人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质同步训练题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质同步训练题，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·全国·高一课时练习）图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（ ）
A．，3，B．，3，C．，，3D．，，3
2．（2022·广东·铁一中学高一阶段练习）设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·广东·东莞市石龙中学高一期中）已知函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）已知，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·全国·高一单元测试）已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·江苏·高一单元测试）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·高一单元测试）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·高一课时练习）若函数f（x）＝xln（x）为偶函数，则a的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．1或﹣1
9．（2022·全国·高一单元测试）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022·全国·高一期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022·浙江·湖州中学高一阶段练习）定义在上的偶函数满足：对任意的有则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
13．（2022·湖南·长沙市明德中学高一阶段练习）下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．函数在上是增函数
B．函数在上是减函数
C．函数的单调递减区间是
D．已知在上是增函数，若，则有
14．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
15．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．定义域、值域分别是，B．单调减区间是
C．定义域、值域分别是，D．单调减区间是
16．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2022·全国·高一专题练习）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为奇函数
C．在区间上有最大值
D．的解集为
18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上是减函数
C．
D．不等式的解集为
三、填空题
19．（2022·辽宁实验中学高一阶段练习）设对任意的，不等式恒成立，则a的取值范围为______.
20．（2022·浙江·高一阶段练习）已知奇函数，当时，，则__________．
21．（2022·全国·高一单元测试）请写出一个同时满足下列三个条件的幂函数______.
（1）是偶函数；（2）在上单调递增；（3）的值域是.
22．（2022·辽宁·高一阶段练习）已知函数，若在上单调递减，则的取值范围为______．
23．（2022·全国·高一单元测试）函数为奇函数，是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为______．
24．（2022·全国·高一课时练习）已知函数满足，，且，.若，则的取值范围是_______.
四、解答题
25．（2022·辽宁·高一阶段练习）已知函数，且，．
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明．
26．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数是定义在R上的增函数，并且满足，．
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围．
27．（2022·全国·高一单元测试）定义在上的单调增函数满足：对任意都有成立
(1)求的值；
(2)求证：为奇函数；
(3)若对恒成立，求的取值范围．
28．（2022·浙江·高一阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)证明：函数在区间上单调递增；
(3)若，求实数的取值范围．
29．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求a，b的值；
(2)判断函数的单调性并用定义加以证明；
(3)求使成立的实数的取值范围．
30．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求当x＞0时，函数的解析式；
(2)解不等式．
31．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式：.
32．（2022·全国·高一期中）已知奇函数的定义域为
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性，并用定义证明；
(3)当时，恒成立，求的取值范围．
参考答案：
1．D
【分析】根据幂函数的图象，结合幂函数的性质判断参数的大小关系，即可得答案.
【详解】由题图知：，，，
所以，，依次可以是，，3．
故选：D
2．B
【分析】利用函数的奇偶性及单调性可得，进而即得.
【详解】因为为定义在上的偶函数，在上为增函数，
由可得，
∴，
解得.
故选：B.
3．A
【分析】根据题意列出不等式组，从而可求得的取值范围．
【详解】∵函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，
∴，解得.
故选：A
4．B
【分析】先利用，将自变量转化到上，再利用在上是增函数，可比较出大小.
【详解】因为，
所以，
，
因为在上是增函数，且，
所以，即，
故选：B
5．B
【分析】利根据函数的单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式，即可得到答案.
【详解】解：由题意，在上单调递减.
则由可得，解得，即原不等式的解集为.
故选：B.
6．D
【分析】根据奇函数及得出，把转化为，根据所给解析式可求结果.
【详解】因为函数是奇函数，所以，
因为，所以，
当时，；
因为当时，，所以
所以.
故选：D.
7．A
【分析】根据函数解析式和奇偶性可确定的单调性，结合可得自变量的大小关系，由此可解不等式求得结果.
【详解】当时，，在上单调递增；
又是定义在上的偶函数，在上单调递减；
，由得：，则，解得：，
的解集为.
故选：A.
8．B
【分析】由f（x）＝xln（x）为偶函数，则设g（x）＝ln（x）是奇函数，由g（0）＝0，可求出答案.
【详解】解：∵函数f（x）＝xln（x）为偶函数，x∈R，
∴设g（x）＝ln（x）是奇函数，
则g（0）＝0，
即ln0，则1，则a＝1．
故选：B．
9．D
【分析】推导出函数是周期函数，且周期为，以及函数在区间上为增函数，利用函数的周期性和单调性可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知，故函数是周期函数，且周期为，
则，，，
因为奇函数在区间上是增函数，则该函数在区间上也为增函数，
故函数在区间上为增函数，所以，即.
故选：D.
10．D
【分析】根据题意可得在区间上单调递减，构造，可得为偶函数且在上递增，在上递减，且，即可求解.
【详解】解：由题可知，在区间上单调递减，
又为奇函数，则，且，故，
设，则，故为偶函数，
又在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，所以的解集为，
即的解集为.
故选：D.
11．D
【分析】由条件知，，可得m＝1．再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式.
【详解】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2．
当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意；
当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1．
不等式化为，
函数在和上单调递减，
故或或，解得或．
故应选：D．
12．A
【分析】由题意可知在递减，结合偶函数，即可得到结果.
【详解】因为满足，对任意的有，
所以在上单调递减
且为偶函数，则
由可得，即
故选:A
13．AD
【分析】根据函数的定义域及单调性分别判断各选项.
【详解】A选项：对称轴为，函数的单调递增区间为，又，所以函数在上是增函数，A选项正确；
B选项：函数在和上单调递减，B选项错误；
C选项：定义域为，且函数的对称轴为，所以函数的单调递减区间为，C选项错误；
D选项：在上是增函数，若，则，，所以，，则，D选项正确；
故选：AD.
14．AB
【分析】根据奇函数和单调性的定义与性质判断．
【详解】选项A，是R上的奇函数，则，所以，A正确；
选项B，在上，且存在，使得，
则时，，，，即在上有最大值为1，B正确；
选项C，设，则，由已知，即，
所以，所以在上是增函数，C错；
选项D，设，则，，
，D错．
故选：AB．
15．BC
【分析】首先根据题意得到，从而得到函数的定义域为，结合二次函数的性质得到函数和单调减区间是，再依次判断选项即可.
【详解】要使函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为．
因为，，
时，，或时，，
所以．
因为抛物线的对称轴为直线，开口向下，，
所以的单调减区间是．
故选：BC．
16．BC
【分析】根据题意计算每个函数的值域，再分析是否有界即可.
【详解】对于A，，由于，所以，
所以，故不存在正数M，使得成立.
对于B，令，则，，当时，u取得最大值4，所以，所以，故存在正数2，使得成立.
对于C，令，则，易得，所以，即，故存在正数5，使得成立.
对于D，令，则，，则，易得，所以，故不存在正数M，使得成立.
故选：BC
17．ABD
【分析】令可判断A选项；令，可得，得到可判断B选项；任取，x2∈R，且，则，，
根据单调性的定义得到函数在R上的单调性，可判断C选项；由可得，结合函数在R上的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，在中，令，可得，解得，A选项正确；
对于B选项，由于函数的定义域为R，在中，令，可得，所以，则函数为奇函数，B选项正确；
对于C选项，任取，x2∈R，且，则，，
所以，所以，则函数在R上为减函数，所以在区间上有最小值，C选项错误；
对于D选项，由可得，又函数在R上为减函数，则，整理得，解得，D选项正确.
故选：ABD．
18．ABD
【分析】利用赋值法求得，判断A；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B;利用，可求得C中式子的值，判断C；求出，将转化为，即可解不等式组求出其解集，判断D.
【详解】对于A，令 ，得，所以，故A正确；
对于B，令，得，所以，
任取，且，则，
因为，所以，所以，
所以在上是减函数，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，因为，且，所以，
所以，
所以等价于，
又在上是减函数，且，所以 ，
解得，故D正确,
故选:ABD．
19．
【分析】运用换元法，常变分离法，结合双勾函数的单调性进行求解即可.
【详解】由，
因为，所以，令，
由，设，
则有，当时，函数单调递减，
当时，函数单调递增，，
所以，要想恒成立，只需，
故答案为：
20．1
【分析】根据奇函数的性质结合函数时的解析式,即可求得答案.
【详解】由题意得,
故答案为:1
21．（答案不唯一）
【分析】根据幂函数的性质求解
【详解】因为是偶函数，在上单调递增，的值域是，
所以同时满足三个条件的幂函数可以为.
故答案为：（答案不唯一）
22．
【分析】由题意可得，解不等式组即可得出答案.
【详解】由题意得,即，
解得：．
所以的取值范围为.
故答案为：.
23．
【分析】首先求出的定义域，再确定m的前提范围，利用奇函数及其单调性求不等式参数范围.
【详解】由题意，的定义域为，
所以的定义域为，则，解得．
又是上的减函数，
所以奇函数在上单调递减．
由，得，
所以，即，解得．
综上，．
故答案为：．
24．
【分析】先判断出是奇函数且为减函数，把原不等式转化为，即可解得.
【详解】因为函数满足，所以，即，所以是奇函数；
，且，不妨取，因为，所以，所以是减函数.
因为，可得，
即，所以，
解得，
所以的取值范围是
故答案为：
25．(1)；
(2)单调递增，证明见解析.
【分析】（1）由题可得即可求出，得到的解析式；
（2）根据单调性的定义即可判断证明.
（1）
由题意，得，即,
解得：，．故．
（2）
方法一：在上单调递增．
证明：，，且，则．
由，得，，，
所以，即．故在上单调递增．
方法二：在上单调递增．
证明：，，且，则．
由，得，，所以．故在上单调递增．
26．(1)；
(2).
【分析】（1）利用赋值法即得；
（2）利用赋值法得，然后结合条件转化已知不等式为，最后根据单调性即得.
（1）
因为，
令，得，
即；
（2）
由题意知，
，
∴由，可得，
又在R上单调递增，
∴，即，
∴的取值范围是．
27．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）令，得到，即可求得的值；
（2）令，得到，进而得到，结合函数奇偶性的定义，即可求解.
（3）根据题意，把对恒成立，转化为对恒成立，结合函数的单调性，即可求解.
（1）
解：由题意，函数满足：对任意都有成立
令，则，所以．
（2）
解：由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
令，可得，
因为，所以
所以函数为奇函数.
（3）
解：因为对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
因为是上的单调递增函数，所以，即，
即对恒成立，
因为函数为单调递增函数，所以，
所以，即实数的取值范围是.
28．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用奇函数的性质求得，再由求得，由此可得的解析式；
（2）利用单调性的定义，结合作差法即可证明；
（3）利用奇函数的性质得到，再利用（2）中结论去掉即可求解；特别强调，去掉时要注意定义域的范围.
（1）
由题意可知，
，即，
，，
又，即，
，.
（2）
，且，有
，
，
，
，即，
所以函数在区间上单调递增.
（3）
因为为奇函数，
所以由，得，
又因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，故，
所以实数的取值范围是
29．(1)，
(2)在，上是增函数；证明见解析
(3)
【分析】（1）根据条件可得，即可得到的值，再根据即可求得的值.
（2）根据定义法证明函数的单调性即可.
（3）结合（1）（2）的结论，根据函数的单调性与奇偶性即可解得不等式.
（1）
因为函数是定义在上的奇函数，所以，即；
又，即，解得；
经检验，时，是定义在上的奇函数．
（2）
设，，且，
则；
因为，所以，
所以，所以，所以在上是增函数；
（3）
由（1）知，在上是增函数，又因为是定义在上的奇函数，
由，得，
所以，即，解得．
所以实数的取值范围是.
30．(1)
(2)
【分析】（1）利用函数是奇函数即可求出当x＞0时，函数的解析式；
（2）由函数是奇函数化简可得，画出函数的图象，结合图象即可得出答案.
（1）
由为奇函数，得．当x＞0时，，
故，
故当x＞0时，．
（2）
由，得，
故或．
如图所示，画出函数的图象．

由图易得的解集为（0，2），的解集为，
故不等式的解集为．
31．(1)；
(2)函数在上单调递增，证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式；
（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；
（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
（1）
解：因为函数是定义在上的奇函数，则，
即，可得，则，
所以，，则，因此，.
（2）
证明：函数在上是增函数，证明如下：
任取、且，则
，
因为，则，，故，即.
因此，函数在上是增函数.
（3）
解：因为函数是上的奇函数且为增函数，
由得，
由已知可得，解得.
因此，不等式的解集为.
32．(1)a=1，b=3；
(2)详见解析；
(3)
【分析】（1）根据函数是奇函数，由求得a，再根据定义域关于原点对称求解；
（2）利用函数单调性定义证明；
（2）将时，恒成立，令，转化为，时恒成立求解.
（1）
解：因为函数是奇函数，
所以，即，
即，即，
整理得，
所以，即，则，
因为定义域为关于原点对称，所以b=3；
（2）
在上递增.
证明：任取，且，
则，
因为，
所以，又，
所以，即，
所以在上递增；
（3）
因为，
所以，
又当时，恒成立，
所以，时恒成立，
令，则，时恒成立，
而，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即的取值范围是.