初中数学人教版（2024）八年级上册13.3.2 等边三角形习题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册13.3.2 等边三角形习题，共73页。试卷主要包含了等边三角形等内容，欢迎下载使用。
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。
知识点总结
一、等边三角形
1．定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形．
2．等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°．
3．等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形．
典例分析

【典例1】△ABC为等边三角形，在△ABC外作射线AP，D为射线AP上一点，连接CD，在平面内有一点E，满足CE=CD．
（1）如图1，连接BD，若点E恰好在BD上，且∠DCE=60∘，求∠ADB的度数；
（2）如图2，连接ED，若∠DCE=120∘，且DE恰好过BC边的中点M，求证：DM=EM+AD；
（3）如图3，若∠CAP=40∘，∠DCE=120∘，连接BE，当线段BE的长度最小时，在射线BE上取一点F，在边BC上截取CG=BF，连接AF、AG，则当AF+AG的值最小时，请直接写出∠FAC的度数．
【思路点拨】
（1）本题考查了三角形全等和等边三角形的性质，找到全等的条件是解题的关键．根据CE=CD，∠DCE=60∘，可知△DCE为等边三角形，利用公共角，证得∠1=∠3，再证△ADC≌△BEC，得到∠ADC=∠BEC，∠BEC=180°−∠DEC=120°，由此可得∠ADC度数，∠ADB=∠ADC−∠EDC ，即得解；
（2）本题考查了三角形全等和等边三角形的性质，通过“截长补短法”构造三角形全等是解题的关键．要证DM=EM+AD，由于三边不在一条直线上，因此考虑“截长补短法”把线段进行转化．在ED上取点N，使得MN=EM，连接NC、BN、AN，证明△BMN≌△CME，再证△ABN≌△ACD，最后证明△AND为等边三角形，即得证；
（3）本题考查了动点问题，解题的关键是首先证明点E的运动轨迹，找到何时线段BE最短，然后构造三角形，确定何时AF+AG的值最小．以BC为边向下作等边三角形△BCM，连接ME，证明△ACD≌△MCE，得到∠CME=40°，即得当点D在射线AP上运动时，点E的运动轨迹是在直线ME上，且满足∠CME=40°，由此得到当BE⊥EM时，线段BE最短．要证明两条线段AF+AG的最小值，通常利用两点之间线段最短，因此需要将其中一条线段进行转化．以点C为顶点，作∠BCN=∠ABF，且CN=AB，连接NG，证明 △ABF≌△NCG，得到AF=NG，由此，只需求AF+AG=AF+NG的值最小，由图可知当A,G,N三点共线时，取得最小值，最后根据三角形内角和180°，求角即可．
【解题过程】
（1）解：如图，
∵ CE=CD，∠DCE=60∘，
∴ △DCE为等边三角形，
∵ △ABC为等边三角形，
∴ ∠2+∠3=∠ACB=60∘，
∵ ∠1+∠2=∠DCE=60∘，
∴ ∠1=∠3，
∵ ∠1=∠3CD=CEAC=BC，
∴ △ADC≌△BEC，
∴ ∠ADC=∠BEC，
∵ ∠DEC=60∘，
∴ ∠BEC=120∘，
∴ ∠ADC=∠BEC=120∘，
∴ ∠ADB=∠ADC−∠EDC=120∘−60∘=60∘．
故∠ADB=60∘．
（2）解：在ED上取点N，使得MN=EM，连接NC、BN、AN，如图所示，
∵ M为BC边的中点
∴ BM=MC，
∵ BM=MCEM=MN∠BMN=∠CME
∴ △BMN≌△CME，
∴ BN=CE=CD，∠NBM=∠ECM，
∵ ∠DCE=120°，∠ABC=∠ACB=60°，
∴ ∠ABN=∠ABC−∠NBM=60°−∠NBM，
∠ACD=∠DCE−∠ACB−∠ECM=120°−60°−∠ECM=60°−∠ECM，
∴ ∠ABN=∠ACD
∵ AB=AC∠ABN=∠ACDBN=CD，
∴ △ABN≌△ACD，
∴ AN=AD，∠BAN=∠CAD，
∵ ∠BAN+∠NAC=∠BAC=60°，
∴ ∠CAD+∠NAC=∠NAD=60°，
∴ △AND为等边三角形，
∴ AD=AN=ND，
∴ DM=DN+MN=AD+EM
故 DM=EM+AD，
（3）解：以BC为边向下作等边三角形△BCM，连接ME，如图所示，
∵ △ABC和△BCM都是等边三角形，
∴ AC=BC=MC，
∵ ∠DCE=120°，∠ACE=∠ACB−∠BCE=60°−∠BCE，
∴ ∠ACD=∠DCE−∠ACE=120°−(60°−∠BCE)=60°+∠BCE，
∵ ∠MCE=∠MCB+∠BCE=60°+∠BCE，
∴ ∠ACD=∠MCE，
∵ AC=MC∠ACD=∠MCECE=CD，
∴ △ACD≌△MCE，
∴ ∠CME=∠CAD=∠CAP=40°，
∴ 当点D在射线AP上运动时，点E的运动轨迹是在直线ME上，且满足∠CME=40°，
∴ 当线段BE的长度最小时，即过点B向直线ME作垂线，E为垂足，
即BE⊥EM， ∠BEM=90°，
∵ ∠CME=40°，∠BMC=60°，
∴ ∠EMB=∠BMC−∠CME=60°−40°=20°，
∴ 在Rt△BEM中，∠MBE=90°−∠EMB=90°−20°=70°，
又∵ ∠MBC=60°，
∴ ∠EBC=∠MBE−∠MBC=70°−60°=10°，
∴ ∠ABF=∠ABC−∠EBC=60°−10°=50°，
以点C为顶点，作∠BCN=∠ABF=50°，且CN=AB，连接NG，如图所示，
∵ CN=AB∠BCN=∠ABFCG=BF，
∴ △ABF≌△NCG，
∴ AF=NG，
∴ AF+AG=AF+NG，
连接AN交射线BE于点O，在△AGN中，
∵ AF+NG≥AN，
∴ 当A,G,N三点共线时，AF+AG=AF+NG的值最小，如图所示，
此时，∵ CN=AB=AC，
∴ △ACN为等腰三角形，又∠ACN=∠ACB+∠BCN=60°+50°=110°，
∴ ∠CAN=∠CNA=35°，
在△NCG中，∠NGC=180°−∠ANC−∠BCN=180°−35°−50°=95°，
∴ ∠BGO=∠NGC=95°，
在△BOG中，∠BOG=180°−∠EBC−∠BGO=180°−10°−95°=75°，
∴ ∠AOF=∠BOG=75°，
又∵ △ABF≌△NCG（前面已证），
∴ ∠BAF=∠CNG=35°，
在△ABF中，∠AFB=180°−∠BAF−∠ABF=180°−35°−50°=95°，
∴ 在△AOF中，∠OAF=180°−∠AOF−∠AFB=180°−75°−95°=10°，
∴ ∠FAC=∠NAC−∠OAF=35°−10°=25°，
故当AF+AG的值最小，∠FAC=25°．
学霸必刷
1．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连接CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD分别交CD，BD于点P，H，则下列结论正确的是（ ）
①∠BAC=4∠ADC；②DF=AH；③BH=PF；④∠DAP=∠CGB；⑤BC=CG．
A．①②③④B．②③④C．①②④D．①②③④⑤
2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图、已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，AD=CD，且∠DAC=30°，点E为AD上一点，点F为CD上一点，且∠EBF=30°．下列结论：①BE=BF；②EF=AE+CF；③∠AEF=2∠ANB；④EF∥AC．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，点C是线段BD上一点，分别以BC,CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE，连BE,AD交于点F，若BC=3,CD=6，则AF+FCFE+FC的值为（ ）
A．2B．12C．32D．92
4．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③CP=CQ；④OC平分∠BCD；⑤∠AOB=60°．其中正确的结论有（ ）
A．①③⑤B．①②③⑤C．①③④⑤D．①②③④⑤
5．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是 ．
6．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，点D在AB上，CD=14，∠BDC=60°，延长CB至点E，使CE=AC，过点E作EF⊥CD于点F，交AB于点G，若2DG=AD，则DF= ．
7．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=BC=8,D为AC边上一点，AD=2,E为BC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的左侧作等边△DEF，连接AF，则AF的最小值为 ．（提示：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）
8．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在△BCD中，∠BCD”“”“