人教版2024-2025学年八年级数学专题15.4分式(压轴题综合测试卷)专题特训(学生版+解析)

这是一份人教版2024-2025学年八年级数学专题15.4分式(压轴题综合测试卷)专题特训(学生版+解析)，共24页。
专题15.4 分式（满分100）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2022春•梁溪区期中）下列各式中：1m，x−2y3，12x−13y，75，1x，x2，b+ca，4xπ−3分式有（　　）个．A．2 B．3 C．4 D．52．（真题•顺城区期末）下列分式中，是最简分式的是（　　）A．615x B．4−x2x+2 C．x2+y2x+y D．2+a−a2−4a−43．（2022春•镇平县月考）在分式0.2x+0.3y0.5x−0.02y中，把x，y的值都扩大到原来100倍，则分式的值（　　）A．扩大到原来的100倍 B．扩大到原来的50倍 C．不变 D．缩小到原来的11004．（2022春•宛城区校级月考）下列运算正确的是（　　）A．6ac9a3c=23a B．a2+b2a+b=a+b C．−c−a+b=ca+b D．0.5a+b0.2a−0.3b=5a+10b2a−3b5．（真题•任丘市期末）下列各分式运算结果正确的是（　　）①5a3b22c⋅10c5a3b4=25c4b2；②b2c3a3⋅a2b=bc3a；③1x2+1÷(x−3)⋅1x−3=1x2+1；④xy⋅x−1x2−1÷x+1xy=1．A．①③ B．②④ C．①② D．③④6．（真题•房县期末）小明通常上学时走上坡路，途中平均速度为m千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的平均速度为n千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（　　）千米/时．A．m+n2 B．mnm+n C．2mnm+n D．m+nmn7．（2022•昆明模拟）某工程队要对一条长3千米的人行道进行改造，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时，每天比原计划多改造10米，结果所用时间比原计划少十分之一，求实际每天改造多少米？设实际每天改造x米，则可列方程为（　　）A．3000x=3000x−10(1−110) B．3000x=3000x+10×10 C．3000x=3000x−10×110 D．3000x×(1−110)=3000x+108．（真题•鼓楼区校级期末）计算x−a(x−b)(x−c)+a−b(b−c)(x−b)+a−b(c−b)(x−c)所得的结果是（　　）A．1x−a B．1x−b C．1x−c D．1a−b9．（2022•景县校级模拟）有一道题目：已知（1a+3+6a2−9）•A＝1，若代数式A＜2，求a的取值范围．嘉嘉认为a＜5；淇淇说嘉嘉的结论不对．关于两人的说法，下列判断正确的是（　　）A．嘉嘉的说法正确 B．淇淇的说法正确，a＜5，且a≠3 C．淇淇的说法正确，a＜5，且a≠﹣3 D．淇淇的说法正确，a＜﹣3或﹣3＜a＜3或3＜a＜510．（2022•渝中区校级模拟）已知关于x的一元一次不等式组3(3−x)−1＜xx+2≥a的解集为x＞2，且关于y的分式方程ay−5y−3=1−43−y的解为正整数，则所有满足条件的所有整数a的和为（　　）A．2 B．5 C．6 D．9二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2022春•宜兴市校级月考）当x　 　时，分式2x−1有意义；如果分式x2−1x+1的值为0，那么x的值是 　 　．12．（真题•交城县期末）若关于x的分式方程2x−2+mxx2−4=3x+2会产生增根，则m的值为 　 　．13．（真题•江北区期末）已知xx2+1=13，则x2x4−x2+1=　 　．14．（真题•思明区校级期末）已知三个数，x，y，z满足xyx+y=−3，yzy+z=43，zxz+x=−43，则y的值是 　 　．15．（2022•绵阳模拟）为落实“美丽科技城新区”的工作部署，市政府计划对新区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长2400米，改造总费用不超过195万元，至少安排甲队工作 　 　天．三．解答题（本大题共8小题，满分55分）16．（4分）（2022春•镇平县月考）计算下列各题：（1）a2−aba2+（ab−ba）； （2）（a3−2a2a2−4a+4+42−a）•1a2+2a．17．（4分）（2022春•靖江市校级月考）解方程：（1）x+2x−2−4x2−4=1； （2）5x−4x−2=4x+103x−6−1．18．（6分）（2022•济宁一模）化简：（x+2x2−2x−x−2x2−4x+4）÷x−4x并从0≤x≤4中选取合适的整数代入求值．19．（8分）（真题•丰台区期末）小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律：1n−1n+1=n+1n(n+1)−nn(n+1)=1n(n+1)．反过来，有1n(n+1)=1n−1n+1．运用这个运算规律可以计算：11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=1−14=34．（1）请你运用这个运算规律计算：12×3+13×4+14×5=　 　；（2）小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题：一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出12L水，第2次倒出的水量是12L的13，第3次倒出的水量是13L的14，第4次倒出的水量是14L的15⋯第m次倒出的水量是1mL的1m+1⋯按照这种倒水的方法，这1L水能倒完吗？请你补充解决过程：①列出倒m次水倒出的总水量的式子并计算；②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这1L水能倒完吗”，并说明理由．20．（8分）（2022春•靖江市月考）阅读：在一杯水中，加入了食盐，搅拌均匀，就称作盐水．早在古代，人们就已经发现了这种水的存在．盐水可以消毒，是我们生活中常用物品，而且我们生病时所用的也是盐水（生理盐水），如果一容器内有a克盐水，其中含盐b克，则盐水的浓度=含盐质量盐水质量×100%．公式应用：若容器中有80克盐水，其中含水60克，则盐水的浓度为 　 　．拓展延伸：若容器中有50克盐水，其中含盐5克，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍．解决问题：若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？（设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐，用数学的方法书写过程）21．（8分）（2022•蓬安县校级开学）某商贩用960元从批发市场购进某种水果销售，由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，第二次购进水果的数量是第一次购进数量的1.5倍，设第一次购进水果的数量为x千克．（1）用含x的式子表示：第二次购进水果为 　 　千克，第一次购进水果的单价为 　 　元/千克；（2）该商贩两次购进水果各多少千克？（3）若商贩将两次购进的水果均按每千克15元的标价进行销售，为了在春节前将水果全部售完，在按标价售出m（100≤m≤200）千克后将余下部分每千克降价a（a为正整数）元全部售出，共获利为1440元，则a的值为 　 　（直接写出结果）．22．（8分）（2022春•海陵区校级月考）已知等式xy﹣2y﹣2＝0．（1）①用含x的代数式表示y；②若x、y均为正整数，求x、y的值；（2）设p=4(x1−2)+(x2−2)，q=y1+y22，y1、y2分别是分式2x−2中的x取x1、x2（x2＞x1＞2）时所对应的值，试比较p、q的大小，说明理由．23．（9分）（2021•武进区校级自主招生）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且(x2−1)(y2−1)xy+(y2−1)(z2−1)yz+(z2−1)(x2−1)zx=4．（1）求1xy+1yz+1zx的值．（2）证明：9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．题号一二三总分得分 评卷人  得 分    评卷人  得 分    评卷人  得 分   专题15.4 分式（满分100）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2022春•梁溪区期中）下列各式中：1m，x−2y3，12x−13y，75，1x，x2，b+ca，4xπ−3分式有（　　）个．A．2 B．3 C．4 D．5【思路点拨】根据分式定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式进行分析即可．【解题过程】解：x−2y3，12x−13y，75，x2，4xπ−3的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．1m，1x，b+ca是分式，共3个，故选：B．2．（真题•顺城区期末）下列分式中，是最简分式的是（　　）A．615x B．4−x2x+2 C．x2+y2x+y D．2+a−a2−4a−4【思路点拨】根据最简分式的概念逐一判断即可．【解题过程】解：A．615x=25x，不是最简分式，不符合题意；B．4−x2x+2=−(x+2)(x−2)x+2=−（x﹣2）＝﹣x+2，不是最简分式，不符合题意；C．x2+y2x+y是最简分式，符合题意；D．2+a−a2−4a−4=a+2−(a+2)2=−1a+2，不是最简分式，不符合题意；故选：C．3．（2022春•镇平县月考）在分式0.2x+0.3y0.5x−0.02y中，把x，y的值都扩大到原来100倍，则分式的值（　　）A．扩大到原来的100倍 B．扩大到原来的50倍 C．不变 D．缩小到原来的1100【思路点拨】通过分式的基本性质，将分子分母同时乘以100得到20x+30y50x−2y，分式的值不变，然后将0.2x+0.3y0.5x−0.02y中，把x，y的值都扩大到原来100倍，得到20x+30y50x−2y，所以分式的值不变．【解题过程】解：根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．∴将0.2x+0.3y0.5x−0.02y中的分子和分母同时乘以100，分式的值不变，∴原式=20x+30y50x−2y，∵0.2x+0.3y0.5x−0.02y中，把x，y的值都扩大到原来100倍，∴原式=20x+30y50x−2y，∴分式的值不变，故选：C．4．（2022春•宛城区校级月考）下列运算正确的是（　　）A．6ac9a3c=23a B．a2+b2a+b=a+b C．−c−a+b=ca+b D．0.5a+b0.2a−0.3b=5a+10b2a−3b【思路点拨】根据分式的基本性质逐一处理即可．【解题过程】解：A、6ac9a3c=23a2，故A选项不符合题意；B、a2+b2a+b是最简分式，不能继续化简，故B选项不符合题意；C、−c−a+b=ca−b，故C选项不符合题意；D、0.5a+b0.2a−0.3b=5a+10b2a−3b，故D选项符合题意．故选：D．5．（真题•任丘市期末）下列各分式运算结果正确的是（　　）①5a3b22c⋅10c5a3b4=25c4b2；②b2c3a3⋅a2b=bc3a；③1x2+1÷(x−3)⋅1x−3=1x2+1；④xy⋅x−1x2−1÷x+1xy=1．A．①③ B．②④ C．①② D．③④【思路点拨】利用分式的乘法与除法的法则对各式进行运算，即可得出结果．【解题过程】解：①5a3b22c⋅10c5a3b4=25c4b2，故①正确；②b2c3a3⋅a2b=bc3a，故②正确；③1x2+1÷(x−3)⋅1x−3=1x2+1⋅1x−3⋅1x−3=1x4−6x3+10x2−6x+9，故③错误；④xy⋅x−1x2−1÷x+1xy=xy⋅x−1(x−1)(x+1)⋅xyx+1=x2y2x2+2x+1，故④错误，故选：C．6．（真题•房县期末）小明通常上学时走上坡路，途中平均速度为m千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的平均速度为n千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（　　）千米/时．A．m+n2 B．mnm+n C．2mnm+n D．m+nmn【思路点拨】设从家到学校的单程为1，那么总路程为2，根据平均速度=总路程总时间，列分式并化简即可得出答案．【解题过程】解：设上学路程为1，则往返总路程为2，上坡时间为1m，下坡时间为1n，则平均速度=21m+1n=2mnm+n（千米/时）．故选：C．7．（2022•昆明模拟）某工程队要对一条长3千米的人行道进行改造，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时，每天比原计划多改造10米，结果所用时间比原计划少十分之一，求实际每天改造多少米？设实际每天改造x米，则可列方程为（　　）A．3000x=3000x−10(1−110) B．3000x=3000x+10×10 C．3000x=3000x−10×110 D．3000x×(1−110)=3000x+10【思路点拨】由实际每天比原计划多改造10米，可得出原计划每天改造（x﹣10）米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际所用时间比原计划少十分之一，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解题过程】解：∵施工时，每天比原计划多改造10米，且实际每天改造x米，∴原计划每天改造（x﹣10）米．依题意得：3000x=3000x−10（1−110）．故选：C．8．（真题•鼓楼区校级期末）计算x−a(x−b)(x−c)+a−b(b−c)(x−b)+a−b(c−b)(x−c)所得的结果是（　　）A．1x−a B．1x−b C．1x−c D．1a−b【思路点拨】原式进行通分计算．【解题过程】解：原式=(x−a)(b−c)(x−b)(x−c)(b−c)+(a−b)(x−c)(x−b)(x−c)(b−c)−(a−b)(x−b)(x−b)(x−c)(b−c)=xb−xc−ab+ac+ax−ac−bx+bc−ax+ab+bx−b2(x−b)(x−c)(b−c) =−xc+bc+bx−b2(x−b)(x−c)(b−c) =b(x−b)−c(x−b)(x−b)(x−c)(b−c) =(b−c)(x−b)(x−b)(x−c)(b−c) =1x−c，故选：C．9．（2022•景县校级模拟）有一道题目：已知（1a+3+6a2−9）•A＝1，若代数式A＜2，求a的取值范围．嘉嘉认为a＜5；淇淇说嘉嘉的结论不对．关于两人的说法，下列判断正确的是（　　）A．嘉嘉的说法正确 B．淇淇的说法正确，a＜5，且a≠3 C．淇淇的说法正确，a＜5，且a≠﹣3 D．淇淇的说法正确，a＜﹣3或﹣3＜a＜3或3＜a＜5【思路点拨】根据（1a+3+6a2−9）•A＝1，可以计算出A，然后根据A＜2和（a+3）（a﹣3）≠0，即可得到a的取值范围，从而可以判断哪个选项是正确的．【解题过程】解：∵（1a+3+6a2−9）•A＝1，∴A＝1÷（1a+3+6a2−9）＝1÷a−3+6(a+3)(a−3)＝1•(a+3)(a−3)a+3＝a﹣3，∵A＜2，∴a﹣3＜2，解得a＜5，又∵（a+3）（a﹣3）≠0，∴a≠±3，由上可得，当A＜2时，a的取值范围是a＜﹣3或﹣3＜a＜3或3＜a＜5，故选：D．10．（2022•渝中区校级模拟）已知关于x的一元一次不等式组3(3−x)−1＜xx+2≥a的解集为x＞2，且关于y的分式方程ay−5y−3=1−43−y的解为正整数，则所有满足条件的所有整数a的和为（　　）A．2 B．5 C．6 D．9【思路点拨】利用不等式组的解为x＞2，确定a的取值范围，解分式方程，当解为正整数时求得a值，将符合条件的a值相加即可得出结论．【解题过程】解：∵不等式组3(3−x)−1＜xx+2≥a的解集为x＞2，∴a﹣2≤2．∴a≤4．关于y的分式方程ay−5y−3=1−43−y的解为y=6a−1．∵y＝3是原分式方程的增根，∴6a−1≠3．∴a≠3．∵关于y的分式方程ay−5y−3=1−43−y的解为正整数，∴6a−1为正整数．∴a＝2，4，7．∵a≤4，∴a＝2，4．∴所有满足条件的所有整数a的和为：2+4＝6．故选：C．二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2022春•宜兴市校级月考）当x　≠1　时，分式2x−1有意义；如果分式x2−1x+1的值为0，那么x的值是 　1　．【思路点拨】根据分式有意义的条件，分母不为0；分式值为0，即分子为0，分母不为0，进行计算即可解答．【解题过程】解：当x﹣1≠0时，即当x≠1时，分式2x−1有意义，∵分式x2−1x+1的值为0，∴x2﹣1＝0且x+1≠0，∴x＝±1且x≠﹣1，∴x＝1，故答案为：≠1，1．12．（真题•交城县期末）若关于x的分式方程2x−2+mxx2−4=3x+2会产生增根，则m的值为 ﹣4或6　．【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【解题过程】解：去分母得：2（x+2）+mx＝3（x﹣2），∵分式方程会产生增根，∴（x+2）（x﹣2）＝0，解得：x＝﹣2或x＝2，把x＝﹣2代入整式方程得：﹣2m＝﹣12，解得：m＝6；把x＝2代入整式方程得：8+2m＝0，解得：m＝﹣4，则m的值是﹣4或6．故答案为：﹣4或6．13．（真题•江北区期末）已知xx2+1=13，则x2x4−x2+1=　16　．【思路点拨】根据已知可得x2+1x=3，从而得x+1x=3，然后先求出x4−x2+1x2的值即可解答．【解题过程】解：∵xx2+1=13，∴x2+1x=3，∴x+1x=3，x4−x2+1x2=x2﹣1+1x2＝x2+1x2−1＝（x+1x）2﹣2﹣1＝32﹣3＝6，∴x2x4−x2+1=16，故答案为：16．14．（真题•思明区校级期末）已知三个数，x，y，z满足xyx+y=−3，yzy+z=43，zxz+x=−43，则y的值是 　127　．【思路点拨】已知等式左边分子分母都除以分子，得到关系式，联立求出y的值即可．【解题过程】解：∵三个数，x，y，z满足xyx+y=−3，yzy+z=43，zxz+x=−43，∴11x+1y=−3，11y+1z=43，11z+1x=−43，即1x+1y=−13①，1y+1z=34②，1z+1x=−34③，②﹣③得：1y−1x=32④，①+④得：2y=76，解得：y=127．故答案为：127．15．（2022•绵阳模拟）为落实“美丽科技城新区”的工作部署，市政府计划对新区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长2400米，改造总费用不超过195万元，至少安排甲队工作 　10　天．【思路点拨】设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米．由题意：甲队改造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．列出分式方程，得出x＝60，则1.5x＝90，再设安排甲队工作m天，则安排乙队工作2400−90m60天，然后由题意：若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长2400米，改造总费用不超过195万元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解题过程】解：设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米．根据题意得：720x−7201.5x=4，解得：x＝60，经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意，则1.5x＝90．即乙工程队每天能改造道路的长度为60米，甲工程队每天能改造道路的长度为90米．设安排甲队工作m天，则安排乙队工作2400−90m60天，根据题意得：7m+2400−90m60×5≤195．解得：m≥10．即至少安排甲队工作10天，故答案为：10．三．解答题（本大题共8小题，满分55分）16．（2022春•镇平县月考）计算下列各题：（1）a2−aba2+（ab−ba）；（2）（a3−2a2a2−4a+4+42−a）•1a2+2a．【思路点拨】（1）先化简第一个分式，再通分、计算分式的加减法；（2）先计算括号内分式的减法，再计算乘法即可．【解题过程】解：（1）原式=a(a−b)a2+ab−ba=a−ba+ab−ba =ab−b2ab+a2ab−b2ab =a2+2ab−2b2ab；（2）原式＝[a2(a−2)(a−2)2−4a−2]•1a(a+2)＝（a2a−2−4a−2）•1a(a+2)=(a+2)(a−2)a−2•1a(a+2) =1a．17．（2022春•靖江市校级月考）解方程：（1）x+2x−2−4x2−4=1；（2）5x−4x−2=4x+103x−6−1．【思路点拨】（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2）得出（x+2）2﹣4＝（x+2）（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可；（2）方程两边都乘3（x﹣2）得出3（5x﹣4）＝2（2x+5）﹣3（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可．【解题过程】解：（1）x+2x−2−4x2−4=1，x+2x−2−4(x+2)(x−2)=1，方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得（x+2）2﹣4＝（x+2）（x﹣2），解得：x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，（x+2）（x﹣2）≠0，所以x＝﹣1是原方程的解，即原方程的解是x＝﹣1；（2）5x−4x−2=4x+103x−6−1，5x−4x−2=2(2x+5)3(x−2)−1，方程两边都乘3（x﹣2），得3（5x﹣4）＝2（2x+5）﹣3（x﹣2），解得：x＝2，检验：当x＝2时，3（x﹣2）＝0，所以x＝2是增根，即原方程无实数根．18．（2022•济宁一模）化简：（x+2x2−2x−x−2x2−4x+4）÷x−4x并从0≤x≤4中选取合适的整数代入求值．【思路点拨】先算括号内的，将除化为乘，化简后将有意义的x的值代入计算即可．【解题过程】解：原式＝[x+2x(x−2)−x−2(x−2)2]•xx−4=x+2−xx(x−2)•xx−4 =2x(x−2)•xx−4 =2(x−2)(x−4) =2x2−6x+8，∵x＝0，x＝2和x＝4时原式无意义，∴当x＝1时，原式=212−6×1+8=21−6+8 =23．19．（真题•丰台区期末）小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律：1n−1n+1=n+1n(n+1)−nn(n+1)=1n(n+1)．反过来，有1n(n+1)=1n−1n+1．运用这个运算规律可以计算：11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=1−14=34．（1）请你运用这个运算规律计算：12×3+13×4+14×5=　310　；（2）小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题：一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出12L水，第2次倒出的水量是12L的13，第3次倒出的水量是13L的14，第4次倒出的水量是14L的15⋯第m次倒出的水量是1mL的1m+1⋯按照这种倒水的方法，这1L水能倒完吗？请你补充解决过程：①列出倒m次水倒出的总水量的式子并计算；②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这1L水能倒完吗”，并说明理由．【思路点拨】（1）利用拆项方法变形即可得到结果；（2）①由第1次倒出12L水，第2次倒出的水量是12L的13，得出倒2次水倒出的总水量是12+12×13，第3次倒出的水量是13L的14，那么倒3次水倒出的总水量是12+12×13+13×14，同理得出倒m次水倒出的总水量的式子是12+12×13+13×14+⋯+1m×1m+1，利用得出的拆项方法计算即可得到结果；②将①的计算结果与1比较即可求解．【解题过程】解：（1）12×3+13×4+14×5=12−13+13−14+14−15 =12−15 =310．故答案为：310；（2）①12+12×13+13×14+⋯+1m×1m+1＝1−12+12−13+13−14+⋯+1m−1m+1＝1−1m+1=mm+1（L）；②这1L水不能倒完，理由如下：∵mm+1＜1，∴无论倒水次数m有多大，倒出的总水量总小于1L，因此，按照这种倒水的方法，这1L水不能倒完．20．（2022春•靖江市月考）阅读：在一杯水中，加入了食盐，搅拌均匀，就称作盐水．早在古代，人们就已经发现了这种水的存在．盐水可以消毒，是我们生活中常用物品，而且我们生病时所用的也是盐水（生理盐水），如果一容器内有a克盐水，其中含盐b克，则盐水的浓度=含盐质量盐水质量×100%．公式应用：若容器中有80克盐水，其中含水60克，则盐水的浓度为 　25%　．拓展延伸：若容器中有50克盐水，其中含盐5克，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍．解决问题：若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？（设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐，用数学的方法书写过程）【思路点拨】公式应用：直接应用公式代入求值即可；拓展延伸：设需蒸发m克，根据题意列分式方程，解方程并且检验即可；解决本题：先表示出原来盐水的浓度，再表示加入c克盐后的盐水浓度，由于现在盐水浓度﹣原来盐水浓度大于0，可知盐水浓度变化．【解题过程】解：公式应用：盐水浓度为：(80−60)80×100%=25%，故答案为：25%；拓展延伸：设需蒸发m克，根据题意，得550−m×100%=2×550×100%，解得m＝25，经检验，m＝25是原方程的根，∴需要蒸发25克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍．解决问题：食盐水的浓度变大了，理由如下：∵原来盐水的浓度：ba×100%，现在盐水的浓度：b+ca+c×100%，∴现在盐水的浓度﹣原来盐水的浓度=b+ca+c×100%−ba×100%=c(a−b)a(a+c)，∵a＞0，c＞0，且a＞b，∴a+c＞0，a﹣b＞0，∴c(a−b)a(a+c)＞0，∴现在盐水的浓度﹣原来盐水的浓度＞0，∴现在盐水浓度大于原来盐水的浓度，食盐水的浓度变大了．21．（2022•蓬安县校级开学）某商贩用960元从批发市场购进某种水果销售，由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，第二次购进水果的数量是第一次购进数量的1.5倍，设第一次购进水果的数量为x千克．（1）用含x的式子表示：第二次购进水果为 　1.5x　千克，第一次购进水果的单价为 　960x　元/千克；（2）该商贩两次购进水果各多少千克？（3）若商贩将两次购进的水果均按每千克15元的标价进行销售，为了在春节前将水果全部售完，在按标价售出m（100≤m≤200）千克后将余下部分每千克降价a（a为正整数）元全部售出，共获利为1440元，则a的值为 　2或3　（直接写出结果）．【思路点拨】（1）设第一次购进水果的数量为x千克，则第二次购进水果为1.5x千克，第一次购进水果的单价为960x元/千克，（2）由题意：第二次购进水果的价格比第一次高出2元，列出分式方程，解方程即可；（3）由题意：共获利为1440元，列出方程，求出符合题意的a的正整数解即可．【解题过程】解：（1）设第一次购进水果的数量为x千克，则第二次购进水果为1.5x千克，第一次购进水果的单价为960x元/千克，故答案为：1.5x，960x；（2）由题意得：960x+2=18001.5x，解得：x＝120，经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意，则1.5x＝1.5×120＝180，答：第一次购进水果120千克，第二次购进水果180千克；（3）由题意得：15m+（15﹣a）（120+180﹣m）﹣960﹣1800＝1440，解得：a=300300−m，∵a为正整数，100≤m≤200，∴当a＝1时，m＝0，不合题意舍去；当a＝2时，m＝150，符合题意；当a＝3时，m＝200，符合题意；当a＝4时，m＝225超过范围；综上所述，a的值为2或3，故答案为：2或3．22．（2022春•海陵区校级月考）已知等式xy﹣2y﹣2＝0．（1）①用含x的代数式表示y；②若x、y均为正整数，求x、y的值；（2）设p=4(x1−2)+(x2−2)，q=y1+y22，y1、y2分别是分式2x−2中的x取x1、x2（x2＞x1＞2）时所对应的值，试比较p、q的大小，说明理由．【思路点拨】（1）将已知等式变形即可求出y；（2）由于x、y均为正整数，所以x﹣2是2的正约数2或1，即可求出x和y的值；（3）先将p和q化简，然后换元m＝x1﹣2，n＝x2﹣2，得出p﹣q==−(m−n)2mn(m+n)，可知p﹣q＜0，从而得出p和q的大小关系．【解题过程】解：（1）∵xy﹣2y﹣2＝0，∴（x﹣2）y＝2，∴y=2x−2；（2）∵x、y均为正整数，∴x﹣2＝2或1，∴x＝4或3，∴当x＝4时，y＝1，当x＝3时，y＝2．（3）p＜q，理由如下：∵y1=2x1−2，y2=2x2−2，∴q=y1+y22=1x1−2+1x2−2，令m＝x1﹣2，n＝x2﹣2，则p=4(x1−2)+(x2−2)=4m+n，q=1m+1n，∴p﹣q=4m+n−（1m+1n）=4mn−(m+n)2mn(m+n)=−(m−n)2mn(m+n)，∵x2＞x1＞2，∴m＞0，n＞0，∴mn＞0，m+n＞0，（m﹣n）2＞0，∴p﹣q＜0，∴p＜q．23．（2021•武进区校级自主招生）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且(x2−1)(y2−1)xy+(y2−1)(z2−1)yz+(z2−1)(x2−1)zx=4．（1）求1xy+1yz+1zx的值．（2）证明：9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．【思路点拨】（1）先去分母、去括号，重新分组后分解因式可得[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）＝0，从而得xyz＝x+y+z，将所求分式通分后代入可得结论；（2）计算两边的差，把（1）中：xyz＝x+y+z，代入并计算可得差≥0，从而得结论．【解题过程】解：（1）由等式(x2−1)(y2−1)xy+(y2−1)(z2−1)yz+(z2−1)(x2−1)zx=4，去分母得z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）＝4xyz，x2y2z+xy2z2+x2yz2﹣[x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+3xyz]+（x+y+z）﹣xyz＝0，xyz（xy+yz+zx）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）﹣xyz＝0，∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）＝0，∵xy+yz+zx≠1，∴xy+yz+zx﹣1≠0，∴xyz﹣（x+y+z）＝0，∴xyz＝x+y+z，∴原式=x+y+zxyz=1．（2）证明：由（1）得：xyz＝x+y+z，又∵x，y，z为正实数，∴9（x+y）（y+z）（z+x）﹣8xyz（xy+yz+zx）＝9（x+y）（y+z）（z+x）﹣8（x+y+z）（xy+yz+zx）＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）﹣6xyz＝x（y﹣z）2+y（z﹣x）2+z（x﹣y）2≥0．∴9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．注：（x+y）（y+z）（z+x）＝x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2+2xyz＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+2xyz；（x+y+z）（xy+yz+zx）＝x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2+3xyz＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+3xyz．题号一二三总分得分 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