人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数练习题，共22页。试卷主要包含了若，，则的值为，若函数，函数，已知，则a，b，c的大小关系是，已知函数，下列说法正确的是，已知，，则的值不可能是等内容，欢迎下载使用。
单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．若，，则的值为（ ）
A．1B．5C．D．
2．若函数（且）在上的最大值为4，最小值为m，实数m的值为（ ）
A．B．C．D．或
3．点声源在空间中传播时，衰减量与传播距离（单位：米）的关系式为（单位：），取，则从5米变化到40米时，衰减量的增加值约为（ ）
A．B．C．D．
4．函数（且）在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，若方程有5个不同的实数解，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数（且），若对任意两个不相等的实数，，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B． 图象关于点成中心对称
C． 的最大值为
D．幂函数在上为减函数，则的值为
10．已知，，则的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的值域为R
C．方程最多只有两个实数解D．方程有5个实数解
12．关于函数，下列说法中正确的有（ ）
A．的定义域为
B．为奇函数
C．在定义域上是减函数
D．对任意，，都有
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若是奇函数，则实数___________.
14．已知，，则______．
15．若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是________.
16．函数的零点个数为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数为偶函数，为奇函数，且．
(1)求函数和的解析式；
(2)若在恒成立，求实数的取值范围．
18．已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），其中a，b均为实数．
(1)若函数f（x）的图象经过点A（0，2），B（1，3），求函数的值域；
(2)如果函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求a+b的值．
19．已知函数.
(1)若在上有意义且不单调，求a的取值范围；
(2)若集合，且，求a的取值范围.
20．已知函数.
(1)用定义证明函数在上为减函数；
(2)若，求函数的值域；
(3)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围．
21．已知函数（为常数，）
(1)讨论函数的奇偶性；
(2)当，若方程在上有实根，求实数的取值范围．
22．（1）已知函数的图像恒过定点A，且点A又在函数的图像上，求不等式的解集；
（2）已知，求函数的最大值和最小值.
高中数学人教A版（2019）必修第一册第四章综合检测卷（培优B卷）
单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．若，，则的值为（ ）
A．1B．5C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件利用根式的性质直接计算即可得解.
【详解】依题意，，，
则，所以的值为1.
故选：A
2．若函数（且）在上的最大值为4，最小值为m，实数m的值为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】分和两种情况，由函数的单调性结合函数的最大值为4，求出的值，从而可求出函数的解析式，进而可求出函数的最小值.
【详解】时，在上单调递增，
则，解得，
此时，.
当时，在上单调递减，
所以，解得，
此时，.
综上，m的值为或，
故选：D.
3．点声源在空间中传播时，衰减量与传播距离（单位：米）的关系式为（单位：），取，则从5米变化到40米时，衰减量的增加值约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据衰减量与传播距离（单位：米）的关系式为求解.
【详解】解：因为衰减量与传播距离（单位：米）的关系式为，
所以从5米变化到40米时，衰减量的增加值约为：
，
故选：C
4．函数（且）在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】讨论，判断单调性，结合已知单调区间求的取值范围，再利用二次函数的性质求解.
【详解】因为，所以的定义域为，
当，则在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，不满足；
当，则在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增；
因为在上是增函数，
所以，解得，即，
因为，故在上单调递增，
所以，故A，B，D错误.
故选：C.
5．已知函数，若方程有5个不同的实数解，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】解方程得或，根据的取值分类讨论即可.
【详解】方程，解得或，
若，，
解得或0或2，不符合题意，所以，
由，可得原方程有3个不等实根或0或2；
所以只要有2个不等实根即可．
由可得，即有，
综上可得．
故选：A．
6．已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，利用中间量法即可得出答案.
【详解】解：，
，
，
因为，所以.
故选：D.
7．已知函数（且），若对任意两个不相等的实数，，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得：函数在上为增函数，则有，解不等式即可得出答案.
【详解】对任意两个不相等的实数，，恒成立，
所以函数在上为增函数，则有解得：.
故选：D.
8．设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分析可知，函数的周期为4，作出函数的图像，依题意可得数与的图像在上有4个不同的交点，然后分及讨论即可．
【详解】解：函数是定义在上的奇函数，当时，，
当时，，所以，
即当时，
又对任意，都有，则关于对称，且，
，即函数的周期为，
又由函数且在上恰有个不同的零点，
得函数与的图像在上有个不同的交点，又，
当时，由图可得，解得；
当时，由图可得，解得．
综上可得.
故选：C．
多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B． 图象关于点成中心对称
C． 的最大值为
D．幂函数在上为减函数，则的值为
【答案】BD
【分析】对于A，由复合函数的定义域的求法判断；对于B，通过平移函数的图象判断函数的图象的对称中心；对于C，根据指数函数的单调性进行判断；对于D，通过幂函数的定义和单调性得到关于m的关系式，进而求解m的值.
【详解】对于A，函数的定义域为，由得，
则函数的定义域为，A错误；
对于B，函数的图象的对称中心为，
将函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象，
则函数的图象的对称中心为，B正确；
对于C，函数在R上单调递减，且，
则，即当时，函数取得最小值，无最大值，C错误；
对于D，因为函数为幂函数，
所以，解得，D正确.
故选：BD.
10．已知，，则的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】利用对数运算的公式计算即可.
【详解】由换底公式得：，，，
其中，，故
故选：ABD.
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的值域为R
C．方程最多只有两个实数解D．方程有5个实数解
【答案】ABD
【分析】根据函数解析式可求的值，故可判断A的正误，解方程后可判断D的正误，画出的图象后可判断BC的正误.
【详解】，故A正确.
等价于或，
故或，故方程有2个实数解，
下面考虑的解，令，则的解为或，
再考虑或的解，
即或或或，
故或或或或，共5个不同的解，
故D正确.
的图象如图所示：
由图象可得的值域为R，故B正确.
当时，直线与的交点个数为3，
故此时有3个不同的实数根，故C错误.
故选：ABD.
12．关于函数，下列说法中正确的有（ ）
A．的定义域为
B．为奇函数
C．在定义域上是减函数
D．对任意，，都有
【答案】BCD
【分析】由函数的奇偶性，单调性等性质对选项逐一判断
【详解】对于A，由得，故的定义域为，故A错误，
对于B，的定义域为，，则为奇函数，故B正确，
对于C，，由复合函数的单调性知在上是减函数，故C正确，
对于D，任意，，，
，，故D正确，
故选：BCD
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若是奇函数，则实数___________.
【答案】
【分析】利用可求得，验证可知满足题意.
【详解】定义域为，且为奇函数，，解得：；
当时，，，
为上的奇函数，满足题意；
综上所述：.
故答案为：.
14．已知，，则______．
【答案】
【分析】由指数与对数的运算性质求解
【详解】因为，所以，又，所以，
所以，，
故答案为：
15．若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是________.
【答案】
【分析】令，分和两种情况讨论，结合二次函数的性质得到不等式组，解得即可.
【详解】解：令，则，
当时，是增函数，由在区间上为减函数，
则在上为减函数，故，即，解得；
当时，是减函数，由在区间上为减函数，
则在上为增函数，故，即，解得，
综上，的取值范围是..
故答案为：
16．函数的零点个数为________．
【答案】1
【分析】解法一，将函数的零点转化为函数与图象的交点问题，作出函数图象，数形结合，可得答案；
解法二，利用零点存在定理结合函数的单调性，可得答案.
【详解】解法一：令，可得方程，即，
故原函数的零点个数即为函数与图象的交点个数．
在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．
由图可知，函数与的图象只有一个交点，
故函数只有一个零点，
故答案为：1
解法二：∵，，
∴，
又的图象在上是不间断的，
∴在上必有零点，
又在上是单调递增的，
∴函数的零点有且只有一个，
故答案为：1
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数为偶函数，为奇函数，且．
(1)求函数和的解析式；
(2)若在恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）利用奇偶性可得，与已知等式构成方程组，解方程组即可求得；
（2）由（1）可化简不等式得到，令，将不等式化为，分别在、和的情况下，结合二次函数的性质可构造不等式求得的范围.
【详解】（1）为偶函数，为奇函数，，
由得：，.
（2）由（1）得：，
由得：，
在上单调递增，，
令，则，
，即对恒成立；
令，则，
①当，即时，恒成立，符合题意；
②当，即或时，的对称轴为，
当时，，则在上恒成立，符合题意；
当时，，则当时，，不合题意；
；
③当，即或时，
若，则需，解得：，；
若，则在上不恒成立，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
18．已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），其中a，b均为实数．
(1)若函数f（x）的图象经过点A（0，2），B（1，3），求函数的值域；
(2)如果函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求a+b的值．
【答案】(1)（0，1）；(2)a+b
【分析】（1）由题意先求得a、b的值，可得函数的解析式，利用指数函数的性质求得函数的值域．
（2）根据函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求得a、b的值，可得a+b的值．
【详解】（1）函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），其中a，b均为实数，
函数f（x）的图象经过点A（0，2），B（1，3），∴，
∴，∴函数f（x）＝2x+1＞1，函数1．
又0，故函数的值域为（0，1）．
（2）如果函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，
若a＞1，函数f（x）＝ax+b为增函数，∴，求得a、b无解．
若0＜a＜1，函数f（x）＝ax+b为减函数，∴，求得，
∴a+b．
19．已知函数.
(1)若在上有意义且不单调，求a的取值范围；
(2)若集合，且，求a的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据题意得到二次函数的对称轴在之间，且在上恒为正，结合二次函数的性质即得；
（2）设为方程的两个根，计算，得到，进而即得.
【详解】（1）当时，，
由题知：二次函数的对称轴在之间，且在上恒正，
∴，
解得，
即；
（2）因为，不妨设为方程的两个根，
∴，
由，得，即，且，
由，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
又为方程的两个根，
∴，
∴，解得，
∴.
20．已知函数.
(1)用定义证明函数在上为减函数；
(2)若，求函数的值域；
(3)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)
【分析】（1）利用函数的单调性的定义及的单调性进行证明；
（2）利用函数的单调性求其值域；
（3）先求出当时的值域，再令即可求解.
【详解】(1)证明：函数的定义域为R，
设且，
则.
因为，所以，，，
所以，即．
所以函数在上为减函数．
(2)解：因为函数在上为减函数，
所以当时，，
.
所以当时，的值域为.
(3)解：由(2)得，当时，
的值域为，
因为，
所以当时，.
因为在上恒成立，
所以，解得，
即实数的取值范围为.
21．已知函数（为常数，）
(1)讨论函数的奇偶性；
(2)当，若方程在上有实根，求实数的取值范围．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）直接使用奇偶性的定义进行求解；
（2）在函数为偶函数的条件下，确定函数的解析式，并通过函数零点和方程根的关系，求解实数的取值范围．
【详解】（1）函数的定义域为，
又
①当时，即时，可得
即当时，函数为偶函数；
②当时，即时，可得
即当时，函数为奇函数；
③当时，函数为非奇非偶函数．
（2）由（1）可得，当函数为偶函数时，，
即时，
由题可得，
令，则有
，
又，当且仅当时，等号成立
根据对勾函数的性质可知，，即
①化简得，解得
化简得，解得
此时的取值不存在；
②化简得，解得
化简得，解得
此时，可得的取值为
综上可得
22．（1）已知函数的图像恒过定点A，且点A又在函数的图像上，求不等式的解集；
（2）已知，求函数的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2），.
【分析】（1）结合指数函数性质首先求的值，再解指数不等式；
（2）通过换元，设，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值和最小值.
【详解】（1）由题意知定点A的坐标为，
∴解得.
∴.
∴由得，.
∴.
∴.
∴.
∴不等式的解集为.
（2）由得令，则，
.
∴当，即，时，，
当，即，时，.