人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数课后复习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数课后复习题，共15页。试卷主要包含了ABC，CD等内容，欢迎下载使用。
1．B
【分析】根据，，化简根式，即可得到答案.
【详解】，，化简.
故选：B.
2．A
【分析】根据指数函数单调性及对数的运算性质即得.
【详解】因为，，，
所以.
故选：A.
3．C
【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小作答.
【详解】函数是定义域R上的单调减函数，且，则，即，
又函数 在上单调递增，且，于是得，即，
所以a、b、c的大小关系为．
故选：C
4．D
【分析】通过是否为0，然后求解函数的零点即可．
【详解】解：当时，函数仅有一个零点，满足题意；
当时，函数仅有一个零点，可得，解得．
故选：D
5．A
【分析】由奇偶性定义可知为上的偶函数；当时，由单调性的性质可确定单调递增，由奇偶性可知其在上单调递减；利用单调性可化简所求不等式为，平方后，解一元二次不等式可求得结果.
【详解】定义域为，，
为定义在上的偶函数；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，又为偶函数，在上单调递减，
由得：，即，
，解得：，
不等式的解集为.
故选：A.
6．B
【分析】由题意可得函数的周期为4，结合奇偶性和题意可得答案．
【详解】解：，
，
函数是周期为的周期函数，
又当时，，
所以，，，
，
故选：B．
7．B
【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性，结合已知条件可得关于a的不等式，即可求得答案.
【详解】由题意得，当时，是增函数，
时，，不合题意；
当时，在时单调递减，递增，
要使得成立，需满足，即，
则 ，解得 ，
故选:B
8．A
【分析】将题意转化为函数与函数在区间上有8个交点，再根据函数的性质画图，再列式，根据对数函数的不等式解法求解即可
【详解】函数在区间上恰有8个零点，则函数与函数在区间上有8个交点
由知，是R上周期为2的函数，作函数与函数在区间上的图像如下，
由图像知，当时，图像有5个交点，故在上有3个交点即可，则；
故，解得；
故选：A．
9．ABC
【分析】根据函数的单调性得到的最值情况，即可判断AB选项；根据、和函数的单调性判断CD即可.
【详解】根据得在定义域内单调递增，所以没有最大值也没有最小值，故AB错；
，故D正确；
，在定义域内单调递增，所以当时，，又，所以不存在，使，故C错.
故选：ABC.
10．CD
【分析】由题意可知，相邻两个音的频率比分别为，，，，，，从而根据题意可得，，然后逐个计算判断即可
【详解】由题意可知，相邻两个音的频率比分别为，，，，，，所以，，
对于A，，所以故A错误，
对于B，，所以B错误，
对于C，，故C正确．
对于D，，故D正确．
故选：CD．
11．ABC
【分析】根据函数的性质，分别画出函数、、的图像即可求解.
【详解】因为为奇函数，，①
又对定义域内的任意都有，
有，②所以其图象关于点对称，
由①②得：，所以函数的周期为2，
又当时，
；
函数为偶函数，其图象关于y轴对称，
分别画出函数、、的图像如下：
可知ABC正确，D错误，
故选：ABC.
12．BC
【分析】结合函数奇偶性以及时解析式，作出函数图象，将关于的方程的根的问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，求得答案.
【详解】由题意函数是偶函数，且当时，，
可作出函数的图象如图示：
则关于的方程的根，即转化为函数的图象与直线的交点问题，
当时，即与的图象有三个交点，方程有3个不等实根，A错误；
当时，与的图象有6个交点，方程有6个不等实根，B正确；
当时，与的图象有4个交点，方程有4个不等实根，C正确；
当时，与的图象有4个或2个或0个交点，方程有有4个或2个或0个实根，D错误；
故选：BC.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性的以及分段函数的应用，考查了方程的根的个数的确定，解答时要注意函数图象的应用以及数形结合的思想方法，解答的关键是将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题.
13．
【分析】运用换元法进行求解即可.
【详解】令（），则，
即舍去，即，
故答案为：
14．
【分析】将问题为在上恒成立，进一步转化为在上恒成立，即可求参数范围.
【详解】由在上恒成立，且，
所以，即，
则在上恒成立，而，，
所以.
故答案为：
15．
【分析】由于函数的值域为，则对数函数的真数要取遍所有正数，对分类讨论解不等式即可求出的范围.
【详解】令，
函数的值域为，
，要取遍所有正数.
当时，，符合题意，故可取；
当时，解得，
综上所述的取值范围是.
故答案为：．
16．
【分析】令，则方程转化为，
原问题等价于有两个根，再根据一元二次方程根的分布列出不等式组求解即可得答案.
【详解】令，则方程转化为，
作出函数的图象如下图所示，
由题意，方程有五个不相等的实数根，
即有一个根，一个根 或有一个根，一个根
令，
当有一个根，一个根
则解得：，
当有一个根，一个根
则解得：，
综上，实数m的取值范围为
故答案为：
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
17．（1）；（2）1.
【分析】（1）根据指数幂的运算法则，化简计算，可得答案；
（2）根据对数的运算法则，化简计算，可得答案.
【详解】（1）
；
（2）

.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数满足求解即可；
（2）将不等式转换为对任意的，总存在，使成立，根据单调性只需“对任意的， 成立”，故考虑的最小值，即在上的最大值，再分当与两种情况讨论即可
(1)
（1）因为函数为奇函数，故，故，此时为奇函数，故
(2)
因为为增函数，为减函数，故为增函数，故“对任意的，总存在，使成立”，即“对任意的， 成立”，故考虑的最小值，即在上的最大值.
①当时，在时取最大值，故，即，，因为，故不成立；
②当时，在时取最大值，成立，即，即，因为，故时满足条件.
综上所述，
19．(1)不动点为和
(2)
(3)
【分析】（1）由求得不动点.
（2）由有两个不相等的正实数根列不等式，结合根与系数关系以及基本不等式求得的最小值
（3）由恒有解，结合判别式求得的取值范围.
【详解】（1）由题意知：，
解得，，所以不动点为和.
（2）依题意，有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得
所以

，
因为，所以，
所以，当且仅当，
即时等号成立，
所以的最小值为.
（3）由题知：
所以，由于函数恒有不动点，
所以，即，
又因为是任意实数，所以，
即（），解得，所以的取值范围是.
【点睛】求解关于“不动点”的问题，关键是把握住“不动点”的定义.本题中涉及一元二次方程根的问题，可结合根与系数关系、判别式来进行求解.
20．(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）代入可得到，令，则可得分和两种情况进行讨论即可求解；
（2）讨论的最值，原不等式等价为当时，，又，运用换元和函数的单调性，解不等式即可得到所求范围
【详解】（1）由题意知，整理得，
令，则
因为所以二次方程的根为，
当时，，故或；
当时，，故；
综上所述，当时，原方程的根为或；
当时，原方程的根为；
（2）由题意得，
令，则，
，
∴当时，设，则即在递增；
当时，设，则，即在递减；
设，则，即在递增，
对任意总有，等价于当时，即恒成立，
①当时，函数在区间上单调递增，
所以
解得，与矛盾，舍去；
②当时，函数，
（i）当时，，则函数在区间上单调递增，
故
解得，所以；
（ii）当时，，
则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，即，
所以
解得，故此时；
综上所述，数的取值范围为
【点睛】关键点点睛：本题考查可化为二次方程的解，注意运用换元法和分类讨论思想,考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想方法,化简整理的运算求解能力，这道题的关键点是，分和进行讨论的单调性
21．(1)
(2)
(3)当时，方程有一个根；
当时，方程没有根；
当或或时，方程有两个根；
当时，方程有三个根；
当时，方程有四个根．
【分析】（1）利用偶函数满足，求出的值；（2）对函数变形后利用二次函数的最值求的值；（3）定义法得到的单调性，方程通过换元后得到的根的情况，通过分类讨论最终求出结果.
(1)
由题意得：，即，所以，其中，
∴，解得：
(2)
，
∴，
故函数的最小值为，
令，故的最小值为，等价于，解得：
或，无解
综上：．
(3)
由，
令，，
有
．
由，有，，可得，可知函数为增函数，故当时，函数单调递增，由函数为偶函数，可知函数的增区间为，减区间为，
令，有，
方程（记为方程①）可化为，整理为：（记为方程②），
，
当时，有，此时方程②无解，可得方程①无解；
当时，时，方程②的解为，可得方程①仅有一个解为；
时，方程②的解为，可得方程①有两个解；
当时，可得或，
1°当方程②有零根时，，此时方程②还有一根为，可得此时方程①有三个解；
2°当方程②有两负根时，可得，不可能；
3°当方程②有两正根时，可得：，又由，可得，此时方程①有四个根；
4°当方程②有一正根一负根时，，可得：或，又由，可得或，此时方程①有两个根，
由上知：当时，方程①有一个根；
当时，方程①没有根；
当或或时，方程①有两个根；
当时，方程①有三个根；
当时，方程①有四个根．
【点睛】对于复合函数根的个数问题，要用换元法来求解，通常方法会用到根的判别式，导函数，基本不等式等.
22．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由已知得函数为上单调递减函数，将所求不等式转化为，代入利用对数函数的性质可得，解不等式可得解；
（2）令，则，分类讨论，，，时，t分别对应的零点个数，进而得解.
(1)
由，可得，故函数定义域为，关于原点对称，
又，即为奇函数.
又
利用复合函数的单调性质知，当时，为单调递减函数，
可知在上单调递减，且的值域为R，
不等式，转化为
则，即，即
即，解得，
则原不等式的解集为.
(2)
由，得，令
令，则，作出图象，
当时，如图①，只有一个，对应3个零点；
当时，如图②，只有一个，对应1个零点；
当时，如图③，只有一个，对应1个零点；
当时，，此时，，，
由，
得在，，三个t分别对应一个零点，共3个，
在时，，三个t分别对应1个，1个，3个零点，共5个，
综上所述：当或时，只有1个零点
当或时，有3个零点..
当时，有5个零点.
① ② ③
【点睛】方法点睛：本题考查函数的单调性、奇偶性及含参不等式的解法，要设法把隐性转化为显性，方法是：
（1）把不等式转化为的模型；
（2）判断的单调性，再根据函数的单调性将“”脱掉，得到具体的不等式组来求解，但注意奇偶函数的区别.