数学人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质一课一练

这是一份数学人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质一课一练，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．若函数在上是单调递减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数是奇函数．则实数的值是（ ）
A．0B．2
C．4D．-2
5．已知为上奇函数，为上偶函数，且，，则的值为（ ）
A．-3B．1C．2D．3
6．已知函数是偶函数，当时， 恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．




7．已知是上的偶函数，是上的奇函数，它们的部分图像如图，则的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数是定义上的减函数，，是其图象上的两点，那么的解集的补集是（ ）
A．B．
C．D．
9．函数是定义在R上的偶函数，且当时，，若对任意，均有，则实数t的最大值是（ ）
A．B．C．0D．
10．已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

二、多选题
11．有下列几个命题，其中正确的命题是（ ）
A．函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数；
B．函数y＝的单调区间是[－2，＋∞)；
C．已知f(x)在R上是增函数，若a＋b＞0，则有f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；
D．已知函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝2x＋3．
12．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
13．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．在区间上单调递增D．的值域为
14．已知函数满足，，且当时，，则（ ）
A．B．
C．在单调递减D．，
15．关于函数，下面结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数B．函数的值域为
C．函数在R上是增函数D．函数在R上是减函数
16．已知函数，若的最小值为，则实数的值可以是（ ）
A．1B．C．2D．4
17．若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称该函数为“七彩函数”．下列函数中是“七彩函数”的有（ ）
A．B．
C．D．





三、填空题
18．若函数是奇函数，，则__________ .
19．已知定义在上的奇函数，当时有，则__________.
20．已知定义在R上的奇函数在上是减函数，若，则实数m的取值范围是________．
21．已知函数，的定义域为，且为偶函数，为奇函数，若，则__．
22．，则不等式的解集为__.
23．若f（x）为R上的奇函数，给出下列四个说法：
①f（x）+f（-x）=0；
②f（x）-f（-x）=2f（x）；
③f（x）·f（-x）<0；
④=-1.
其中一定正确的为___________.（填序号）

四、解答题
24．是定义在R上的奇函数，且当时，；
（1）求时，的解析式；
（2）求的单调减区间.
25．已知二次函数.
（1）若是偶函数，求m的值；
（2）函数在区间上的最小值记为，求的最大值；
（3）若函数在上是单调增函数，求实数m的取值范围.




26．已知函数对于一切、，都有．
（1）求证：在上是偶函数；
（2）若在区间上是减函数，且有，求实数的取值范围．
27．已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）确定函数的解析式；
（2）当时判断函数的单调性，并证明；
（3）解不等式.
28．已知函数是定义在[，1]上的奇函数，且．
（1）求a，b的值；
（2）判断在[，1]上的单调性，并用定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围．
29．函数对任意，，总有，当时，，且．
（1）证明是奇函数；
（2）证明在上是单调递增函数；
（3）若，求实数的取值范围．
30．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称函数为“依赖函数”.
（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）若函数在定义域且上为“依赖函数”，求的值；
（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．B
【详解】
函数的单调递减区间是，
依题意得，于是得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B
2．A
【详解】
∵f（x）为偶函数，∴f（x）＝f（|x|）.则f（|2x－1|）<，
又∵f（x）在[0，＋∞）上单调递增，∴，解得.
故选：A.
3．A
【详解】
因为对任意的，有，
所以函数在上单调递减，
又函数为偶函数，所以，，
所以即.
故选：A.
4．B
【详解】
取，则，
因为函数为奇函数，则，
即，
整理可得，即.
故选：B
5．A
【详解】
为R上的奇函数，∴，，
是R上的偶函数，，
由，
，
得，．
故选：A．
6．A
【详解】
当时，，则，
所以，函数为上的增函数，
由于函数是偶函数，可得，
，
，因此，.
故选：A.
7．C
【详解】
又是上的偶函数，是上的奇函数，
∴ ，，
∴
∴ 函数为奇函数，其图象关于原点对称，A,B错，
由图可得当时，，，
∴ ，D错，
故选：C.
8．A
【详解】
解：不等式可变形为，
，是函数图象上的两点，，，
等价于不等式，
又函数是上的减函数，
等价于，解得，
不等式的解集为．
那么的解集的补集是．
故选：．
9．A
【详解】
易知，函数在上单调递增，∴，
又∵，且函数为偶函数，∴，两边平方化简，则在恒成立，令，则.
综上：t的最大值为.
故选：A.
10．C
【详解】
由题得：是奇函数，所以；是偶函数，所以
将代入得：
联立 解得：
，等价于，
即：，令，则在单增
①当时，函数的对称轴为，所以在单增
②当时，函数的对称轴为，若在单增，则，得：
③当时，单增，满足题意
综上可得：
故选：C
11．CD
【详解】
对于A，函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
令在定义域上递增，
又在和是减函数，
所以函数y＝在(－∞，－1)和(－1，＋∞)每个区间上递减，故A错误；
对于B，由函数y＝，则，解得，
令在上递增，上递减，
又在定义域内是增函数，
所以函数y＝在上递增，上递减，故B错误；
对于C，因为f(x)在R上是增函数，若a＋b＞0，则，故；，故，所以f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，故C正确；
对于D，当时，，
则当时，，则，
因为为奇函数，所以，
所以f(x)＝2x＋3，故D正确．
故选：CD.
12．AB
【详解】
由函数单调性的定义可知，若函数在给定的区间上是增函数，
则与同号，由此可知，选项A，B正确；
对于选项C，D，因为的大小关系无法判断，
则的大小关系确定也无法判断，故C，D不正确.
故选：AB
13．ACD
【详解】
由题意，函数的定义域为，
且，故为奇函数，
任取，且，
则，
因为，所以且，可得，
所以在上单调递增，
当时，（当且仅当时，取“＝”），
又由结合为奇函数，可得的值域为.
故选：ACD
14．ABD
【详解】
因为，，所以函数为奇函数.
对选项A，，所以，故A正确.
对选项B，，故B正确.
对选项C，因为当时，为增函数，
又因为函数为奇函数，所以当时，函数也为增函数，故C错误.
对选项D，因为，故D正确.
故选：ABD
15．ABC
对于A：因为，所以在R上为奇函数，故A正确；
对于B：当时，，因为，所以，，
所以，所以，
又为奇函数，所以当时，，且，
所以函数的值域为，故B正确.
对于C：当时，，所以在上为增函数，
又为奇函数，左右两侧单调性相同，所以函数在R上是增函数，故C正确，D错误
故选：ABC
16．BCD
【详解】
由题意可得二次函数的对称轴，且在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为，当且仅当时，等号成立，即在上的最小值为，
所以，解得.
故选：BCD
17．ABD
【详解】
由①②得：“七彩函数”既是奇函数又是减函数，
对于选项A：当时，，
，，
得；
当时，，
，，
得；
所以函数是奇函数，
当时，，
所以函数在上单调递减，
故选项A正确；
对于选项B：定义域为R，
，
所以函数为奇函数，且在上单调递减；
故选项B正确；
对于选项C：，定义域为，
，
则函数函数为偶函数，
故选项C不正确；
对于选项D：定义域为，
，
则函数为奇函数，且在定义域上单调递减；
故选项D正确；
故选：ABD.
18．
【详解】
根据题意可得，解得，
又，代入解得，
当时，，满足题意，
所以.
故答案为：
19．
【详解】
当时，时，由奇函数性质知，
，又，
则
故答案为：
20．
【详解】
因为是奇函数，在上是减函数，
所以在上单调递减，
因为，
所以，
即，
所以，解得．
故答案为：．
21．2
【详解】
解：因为为偶函数，为奇函数，
所以，，
两式相减可得，，
若，则．
故答案为：2．
22．
【详解】
解：由函数的解析式绘制函数图象如图所示，
易知函数为偶函数，且在区间上单调递减，
故题中的不等式等价于：，
则，平方可得：，解得，
不等式的解集为：.
23．①②
【详解】
∵f（x）在R上为奇函数，
∴f（-x）=-f（x）.
∴f（x）+f（-x）=f（x）-f（x）=0，故①正确.
f（x）-f（-x）=f（x）+f（x）=2f（x），故②正确.
当时，f（x）·f（-x）=0，故③不正确.
当时，分母为0，无意义，故④不正确.
故答案为：①②
24．（1）；（2）和.
【详解】
（1）设，则，
又是定义在R上的奇函数，
所以当时，；
（2）当时，，
当时，
则当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；
所以的单调减区间为和.
25．（1）；（2）最大值为0；（3）或.
【详解】
（1）是偶函数，，
即，解得：
（2），二次函数对称轴为，开口向上
①若，即，此时函数在区间上单调递增，所以最小值.
②若，即，此时当时，函数最小，最小值.
③若，即，此时函数在区间上单调递减，所以最小值.
综上，作出分段函数的图像如下，
由图可知，的最大值为0.
（3）要使函数在上是单调增函数，则在上单调递增且恒非负，或单调递减且恒非正，
或，即或，解得或.
所以实数m的取值范围是：或.
26．
（1）证明：函数对于一切、，都有，
令，得，
再令，得．①
令，得．②
①②得，
．
故在上是偶函数．
（2）解：因为在上是偶函数，
所以的图象关于轴对称．
又因为在区间上是减函数，
所以在区间上是增函数．
，
，
．
．
原不等式可化为，
．解之得．
故实数的取值范围是．
27．（1）；（2）在区间上是增函数，证明见解析；（3）.
【详解】
（1）∵，
∴，即，∴.
∴，
又，，
∴.
（2）对区间上得任意两个值，，且，
，
∵，∴，，，，
∴，∴，
∴在区间上是增函数.
（3）∵，
∴，
，解得，
∴实数得取值范围为.
28．（1）；（2）在上递增，证明详见解析；（3）.
【详解】
（1）依题意函数是定义在[，1]上的奇函数，
所以，
，
所以，经检验，该函数为奇函数.
（2）在上递增，证明如下：
任取，
，
其中，所以，
故在上递增.
（3）由于对任意的，总存在，使得成立，
所以.
.
当时，在上递增，，
所以.
当时，在上递减，，
所以.
综上所述，.
29．
（1）令，则，解得，
令，则，即，即，
易知的定义域为，关于原点对称，所以函数是奇函数；
（2）任取，，且，则，
因为当时，，所以，
则，即，所以函数是上的增函数；
（3）由，得，，又由是奇函数得.
由，得，因为函数是上的增函数，
所以，解得，故实数的取值范围为．
30．
解：对于函数的定义域R内任意的，取，则，
且由是R上的严格增函数，可知的取值唯一，
故是“依赖函数”
因为，在是严格增函数，
故，即，
由，得，
又，所以，解得 故
因，故在上单调递增，
从而，即，进而，
解得或舍，
从而，存在，使得对任意的，有不等式都成立，
故，即，
整理，得对任意的恒成立.
由，得，即实数s的取值范围是.