人教版（2024）八年级上册12.1 全等三角形巩固练习

这是一份人教版（2024）八年级上册12.1 全等三角形巩固练习，共31页。
1．（23-24八年级上·陕西延安·期末）如图，AB=CD，BF=CE，AE=DF．求证：△ABE≌△DCF．
2．（23-24八年级上·广西桂林·期末）如图，AB=DC，AC=DB，AC与BD相交于点O．

（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）若∠ACB=40°，求∠DOC的度数．
3．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．AC与DE交于点G，
（1）求证△ABC≌△DEF；
（2）若∠B=50°，∠ACB=60°，求∠EGC的度数．
4．（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，试猜想：
（1）∠BAD与∠CAD的大小关系；
（2）AD与BC的位置关系．并证明你的结论．
5．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB=CD,AE=DF,CE=BF．
（1）求证：△AEC≌△DFB；
（2）求证：AE∥DF；
（3）若C是边BD的中点，且AC=2，将△AEC向右平移，点A的对应点A'与点D重合，则平移的距离为________．
【题型二：“SAS”】
6．（23-24八年级上·河南三门峡·阶段练习）如图，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，求证：△ABC≌△ADE．
7．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AC∥DF．
8．（23-24八年级上·重庆江津·期末）如图，C为线段BE上一点，AB∥DC，AB=EC，BC=CD．
（1）求证：△ABC≌△ECD；
（2）若∠B=35°，∠D=25°，求∠ACD的度数．
9．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图：已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1=30°，∠2=40°，求∠3的度数．
10．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF=ED，连CF．
（1）求证：CF∥AB
（2）若∠A=70°，∠F=35°，BE⊥AC，求∠BED的度数．
【题型三：“ASA”】
11．（23-24九年级下·云南玉溪·阶段练习）已知：如图，AB∥ED，EF∥BC，点F、点C在AD上，AF=DC．求证：△ABC≌△DEF．

12．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在△ABC中，AB>AC，点D在边AB上，且BD=CA，过点D作DE∥AC交BC于点F，连接BE，且∠DFB=∠ABE，求证：△ABC≌△DEB．
13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图， ∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2．求证：△AEC≌△BED
14．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）若AE=13，AF=7，试求DE的长．
15．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，AD=AE,CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D,E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AC=12,CD=8,BC=10，求BC边上的高的长度．
【题型四：“AAS”】
16．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，点E，C在线段BF上，∠A=∠D，AB∥DE，BC=EF．求证：△ABC≌△DEF．
17．（23-24八年级下·广西柳州·开学考试）如图，已知A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠1=∠2，AF=CE．
求证：△ABE≌△CDF．
18．（2024·四川达州·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE⊥AF于点E，AD=BE，求证△BEA≌△ADF．
19．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠1=∠2，AB=EC．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若∠1=20°，∠ADB=25°，求∠DEC的度数．
20．（23-24八年级下·福建三明·期中）如图，在△ABC中，∠B=80°，将AB沿射线BC的方向平移至A'B'，连接AA'，设A'B'与AC的交点为O．
（1）若B'为BC的中点，求证：△AOA'≌△COB'；
（2）若AC平分∠BAA'，求∠C的度数．
【题型五：“HL”】
21．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，AB=CD，AF=CE，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．
22．（23-24八年级上·广西贺州·期末）如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AF=DE，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE
23．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，且CD=C'D'，求证：△ABC≌△A'B'C'．
24．（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上，CA⊥AB，DB⊥AB，AE=FB，CF=DE

（1）求证：△CAF≌△DBE；
（2）若∠AFC=25°，求∠D的度数
25．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=10,BC=5，线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP的长为何值时，△ABC与△PQA全等？
专题12.4 全等三角形的判定（五大题型）
【题型一：“SSS”】
1．（23-24八年级上·陕西延安·期末）如图，AB=CD，BF=CE，AE=DF．求证：△ABE≌△DCF．
【思路点拨】
本题主要考查三角形全等的证明．由BF=CE可得BE=CF，从而通过“SSS”即可证明△ABE≌△DCF．
【解题过程】
解：∵BF=CE，
∴BF−EF=CE−EF，即BE=CF．
在△ABE和△DCF中，
AB=DCAE=DFBE=CF，
∴ △ABE≌△DCFSSS．
2．（23-24八年级上·广西桂林·期末）如图，AB=DC，AC=DB，AC与BD相交于点O．

（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）若∠ACB=40°，求∠DOC的度数．
【思路点拨】
本题考查了判定两个三角形全等，三角形外角的定义：
（1）根据三个边长对应相等可得到两个三角形全等；
（2）根据两个三角形全等得到对应角相等，再根据三角形外角的定义可求得结果；
找到角度之间的关系是解题的关键．
【解题过程】
（1）证明：在△ABC和△DCB中，
AB=DCAC=DBBC=CB，
∴△ABC≌△DCB （SSS）；
（2）解：由（1）可得△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=DBC=40°，
∵∠DOC是△BOC的一个外角，
∴∠DOC=∠ACB+∠DBC=40°+40°=80°，
∴∠DOC的度数为80°．
3．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．AC与DE交于点G，
（1）求证△ABC≌△DEF；
（2）若∠B=50°，∠ACB=60°，求∠EGC的度数．
【思路点拨】
（1）由BE=CF，可得BC=EF，利用SSS即可证明△ABC≌△DEF；
（2）如图，由（1）知，△ABC≌△DEF，则∠B=∠DEF，得到AB∥DE，进而推导出∠EGC=∠A，由三角形内角和定理可得∠A=180°−∠B−∠ACB=70°，即可求解；
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【解题过程】
（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
∵AB=DEBC=EFAC=DF，
∴△ABC≌△DEFSSS；
（2）解：如图，
由（1）知，△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE，
∴∠EGC=∠A，
∵∠B=50°，∠ACB=60°，
∴∠A=180°−∠B−∠ACB=70°，
∴∠EGC=70°．
4．（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，试猜想：
（1）∠BAD与∠CAD的大小关系；
（2）AD与BC的位置关系．并证明你的结论．
【思路点拨】
（1）本题考查三角形中线的性质和三角形全等的判定与性质，灵活利用三角形全等判定，即可解题．
（2）本题考查利用三角形全等的性质，再结合邻补角互补即可证明该题．
【解题过程】
（1）解：∠BAD=∠CAD，理由如下：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD与△ACD中，
AB=ACAD=ADBD=CD
∴△ABD≌△ACDSSS，
∴∠BAD=∠CAD．
（2）AD⊥BC，理由如下：
证明：∵△ABD≌△ACD（已证），
∴∠ADB=∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC．
5．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB=CD,AE=DF,CE=BF．
（1）求证：△AEC≌△DFB；
（2）求证：AE∥DF；
（3）若C是边BD的中点，且AC=2，将△AEC向右平移，点A的对应点A'与点D重合，则平移的距离为________．
【思路点拨】
本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，平移，熟练掌握三角形的判定是解题的关键．
（1）根据AB=CD得到AB+BC=CD+BC即AC=BD证明即可．
（2）根据△AEC≌△DFB得到∠A=∠D,证明即可．
（3）根据△AEC≌△DFB得到BD=AC=2，结合C是边BD的中点，得到BC=CD=12BD=1，平移距离AD=AC+CD=2+1=3，计算即可．
【解题过程】
（1）证明：∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
∴AC=BD，
又∵AE=DF，CE=BF，
AE=DFCE=BFAC=BD,
∴△AEC≌△DFBSSS．
（2）∵△AEC≌△DFB，
∴∠A=∠D，
∴AE∥DF．
（3）∵△AEC≌△DFB，AC=2，
∴BD=AC=2，
∵C是边BD的中点，
∴BC=CD=12BD=1，
∴平移距离AD=AC+CD=2+1=3，
故答案为：3．
【题型二：“SAS”】
6．（23-24八年级上·河南三门峡·阶段练习）如图，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，求证：△ABC≌△ADE．
【思路点拨】
本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定即可得解，根据∠BAD=∠CAE，得∠BAC=∠DAE，利用全等三角形的判定即可得证．
【解题过程】
证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADC中，
AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE，
∴△ABC≌△ADESAS
7．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AC∥DF．
【思路点拨】
本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）由题意易得BC=EF，然后根据“SAS”可判定全等；
（2）根据全等三角形的性质可进行求证．
【解题过程】
（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠B=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEFSAS；
（2）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴AC∥DF．
8．（23-24八年级上·重庆江津·期末）如图，C为线段BE上一点，AB∥DC，AB=EC，BC=CD．
（1）求证：△ABC≌△ECD；
（2）若∠B=35°，∠D=25°，求∠ACD的度数．
【思路点拨】
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由AB∥DC，可得∠B=∠DCE．证明△ABC≌△ECDSAS即可；
（2）由△ABC≌△ECD，可得∠DCE=∠B=35°，∠ACB=∠D=25°，根据∠ACD=180°−∠DCE−∠ACB，计算求解即可．
【解题过程】
（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠B=∠DCE．
在△ABC和△ECD中，
∵AB=EC∠B=∠DCEBC=CD，
∴△ABC≌△ECDSAS；
（2）解：由（1）得△ABC≌△ECD，
又∵∠B=35°，∠D=25°
∴∠DCE=∠B=35°，∠ACB=∠D=25°，
∴∠ACD=180°−∠DCE−∠ACB=120°，
∴∠ACD的度数为120°．
9．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图：已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1=30°，∠2=40°，求∠3的度数．
【思路点拨】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，
（1）根据SAS证明三角形全等即可；
（2）由两三角形全等，可得∠ABD=∠2，∠BAD=∠1，再由三角形的外角性质即可解答．
【解题过程】
（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
又∵∠BAC=∠BAD+∠CAD，∠DAE=∠EAC+∠CAD，
∴∠BAD=∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
（2）解：∵△ABD≌△ACE
∴∠ABD=∠2，∠BAD=∠1，
又∵∠3=∠ABD+∠BAD，
∴∠3=∠1+∠2=30°+40°=70°．
10．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF=ED，连CF．
（1）求证：CF∥AB
（2）若∠A=70°，∠F=35°，BE⊥AC，求∠BED的度数．
【思路点拨】
（1）求出△AED≌△CEF，根据全等三角形的性质得出∠A=∠ACF，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据（1）求出∠A=∠ACF，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
【解题过程】
（1）证明：∵E为AC中点，
∴AE=CE，
在△AED和△CEF中，
AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△AED≌△CEF(SAS)，
∴∠A=∠ACF，
∴CF∥AB；
（2）解：∵∠A=∠ACF=70°，∠F=35°，
∴∠AED=∠CEF=180°−70°−35°=75°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BED=90°−75°=15°．
【题型三：“ASA”】
11．（23-24九年级下·云南玉溪·阶段练习）已知：如图，AB∥ED，EF∥BC，点F、点C在AD上，AF=DC．求证：△ABC≌△DEF．

【思路点拨】
本题考查全等三角形的判定，根据平行线的性质得到∠A=∠D，∠EFD=∠ACB，再证明AC=DF，由“ASA”可证△ABC≌△DEF．
【解题过程】
证明：∵AB∥DE，EF∥BC，
∴∠A=∠D，∠EFD=∠ACB，
∵AF=CD，
∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF，
在△ABC和△DEF中，
∠ACB=∠EFDAC=DF∠A=∠D，
∴△ABC≌△DEFASA．
12．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在△ABC中，AB>AC，点D在边AB上，且BD=CA，过点D作DE∥AC交BC于点F，连接BE，且∠DFB=∠ABE，求证：△ABC≌△DEB．
【思路点拨】
本题考查全等三角形的判定，关键是由平行线的性质推出∠A=∠BDE，∠C=∠DBE，掌握全等三角形的判定方法“ASA”是解题的关键．
由平行线的性质推出∠A=∠BDE，∠C=∠BFD，而∠DFB=∠ABE，得到∠C=∠DBE，由ASA推出△ABC≌△DEB．
【解题过程】
证明：∵DE∥AC，
∴∠A=∠BDE，∠C=∠BFD，
∵∠DFB=∠ABE，
∴∠C=∠DBE，
在△ABC和△DEB中，
∠C=∠DBEAC=BD∠A=∠BDE，
∴△ABC≌△DEB(ASA)．
13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图， ∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2．求证：△AEC≌△BED
【思路点拨】
先证明∠BEO=∠2，则可得∠AEC=∠BED，然后根据ASA即可证明△AEC≌△BED．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【解题过程】
证明：如图，设AE和BD相交于点O，
则∠AOD=∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A=∠B，
∴∠BEO=∠2．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，
∠A=∠BAE=BE∠AEC=∠BED，
∴△AEC≌△BED(ASA)．
14．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）若AE=13，AF=7，试求DE的长．
【思路点拨】
本题考查了全等三角形的判定和性质；
（1）利用中点性质可得BD=CD，由平行线性质可得∠DBE=∠DCF，再由对顶角相等可得∠BDE=∠CDF，即可证得结论；
（2）由题意可得EF=AE−AF=6，再由全等三角形性质可得DE=DF，即可求得答案．
【解题过程】
（1）∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵BE∥CF，
∴∠DBE=∠DCF，
在△BDE和△CD中，
∠DBE=∠DCFBD=CD∠BDE=∠CDF，
∴△BDE≌△CDFASA；
（2）∵AE=13，AF=7，
∴EF=AE−AF=13−7=6，
∵△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，
∵DE+DF=EF=6，
∴DE=3．
15．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，AD=AE,CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D,E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AC=12,CD=8,BC=10，求BC边上的高的长度．
【思路点拨】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等面积法等知识点，关键是选择恰当的判定条件判定三角形全等成为解题的关键．
（1）利用“ASA”即可证明结论；
（2）由全等三角形的性质得到AB=AC=12，再利用等面积法求解即．
【解题过程】
（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
在△ABE和△ADC中，
∠A=∠AAD=AE∠ADC=∠AEB=90°，
∴△ABE≌△ACDASA．
（2）解：∵△ABE≌△ACD，
∴AB=AC=12，
设BC边上的高的长度为ℎ，
∵12AB⋅CD=12BC⋅ℎ
∴12×12×8=12×10ℎ，
解得：ℎ=485，
∴BC边上的高的长度为485．
【题型四：“AAS”】
16．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，点E，C在线段BF上，∠A=∠D，AB∥DE，BC=EF．求证：△ABC≌△DEF．
【思路点拨】
本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定方法，根据平行线的性质可得∠B=∠DEF，再利用AAS即可证明△ABC≌△DEF，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
【解题过程】
证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
∠A=∠D∠B=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEFAAS．
17．（23-24八年级下·广西柳州·开学考试）如图，已知A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠1=∠2，AF=CE．
求证：△ABE≌△CDF．
【思路点拨】
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，由AB∥CD，得∠BAE=∠DCF，再根据AF+EF=CE+EF得AE=CF，最后由AAS证明全等即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【解题过程】
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，
∴AE=CF
在△ABE和△CDF中，
∠BAE=∠DCF∠1=∠2AE=CF，
∴△ABE≌△CDFAAS．
18．（2024·四川达州·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE⊥AF于点E，AD=BE，求证△BEA≌△ADF．
【思路点拨】
本题主要考查全等三角形的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据题意证明∠ABE=∠FAD，根据AAS即可得到答案．
【解题过程】
证明：∵AB∥CD，
∴∠DAB+∠D=180°，
∵∠D=90°，
∴∠DAB=90°，
∵BE⊥AF，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°−∠BAE=∠FAD，
在△BEA和△ADF中，
∠ABE=∠FAD∠AEB=∠D=90°BE=AD，
∴△BEA≌△ADF(AAS)．
19．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠1=∠2，AB=EC．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若∠1=20°，∠ADB=25°，求∠DEC的度数．
【思路点拨】
（1）由AD∥BC，得∠ADB=∠CBE，再根据“AAS”可证明△ABD≌△ECB；
（2）由AD∥BC，得∠DBC=∠ADB=25°，再根据三角形外角的性质可得出答案；
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【解题过程】
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBE，
在△ABD和△ECB中，
∠ADB=∠CBE∠1=∠2AB=EC，
∴△ABD≌△ECBAAS；
（2）∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=25°，
∵∠2=∠1=20°，∠DBC=25°，
∴∠DEC=∠DBC+∠2=25°+20°=45°．
20．（23-24八年级下·福建三明·期中）如图，在△ABC中，∠B=80°，将AB沿射线BC的方向平移至A'B'，连接AA'，设A'B'与AC的交点为O．
（1）若B'为BC的中点，求证：△AOA'≌△COB'；
（2）若AC平分∠BAA'，求∠C的度数．
【思路点拨】
此题考查了平移的性质和全等三角形的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，掌握平移性质是解答的关键．
（1）根据平移性质得到AA'∥BB'，AA'=BB'，从而得到∠OAA'=∠C，再根据B'为BC的中点，得到AA'=B'C，从而证明结论；
（2）根据AC平分∠BAA'，得到∠BAC=∠OAA'，从而证明∠BAC=∠C．再根据三角形内角和定理以及∠B=80°，即可求解．
【解题过程】
（1）证明：∵A'B'由AB沿射线BC的方向平移所得，
∴AA'∥BB'，AA'=BB'，
∴∠OAA'=∠C，
∵B'为BC的中点，
∴BB'=B'C，
∴AA'=B'C．
在△AOA'和△COB'中，
∠OAA'=∠C∠AOA'=∠COB'AA'=B'C，
∴△AOA'≌△COB'AAS；
（2）解：∵AC平分∠BAA'，
∴∠BAC=∠OAA'，
又∵∠OAA'=∠C，
∴∠BAC=∠C．
∵∠BAC+∠C+∠B=180°，∠B=80°，
∴∠C=12×180°−80°=50°．
【题型五：“HL”】
21．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，AB=CD，AF=CE，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．
【思路点拨】
本题主要考查了用HL证明三角形全等，先由垂直得出∠AEB=∠CFD=90°，再由线段的和差关系即可得出AE=CF，则可用HL证明Rt△ABE≌Rt△CDF．
【解题过程】
证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°．
∵AF=CE，AF=AE+EF，CE=CF+EF，
∴AE=CF．
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
AB=CD，AE=CF，
∴Rt△ABE≌Rt△CDFHL．
22．（23-24八年级上·广西贺州·期末）如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AF=DE，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE
【思路点拨】
由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE=CF通过等量代换得到BF=CE．
【解题过程】
证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
BF=CEAF=DE，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．
23．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，且CD=C'D'，求证：△ABC≌△A'B'C'．
【思路点拨】
本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明CB=C'B'，再利用HL即可证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．
【解题过程】
证明：∵AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，
∴CB=2CD，C'B'=2C'D'，
∵CD=C'D'，
∴CB=C'B'，
在Rt△ABC和Rt△△A'B'C'中，
AB=A'B'BC=B'C'，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'HL．
24．（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上，CA⊥AB，DB⊥AB，AE=FB，CF=DE

（1）求证：△CAF≌△DBE；
（2）若∠AFC=25°，求∠D的度数
【思路点拨】
本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理：
（1）先证AF=BE，再证△CAF≌△DBEHL即可；
（2）根据△CAF≌△DBE可得∠BED=∠AFC=25°，再根据三角形内角和定理即可求解．
【解题过程】
（1）证明：∵ CA⊥AB，DB⊥AB，
∴ △CAF和△DBE是直角三角形，
∵ AE=FB，
∴ AE+EF=FB+EF，即AF=BE，
在Rt△CAF和Rt△DBE中，
AF=BECF=DE，
∴ △CAF≌△DBEHL；
（2）解：∵ △CAF≌△DBE，
∴ ∠BED=∠AFC=25°，
∵ DB⊥AB，
∴ ∠B=90°，
∴ ∠D=180°−∠B−∠BED=180°−90°−25°=65°．
25．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=10,BC=5，线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP的长为何值时，△ABC与△PQA全等？
【思路点拨】
本题考查全等三角形的判定，分AP=BC和AP=AC两种情况，进行讨论求解即可．
【解题过程】
解：∵AO⊥AC，
∴∠PAQ=90°=∠C，
当AP=BC=5时：
∵AP=BC=5，PQ=AB，
∴△ACB≌△QAPHL；
当AP=AC=10时：
∵AP=AC=10，PQ=AB，
∴△ACB≌△PAQHL；
综上：当AP的长为5或10时，△ABC和△PQA全等．