人教版2024-2025学年八年级数学专题15.1分式的混合运算与化简求值(压轴题专项讲练)专题特训(学生版+解析)

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专题15.1 分式的混合运算与化简求值【典例1】阅读理解：材料1：已知x+1x=3，求分式xx2−4x+1的值．解：活用倒数，∵x2−4x+1x=x−4+1x=x+1x−4=3−4=−1．∴xx2−4x+1=1x2−4x+1x=1−1=−1．材料2：将分式x2−x+3x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母x+1，可设x2−x+3=(x+1)(x+a)+b，则x2−x+3=(x+1)(x+a)+b=x2+ax+x+a+b=x2+(a+1)x+a．∵对于任意x上述等式成立，∴a+1=−1,a+b=3.解得a=−2,b=5.∴x2−x+3x+1=(x+1)(x−2)+5x+1=x−2+5x+1．根据材料，解答下面问题：（1）已知a+1a=5，则分式a2a2+2的值为 ．（2）已知b−1b=−3，求分式b23b4−4b2+3的值 ．（3）已知x+1x−2=−73，则分式x−23x2−9x+9的值为 ．【思路点拨】（1）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；（2）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；（3）根据材料1和材料2，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．【解题过程】（1）解：∵a+1a=5∴2a2+2a=2a+2a=2a+1a=2×5=10∴a2a2+2=12a2+2a=110故答案为：110；（2）∵b−1b=−3∴b−1b2=9，即：b2+1b2−2=9，∴b2+1b2=11则：3b4−4b2+3b2=3b2+3b2−4=3b2+1b2−4=3×11−4=29∴b23b4−4b2+3=13b4−4b2+3b2=129故答案为：129；（3）3x2−9x+9x−2=3x2−3x+3x−2由分母x−2，可设x2−3x+3=x−2x+a+b，则：x2−3x+3=x−2x+a+b=x2+ax−2x−2a+b=x2+a−2x−2a+b对于任意x上述等式成立，∴a−2=−3−2a+b=3，解得，a=−1b=1，∴3x2−9x+9x−2=3x2−3x+3x−2=3x−1x−2+1x−2=3x−1+1x−2又∵x+1x−2=−73，即：x−1+1x−2=−73−1=−103∴3x2−9x+9x−2=3x−1+1x−2=3×−103=−10∴x−23x2−9x+9=−110，故答案为：−110．1．（2022秋·八年级课时练习）已知实数x，y，z满足1x+y+1y+z+1z+x＝76，且zx+y+xy+z+yz+x＝11，则x+y+z的值为（　　）A．12 B．14 C．727 D．92．（2022秋·八年级课时练习）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则1ab+c−1+1bc+a−1+1ca+b−1的值为（          ）A．-1 B．−12 C．2 D．−233．（2022·福建·九年级统考竞赛）若正数a，b，c满足abc1，a+1b=3,b+1c=17，则c+1a=______．4．（2022秋·上海徐汇·七年级上海市田林第三中学校考阶段练习）（1）计算：a2−3ab+2b2a2−2ab+b2+a2−4b2a2−ab     （2）2x−4x+2−x+2÷x−2x2+4x+45．（2022·广东深圳·统考一模）先化简：（2a+2+a2−4a2+4a+4）÷a2−2aa+2，再从−2，−1，0，1中选出合适的数代入求值．6．（2022春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考自主招生）先化简，后求值：x3+xy2+1x3+xy2−x2y−y3x2y−xy2x3+xy2−x2y−y3+x2y+xy2x3+xy2+x2y+y3x2y+y3+1x2y+y3−x3−xy2，其中x，y满足x−2+y2+9=6y．7．（2023春·八年级单元测试）先阅读，再答题：12×3=3−22×3=12−13，13×4=4−33×4=13−14，……一般地，有1nn+1=1n−1n+1.（1）计算：1x+1x+2+1x+2x+3；（2）计算：1xx+2+1x+2x+4+1x+4x+6+…+1x+2020x+2022．8．（2022秋·全国·七年级期末）xyx+y=1，yzy+z=2，zxz+x=3，求x+y+z9．（2022春·八年级课时练习）已知3x−2y−4z=0，2x+y−5z=0且xyz≠0，求1zx+y+z+z2x+y−z−2x2z+4xyz+2y2zx2+2xy+y2−z2的值．10．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知 x,y 为整数，且满足 1x+1y1x2+1y2=−231x4−1y4 ，求 x+y 的值．11．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=16，求1ab+3c+3+1bc+3a+3+1ca+3b+3的值．12．（2022·福建·九年级专题练习）已知x=a1b+1c，y=b1a+1c，z=c1a+1b．（1）当a=1，b=1，c=2时，求1x−1+1y−1的值；（2）当ab+bc+ac≠0时,求1x+1+1y+1+1z+1的值．13．（2022·七年级单元测试）已知a、b、c为实数，且满足下式：①a2+b2+c2=1；②a1b+1c+b1c+1a+c1a+1b=−3.求a+b+c的值.14．（2023春·江苏·八年级专题练习）Sn为n的各位数字之和，例S2019=2+0+1+9=12．（1）当10≤n≤99时，求nSn的最小值；（2）当100≤n≤999时，求nSn的最小值；（3）当1000≤n≤9999时，求nSn的最小值．15．（2022秋·全国·八年级专题练习）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求x=|a|a+|b|b的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a，b的正负作出讨论，又注意到a，b在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．解：①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，③当两个字母a，b中有0个正，2个负时．（1）根据小明的分析，求x=|a|a+|b|b的值．（2）若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，求代数式|a+b|c+|b+c|a+|c+a|b的值．16．（2023春·浙江·七年级专题练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，2x−3x+1=2x+2−5x+1=2x+2x+1+−5x+1=2+−5x+1，则x+1x−1和2x−3x+1都是“和谐分式”．（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是 （填序号）．①2x+3x   ②3+x3   ③x+4x+3    ④y2+5y2（2）将“和谐分式”a2−4a−5a−2化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．（3）应用：先化简3x+6x+1−x−1x÷x2−1x2+2x，并求x取什么整数时，该式的值为整数．17．（2023春·八年级课时练习）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M−N=MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．（1）已知分式2a2−1，试说明2a2+1是2a2−1的“关联分式”；（2）小聪在求分式1x2+y2的“关联分式”时，用了以下方法：设1x2+y2的“关联分式”为N，则1x2+y2−N=1x2+y2×N，∴1x2+y2+1N=1x2+y2，∴N=1x2+y2+1．请你仿照小聪的方法求分式x+y2x−3y的“关联分式”．（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式ab−a的“关联分式”：______．②若n−2mx+m2+n是m+2mx+n2的“关联分式”，则m+n的值为______．18．（2023春·八年级课时练习）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：x2x+1⋅x−1x+1这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：1x+1，−2x+1这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数.例如：−83=3×2+23=223类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：x2x+1=x(x+1)−(x+1)+1x+1=x−1+1x+1．（1）参考上面的方法，将下列分式化为带分式：−x2−2xx2+2x+1=　 　.3x3−3x+2x2−1=　 　．（2）解分式方程：x2−x−8x2−x−6+2=3x2−12x+10x2−4x+4；（3）当x取什么整数值时，分式x4+4x2+2x2+1的值为整数．（4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能整除这个两位数，求满足条件的三位数m．19．（2023春·八年级课时练习）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．例1：分解因式x2+2xx2+2x+2+1解：将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x=y原式=yy+2+1=y2+2y+1=y+12=x2+2x+12=x+14例2：已知ab=1，求11+a+11+b的值．解：11+a+11+b=abab+a+11+b=b1+b+11+b=1请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：（1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式x2−6x+8x2−6x+10+1进行因式分解；（2）计算：1−2−3−⋯−2021×2+3+⋯+2022−1−2−3−⋯−2022×2+3+⋯+2021=______（3）①已知ab=1，求11+a2+11+b2的值；②若abc=1，直接写出5aab+a+1+5bbc+b+1+5cca+c+1的值．20．（2022·全国·九年级专题练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：xx2+1=14，求代数式x2+1x2的值．解：∵xx2+1=14，∴x2+1x=4即x2x+1x=4∴x+1x=4∴x2+1x2=x+1x2−2=16−2=14材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若2x=3y=4z，且xyz≠0，求xy+z的值．解：令2x=3y=4z=k(k≠0)则x=k2，y=k3，z=k4，∴xy+z=12k13k+14k=12712=67根据材料回答问题：（1）已知xx2−x+1=15，求x+1x的值．（2）已知a5=b4=c3(abc≠0)，求3b+4c2a的值．（3）若yzbz+cy=zxcx+az=xyay+bx=x2+y2+z2a2+b2+c2，x≠0，y≠0，z≠0，且abc=5，求xyz的值．专题15.1 分式的混合运算与化简求值【典例1】阅读理解：材料1：已知x+1x=3，求分式xx2−4x+1的值．解：活用倒数，∵x2−4x+1x=x−4+1x=x+1x−4=3−4=−1．∴xx2−4x+1=1x2−4x+1x=1−1=−1．材料2：将分式x2−x+3x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母x+1，可设x2−x+3=(x+1)(x+a)+b，则x2−x+3=(x+1)(x+a)+b=x2+ax+x+a+b=x2+(a+1)x+a．∵对于任意x上述等式成立，∴a+1=−1,a+b=3.解得a=−2,b=5.∴x2−x+3x+1=(x+1)(x−2)+5x+1=x−2+5x+1．根据材料，解答下面问题：（1）已知a+1a=5，则分式a2a2+2的值为 ．（2）已知b−1b=−3，求分式b23b4−4b2+3的值 ．（3）已知x+1x−2=−73，则分式x−23x2−9x+9的值为 ．【思路点拨】（1）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；（2）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；（3）根据材料1和材料2，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．【解题过程】（1）解：∵a+1a=5∴2a2+2a=2a+2a=2a+1a=2×5=10∴a2a2+2=12a2+2a=110故答案为：110；（2）∵b−1b=−3∴b−1b2=9，即：b2+1b2−2=9，∴b2+1b2=11则：3b4−4b2+3b2=3b2+3b2−4=3b2+1b2−4=3×11−4=29∴b23b4−4b2+3=13b4−4b2+3b2=129故答案为：129；（3）3x2−9x+9x−2=3x2−3x+3x−2由分母x−2，可设x2−3x+3=x−2x+a+b，则：x2−3x+3=x−2x+a+b=x2+ax−2x−2a+b=x2+a−2x−2a+b对于任意x上述等式成立，∴a−2=−3−2a+b=3，解得，a=−1b=1，∴3x2−9x+9x−2=3x2−3x+3x−2=3x−1x−2+1x−2=3x−1+1x−2又∵x+1x−2=−73，即：x−1+1x−2=−73−1=−103∴3x2−9x+9x−2=3x−1+1x−2=3×−103=−10∴x−23x2−9x+9=−110，故答案为：−110．1．（2022秋·八年级课时练习）已知实数x，y，z满足1x+y+1y+z+1z+x＝76，且zx+y+xy+z+yz+x＝11，则x+y+z的值为（　　）A．12 B．14 C．727 D．9【思路点拨】把zx+y+xy+z+yz+x=11两边加上3，变形可得x+y+zx+y+x+y+zy+z+x+y+zz+x=14，两边除以x+y+z得到1x+y+1y+z+1z+x=14x+y+z，则14x+y+z=76，从而得到x+y+z的值．【解题过程】解：∵zx+y+xy+z+yz+x=11，∴1+zx+y+1+xy+z+1+yz+x=14，即x+y+zx+y+x+y+zy+z+x+y+zz+x=14，∴1x+y+1y+z+1z+x=14x+y+z，而1x+y+1y+z+1z+x=76，∴14x+y+z=76，∴x+y+z=12．故选：C．2．（2022秋·八年级课时练习）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则1ab+c−1+1bc+a−1+1ca+b−1的值为（          ）A．-1 B．−12 C．2 D．−23【思路点拨】观察所给算式可得c−1=1−a−b,a−1=1−b−c,b−1=1−a−c,代入整理之后对算式进行通分即可．【解题过程】解：由a+b+c=2可得：c−1=1−a−b,a−1=1−b−c,b−1=1−a−c，则1ab+c−1+1bc+a−1+1ca+b−1=1ab−a+1−b+1bc−b+1−c+1ca−c+1−a=1a−1b−1+1b−1c−1+1c−1a−1=a+b+c−3a−1b−1c−1=−1abc−1+a+b+c−ac+bc+ab∵a+b+c=2,∴a+b+c2=4,∴a2+b2+c2+2ab+bc+ac=4，∴ac+bc+ab=12，故原式=−11−1+2−12=−23．故选：D．3．（2022·福建·九年级统考竞赛）若正数a，b，c满足abc1，a+1b=3,b+1c=17，则c+1a=______．【思路点拨】计算a+1bb+1cc+1a，然后整体代入求解即可；或者把已知条件组成方程组，解方程组求出a=259，c=225，代入计算即可．【解题过程】解：解法一：因为a+1bb+1cc+1a=ab+ac+1+1bcc+1a=abc+a+c+1b+b+1c+1a+1abc=a+1b+b+1c+c+1a+abc+1abc所以3×17×c+1a=3+17+c+1a+2，解得c+1a=1125．故答案为：1125．解法二：由abc=1a+1b=3b+1c=17，得ab=1c=17−bab=3b−1，因此17−b=3b−1，b=92．由此可得a=259，c=225．所以c+1a=225+925=1125故答案为：1125．4．（2022秋·上海徐汇·七年级上海市田林第三中学校考阶段练习）（1）计算：a2−3ab+2b2a2−2ab+b2+a2−4b2a2−ab     （2）2x−4x+2−x+2÷x−2x2+4x+4【思路点拨】（1）先分解因式，再化简计算；（2）先计算括号里面的，再分解因式，计算除法.【解题过程】解：（1）a2−3ab+2b2a2−2ab+b2+a2−4b2a2−ab     =a−ba−2ba−b2+a−2ba+2baa−b=a−2ba−b+a−2ba+2baa−b=2a−2ba+baa−b（2）2x−4x+2−x+2÷x−2x2+4x+4=2x−2x+2−x−2x+2x+2÷x−2x+22=−xx−2x+2÷x−2x+22=−xx+25．（2022·广东深圳·统考一模）先化简：（2a+2+a2−4a2+4a+4）÷a2−2aa+2，再从−2，−1，0，1中选出合适的数代入求值．【思路点拨】直接将括号里面进行加减运算，再利用分式的除法运算法则计算得出答案，注意分式的有意义 ．【解题过程】解：2a+2+a2−4a2+4a+4÷a2−2aa+2=2a+2+a+2a−2a+22×a+2aa−2=2a+2+a−2a+2×a+2aa−2=aa+2×a+2aa−2=1a−2，∵a−2≠0,aa−2≠0，a+2≠0，∴a≠−2,0,2，当a=1时，原式=1a−2=1−1=−1．6．（2022春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考自主招生）先化简，后求值：x3+xy2+1x3+xy2−x2y−y3x2y−xy2x3+xy2−x2y−y3+x2y+xy2x3+xy2+x2y+y3x2y+y3+1x2y+y3−x3−xy2，其中x，y满足x−2+y2+9=6y．【思路点拨】利用因式分解和整式运算法则逐步化简整式，再借助已知条件计算x，y的值，代入求解即可．【解题过程】解：原式=x3+xy2+1(x−y)(x2+y2)·xy(x−y)(x−y)(x2+y2)+xy(x+y)(x+y)(x2+y2)·x2y+y3+1(y−x)(x2+y2) =xy(x3+xy2+1)(x−y)(x2+y2)2+xy(x2y+y3+1)(y−x)(x2+y2)2 =xy(x3+xy2+1)(x−y)(x2+y2)2−xy(x2y+y3+1)(x−y)(x2+y2)2=xy(x3+xy2+1)−(x2y+y3+1)(x−y)(x2+y2)2=xy(x3+xy2−x2y−y3)(x−y)(x2+y2)2=xy(x−y)(x2+y2)(x−y)(x2+y2)2=xyx2+y2∵x−2+y2+9=6y，∴x−2+y2−6y+9=0，即x−2+(y−3)2=0，∵x−2≥0，(y−3)2≥0，∴x−2=0，y−3=0，解得：x=2，y=3，将其代入，可得原式=2×322+32=613.7．（2023春·八年级单元测试）先阅读，再答题：12×3=3−22×3=12−13，13×4=4−33×4=13−14，……一般地，有1nn+1=1n−1n+1.（1）计算：1x+1x+2+1x+2x+3；（2）计算：1xx+2+1x+2x+4+1x+4x+6+…+1x+2020x+2022．【思路点拨】（1）根据题目提供结论化简为1x+1−1x+2+1x+2−1x+3，先进行同分母分式加减，再进行异分母分式加减运算即可求解；（2）根据题目提供结论将原式变形为121x−1x+2+121x+2−1x+4+121x+4−1x+6+…+121x+2020−1x+2022，逆用分配率得到121x−1x+2+1x+2−1x+4+1x+4−1x+6+…+1x+2020−1x+2022，再进行同分母分式加减，最后进行异分母分式加减，化简即可求解．【解题过程】（1）解：1x+1x+2+1x+2x+3=1x+1−1x+2+1x+2−1x+3=1x+1−1x+3=x+3x+1x+3−x+1x+1x+3=2x+1x+3；（2）1xx+2+1x+2x+4+1x+4x+6+…+1x+2020x+2022=121x−1x+2+121x+2−1x+4+121x+4−1x+6+…+121x+2020−1x+2022=121x−1x+2+1x+2−1x+4+1x+4−1x+6+…+1x+2020−1x+2022=121x−1x+2022=12x+2022xx+2022−xxx+2022=12×2022xx+2022=1011xx+2022．8．（2022秋·全国·七年级期末）xyx+y=1，yzy+z=2，zxz+x=3，求x+y+z【思路点拨】对已知等式求倒数变形，整理求出1x+1y+1z的值，进而分别求出1x、1y、1z的值，从而确定x，y，z的值，即可求出x+y+z的值.【解题过程】解：∵xyx+y=1，yzy+z=2，zxz+x=3，∴x+yxy=1，y+zyz=12，z+xzx=13，即1y+1x=1,1z+1y=12,1x+1z=13，∴21x+1y+1z=1+12+13=116，即1x+1y+1z=1112，∴1z=−112,1x=512,1y=712，∴x=125,y=127,z=−12，∴x+y+z=125+127−12=−27635.9．（2022春·八年级课时练习）已知3x−2y−4z=0，2x+y−5z=0且xyz≠0，求1zx+y+z+z2x+y−z−2x2z+4xyz+2y2zx2+2xy+y2−z2的值．【思路点拨】先根据已知，求得x=2z，y=z，之后再化简式子，化简之后将我们求到的值代入即可求到最后的答案．【解题过程】解：由3x−2y−4z=0，2x+y−5z=0得x=2z，y=z．∴原式=1zx+y2−z2x+y−z+z2x+y−z−2zx2+2xy+y2x+y2−z2=1zx+y2x+y−z−2zx+y2x+y+zx+y−z=1z⋅x+y2x+y+z−2zx+y2x+y+zx+y−z=1z⋅x+y2x+y−zx+y+zx+y−z=1z⋅x+y2x+y+z将x=2z，y=z代入得94．10．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知 x,y 为整数，且满足 1x+1y1x2+1y2=−231x4−1y4 ，求 x+y 的值．【思路点拨】根据平方差公式和约分法则把原式化简，根据取整法则解答即可．【解题过程】解：∵(1x+1y)(1x2+1y2)=−23(1x4−1y4)，∴(1x+1y)(1x2+1y2)=−23(1x2+1y2)(1x2−1y2)，∴(1x+1y)=−23(1x2−1y2)，∴(1x+1y)1+23(1x−1y)=0，∴1x+1y=0或1+231x−1y=0，∴x+y=0或1x−1y=−32，由1x−1y=−32，得x=2y2−3y=22y−3，由于 x，y 为整数，当y=1时，x为整数-2，则x+y=-1；当y=-1时，x为-25，不是整数，不符合题意，舍去；当y=2时，x为整数-1，则x+y=1；当y=-2时，x为-12，不是整数，不符合题意，舍去；综上，x+y的值为0或±1．11．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=16，求1ab+3c+3+1bc+3a+3+1ca+3b+3的值．【思路点拨】先根据完全平方公式得到a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，进一步推出ab+bc+ac=−6，由a+b+c=2得到c=2−a−b，进而推出ab+3c+3=a−3b−3，同理可得bc+3a+3=b−3a−3，ca+3b+3=c−3a−3，由此代入所求式子中并化简得到−7abc−3ab+ac+bc+9a+b+c−27，由此即可得到答案．【解题过程】解：∵ a+b+c=2，∴ a+b+c2=4，∴ a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，∵ a2+b2+c2=16，∴ ab+bc+ac=−6，∵ a+b+c=2，∴ c=2−a−b，∴ 3c+3=9−3a−3b，∴ ab+3c+3=ab+9−3a−3b=ab−3a−3b−9=ab−3−3b−3=a−3b−3，同理可得：bc+3a+3=b−3a−3，ca+3b+3=c−3a−3，∴1ab+3c+3+1bc+3a+3+1ca+3b+3=1a−3b−3+1b−3c−3+1c−3a−3=c−3+a−3+b−3a−3b−3c−3=c+a+b−9ab−3a−3b+9c−3=2−9abc−3ab−3ac+9a−3bc+9b+9c−27=−7abc−3ab+ac+bc+9a+b+c−27=−71+18+18−27=−710．12．（2022·福建·九年级专题练习）已知x=a1b+1c，y=b1a+1c，z=c1a+1b．（1）当a=1，b=1，c=2时，求1x−1+1y−1的值；（2）当ab+bc+ac≠0时,求1x+1+1y+1+1z+1的值．【思路点拨】（1）分别对x、y进行化简，然后求值即可；（2）分别求出x＋1、y＋1、和z＋1值，然后代入化简即可.【解题过程】解：（1）∵x=ac+abbc,y=bc+abac,z=bc+acab，当a=1,b=1,c=2时，∴x−1=1×2+1×11×2−1=12;∴y−1=1×2+1×11×2−1=12∴1x−1+1y−1=112+112=4（2）x+1=ac+abbc+1=ac+ab+bcbc，y+1=bc+abac+1=bc+ab+acac，z+1=bc+acab+1=bc+ac+abab，∵ab+bc+ac≠0，∴1x+1+1y+1+1z+1=bcab+bc+ac+acab+bc+ac+abab+bc+ac;=ab+bc+acab+bc+ac=1.13．（2022·七年级单元测试）已知a、b、c为实数，且满足下式：①a2+b2+c2=1；②a1b+1c+b1c+1a+c1a+1b=−3.求a+b+c的值.【思路点拨】先对②式进行变形，主要是给等式左边每一大项一个1，再整理成两式积等于0的形式，讨论每个式子等于0的情况，最后可求出a＋b＋c的所有值．【解题过程】解：将②式因式分解变形如下：a1b+1c+1a−1a+b1c+1a+1b−1b+c1a+1b+1c−1c=−3，即a1a+1b+1c+b1a+1b+1c+c1a+1b+1c=0，所以a+b+c1a+1b+1c=0，即a+b+cbc+ac+ababc=0.所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0，若bc+ac+ab=0，则a+b+c2 =a2+b2+c2+2ab+bc+ac =a2+b2+c2=1，所以a+b+c=±1，所以a+b+c的值为0、1、−1.14．（2023春·江苏·八年级专题练习）Sn为n的各位数字之和，例S2019=2+0+1+9=12．（1）当10≤n≤99时，求nSn的最小值；（2）当100≤n≤999时，求nSn的最小值；（3）当1000≤n≤9999时，求nSn的最小值．【思路点拨】（1）设两位数的十位数字为a，个位数字为b，则nSn=10a+ba+b=a+b+9aa+b=1+91+ba，要使nSn最小，则ba为最大，然后求值即可；（2）设这个三位数的百位数字是a，十位数字是b，个位数字为c，根据（1）中的方法进行求值即可；（3）设这个四位数的千位数字是a，百位数字是b，十位数字为c，个位数字是d，参照（1）中的方法进行求解即可．【解题过程】解：（1）设两位数的十位数字为a，个位数字为b，则nSn=10a+ba+b=a+b+9aa+b=1+91+ba，要使nSn的值最小，则则ba为最大；∵ 10≤n≤99，∴ a=1,b=9，∴ nSn最小为191+9=1.9；（2））设这个三位数的百位数字是a，十位数字是b，个位数字为c；要使nSn=100a+10b+ca+b+c的值最小，即nSn=1+99a+9ba+b+c的值为最小，∵ 100≤n≤999，∴ a=1,c=9，∴ nSn=1+99+9b10+b=10+910+b，∴ b=9，∴ nSn=19919=10919；（3）设这个四位数的千位数字是a，百位数字是b，十位数字为c，个位数字是d；则nSn=1000a+100b+10c+da+b+c+d=1+999a+99b+9ca+b+c+d，其值最小，则a=1,d=9，∴ nSn=999+99b+9c10+b+c+1，类似分析b=0,c=9时符合题意，∴ nSn的最小值为109919．15．（2022秋·全国·八年级专题练习）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求x=|a|a+|b|b的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a，b的正负作出讨论，又注意到a，b在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．解：①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，③当两个字母a，b中有0个正，2个负时．（1）根据小明的分析，求x=|a|a+|b|b的值．（2）若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，求代数式|a+b|c+|b+c|a+|c+a|b的值．【思路点拨】（1）根据a，b，是非零实数，分三种情况进行讨论：①两正零负；②一正一负时；③零正2负时；分情况讨论求值即可．（2）根据a，b，c是非零实数，分两种情况进行讨论：①分两正一负；②一正两负；分情况讨论求值即可．【解题过程】解：（1）①当a，b中有2个正，0个负时，原式x=|a|a+|b|b=1+1=2；②当a,b中有1个正，1个负时，原式x=|a|a+|b|b=1−1=0；③当a,b中有0个正，2个负时，原式x=|a|a+|b|b=−1−1=−2；综上所述，x的值为−2或0或2．（2）∵a+b+c=0，∴a+b=−c，b+c=−a，c+a=−b，a，b，c不可能都为正或都为负，∴|a+b|c+|b+c|a+|c+a|b=|−c|c+|−a|a+|−b|b．①当a，b，c中有两正一负时，原式=|−c|c+|−a|a+|−b|b=1+1−1=1，②当a，b，c中有一正两负时，原式=|−c|c+|−a|a+|−b|b=−1−1+1=−1．综上所述|a+b|c+|b+c|a+|c+a|b的值为1或−1．16．（2023春·浙江·七年级专题练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，2x−3x+1=2x+2−5x+1=2x+2x+1+−5x+1=2+−5x+1，则x+1x−1和2x−3x+1都是“和谐分式”．（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是 （填序号）．①2x+3x   ②3+x3   ③x+4x+3    ④y2+5y2（2）将“和谐分式”a2−4a−5a−2化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．（3）应用：先化简3x+6x+1−x−1x÷x2−1x2+2x，并求x取什么整数时，该式的值为整数．【思路点拨】（1）把给出的各式进行处理，根据和谐分式的定义判断；（2）把分式先变形为a2−4a+4−9a−2，再写成整式与分式分子为常数的形式；（3）先算除法，把分式转化成和谐分式，再确定x的值．【解题过程】解：（1）①2x+3x=2+3x；②3+x3=1+x3；③x+4x+3=1+1x+3；④y2+5y2=1+5y2；∴①③④属于和谐分式，②不属于和谐分式；故答案为：②；（2）原式=a2−4a+4−9a−2=(a−2)2−9a−2=a−2+−9a−2；（3）原式=3x+6x+1−x−1x×x(x+2)(x−1)(x+1)=3x+6x+1−x+2x+1=3x+6−x−2x+1=2x+4x+1；根据题意得：原式=2(x+1)+2x+1=2+2x+1；当原式的值为整数时，x+1应该是2的因数，∴x+1=1或x+1=−1或x+1=2或x+1=−2解得：x=0或x=−2或x=1或x=−3，∵x≠0且x≠−1且x≠1且x≠−2，∴当x=−3时，该式的值为整数．17．（2023春·八年级课时练习）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M−N=MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．（1）已知分式2a2−1，试说明2a2+1是2a2−1的“关联分式”；（2）小聪在求分式1x2+y2的“关联分式”时，用了以下方法：设1x2+y2的“关联分式”为N，则1x2+y2−N=1x2+y2×N，∴1x2+y2+1N=1x2+y2，∴N=1x2+y2+1．请你仿照小聪的方法求分式x+y2x−3y的“关联分式”．（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式ab−a的“关联分式”：______．②若n−2mx+m2+n是m+2mx+n2的“关联分式”，则m+n的值为______．【思路点拨】（1）根据“关联分式”的定义进行判断即可；（2）仿照小聪的方法进行求解即可；（3）①根据解析（2）找规律求出ab−a的关联分式即可；②根据关联分式分子，分母规律可知，n−2=m+2①mx+m2+n=mx+n2+m+2②，然后整理求出结果即可．【解题过程】（1）解：∵2a2−1−2a2+1=2a2+1−2a2−1a2−1a2+1=4a2−1a2+1，2a2−1×2a2+1=4a2−1a2+1，∴2a2+1是2a2−1的关联分式．（2）解：设x+y2x−3y的关联分式是N，则：x+y2x−3y−N=x+y2x−3y⋅N，∴x+y2x−3y+1⋅N=x+y2x−3y，∴3x−2y2x−3y⋅N=x+y2x−3y，∴N=x+y3x−2y．（3）解：①根据解析（2）可知，ab−a的关联分式为：ab−a÷ab−a+1=ab−a÷bb−a=ab−a⋅b−ab=ab；故答案为：ab；②∵n−2mx+m2+n是m+2mx+n2的“关联分式”，∴n−2=m+2①mx+m2+n=mx+n2+m+2②，由①得m−n=−4，由②得：m2−n2=m−n+2，即m+nm−n=m−n+2，把m−n=−4代入得：−4m+n=−2，解得：m+n=12．故答案为：12．18．（2023春·八年级课时练习）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：x2x+1⋅x−1x+1这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：1x+1，−2x+1这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数.例如：−83=3×2+23=223类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：x2x+1=x(x+1)−(x+1)+1x+1=x−1+1x+1．（1）参考上面的方法，将下列分式化为带分式：−x2−2xx2+2x+1=　 　.3x3−3x+2x2−1=　 　．（2）解分式方程：x2−x−8x2−x−6+2=3x2−12x+10x2−4x+4；（3）当x取什么整数值时，分式x4+4x2+2x2+1的值为整数．（4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能整除这个两位数，求满足条件的三位数m．【思路点拨】（1）两式根据材料中的方法变形即可得到结果；（2）原式利用材料中的方法变形化简方程即可求解；（3）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时，整数x的值；（4）设三位数的百位数字为x，十位数字为y，然后表示出m，n的表达式，再计算m2n，然后利用材料中的方法变形，进行讨论即可．【解题过程】解：（1）−x2−2xx2+2x+1=−(x2+2x+1)+1x2+2x+1=−1+1x2+2x+13x3−3x+2x2−1=3x(x2−1)+2x2−1=3x+2x2−1（2）x2−x−8x2−x−6+2=3x2−12x+10x2−4x+4x2−x−6−2x2−x−6+2=3(x2−4x+4)−2x2−4x+43−2x2−x−6=3−2x2−4x+42x2−x−6=2x2−4x+4∴x2-x-6=x2-4x+4，∴3x=10，∴x=103 经检验：x=103是原方程的解；（3）x4+4x2+2x2+1=x2(x2+1)+3(x2+1)−1x2+1=x2+3−1x2+1∴当x=0时，原式=2为整数；（4）设三位数的百位数字为x，十位数字为y，则个位数字为2x，n=10x+y，m=100x+10y+2x=102x+10y，∵2x＜10，∴x＜5，m2n=(100x+10y+2x)210x+y=10(10x+y)+2x210x+y=10(10x+y)2+4x10(10x+y)+4x210x+y=100(10x+y)+40x+4x210x+y∵m2n是整数，∴4x210x+y为整数，∵0＜x＜5且x为整数，0＜y＜10且y为正整数，当x=3，y=6时，4x210x+y为正整数，∴m=366．19．（2023春·八年级课时练习）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．例1：分解因式x2+2xx2+2x+2+1解：将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x=y原式=yy+2+1=y2+2y+1=y+12=x2+2x+12=x+14例2：已知ab=1，求11+a+11+b的值．解：11+a+11+b=abab+a+11+b=b1+b+11+b=1请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：（1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式x2−6x+8x2−6x+10+1进行因式分解；（2）计算：1−2−3−⋯−2021×2+3+⋯+2022−1−2−3−⋯−2022×2+3+⋯+2021=______（3）①已知ab=1，求11+a2+11+b2的值；②若abc=1，直接写出5aab+a+1+5bbc+b+1+5cca+c+1的值．【思路点拨】（1）将x2−6x+8看成一个整体，令x2−6x+8=y，代入计算即可；（2）将1−2−3−⋯−2021看成一个整体，令1−2−3−⋯−2021=x，将2+3+⋯+2022看成一个整体，令2+3+⋯+2022=y，代入计算即可；（3）①将ab=1代入11+a2求解即可；②将abc=1，代入5aab+a+1中得到原式=51+bb+1+bc+5cca+c+1，再将abc=1代入51+bb+1+bc，进一步得到原式=5abc+bb+abc+bc+5cca+c+1，计算即可．【解题过程】（1）解：将x2−6x+8看成一个整体，令x2−6x+8=y，则原式=yy+2+1=y2+2y+1=y+12=x2−6x+8+12=x−34．（2）解：将1−2−3−⋯−2021看成一个整体，令1−2−3−⋯−2021=x，将2+3+⋯+2022看成一个整体，令2+3+⋯+2022=y，则原式=xy−x−2022y−2022=2022x+y−2022=20221−2−3−⋯−2021+2+3+⋯+2022−2022=2022．（3）解：①∵ab=1，∴11+a2+11+b2=abab+a2+abab+b2=bb+a+aa+b=1．②∵abc=1，∴5aab+a+1+5bbc+b+1+5cca+c+1=5aab+a+abc+5bbc+b+1+5cca+c+1=5b+1+bc+5bbc+b+1+5cca+c+1=51+bb+1+bc+5cca+c+1=5abc+bb+abc+bc+5cca+c+1=5ac+11+ac+c+5cca+c+1=5ac+1+c1+ac+c=5．20．（2022·全国·九年级专题练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：xx2+1=14，求代数式x2+1x2的值．解：∵xx2+1=14，∴x2+1x=4即x2x+1x=4∴x+1x=4∴x2+1x2=x+1x2−2=16−2=14材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若2x=3y=4z，且xyz≠0，求xy+z的值．解：令2x=3y=4z=k(k≠0)则x=k2，y=k3，z=k4，∴xy+z=12k13k+14k=12712=67根据材料回答问题：（1）已知xx2−x+1=15，求x+1x的值．（2）已知a5=b4=c3(abc≠0)，求3b+4c2a的值．（3）若yzbz+cy=zxcx+az=xyay+bx=x2+y2+z2a2+b2+c2，x≠0，y≠0，z≠0，且abc=5，求xyz的值．【思路点拨】（1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可；（2）仿照材料二，设a5=b4=c3=k(k≠0)，则a=5k，b=4k，c=3k，代入所求式子即可；（3）解法一：设yzbz+cy=zxcx+az=xyay+bx=1k(k≠0)，化简得：by+cz=k①，cz+ax=k②，ax+by=k③，，相加变形可得x、y、z的代入x2+y2+z2a2+b2+c2=1k中，可得k的值，从而得结论；解法二：取倒数得：bz+cyyz=cx+azzx=ay+bxxy，拆项得by+cz=cz+ax=ax+by，从而得x=ayb，z=cyb，代入已知可得结论．【解题过程】解：（1）∵xx2−x+1=15，∴x2−x+1x=5，∴x−1+1x=5，∴x+1x=6．（2）设a5=b4=c3=k(k≠0)，则a=5k，b=4k，c=3k，∴3b+4c2a=12k+12k10k=125（3）解法一：设yzbz+cy=zxcx+az=xyay+bx=1k(k≠0)，∴by+cz=k①，cz+ax=k②，ax+by=k③，①+②+③得：2by+cz+ax=3k，by+cz+ax=32k④，④-①得：ax=12k，④-②得：by=12k，④-③得：cz=12k，∴x=2ak，y=2bk，z=2ck代入x2+y2+z2a2+b2+c2=1k中，得：4k2a2+b2+c2a2+b2+c2=1k，4k2=1k，则k=4，∴x=2a4，y=2b4，z=2c4，∴xyz=8abc64=58解法二：∵yzbz+cy=zxcx+az=xyay+bx，∴bz+cyyz=cx+azzx=ay+bxxy，∴by+cz=cz+ax=ax+by，∴by=ax，cz=by，∴x=ayb，z=cyb，将其代入zxcx+az=x2+y2+z2a2+b2+c2中得：cyb⋅aybacyb+acyb=a2y2b2+y2+c2y2b2a2+b2+c2，y2b=y2b2，y=b2，∴x=ab2b=a2，z=cy2y=c2，∴xyz=a2⋅b2⋅c2=58．