人教版2024-2025学年八年级数学专题15.3根据分式解的情况求值(压轴题专项讲练)专题特训(学生版+解析)

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专题15.3 根据分式解的情况求值【典例1】若关于x的不等式组−x2≤−m2+1−2x+1≥4m−1有解，且使得关于y的分式方程1y−2−m−y2−y=2有非负整数解，求所有的整数m的和．【思路点拨】解不等式组中的不等式，根据不等式组有解，确定m的取值范围．解分式方程，用含m的代数式表示出y，根据方程有非负数解结合m的取值范围确定符合条件的m即可求解．【解题过程】解： −x2⩽−m2+1①−2x+1⩾4m−1②，解①，得 x⩾m−2，解②，得 x⩽−2m+1，因为关于x的不等式有解，∴m−2⩽−2m+1，∴m⩽1，解分式方程 1y−2−m−y2−y=2，得 y=5+m3(m≠1)，由于分式方程有非负整数解∴y≥0∴5+m3≥0解得m≥-5∴m的取值范围为-5≤m≤1又∵y是整数∴m=-5，-2，1又∵y≠2（y=2是分式方程的增根）∴m≠1∴所有的整数m的和是−5−2=−7．1．（2022秋·全国·八年级专题练习）关于x的一元一次不等式组2x−13−5x+12≥1,x+5>a有解，且使关于y的分式方程ay−2y−3=2−13−y的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ）A．8 B．5 C．3 D．22．（2022春·四川遂宁·八年级四川省遂宁市第二中学校校考期中）若数a使关于x的不等式组x−52+1≤x+135x−2a>2x+a至少有五个整数解，关于y的分式方程a−3y−1−21−y=2的解是非负整数，则满足条件的所有整数a之和是（    ）A．15 B．14 C．8 D．73．（2022春·重庆·八年级重庆巴蜀中学校考期中）关于y的分式方程3−ay−2=y−62−y有正整数解，且关于x的不等式组3x+322，且关于y的分式方程ay−5y−3=1−43−y的解为正整数，则所有满足条件的所有整数a的和为（    ）A．2 B．5 C．6 D．97．（2023春·全国·八年级专题练习）若关于x的不等式x−432x−12x≥a−2至少有三个整数解，且关于y的分式方程y+9y−3=2−ay−9y−3有正整数解，则所有满足条件的整数a的和为（    ）A．−5 B．−6 C．−7 D．−89．（2023春·八年级课时练习）若a使得关于x的不等式组−x3≤−a3+12−2x+1≥4a−5有解，且使得关于y的分式方程a−4y3−y−2y−3=1有非负整数解，则所有满足条件的a的值的和是（    ）A．24 B．25 C．34 D．3510．（2022秋·北京海淀·八年级校考期末）若数a使关于x的分式方程x+2x−1+a1−x=3的解为非负数，且使关于y的不等式组2y−1≥3y−2136y−53a≤32−a的解集为y≤1，则符合条件的所有整数a的和为________．11．（2022秋·浙江宁波·八年级浙江省余姚市实验学校校考期中）若关于x的不等式组3x2−1≥x+42a−x>7无解，且关于y的分式方程3y2−y=1−a+yy−2的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为______．12．（2022秋·全国·八年级专题练习）若整数a使关于x的不等式组2x−131的解集为x≥5，且关于y的分式方程yy−2+a2−y=−1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为__________．14．（2022春·辽宁沈阳·八年级东北育才学校校考期中）如果关于x的分式方程axx−2−2=x2−x有整数解，且关于x的不等式组a−2x≤1−x4x+12>x+3的解集为x>52，那么符合条件的所有整数a的和为__15．（2023春·全国·八年级专题练习）若整数a使关于x的分式方程ax−3+43−x=12的解为非负数，且使关于y的不等式组y+7≤2y+45y−a3012y−142m−4x−32有且仅有四个整数解，关于y的分式方程3yy−2+a+112−y=1有整数解，则符合条件的所有整数a的和是______．24．（2022秋·全国·八年级专题练习）若关于x的不等式组−x2≤−m2+1−2x+1≥4m−1有解，且使得关于y的分式方程1y−2−m−y2−y=2有非负整数解，求所有的整数m的和.25．（2023春·八年级课时练习）若整数a使得关于x的分式方程16x(x−4)+2x=ax−4有正整数解，且使得关于y的不等式组y+12−y−13>11−y2≥3−a有解，那么符合条件的所有整数a的和是多少？26．（2021·湖北荆州·统考一模）若关于x的一元一次不等式组x−14(4a−2)≤123x−12121−y2≤3−a至少有4个整数解，求符合条件的所有整数a的和．28．（2022·山东聊城·统考二模）若数a使关于x的分式方程x+2x−1+a1−x=3的解为非负数，且使关于y的不等式组y−34−y+13≥−13122(y−a)＜0的解集为y≤0，求符合条件的所有整数a的积．专题15.3 根据分式解的情况求值【典例1】若关于x的不等式组−x2≤−m2+1−2x+1≥4m−1有解，且使得关于y的分式方程1y−2−m−y2−y=2有非负整数解，求所有的整数m的和．【思路点拨】解不等式组中的不等式，根据不等式组有解，确定m的取值范围．解分式方程，用含m的代数式表示出y，根据方程有非负数解结合m的取值范围确定符合条件的m即可求解．【解题过程】解： −x2⩽−m2+1①−2x+1⩾4m−1②，解①，得 x⩾m−2，解②，得 x⩽−2m+1，因为关于x的不等式有解，∴m−2⩽−2m+1，∴m⩽1，解分式方程 1y−2−m−y2−y=2，得 y=5+m3(m≠1)，由于分式方程有非负整数解∴y≥0∴5+m3≥0解得m≥-5∴m的取值范围为-5≤m≤1又∵y是整数∴m=-5，-2，1又∵y≠2（y=2是分式方程的增根）∴m≠1∴所有的整数m的和是−5−2=−7．1．（2022秋·全国·八年级专题练习）关于x的一元一次不等式组2x−13−5x+12≥1,x+5>a有解，且使关于y的分式方程ay−2y−3=2−13−y的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ）A．8 B．5 C．3 D．2【思路点拨】解不等式组{2x−13−5x+12≥1①x+5>a② ，又因为不等式组有解，得到a＜4，由于ay−2y−3=2−13−y，    得到：y=32−a ，因为a＜4，且y≠3，且整数，得到a=3，-1；即可求解；【解题过程】解：{2x−13−5x+12≥1①x+5>a② 由①得：x≤-1，由②得：x＞a-5，因为不等式组有解，∴a-5＜x≤-1;∴a-5＜-1;∴a＜4，由ay−2y−3=2−13−y，    得ay−2y−3=2y−5y−3，得到：y=32−a，∵a＜4，且y≠3，为整数，∴a=3，-1；3+（-1）=2．故选：D2．（2022春·四川遂宁·八年级四川省遂宁市第二中学校校考期中）若数a使关于x的不等式组x−52+1≤x+135x−2a>2x+a至少有五个整数解，关于y的分式方程a−3y−1−21−y=2的解是非负整数，则满足条件的所有整数a之和是（    ）A．15 B．14 C．8 D．7【思路点拨】解不等式组，根据整数解的个数判断a的取值范围；解分式方程，用含a的式子表示y，检验增根的情况，再根据解的非负性，确定a的范围，然后根据方程的整数解，确定符合条件的整数a,相加即可.【解题过程】解：x−52+1≤x+13①5x−2a>2x+a②解不等式①，得x≤11解不等式②，得x>a∵不等式组至少有五个整数解∴a2x−1得：x2x−12x≥a−2至少有三个整数解，∴a−22≤−1，∴a≤0；y+9y−3=2−ay−9y−3去分母得：y+9=2y−3−ay−9，去括号得：y+9=2y−6−ay+9，移项得：y−2y+ay=−6+9−9，合并同类项得：a−1y=−6，∴y=−6a−1，∵关于y的分式方程y+9y−3=2−ay−9y−3有正整数解，∴−6a−1>0，∴a−1=−1或a−1=−2或a−1=−3或a−1=−6，∴a=0或a=−1或a=−2或a=−5，又∵y=−6a−1≠3，∴a≠−1∴−2+−5=−7，故选C．9．（2023春·八年级课时练习）若a使得关于x的不等式组−x3≤−a3+12−2x+1≥4a−5有解，且使得关于y的分式方程a−4y3−y−2y−3=1有非负整数解，则所有满足条件的a的值的和是（    ）A．24 B．25 C．34 D．35【思路点拨】先根据不等式组−x3≤−a3+12−2x+1≥4a−5有解，得出a的取值范围，再解分式方程a−4y3−y−2y−3=1，得出y=a−13，a≠10，再根据y为非负整数找出满足条件的a的值，最后求和即可．【解题过程】解：解不等式−x3≤−a3+12，得x≥a−36，解不等式−2x+1≥4a−5，得x≤3−2a，∵解关于x的不等式组−x3≤−a3+12−2x+1≥4a−5有解，∴ 3−2a≥a−36，解得a≤13；将分式方程a−4y3−y−2y−3=1化为整式方程，得a−4y+2=3−y，解得y=a−13，∵ 3−y≠0，∴ y=a−13≠3，解得a≠10，又∵关于y的分式方程a−4y3−y−2y−3=1有非负整数解，∴当a取13，7，4，1时，该分式方程有非负整数解，∵ 13+7+4+1=25，∴所有满足条件的a的值的和是25，故选B．10．（2022秋·北京海淀·八年级校考期末）若数a使关于x的分式方程x+2x−1+a1−x=3的解为非负数，且使关于y的不等式组2y−1≥3y−2136y−53a≤32−a的解集为y≤1，则符合条件的所有整数a的和为________．【思路点拨】分别根据关于x的分式方程x+2x−1+a1−x=3的解为非负数和关于y的不等式组2y−1≥3y−2136y−53a≤32−a的解集为y≤1，求出整数a的取值范围，进而求出满足条件的a的值，然后相加即可．【解题过程】解：原分式方程可化为：x+2x−1−ax−1=3，等式两边同乘(x−1)得：x+2−a=3(x−1)，解得：x=5−a2，由题意可知：5−a2≥0，且5−a2≠1，解得：a≤5且a≠3；解不等式组：2y−1≥3y−2136y−53a≤32−a得：y≤1y≤4a+913，∵关于y的不等式组的解集为y≤1，∴4a+913≥1，解得：a≥1，∴1≤a≤5，且a≠3；∵a为整数，∴a为1、2、4、5，∴符合条件的所有整数a的和为：1+2+4+5=12，故答案为：12．11．（2022秋·浙江宁波·八年级浙江省余姚市实验学校校考期中）若关于x的不等式组3x2−1≥x+42a−x>7无解，且关于y的分式方程3y2−y=1−a+yy−2的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为______．【思路点拨】首先根据不等式组无解求得a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为非负整数得出a为整数，a+23为非负整数，然后确定出符合条件的所有整数a，即可得出答案．【解题过程】解：3x2−1≥x+42①a−x>7②，解不等式①得：x≥3，解不等式②得：x7无解，∴a−7≤3，∴a≤10，分式方程3y2−y=1−a+yy−2去分母，得−3y=y−2−a−y，∴y=a+23，∵分式方程3y2−y=1−a+yy−2的解为非负整数，∴y≥0且y−2≠0，∴a+23≥0且a≠4，∵a为整数，a+23为非负整数，∴a=−2，1，7，10，∴整数a的和为−2+1+7+10=16．故答案为：16．12．（2022秋·全国·八年级专题练习）若整数a使关于x的不等式组2x−13x+3整理得：x≥a−1x>52，∵这个不等式组的解集为x>52，∴a−1≤52，∴a≤72，∴a的值为：0，2，3，−3，∴符合条件的所有整数a的和为：0+2+3+−3=2．故答案为：2．15．（2023春·全国·八年级专题练习）若整数a使关于x的分式方程ax−3+43−x=12的解为非负数，且使关于y的不等式组y+7≤2y+45y−a32，继而求得整数a，求其和即可求解．【解题过程】解：分式方程可得：x=2a−5，因为分式方程的解为非负数，所以2a−5≥0，解得：a≥52，由于方式方程分母为x−3，所以x≠3，即2a−5≠3，所以a≠4，解关于y的不等式组y+7≤2y+45y−a32，综上所得：7≥a>52且a≠4，则a的整数值为：3，5，6，7，因为3+5+6+7=21，故答案为：2116．（2023春·全国·八年级专题练习）若关于x的分式方程xx−2−m−12−x=3的解为正整数，且关于y的不等式组2y−m2≤51+y2＞y+26至多有五个整数解，则符合条件的所有整数m的取值之和为_____．【思路点拨】分别求出分式方程与一元一次不等式组的解，再由已知得到m+52＜4，m+52是2的倍数，由分式方程增根的情况可得到m+52≠2，结合所求的解情况即可求出满足条件的m．【解题过程】解：化简不等式组为2y−m≤56+3y＞y+2，解得：−2＜y≤m+52，∵不等式组至多有五个整数解，∴m+52＜4，∴m＜3，将分式方程的两边同时乘以x−2，得x+m−1=3x−6，解得：x=m+52，∵分式方程的解为正整数，∴m+5是2的倍数，∵m＜3，∴m=−3或m=−1或m=1，∵x≠2，∴m+52≠2，∴m≠−1，∴m=−3或m=1，∴符合条件的所有整数m的取值之和为−2，故答案为：−2．17．（2023春·全国·八年级专题练习）若关于x的一元一次不等式组x+a3≥a−x3115x+23≤35无解，且关于y的分式方程7y−1+ay1−y=−1的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是______．【思路点拨】先解不等式组，根据不等式组无解，得出a>−2，解分式方程，根据分式方程的解为正整数，得出a=2,3,4,7，求其和，即可求解．【解题过程】解：x+a3≥a−x3①115x+23≤35②解不等式①得：x≥a2解不等式②得：x≤−1∵不等式组无解∴a2>−1解得：a>−2，解分式方程7y−1+ay1−y=−1解得：y=6a−1∵y≠1或0∴a≠1或a≠7∵分式方程的解为正整数，∴6a−1>0，且a−1=1,2,3,6解得：a>1，a=2,3,4,7∵a≠7∴a=2,3,4∴2+3+4=9，故答案为：9．18．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）若关于y的不等式组3y−22≥2y+1y−a3−7，∵1−xx−3+4=a3−x1−x+4x−12=−a，3x=11−a，∴x=11−a3，∵方程的解是非负整数，∴11−a是3的倍数，∵11−a3≠3，∴a≠2，∴a的取值为−4，−1，5，8，11，∴所有满足条件的整数a的值之和是19．故答案为：19．19．（2023春·全国·八年级专题练习）若关于x的不等式组x−42>4x−a5x≥3x−1最多有2个整数解，且关于y的分式方程3a2y−3−12=3y−3的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是______．【思路点拨】先解不等式组，再根据不等式组最多有2个整数解求得a的取值范围，再解分式方程，根据方程的解为非负数求出a的取值范围，进一步求解即可．【解题过程】解：解不等式组x−42>4x−a5x≥3x−1得−32≤x