(人教A版选择性必修第一册)高二数学同步讲义第三章《圆锥曲线的方程》综合检测卷(培优B卷)(原卷版+解析)

这是一份(人教A版选择性必修第一册)高二数学同步讲义第三章《圆锥曲线的方程》综合检测卷(培优B卷)(原卷版+解析)，共22页。
第三章《圆锥曲线的方程》综合检测卷（培优B卷）单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．方程表示椭圆，则的取值范围是（    ）A． B．或C． D．2．若一个椭圆的长轴长和焦距之和为短轴长的两倍，则该椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．3．若动圆与圆和圆都外切，则动圆圆心的轨迹为（    ）A．双曲线的一支 B．圆C．抛物线 D．双曲线4．已知点，是双曲线的左、右两焦点，若双曲线左支上存在点与点关于直线对称，则的值为A． B． C． D．5．已知拋物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，于点B，若，则（    ）A． B． C． D．6．已知抛物线的焦点为F，点A，B在C上（A在第四象限，B在第一象限），满足，且，则直线AB的斜率为（    ）A． B． C． D．17．设F为双曲线的右焦点，O为坐标原点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．58．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D．多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知椭圆，则（    ）A．的焦点都在x轴上 B．的焦距相等C．没有公共点 D．比更接近圆10．设是抛物线上的一个动点，是抛物线的焦点，若，则的取值可能为（    ）A．2 B． C．4 D．711．已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为，则下列说法正确的是（    ）A．B．双曲线的渐近线方程为:C．双曲线的离心率为D．双曲线上的点到焦点距离的最小值为12．设、为双曲线：（）同一条渐近线上的两个不同的点，若向量，且，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线的顶点为原点，准线为，则抛物线的方程为_________．14．已知双曲线：上的点到焦点的最小距离为1，则双曲线的方程为______．15．已知为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，如果线段的中点在 轴上，且，则的值为________．16．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，两条渐近线的夹角为，且点在双曲线上，则的面积为_______.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知椭圆焦点为，且过点，椭圆第一象限上的一点到两焦点的距离之差为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）求的内切圆方程.18．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为，且长轴长与短轴长的比是.(1)求椭圆的方程；(2)设点，点是椭圆上任意一点，求的最大值.19．设抛物线的焦点为F，准线为l，，以M为圆心的圆M与l相切于点Q，Q的纵坐标为，是圆M与x轴的不同于F的一个交点．(1)求抛物线C与圆M的方程；(2)过F且斜率为的直线n与C交于A，B两点，求△ABQ的面积．20．设，分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线（）与的右支交于，两点，过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)当时，求实数的值；(3)设点关于坐标原点的对称点为，当时，求面积的值.21．已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点. 当的斜率为时，坐标原点到的距离为.（1）求、的值；（2）上是否存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有点的坐标与的方程；若不存在，说明理由.22．已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点.(1)求双曲线的方程.(2)若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.第三章《圆锥曲线的方程》综合检测卷（培优B卷）单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．方程表示椭圆，则的取值范围是（    ）A． B．或C． D．【答案】B【分析】根据方程表示椭圆的特征可得的取值范围.【详解】因为方程表示椭圆，所以，解得且，则的取值范围是或.故选：B.2．若一个椭圆的长轴长和焦距之和为短轴长的两倍，则该椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意列出关系式，结合与可求出椭圆的离心率．【详解】椭圆的长轴长和焦距之和为短轴长的两倍，，即，又，，，，又，则，因此椭圆的离心率为．故选：B．3．若动圆与圆和圆都外切，则动圆圆心的轨迹为（    ）A．双曲线的一支 B．圆C．抛物线 D．双曲线【答案】A【分析】由圆与圆的位置关系以及双曲线的定义求解即可【详解】设动圆的圆心为M，半径为r，圆与圆的圆心分别为和圆，易得圆和圆的半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得，．∴，又，∴动点M的轨迹是双曲线的一支．故选：A4．已知点，是双曲线的左、右两焦点，若双曲线左支上存在点与点关于直线对称，则的值为A． B． C． D．【答案】C【详解】过焦点且垂直的直线方程为：，与联立，解之可得，故对称中心的点坐标为，由中点坐标公式可得对称点的坐标为，将其代入双曲线的方程可得，又，所以，故选C.5．已知拋物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，于点B，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出图示，求出抛物线的准线和焦点，利用抛物线定义可知，可推出，从而求得，解直角三角形即可求得答案.【详解】设抛物线准线与x轴交点为D，焦点 ，由于点A在C上，，故 ,因为，所以，而x轴，所以,而 ,所以 ，故选：B6．已知抛物线的焦点为F，点A，B在C上（A在第四象限，B在第一象限），满足，且，则直线AB的斜率为（    ）A． B． C． D．1【答案】A【分析】过作准线的垂线交准线于点，过作准线的垂线交准线于点，过点作的垂线交于点，设，然后可推出、，然后由直线AB的倾斜角与相等可求出答案.【详解】过作准线的垂线交准线于点，过作准线的垂线交准线于点，过点作的垂线交于点， 因为，所以设，则，，，因为，所以，所以在中有，所以，因为直线AB的倾斜角与相等，所以直线AB的斜率为，故选：A7．设F为双曲线的右焦点，O为坐标原点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．5【答案】B【分析】求得交点坐标，利用点到直线的距离公式，即可求得，的关系式，即可求得双曲线的离心率．【详解】解：双曲线渐近线方程，由的垂直平分线为，将，代入，则，则交点坐标为，，由到，即的距离，解得：，则双曲线的离心率，故选：B．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．8．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线的定义和，得到,进而得到，然后在中，设，，由余弦定理求解.【详解】由双曲线的定义得：，因为，所以，所以,又，所以，在中，，设，因为，所以，由余弦定理得：，即，所以，解得，故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是由，确定的范围.多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知椭圆，则（    ）A．的焦点都在x轴上 B．的焦距相等C．没有公共点 D．比更接近圆【答案】BCD【分析】将椭圆变为标准方程，再根据椭圆的性质就可以判断每一个选项.【详解】对于A，因为椭圆的标准方程为，所以的焦点在y上，所以A不正确；对于B，因为椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确；对于C，作出椭圆的图象，由图象可知，椭圆没有公共点，所以C正确；对于D，因为椭圆的离心率为，的离心率为，所以，所以D正确.故选：BCD.10．设是抛物线上的一个动点，是抛物线的焦点，若，则的取值可能为（    ）A．2 B． C．4 D．7【答案】CD【分析】作出图形，过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，从而得出，再由、、三点共线时，取最小值得解.【详解】抛物线的准线，焦点 ，所以在抛物线的内部，过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，，当且仅当、、三点共线时，等号成立，因此，的最小值为.故选：CD.11．已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为，则下列说法正确的是（    ）A．B．双曲线的渐近线方程为:C．双曲线的离心率为D．双曲线上的点到焦点距离的最小值为【答案】BCD【分析】由题意可得，解得：，所以双曲线，再对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为，所以中的①，故A不正确；对于B，双曲线的渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离为，所以，所以②，由①②可得：，所以双曲线的渐近线方程为，故B正确；所以双曲线的，对于C，双曲线的的离心率为，故C正确；对于D，双曲线上的点到焦点距离的最小值为.故选：BCD.12．设、为双曲线：（）同一条渐近线上的两个不同的点，若向量，且，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】分别讨论焦点在x轴、y轴两种情况，根据题意确定出夹角的大小，进而求出点（0,2）到渐近线的距离，构造出齐次方程，最后解出答案.【详解】设的夹角为，由题意得，∴，①当双曲线的焦点在轴上时，其渐近线方程为，即，∴点到渐近线的距离为，整理得，∴，②当双曲线的焦点在轴上时，其渐近线方程为，即，∴点到渐近线的距离为，整理得，∴，综上双曲线的离心率为或.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线的顶点为原点，准线为，则抛物线的方程为_________．【答案】【分析】根据题意设出抛物线的标准方程求解即可．【详解】解：由题意设抛物线的方程为，，，∴ 抛物线的标准方程为．故答案为：．14．已知双曲线：上的点到焦点的最小距离为1，则双曲线的方程为______．【答案】【分析】根据双曲线上的点到焦点的最小距离为半焦距减去半实轴长计算即可.【详解】解：双曲线：的半焦距为，半实轴长为，则双曲线上的点到焦点的最小距离为，解得.所以双曲线方程为故答案为：.15．已知为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，如果线段的中点在 轴上，且，则的值为________．【答案】7.【分析】由题意可得PF2平行y轴，然后结合椭圆方程和椭圆的定义整理计算即可求得最终结果.【详解】∵原点O是F1F2的中点，∴PF2平行y轴，即PF2垂直于x轴∵c=3，∴|F1F2|=6，设|PF1|=x，根据椭圆定义可知∴，解得，∴|PF2|=，∵|PF1|=t|PF2|，∴t=7.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，方程的思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，两条渐近线的夹角为，且点在双曲线上，则的面积为_______.【答案】【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程，设其中一条渐近线的倾斜角为，根据题意可得或，即可得，的关系，再将点代入双曲线方程，解方程求出，，的值，再由即可求解.【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程为，设其中一条渐近线的倾斜角为，因为两条渐近线的夹角为，则或，即或，当时，，即，则双曲线的方程可化为：，即，代入得，此方程无解；当时，，即，则双曲线的方程可化为，即，代入得，解得，故，，所以，故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知椭圆焦点为，且过点，椭圆第一象限上的一点到两焦点的距离之差为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）求的内切圆方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）椭圆过点，且焦点为，可以列出方程，求解即可求出的值，进而求出椭圆的方程.（2）到两焦点的距离之差为2，又到两焦点的距离之和为2，联立可求出，又 则可得出三角形为直角三角形，则可求出圆心和半径，进而可求出圆的方程.【详解】（1）椭圆过点，且焦点为，则，解得：，所以椭圆方程为：.（2）由，故内切圆半径，所以内切圆方程为：【点睛】本题考查根据椭圆过定点求椭圆的方程，考查直角三角形求内切圆，涉及到直角三角形内切圆半径的求法，属于基础题.18．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为，且长轴长与短轴长的比是.(1)求椭圆的方程；(2)设点，点是椭圆上任意一点，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意结合列式求解；（2）由两点间距离结合椭圆方程整理可得，再根据二次函数求最值.【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆方程为.（2）设，则，即，因为的对称轴为，所以在为减函数，所以当时，的最大值为的最大值为.19．设抛物线的焦点为F，准线为l，，以M为圆心的圆M与l相切于点Q，Q的纵坐标为，是圆M与x轴的不同于F的一个交点．(1)求抛物线C与圆M的方程；(2)过F且斜率为的直线n与C交于A，B两点，求△ABQ的面积．【答案】(1)抛物线，圆;(2)【分析】（1）分别求点的坐标，再利用圆心在线段的垂直平分线上，求得值，即可求得抛物线和圆的方程；（2）直线与抛物线方程联立，求得点的坐标，求得，以及点到直线的距离，再求三角形的面积.【详解】（1）由抛物线的定义知，圆M经过焦点，，点M的纵坐标为，又，则，得，则，．由题意，M是线段EF的垂直平分线上的点，所以，解得p＝2，故抛物线，圆．（2）由题意知直线n的方程为，由，解得或 设，，则．点到直线的距离，所以△ABQ的面积．20．设，分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线（）与的右支交于，两点，过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)当时，求实数的值；(3)设点关于坐标原点的对称点为，当时，求面积的值.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得，根据到直线与等腰三角形底边上的高相等，列方程求参数m；（3）设，，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得，，由向量的数量关系可得，根据对称点、三角形面积公式求面积.【详解】（1）由过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为，所以，即，则所求的双曲线的方程为.（2）因为直线过点，所以，由得：等腰三角形底边上的高的大小为，又到直线的距离等于等腰三角形底边上的高，则，即，则.（3）设，，由得：，则，，又，即，则，，即，则，又关于坐标原点的对称点为，则.则所求的面积为.21．已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点. 当的斜率为时，坐标原点到的距离为.（1）求、的值；（2）上是否存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有点的坐标与的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1），；（2）答案见解析.【分析】（1）由椭圆 的右焦点为，根据题意得到当直线的方程， 根据点到直线的距离公式，求得， 结合，求得，进而得到的值；（2）由（1）知椭圆的方程为，设弦的中点为， 结合，得到， 得到，再由，得到，联立方程组，求得的值，进而求得直线的方程.【详解】（1）由椭圆 的右焦点为，当直线的斜率为时，则其方程为，即， 可得原点到直线距离，解得， 又由，可得，所以.（2）由（1）知椭圆的方程为，设弦的中点为， 因为，可得点是线段的中点，点的坐标为， 所以，① 若直线的斜率不存在，则轴，这时点与重合，，此时点不在椭圆上，故直线的斜率存在， 由，可得，所以，②由①和②联立方程组，可得，， 当，时，，点坐标为，直线的方程为， 当，时，，点坐标为，直线的方程为.22．已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点.(1)求双曲线的方程.(2)若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，使得以线段为直径的圆恒过点【分析】（1）由渐近线夹角得或，结合双曲线所过点可求得，由此可得双曲线方程；（2）假设存在点满足题意，可知；假设直线方程，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，结合向量数量积的坐标运算可化简整理，根据等式恒成立的求解方法可得的值.【详解】（1）两条渐近线的夹角为，渐近线的斜率或，即或；当时，由得：，，双曲线的方程为：；当时，方程无解；综上所述：双曲线的方程为：.（2）由题意得：，假设存在定点满足题意，则恒成立；方法一：①当直线斜率存在时，设，，，由得：，，，，，，整理可得：，由得：；当时，恒成立；②当直线斜率不存在时，，则，，当时，，，成立；综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点.方法二：①当直线斜率为时，，则，，，，，，解得：；②当直线斜率不为时，设，，，由得：，，，，；当，即时，成立；综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点.【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆锥曲线综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理整理；④由所得等式恒成立可整理得到定点.