北师大版2024-2025学年九年级数学上册专题4.7相似三角形的八大经典模型专题特训(原卷版+解析)

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专题4.7 相似三角形的八大经典模型【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc9888" 【题型1 A字型】  PAGEREF _Toc9888 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc3275" 【题型2 “8”字形】  PAGEREF _Toc3275 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc31175" 【题型3 AX字型】  PAGEREF _Toc31175 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc12815" 【题型4 子母型】  PAGEREF _Toc12815 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc12912" 【题型5 双垂直型】  PAGEREF _Toc12912 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc210" 【题型6 一线三等角型】  PAGEREF _Toc210 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc1422" 【题型7 手拉手型】  PAGEREF _Toc1422 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc19558" 【题型8 三角形内接矩形型】  PAGEREF _Toc19558 \h 16【基本模型1-A字型】①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．【题型1 A字型】【例1】（2023·安徽滁州·校考一模）如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，EF⊥BC于点G，交AC于点F，若AB=4，CD=6，则OM−EF值为（    ）  A．75 B．125 C．35 D．25【变式1-1】（2023春·四川成都·九年级校考开学考试）如图，在△ABC中，AD=DE=EB，AF=FG=GC．已知△ABC的面积为9，则阴影部分的面积为 ．  【变式1-2】（2023·安徽滁州·校考一模）在等边三角形ABC中，AB=6，D、E是BC上的动点，F是AB上的动点，且BF=BD=EC=2，连接FE，S△DEFS△ABC= ；【变式1-3】（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，若正方形DEFC的顶点D在AB上，顶点F、G都在AC上，射线AF交BC边于点H，则CH长为 ．  【基本模型2-“8”字形】①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．【题型2 “8”字形】【例2】（2023·安徽·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，AE=2ED，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则BGGF的值为（　　）A．23 B．12 C．13 D．34 【变式2-1】（2023春·广东深圳·九年级校考开学考试）如图，已知BD与CE相交于点A，DE∥BC，若AD=2，AB=3，AC=6，则AE= ．  【变式2-2】（2023春·陕西宝鸡·九年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上，AE=3，连接BE交AC于点F，过点F作FG∥BC，交CD于点G．求FG的长．  【变式2-3】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，E，F为矩形ABCD内两点，AE⊥EF，CF垂直EF，垂足分别为E、F，若AE=1，CF=2，EF=4，则BD=（    ）A．103 B．5 C．53 D．6【基本模型3-AX字型】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.【题型3 AX字型】【例3】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）如图，M是平行四边形ABCD的对角线AC上的一点，射线BM与AD交于点F，与CD的延长线交于点H．  (1)图中相似三角形有______对；(2)若AD2=AC⋅CM,∠BMA=72°，求∠BCD的度数．【变式3-1】（2023春·河南许昌·九年级统考期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE:S△CDE=2:3，则S△DOE:S△AOC= ．  【变式3-2】（2023春·重庆巴南·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，过C作CE⊥BD于E点，交AB于F点，连接AE.若F是AB中点，且BC=8，则AE的长为 ．  【变式3-3】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，AE=13AB，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．  (1)求FG:AE的值．(2)若AB:AC=3:2，①求证：∠AEF=∠ACB．②求证：DF2=DG⋅DA．【基本模型4-子母型】如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．当时，，则有．【题型4 子母型】【例4】（2023春·安徽滁州·九年级统考期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且ABAC=ADCE，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求CEAC的值．【变式4-1】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=26，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．【变式4-2】（2023春·安徽合肥·九年级校考期中）△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，点E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，且有AF=CF，过F点作FH⊥AC于点H．（1）求证：△ADE∽△CDB；（2）求证：AE=2EF；（3）若FH=3，求BC的长．【变式4-3】（2023·安徽合肥·统考一模）如图1，AB=AC=2CD，DC∥AB，将△ACD绕点C逆时针旋转得到△FCE，使点D落在AC的点E处，AB与CF相交于点O，AB与EF相交于点G，连接BF．(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求证：AC∥FB；(3)若点D，E，F在同一条直线上，如图2，求ABBC的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角）【基本模型5-双垂直型】①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.②拓展：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型．（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型． 【题型5 双垂直型】【例5】（2023春·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E在边BC上，CE=2，若点P、Q分别为边CD与AB上两个动点，线段PQ始终满足与AE垂直且垂足为F，则AP+QE的最小值为 ．【变式5-1】（2023春·福建莆田·九年级校考期末）【问题情境】（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）AC²=AB·AD；(2)BC²=AB·BD；(3)CD² = AD·BD；请你证明定理中的结论（1）AC² = AB·AD．【结论运用】（2）如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，①求证：△BOF∽△BED；②若BE=10，求OF的长．【变式5-2】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（ ）A.eq \r(15) B．2eq \r(15) C.eq \r(17) D．2eq \r(17)【变式5-3】（2023·河南南阳·统考三模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．(1)操作判断如图1，正方形纸片ABCD，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F．根据以上操作，请直接写出图1中线段AE与线段BF的关系．  (2)迁移探究小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：如图2，在矩形纸片ABCD中，AB:AD=m:n，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F，请求出线段AE与BF的关系，并说明理由．  (3)拓展应用如图3，已知正方形纸片ABCD的边长为2，动点E由点A向终点D做匀速运动，动点F由点D向终点C做匀速运动，动点E、F同时开始运动，且速度相同，连接AF、BE，交于点G，连接GD，则线段GD长度的最小值为______，点G的运动轨迹的长为______．（直接写出答案不必说明理由）  【基本模型6一线三等角型】(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　补充：其他常见的一线三等角图形 【题型6 一线三等角型】【例6】（2023春·山东潍坊·九年级统考期末）如图， Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，矩形MNHD、矩形GDEF的顶点分别在△BCD，△ACD的三边上，且矩形MNHD∽矩形GDEF．可求两矩形的相似比的是（    ）  A．ABAC B．BDCD C．CDCH D．CEEH【变式6-1】（2023春·山东日照·九年级校考期中）已知等边三角形ABC的边长为4．(1)如图，在边BC上有一个动点P，在边AC上有一个动点D，满足∠APD=60°，求证：△ABP∽△PCD；  (2)如图，若点P在射线BC上运动，点D在直线AC上，满足∠APD=120°，当PC=2时，求AD的长；  (3)在（2）的条件下，将点D绕点C逆时针旋转120°到点D′，求△D′AP的面积．【变式6-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．  (1)如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC>AP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP:PB＝1:2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．【变式6-3】（2023春·重庆万州·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=9，E为CD的中点，F为BC上一点，BFAP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP:PB＝1:2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．【答案】(1)见解析(2)①等腰直角三角形，理由见解析；②等联线AB=3k，线段PE=52k【分析】（1）根据新定义，画出等联角即可；（2）①△PCF是等腰直角三角形，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于N，由折叠得AC＝CM，∠CMP＝∠CME＝∠A＝90°，∠1＝∠2，证明四边形ABNC为正方形，进而证明Rt△CME≅Rt△CNE，得出∠PCF＝45°，即可求解；②过点F作FQ⊥BE于Q，FR⊥PB交PB的延长线于R，则∠R＝∠A＝90°．证明△APC≅△RFP，得出AP=BR=FR，在Rt△BRF中，BR2+FR2＝BF2，BF=2k，进而证明四边形BRFQ为正方形，则BQ=QF=k，由FQ∥CN，得出△AEF~△NEC，根据相似三角形的性质得出NE=32k，根据PE=PM+ME即可．【详解】（1）解：作图如下：（方法不唯一）  （2）①△PCF是等腰直角三角形．理由为：如图，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于N．  由折叠得AC＝CM，∠CMP=∠CME=∠A=90°，∠1=∠2，∵AC=AB，∠A=∠PBD=∠N=90°，∴四边形ABNC为正方形，∴CN=AC=CM，又∵CE=CE，∴Rt△CME≅Rt△CNE（HL），∴∠3=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∠CPF=90°，∴∠PCF=∠2+∠3=∠CFP=45°，∴△PCF是等腰直角三角形．②如图，过点F作FQ⊥BE于Q，FR⊥PB交PB的延长线于R，则∠R=∠A=90°，  ∵∠1+∠5=∠5+∠6=90°，∴∠1=∠6，由△PCF是等腰直角三角形知：PC=PF，∴△APC≅△RFP（AAS），∴AP=FR，AC=PR，而AC=AB，∴AP=BR=FR，在Rt△BRF中，BR2+FR2＝BF2，BF=2k，∴AP=BR=FR=k，∴PB=2AP=2k，∴AB=AP+PB=BN=3k，∵BR=FR，∠QBR=∠R=∠FQB=90°，∴四边形BRFQ为正方形，BQ=OF=k，∵FQ⊥BN，CN⊥BN，∴FQ∥CN，∴QENE=QFCN，而QE=BN﹣NE﹣BQ=3k﹣NE−k=2k﹣NE，∴2k−NENE=k3k=13，解得：NE=32k，由①知：PM=AP=k，ME=NE=32k，∴PE=PM+ME=k+32k=52k，答：等联线AB=3k，线段PE=52k．【点睛】点评本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键．【变式6-3】（2023春·重庆万州·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=9，E为CD的中点，F为BC上一点，BF