
当时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当时，两直线为， ，
所以，故B正确；
直线即直线，故直线过定点，C错误；
因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ，
故D正确，
故选：BD.
题型六 求圆的方程
26．(2023·贵州·遵义四中高二期末）已知直线l：x -y+2=0，一个圆的圆心C在x轴正半轴上，且该圆与直线l和y轴均相切．
(1)求该圆的方程；
(2)若直线x+ my -1=0与圆C交于 A、B两点，且|AB|=，求m的值．
【解析】
(1)
设圆心为，，
则由题意得：，
解得：或（舍去），
故该圆的方程为
(2)
圆心到直线的距离为，
由垂径定理得：，
解得：
27．(2023·广东深圳·高二期末）已知圆D经过点A（-1，0），B（3，0），C（1，2）.
(1)求圆D的标准方程；
(2)若直线l：与圆D交于M、N两点，求线段MN的长度.
【解析】
(1)
解：设圆D的标准方程，
由题意可得，解得，
所以圆D的标准方程为；
(2)
解：由（1）可知圆心，半径，
所以圆心D（1，0）到直线l：的距离，
所以.
28．(2023·四川·高二期末）已知圆经过点，两点，且圆心在直线：上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点且倾斜角为的直线与圆相交于，两点，求四边形的面积.
【解析】
(1)
设圆心坐标为，由
则
解得，故， 半径，
∴圆的标准方程为.
(2)
由过点且倾斜角为，可得的斜率
则的方程为：
经过点，两点的直线斜率为，
则直线AB的方程为，则
又圆心在直线上，所以为圆的直径
则，又
则四边形为梯形，
梯形的高即为与之间的距离
故
29．(2023·重庆·高二期末）已知点，直线，圆.
(1)若连接点与圆心的直线与直线垂直，求实数的值；
(2)若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求实数的值．
【解析】(1)圆，，，，
， ，
(2)圆半径为，设圆心到直线的距离为，
则
又由点到直线距离公式得：
化简得：，解得：或
所以实数的值为和.
30．(2023·吉林·吉化第一高级中学校高二期末）若曲线表示圆，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】或.
故选：C.
题型七 点和圆的位置关系
31．(2023·山东青岛·高二期末）点在圆的内部，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为 ，所以 ，由于点 在圆 内
所以，所以，所以
故选：B
32．(2023·湖南·新化县教育科学研究所高二期末）已知圆，点．
（1）若点在圆外部，求实数的取值范围；
（2）当时，过点的直线交圆于，两点，求面积的最大值及此时直线l的斜率．
【解析】（1）根据题意，圆，即，
若在圆外，则有，
解得：，
即的取值范围为；
（2）当时，圆的方程为，圆心为，半径，
设，则，
当时，面积取得最大值，且其最大值为2，此时为等腰直角三角形，圆心到直线的距离，
设直线的方程为，即，
则有，解得，
即直线的斜率．
33．(2023·吉林·长春十一高高二期末）若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（ ）
A．点P在圆上B．点P在圆外
C．点P在圆内D．以上都有可能
【解析】因为直线与圆有两个公共点，
所以圆心到直线的距离小于半径1，即
，
所以，所以，
所以点与圆外，
故选：B
34．(2023·四川遂宁·高二期末（文））过点可以向圆引两条切线，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】把圆的方程化为标准方程得，即圆心坐标为，半径为
，
点到圆心的距离为，
∵在圆外时，过点可以向圆引两条切线，
∴，即,且，
解得，
故选：.
35．(2023·北京八中高二期末）已知点和，圆，当圆C与线段没有公共点时，则实数m的取值范围为___________．
【解析】当点和都在圆的内部时，，解得或
直线的方程为，即
圆心到直线的距离为，当圆心到直线的距离大于半径时，，且.
综上，实数m的取值范围为.
故答案为：
题型八 直线和圆的位置关系
36．(2023·上海徐汇·高二期末）直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线l与圆的位置关系是（ ）
A．直线l过圆心B．直线l与圆相交，但不过圆心
C．直线l与圆相切D．直线l与圆无公共点
【解析】直线过原点，斜率为，倾斜角为，依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，
因此，直线l的方程为：，又圆的圆心为，半径为，
于是得点到直线l的距离为，所以直线l与圆相切.
故选：C
37．(2023·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）若“直线与圆相交”，“”，则是的（ ）
A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】直线与圆相交，可得1，解得，
且，
∴“直线与圆相交”是“”的充分而不必要条件.
故选：B.
38．(2023·上海市虹口高级中学高二期末）直线与圆相切，则实数m等于（ ）
A．2B．C．或D．
【解析】因为直线与圆相切，故，即，故
故选：D
39．(2023·广西梧州·高二期末（文））已知对任意的实数k，直线l：与圆C：有公共点，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由直线可化为，则直线l过定点，
因为直线l：与圆C：有公共点，
所以定点在圆C上或圆C内，可得，解得，
故选：B
40．(2023·福建省福州第二中学高二期末）已知直线平分圆：，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】圆：，圆心，
直线平分圆：，
直线过圆心，即，
，
当且仅当，即，的最大值为.
故选：B
题型九 圆的切线问题
41．(2023·广东广州·高二期末）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A．B．
C．D．或
【解析】将点代入中，成立，
即点在圆上，
圆心和连线的斜率为 ，
故过圆上点的切线的斜率为 ，
则切线方程为，即，
故选：C
42．(2023·天津河北·高二期末）过点作圆的切线，则切线的方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【解析】圆的圆心为原点，半径为1，
当切线的斜率不存在时，即直线的方程为，不与圆相切，
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即
所以，解得或
所以切线的方程为或
故选：C
43．(2023·广东揭阳·高二期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B；
(1)求直线AB的方程；
(2)若M为圆上的一点，求面积的最大值．
【解析】(1)圆的圆心坐标为，半径为1，
则的中点坐标为，，
以为圆心，为直径的圆的方程为，
由，得①，
由，得②，
①②得：．
直线的方程为；
(2)
圆心 到直线的距离为
故圆上的点M到直线的距离的最大值为 ，
而 ,
故面积的最大值为 .
44．(2023·广东韶关·高二期末）已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】圆：化为标准方程：，其圆心,半径.
过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：
在△PAC中,有，即，变形可得：.
设，则.
所以当的值即x最小时，的值最大，此时最小.
而的最小值为点C到直线的距离，即，
所以.
故选：B
45．(2023·全国·高二期末）若曲线y＝与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．(1，＋∞)D．(1，3]
【解析】根据题意画出图形，如图所示．由题意可得，曲线y＝的图象为以(0，0)为圆心，2为半径的半圆，直线l恒过A(2，4)，由图当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，解得k＝；当直线l过B点时，直线l的斜率k＝，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.
故选：A.
题型十 圆的弦长问题
46．(2023·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）已知直线与圆相交于两点，则=__________．
【解析】根据圆的方程：，圆心坐标，半径，
∴圆心到直线距离，
所以，
故答案为：.
47．(2023·河北保定·高二期末）已知圆过点、，且圆周被直线平分．
(1)求圆的标准方程；
(2)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
【解析】(1)解：由题意得：
∵，，且直线过圆心
∴AB的中点坐标为
又
∴AB的垂直平分线方程为，即
联立，解得
∴圆C的圆心坐标为，
则圆C的标准方程为．
(2)
当斜率存在时，设直线方程为，即．
圆心，到直线的距离
解得
∴直线l的方程为
当斜率不存在时，也满足条件
则直线l的方程为或．
48．(2023·重庆市巫山大昌中学校高二期末）已知圆.
(1)求过点M（2，1）的圆的切线方程；
(2)直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；
(3)已知圆的圆心在直线y=1上，与y轴相切，且与圆相外切，求圆的标准方程.
【解析】(1)圆，
即，
其圆心为，半径为1.
因为点（2，1）在圆上，如图，
所以切线方程为y=1；
(2)
由题意得，圆的直径为2，
所以直线过圆心，
由直线的两点式方程，得，
即直线的方程为x+y-2=0；
(3)
因为圆E的圆心在直线y=1上，设圆E的圆心E（a，1），
由圆E与y轴相切，得R=a()
又圆E与圆相外切，所以，
由两点距离公式得，
所以，解得，
所以圆心，，
所以圆E的方程为.
49．(2023·甘肃酒泉·高二期末（理））直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】圆的圆心为，半径，
又直线，直线恒过定点，
当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦，
此时弦心距为．
所截得的最短弦长：．
故选：C．
50．(2023·北京昌平·高二期末）已知圆，直线l过点且与圆O交于A，B两点，当面积最大时，直线l的方程为_________．
【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
则由，得，所以
,
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为
原点到直线l的距离为：
当且仅当，即时取得等号.
由，解得
由
故直线l的方程为：，即
故答案为：
题型十一 圆与圆的位置关系
51．(2023·上海中学东校高二期末）已知圆截直线所得的弦长为．则圆M与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
【解析】由，即，
故圆心，半径，
所以点到直线的距离，
故，即，
解得：；
所以，；
又，圆心，，
所以，
且，
即圆与圆相交，
故选：B.
52．(2023·湖南岳阳·高二期末）圆与圆外切，则实数_________．
【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，则
根据题意可得：，即，∴
故答案为：9．
53．(2023·天津·静海一中高二期末）若圆C：与圆D2的公共弦长为，则圆D的半径为___________.
【解析】根据得公共弦方程为：.
因为公共弦长为，所以直线过圆的圆心.
所以，解得.
故答案为：
54．(2023·贵州黔东南·高二期末（文））若圆与圆有3条公切线，则正数（ ）
A．3B．3C．5D．3或3
【解析】由题可知两圆外切，又圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为4，
，
∴，又，
∴.
故选：B.
55．【多选】(2023·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）已知圆：和圆：相交于A，B两点，下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为，半径为1B．直线AB的方程为
C．线段AB的长为D．线段AB的长为
【解析】由圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，得(x－1)2+(y+2)2＝1，
A：则圆M的圆心为（1，－2），半径为1，故A正确；
B：联立圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，消去二次项，
可得直线AB的方程为x－2y－4＝0，故B正确；
C：圆心O到直线x－2y－4＝0的距离d，圆O的半径为2，
则线段AB的长为2，故C错误，D正确.
故选：ABD
题型十二 与圆有关的轨迹问题
56．(2023·河北张家口·高二期末）在等腰直角三角形中，，平面上有动点，满足，则的最大值为___________.
【解析】以为原点，方向分别为轴，轴的正方向建立如图所示平面直角坐标系，则
设，则
故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（如图），设直线交于
则共线得
故当最小时，最大
过点作的平行线交的延长线于点，则
故当与圆在处相切时，最小为，故的最大值为
故答案为：．
57．(2023·江苏南通·高二期末）在平面直角坐标系中，线段的两端点，分别在轴正半轴和轴正半轴上滑动，若圆上存在点是线段的中点，则线段长度的最小值为 （ ）
A．4B．6C．8D．10
【解析】设，，的中点为，则，
故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
问题转化为圆与圆有交点，
所以，，即，解得：，
所以线段长度的最小值为.
故选：C
58．(2023·山西晋中·高二期末）在平面直角坐标系中，已知.
(1)求直线的方程；
(2)平面内的动点满足，到点与点距离的平方和为24，求动点的轨迹方程.
【解析】(1)，
于是直线的方程为，即
(2)
设动点，于是，
代入坐标得，
化简得，
于是动点的轨迹方程为
59．(2023·福建厦门·高二期末）圆与x轴相切于点A．点B在圆C上运动，则AB的中点M的轨迹方程为______（当点B运动到与A重合时，规定点M与点A重合）；点N是直线上一点，则的最小值为______．
【解析】依题意得，，因为M为AB中点，所以，
所以点M的轨迹是以AC为直径的圆，又AC中点为，，
所以点M的轨迹方程为，圆心，
设关于直线的对称点为，
则有，解得，所以，
所以由对称性可知的最小值为．
故答案为：，
60．【多选】(2023·江苏镇江·高二期末）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则可能的取值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，则
因为，故即，
故的轨迹为圆（原点为圆心，半径为，不含两点），
因为分别在第二象限和第四象限，而圆在第一象限，
又在圆上，故圆与圆有公共点，
所以即，
解得，
故选：CD.
题型十三 与圆有关的最值问题
61．(2023·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（ ）
A．-1B．C．+1D．6
【解析】变形为，故圆心为，半径为1，故圆心到原点的距离为，故圆上的点到坐标原点的距离最小值为.
故选：A
62．(2023·安徽·六安外国语高级中学有限公司高二期末）圆上的点到直线的距离的最大值为__________.
【解析】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离的最大值为.
故答案为：
63．(2023·上海奉贤区致远高级中学高二期末）已知直线l：和圆C：，____时，l被C截得的弦长最短.
【解析】由题意，根据直线l：恒过，且当PC⊥l时弦AB的长度最短，结合直线垂直时斜率的关系求解即可
【详解】圆的C方程可化为：，直线l：即恒过，如图所示，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，弦AB的长度最短， 此时PC⊥l，又，所以直线l的斜率为，则，
故答案为：
64．(2023·福建三明·高二期末）设P为圆上一动点，Q为直线上一动点，O为坐标原点，则的最小值为___．
【解析】由圆，得圆心，半径，
取点A（3，0），则，
又，∴，∴，
∴，当且仅当直线时取等号．
故答案为：．
65．【多选】(2023·福建龙岩·高二期末）已知点，且点在圆上运动，则下列结论正确的是( )
A．的最大值为
B．的最小值为5
C．的最大值为
D．当最大时，的面积为1
【解析】如图所示，
的最大值为圆心到的距离加圆的半径，，∴的最大值为，故A正确；
如图当为线段和圆的交点时，取得最小值，故B错误；
如图当为线段延长线和圆的交点时，取得最大值，故C正确；
点在圆内，当与圆相切时，最大，即P在图中位置时.
显然此时是切线斜率时存在，设为，即kx－y＋3＝0，
则，解得，
∴切线方程为，即5x＋12y－36＝0，
显然过A的圆的另外一条切线是y轴，则切线长.
点B到切线PA的长度d＝，
∴，故D错误；
故选：AC．
题型十四 直线与圆、圆与圆位置关系的综合问题
66．【多选】(2023·辽宁朝阳·高二期末）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与圆一定有公共点
B．当时直线被圆截得的弦最长
C．当直线与圆相切时，
D．圆心到直线的距离的最大值为
【解析】由题意知直线过定点，且点在圆外部，所以错误；当时，的方程为，直线过圆心，截得的弦恰为直径，故B正确；当与圆相切时，，解得，故C正确；当与垂直时，圆心到的距离取得最大值，其最大值为，故正确.
故选：BCD.
67．【多选】(2023·江苏南通·高二期末）已知圆：和圆：相交于A，B两点，且点A在x轴上方，则（ ）
A．
B．过作圆的切线，切线长为
C．过点A且与圆相切的直线方程为
D．圆的弦AC交圆于点D，D为AC的中点，则AC的斜率为
【解析】依题意，由解得，则，
圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
，A正确；
过作圆的切线，切线长为，B不正确；
直线的斜率为，过点A且与圆相切的直线斜率为，该切线方程为，
即，C正确；
因D为圆的弦AC的中点，则，于是得点D在以线段为直径的圆上，
而点D在圆上，则由得直线的方程，其斜率为，D正确.
故选：ACD
68．【多选】(2023·广东深圳·高二期末）已知直线，圆，则（ ）
A．直线与圆相交
B．圆上的点到直线距离的最大值为
C．直线关于圆心对称的直线的方程为
D．圆关于直线对称的圆的方程为
【解析】由圆方程知：圆心，半径；
对于A，圆心到直线距离，直线与圆相交，A正确；
对于B，圆心到直线距离，圆上的点到直线距离的最大值为，B错误；
对于C，设直线关于圆心对称的直线方程为：，
则圆心到直线和到其对称直线的距离相等，，解得：（舍）或，直线关于圆心对称的直线的方程为，C正确；
对于D，设圆心关于直线对称的点为，则，解得：，
所求圆的圆心为，半径为，
圆关于直线对称的圆的方程为，D正确.
故选：ACD.
69．【多选】(2023·重庆市实验中学高二期末）已知圆，点，过点A的直线与圆C交于两点P，Q，且．则（ ）
A．直线的斜率B．的最小值为2
C．的最小值为D．
【解析】依题意圆的圆心坐标为，半径，
显然直线的斜率存在，设斜率为，则直线，即，
所以，解得，故A错误；
因为，所以，故C正确；
当直线与圆相切时，，又，所以不存在最小值，只存在最大值且，故B错误；
设，，由与，
消去整理得
所以，，
所以
，故D正确；
故选：CD
70．【多选】(2023·河北石家庄·高二期末）设，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，下列说法正确的是（ ）
A．点在定圆上
B．点在圆外
C．线段长的最大值为
D．的最小值为
【解析】因为直线与，满足，所以两直线互相垂直，
又两直线分别过定点，定点，所以是以为直径的圆，圆的方程为，故选项A错误；
圆与圆的圆心距为，
所以两圆相离，则点在圆外，故选项B正确；
因为，为弦的中点，所以，所以圆心到弦的距离为，
所以弦中点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
所以线段长的最大值为两圆心的距离加上两圆的半径，即，故选项C正确；
，
因为，
所以，故选项D错误．
故选：BC.
倾斜角
（范围）
斜率
（范围）
不存在
名称
条件
方程
图形
适用范围
点斜式
直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k
y－y0＝k(x－x0)
不表示垂直于轴的直线
斜截式
直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距)
y＝kx＋b
不表示垂直于轴的直线
两点式
P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 其中x1≠x2，y1≠y2
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
不表示垂直于坐标轴的直线
截距式
在x轴上截距a，在y轴上截距b
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线
一般式
A，B，C为系数
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
任何位置的直线
方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段的长度
公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
标准方程的设法
一般方程的设法
圆心在原点
x2＋y2＝r2
x2＋y2－r2＝0
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)D2＝0
与y轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝a2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)E2＝0
位置关系
交点个数
图示
相交
有两个公共点
相切
只有一个公共点
相离
没有公共点
位置关系
相交
相切
相离
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
几何法
（常用）
如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq \r(r2－d2)
代数法
若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|
注：直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数，结合韦达定理可得到
几何法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
代数法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2个
1个
0个
两圆的位置关系
相交
内切或外切
外离或内含
两圆外离
两圆外切
两圆相交
两圆内切
两圆内含
有2条外公切线和2条内公切线，共4条
有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
只有2条外公切线
只有1条外公切线
无公切线
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