(人教A版必修第一册)高一数学知识梳理与题型分层精练第三章函数的概念与性质章节复习(原卷版+解析)

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第三章 函数的概念与性质 章节复习知识点一：函数的概念及其表示1. 设.是非空的实数集，使对于集合中的任意一个数，如果按照某种确定的对应关系，在集合中都有惟一确定的数y和它对应，那么就称为集合到集合的一个函数，记作：.2. 函数的构成要素为：定义域.对应关系.值域.3. 区间：闭区间、开区间、半开半闭区间4. 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.5. 分段函数知识点二：函数的基本性质单调性与最大（小）值1.函数单调性的定义：设函数的定义域为 ，区间，如果当时，都有：或上单调递增；特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是增函数；或上单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数；最大值、最小值：设函数的定义域为 ，如果存在实数满足：（1），都有;（2）使得，我们就称是函数的最大值.如果存在实数满足：（1），都有;（2）使得，我们就称是函数的最小值.知识点三：奇偶性1.定义：设函数的定义域为, 如果，都有，且（或），那么就称函数为偶函数.偶函数图象关于轴对称.且若（或），那么就称函数为奇函数.奇函数图象关于原点对称.2.奇函数的性质：若奇函数的定义域为, 如果，则有.3.奇偶性与单调性：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.知识点四：幂函数1.幂函数的解析式： ，是自变量，是常数.2.几种幂函数的图象：3.幂函数的性质：定点：.单调性：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减求函数的定义域、值域 下列各组函数是同一函数的是　　①与；②与；③与；④与A．①② B．①③ C．①④ D．③④函数的定义域为　　A． B．， C．， D．，，已知函数的定义域为，则函数的定义域为　　A． B． C． D．已知函数的定义域为，，则函数的定义域为　　A．， B．，， C．， D．，若函数的定义域为，则的范围是　　A．， B．， C．， D．函数的值域是　　A．， B． C．， D．函数的值域　　A． B． C． D．若函数的定义域为，，值域为，，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，若函数的定义域和值域都为，则关于实数的下列说法中正确的是　　A． B． C．或 D．或3求函数的解析式 （1）已知满足，求解析式；（2）已知函数，当时，求的解析式．函数的单调性与奇偶性下列函数是奇函数且在，上是减函数的是　　A． B． C． D．已知函数是奇函数，则　　A． B． C． D．若函数是偶函数，则是　　A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数已知函数，（Ⅰ）证明在，上是增函数；（Ⅱ）求在，上的最大值及最小值．已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是　　A． B． C． D．已知，且，那么（2）等于　　A． B． C． D．10如图是幂函数的部分图像，已知分别取、3、、这四个值，则与曲线、、、相应的依次为　　A．3，，， B．，，，3 C．，3，， D．3，，，设，，，则，，的大小关系是　　A． B． C． D．函数的应用提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米小时）是车流密度（单位：辆千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆千米时，车流速度为60千米小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（Ⅰ）当时，求函数的表达式；（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆时）．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．1．下列四组函数中，表示相等函数的一组是　　A．， B．， C．， D．，2．函数的定义域为　　A．，， B． C．，，， D．，，3．已知函数的定义域是，，则的定义域是　　A．， B．， C．， D．，4．函数的定义域为　　A．，， B．，， C． D．5．函数的定义域为，则实数的取值范围是　　A． B． C． D．6．函数的值域是　　A．， B． C．， D．7．已知集合，1，，，，，则该函数的值域为　　A．， B． C．， D．8．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是　　A． B． C． D．9．若函数的定义域为，，值域为，，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，10．已知函数是上的偶函数，且当时，函数的解析式为．（1）求当时，函数的解析式；（2）设函数在，上的最小值为，求的表达式．11．下列函数中在其定义域内是单调函数的是　　A． B． C． D．12．下列函数为奇函数的是　　A． B． C． D．13．已知函数，若在，上是奇函数，则的值是　　A．1 B． C．0 D．14．写出下列函数的单调区间．（1）；（2）15．已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是　　A． B． C． D．16．已知偶函数在区间，单调递增，则满足的取值范围是　　A． B． C．，， D．17．图中曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取四个值，则相应于曲线，，，的依次为　　A． B． C． D．18．函数的图象是　　A． B． C． D．19．有一五边形的地块（如图所示），其中，为围墙．其余各边界是不能动的一些体育设施．现准备在此五边形内建一栋科技楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地．（Ⅰ）请设计科技楼的长和宽，使科技楼的底面面积最大？（Ⅱ）若这一块地皮价值为400万，现用来建每层为256平方米的楼房，楼房的总建筑面积（即各层的面积之和）的每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整栋楼房每平方米的建筑费用增加25元．已知建筑5层楼房时，每平方米的建筑费用为500元．为了使该楼每平方米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），问应把楼建成几层？20．某城市要求节约用水，作出如下规定：每户家庭每月用水不超过15立方米，按0.4元立方米收费；若超过15立方米，不超过20立方米，超过部分按2元立方米收费；若超过20立方米，则停止供水．（1）试写出一户家庭所交水费（元与用水量（立方米）之间的关系；（2）若该用户当月用水量按0.5元立方米来收费，求该用户当月的用水量．第三章 函数的概念与性质 章节复习知识点一：函数的概念及其表示1. 设.是非空的实数集，使对于集合中的任意一个数，如果按照某种确定的对应关系，在集合中都有惟一确定的数y和它对应，那么就称为集合到集合的一个函数，记作：.2. 函数的构成要素为：定义域.对应关系.值域.3. 区间：闭区间、开区间、半开半闭区间4. 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.5. 分段函数知识点二：函数的基本性质单调性与最大（小）值1.函数单调性的定义：设函数的定义域为 ，区间，如果当时，都有：或上单调递增；特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是增函数；或上单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数；最大值、最小值：设函数的定义域为 ，如果存在实数满足：（1），都有;（2）使得，我们就称是函数的最大值.如果存在实数满足：（1），都有;（2）使得，我们就称是函数的最小值.知识点三：奇偶性1.定义：设函数的定义域为, 如果，都有，且（或），那么就称函数为偶函数.偶函数图象关于轴对称.且若（或），那么就称函数为奇函数.奇函数图象关于原点对称.2.奇函数的性质：若奇函数的定义域为, 如果，则有.3.奇偶性与单调性：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.知识点四：幂函数1.幂函数的解析式： ，是自变量，是常数.2.几种幂函数的图象：3.幂函数的性质：定点：.单调性：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；求函数的定义域、值域 下列各组函数是同一函数的是　　①与；②与；③与；④与A．①② B．①③ C．①④ D．③④【解答】解：①与，定义域，对应法则，值域都一样，故是同一函数，②与；，的定义域均为，但，，对应法则和值域不一样，故不是同一函数，③与；定义域，对应法则，值域都一样，故是同一函数，④与，又，则不为同一函数，故选：．函数的定义域为　　A． B．， C．， D．，，【解答】解：要使函数有意义，则，即且，故函数的定义域为，，，故选：．已知函数的定义域为，则函数的定义域为　　A． B． C． D．【解答】解：函数的定义域为，即，，即的定义域为．又，，取交集可得函数的定义域为．故选：．已知函数的定义域为，，则函数的定义域为　　A．， B．，， C．， D．，【解答】解：函数的定义域为，，令，解得，即，所以函数的定义域为，．故选：．若函数的定义域为，则的范围是　　A．， B．， C．， D．【解答】解：函数的定义域为，恒成立．当时，显然满足恒成立．当时，不可能恒成立，当时，应有△，求得．综上可得，，，故选：．函数的值域是　　A．， B． C．， D．【解答】解：的定义域为，函数在，上为单调递增函数，函数在，上为单调递增函数，在，上为单调递增函数，当是取得最小值2，的值域为，．故选：．函数的值域　　A． B． C． D．【解答】解：函数，由于，故函数的值域为，故选：．若函数的定义域为，，值域为，，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：函数，故当时，； 当或2时，．由于函数的定义域为，，值域为，，由题意可得，故，故选：．若函数的定义域和值域都为，则关于实数的下列说法中正确的是　　A． B． C．或 D．或3【解答】解：函数的定义域和值域都为，，且，求得，故选：．求函数的解析式 （1）已知满足，求解析式；（2）已知函数，当时，求的解析式．【解答】解：（1）解令，则，所以，整理得，则，解得：；（2）由于函数，当时，．故：．函数的单调性与奇偶性下列函数是奇函数且在，上是减函数的是　　A． B． C． D．【解答】解：对于，定义域为，，，奇函数，在单调递增，在单调递增，故选项错误；对于，定义域为，，故该函数为偶函数，选项错误；对于，定义域为，，所以该函数为奇函数，又在上是减函数，所以在，上是减函数，选项正确；对于，定义域为，满足，是偶函数，故选项错误．故选：．已知函数是奇函数，则　　A． B． C． D．【解答】解：因为是奇函数，所以恒成立，故，整理得，所以．故选：．若函数是偶函数，则是　　A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数【解答】解：根据题意，函数是偶函数，而为二次函数，则有，则，其定义域为，有，为奇函数，故选：．已知函数，（Ⅰ）证明在，上是增函数；（Ⅱ）求在，上的最大值及最小值．【解答】证明：在，上任取，，且（2分）（1分）（1分），，，即故在，上是增函数（2分）解：由知：在，上是增函数当时，有最小值2；当时，有最大值（2分）已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是　　A． B． C． D．【解答】解：任取则，时，，，①又函数在上为奇函数②由①②得时，故选：．已知，且，那么（2）等于　　A． B． C． D．10【解答】解：令，由函数奇偶性的定义，易得其为奇函数；则所以得又因为是奇函数，即（2）所以（2）则（2）（2）故选：．如图是幂函数的部分图像，已知分别取、3、、这四个值，则与曲线、、、相应的依次为　　A．3，，， B．，，，3 C．，3，， D．3，，，【解答】解：根据幂函数的图象与性质，当时，图象越靠近轴的指数越小，因此相应于曲线、、、相应的依次为3，，，．故选：．设，，，则，，的大小关系是　　A． B． C． D．【解答】解：在时是增函数又在时是减函数，所以故选：．函数的应用提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米小时）是车流密度（单位：辆千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆千米时，车流速度为60千米小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（Ⅰ）当时，求函数的表达式；（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆时）．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当时，；当时，设再由已知得，解得故函数的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当时，为增函数，故当时，其最大值为当时，当且仅当，即时，等号成立．所以，当时，在区间，上取得最大值．综上所述，当时，在区间，上取得最大值为，即当车流密度为100辆千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆小时．答：（Ⅰ）函数的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆小时．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当时，，即，解得或，时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当时，；当时，；；当时，单调递减；当时，单调递增；说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数所占比为时，人均通勤时间最少．1．下列四组函数中，表示相等函数的一组是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：．的定义域为，，定义域为，两个函数的定义域和对应法则相同，是相等函数．．，的定义域为，两个函数的定义域不相同，不是相等函数，．，定义域为，，两个函数的定义域和对应法则都不相同，不是相等函数，．，的定义域为，两个函数的定义域不相同，不是相等函数，故选：．2．函数的定义域为　　A．，， B． C．，，， D．，，【解答】解：由题意可得，解得且，故函数定义域为，，，．故选：．3．已知函数的定义域是，，则的定义域是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：函数的定义域是，，，解得，即的定义域是，，故选：．4．函数的定义域为　　A．，， B．，， C． D．【解答】解：由题意得，解得且，函数的定义域为，，．故选：．5．函数的定义域为，则实数的取值范围是　　A． B． C． D．【解答】解：函数的定义域为，对任意恒成立，当时，有，不合题意；当时，需要，即．实数的取值范围是，．故选：．6．函数的值域是　　A．， B． C．， D．【解答】解：的定义域为，函数在，上为单调递增函数，函数在，上为单调递增函数，在，上为单调递增函数，当是取得最小值2，的值域为，．故选：．7．已知集合，1，，，，，则该函数的值域为　　A．， B． C．， D．【解答】解：，1，，且，当时，；当时，；当时，，综上，该函数的值域为，．故选：．8．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是　　A． B． C． D．【解答】解：、根据根式的意义，可得其定义域与值域均为，、根据分式的意义，可得定义域，值域，、为奇次根式，定义域、值域均为，、二次函数定义域，值域，故选：．9．若函数的定义域为，，值域为，，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：函数，故当时，； 当或2时，．由于函数的定义域为，，值域为，，由题意可得，故，故选：．10．已知函数是上的偶函数，且当时，函数的解析式为．（1）求当时，函数的解析式；（2）设函数在，上的最小值为，求的表达式．【解答】解：（1）当时，函数的解析式为，当时，，所以；由于函数为偶函数，故；（2）由于，，①当，即时，在该区间上单调递减，所以，②当时，即，所以，③当时，；故11．下列函数中在其定义域内是单调函数的是　　A． B． C． D．【解答】解：是偶函数，所以在其定义域内不是单调函数，所以不正确；，在其定义域内是单调增函数，所以正确；，在其定义域内不是单调函数，所以不正确；，在其定义域内不是单调函数，所以不正确；故选：．12．下列函数为奇函数的是　　A． B． C． D．【解答】解：对于，的定义域为，且满足，故是奇函数，故正确；对于，的定义域为，且满足，故是偶函数，故错误；对于，的定义域是，，故非奇非偶函数，故错误；对于，的定义域为，且满足，故是偶函数，故错误．综上所述，是奇函数．故选：．13．已知函数，若在，上是奇函数，则的值是　　A．1 B． C．0 D．【解答】解：根据题意，若在，上是奇函数，则有，则，故选：．14．写出下列函数的单调区间．（1）；（2）【解答】解：（1）解得：；该函数的单调区间为；（2）该函数的单调减区间为，，单调增区间为，．15．已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是　　A． B． C． D．【解答】解：任取则，时，，，①又函数在上为奇函数②由①②得时，故选：．16．已知偶函数在区间，单调递增，则满足的取值范围是　　A． B． C．，， D．【解答】解：函数是偶函数，，，函数在区间，单调递增，，解得：，，，故选：．17．图中曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取四个值，则相应于曲线，，，的依次为　　A． B． C． D．【解答】解：根据指数函数的单调性，时，，相应于曲线，，，的依次为．故选：．18．函数的图象是　　A． B． C． D．【解答】解：因为函数的定义域是，，所以图象位于轴右侧，排除选项、；又函数在，上单调递增，所以排除选项．故选：．19．有一五边形的地块（如图所示），其中，为围墙．其余各边界是不能动的一些体育设施．现准备在此五边形内建一栋科技楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地．（Ⅰ）请设计科技楼的长和宽，使科技楼的底面面积最大？（Ⅱ）若这一块地皮价值为400万，现用来建每层为256平方米的楼房，楼房的总建筑面积（即各层的面积之和）的每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整栋楼房每平方米的建筑费用增加25元．已知建筑5层楼房时，每平方米的建筑费用为500元．为了使该楼每平方米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），问应把楼建成几层？【解答】解：（Ⅰ）由图建立如图所示的坐标系，可知所在的直线方程为，即，设，由可知．．由此可知，当时，有最大值256平方米．答：长宽均为16时面积最大．（Ⅱ）设应把楼房建成层，则楼房的总面积为平方米，每平方米的购地费为元，每平方米的建筑费用为元．于是建房每平方米的综合费用为（元．当，即，时，有最小值1625．故为了使该楼每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼房建成25层．20．某城市要求节约用水，作出如下规定：每户家庭每月用水不超过15立方米，按0.4元立方米收费；若超过15立方米，不超过20立方米，超过部分按2元立方米收费；若超过20立方米，则停止供水．（1）试写出一户家庭所交水费（元与用水量（立方米）之间的关系；（2）若该用户当月用水量按0.5元立方米来收费，求该用户当月的用水量．【解答】解：（1）当时，（元；当时，（元；即有；（2）设该用户当月的用水量为立方米，即有，解得，则该用户当月的用水量为16立方米．