初中数学人教版（2024）八年级上册13.3.1 等腰三角形习题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册13.3.1 等腰三角形习题，共66页。试卷主要包含了等腰三角形等内容，欢迎下载使用。
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。
知识点总结
一、等腰三角形
1．定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形．
2．等腰三角形性质：
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）．特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°．
3．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）．
典例分析

【典例1】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D为△ABC内部一点，连接CD，AD，BD．
（1）如图1，若AD=AC，CD=8，求点B到直线CD的距离；
（2）如图2，以CD为直角边作等腰直角△CDE，DE=DC，线段EC，AD交于点F，若∠DCB=∠ABD，求证：AF=DF；
（3）如图3，点Q在AB边上，且AQ=AC，点M为直线AC上的一个动点，连接MQ，过点Q作NQ⊥MQ，且满足NQ=MQ，连接BN，当BN最短时，请直接写出∠CMQ的度数．
【思路点拨】
（1）过点A作AH⊥CD于H，过点B作BG⊥CD于G，可证得△ACH≌△CBG(AAS)，得出BG=CH，再由等腰三角形性质可得CH=12CD=4；
（2）延长BD交CE于点L，过点A作AS⊥CE于点S，可证得△ACS≌△CBL(AAS)，进而可证△AFS≌△DFL(AAS)，即可证得结论；
（3）作点C关于AB的对称点P，连接AP、CP，CP交AB于点O，过点Q作QW⊥AB交AC的延长线于点W，连接AN，可证得△QWM≌△QAN(SAS)，得出∠QAN=∠W=45°，即点N在直线AP上运动，当且仅当BN⊥AP时，BN最短，即点N与点P重合，作点C关于AB的对称点P，连接CQ，则QP=QC，即QN=QC，再利用等腰三角形性质即可求得答案．
【解题过程】
（1）解：过点A作AH⊥CD于H，过点B作BG⊥CD于G，如图1，
则∠AHC=∠CGB=90°，
∴∠ACH+∠CAH=90°，
∵∠ACH+∠BCG=∠ACB=90°，
∴∠CAH=∠BCG，
在△ACH和△CBG中，
∠AHC=∠CGB∠CAH=∠BCGAC=BC，
∴△ACH≌△CBG(AAS)，
∴BG=CH，
∵AD=AC，AH⊥CD，
∴CH=DH=12CD=4，
∴BG=4，
即点B到直线CD的距离为4；
（2）证明：延长BD交CE于点L，过点A作AS⊥CE于点S，
则∠ASC=90°，
∵△CDE是等腰直角三角形，DE=DC，
∴∠DCE=∠DEC=45°，
∵∠ABD+∠CBD=∠ABC=45°，∠DCB=∠ABD，
∴∠DCB+∠CBD=45°，
∴∠DCB+∠CBD+∠DCE=90°，
∴∠BLC=180°−90°=90°，
∴∠ASC=∠BLC，
∴∠ACS+∠CAS=90°，
∵∠ACS+∠BCL=∠ACB=90°，
∴∠CAS=∠BCL，
在△ACS和△CBL中，
∠ASC=∠BLC∠CAS=∠BCLAC=BC，
∴△ACS≌△CBL(AAS)，
∴AS=CL，
∵∠DCE=45°，∠CLD=90°，
∴∠CDL=90°−45°=45°=∠DCE，
∴CL=DL，
∴AS=DL，
在△AFS和△DFL中，
∠ASF=∠DLF=90°∠AFS=DFLAS=DL，
∴△AFS≌△DFL(AAS)，
∴AF=DF；
（3）解：如图3，作点C关于AB的对称点P，连接AP、CP，CP交AB于点O，过点Q作QW⊥AB交AC的延长线于点W，连接AN，
则∠AQW=90°，∠BAP=∠BAC，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BAC=45°，
∴∠W=90°−45°=45°=∠BAC，
∴QA=QW，
∵NQ⊥MQ，且满足NQ=MQ，
∴∠AQM+∠MQW=∠AQM+∠NQA=90°，
∴∠MQW=∠NQA，
在△QWM和△QAN中，
QW=QA∠MQW=∠NQAQM=QN，
∴△QWM≌△QAN(SAS)，
∴∠QAN=∠W=45°，
即点N在直线AP上运动，
当且仅当BN⊥AP时，BN最短，即点N与点P重合，
如图4，连接CQ，
则QP=QC，即QN=QC，
∵QM=QN，
∴QC=QM，
∵AQ=AC，
∴∠ACQ=∠AQC=12180°−45°=67.5°，
∵QM=QC，
∴∠CMQ=∠ACQ=67.5°．
学霸必刷
1．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，△ABC是等腰三角形AB=AC≠BC，在△ABC所在平面内有一点P，且使得△ABP，△ACP，△BCP均为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）

A．1个B．4个C．5个D．6个
2．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，∠CAB=∠DAE=36°，△ADE和△ABC均为等腰三角形，其中AB=AC，AD=AE．连接BE并延长交AC，AD于点F，G，连接CD．若BE平分∠ABC，则下列选项中不正确的是（ ）
A．∠DAC=∠EABB．CD∥ABC．AF=CFD．AF=BF
3．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知△ABC为等腰三角形，AB=AC，点F为AC上一点，点D为BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果∠ABC=2∠D,∠CAD=∠BAC,BE=CF，那么下列说法中，正确的个数有（ ）
（1）EG=FG，（2）AD=AB+BC，（3）∠E=∠D，（4）点G到AB，AC的距离之和为定值．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M；以下五个结论：①△ADC≌△AEB；②∠AEG=∠CDB；③△EGM是等腰三角形；④BG=AF+FG；恒成立的结论有（ ）
A．①②③④B．①③C．②③④D．①②④
5．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）问题背景：已知，在△ABC中，AB=AC，如果过某一顶点的直线可以将△ABC分割成两个等腰三角形，求∠A的大小．
某数学学习小组的成员在自主探究后得出如下结果：①∠A=36°，②∠A=90°，③∠A=108°，④∠A=180°7，你认为其中正确的结果有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如下图，在等腰△ABC中，∠A=90°,BD平分∠ABC，BE平分∠DBC,M、N分别为射线BE、BC上的动点，若BD=10，则CM+MN的最小值为 ．
7．（2024·四川达州·一模）如图，△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠CEF=90°，点E在AC边上．将△CEF绕点C逆时针旋转α(0°a>0），求线段CG的长度．
【思路点拨】
（1）结合条件中角的关系，由三角形外角的性质，得∠ABC=∠ECD，证出△ABC≌△DCE，得BC=CE，即可证明结论；
（2）同（1）证出△ABC≌△DCE，由翻折得CE'=CB，结合BE'∥ED易得∠CFE'=∠DEC=90°，即CF⊥BE'，由三线合一得F是BE'的中点；
（3）先利用折叠的性质，证明△BGC≌△MGC，易得CE=CB=CM，利用三角形内角和可得∠BEM=∠CED，由角的转化得到∠BEC=∠GED，最后证明△BCE≌△GDE，进而求得CG=CD−GD=b−a．
【解题过程】
（1）证明：∵∠ABC+∠A=∠BCD，∠BCE+∠ECD=∠BCD，∠A=∠BCE，
∴∠ABC=∠ECD，
在△ABC与△DCE中，
∠ABC=∠DCEAB=DC∠A=∠D，
∴△ABC≌△DCEASA，
∴BC=CE，
∴△BCE是等腰三角形；
（2）证明：由（1）可得△ABC≌△DCEASA，
∴BC=CE，∠ACB=∠DEC=90°，
如图，连接CE'，

∵将DE沿直线CD翻折得到DE'，
∴CE=CE'=CB，
∵BE'∥ED，
∴∠CFE'=∠DEC=90°，即CF⊥BE'．
由三线合一，得：F是BE'的中点；
（3）解：如图，连接EG，并延长EG交BC于点M，

根据折叠的性质，则∠DGE=∠DGE'，
∵∠DGE=∠CGM，∠DGE'=∠BGC，
∴∠BGC=∠CGM，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠BCG=∠MCG=90°，
在△BGC与△CGM中，
∠BGC=∠CGMCG=CG∠BCG=∠MCG
∴△BGC≌△MGCASA，
∴BC=CM，
由（2）知，△ABC≌△DCE，
∴BC=CE，∠ACB=∠DEC=90°，
∴CE=CB=CM，
∴∠CBE=∠CEB，∠CEM=∠CME，
∴∠BEM=∠CEB+∠CEM=12∠CBE+∠CEB+∠CEM+∠CME=12×180°=90°，
∴∠BEM=∠CED，
∴∠BEM−∠CEM=∠CED−∠CEM，
∴∠BEC=∠GED，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠EDC=∠A=45°，
∴∠ECD=∠EDC，CE=DE，
在△BCE与△GDE中，
∠CEB=∠MEDCE=DE∠BCE=∠EDG，
∴△BCE≌△GDEASA，
BC=GD=AC=a，
CD=AB=b，
CG=CD−GD=b−a．
15．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以AB和AC为腰的等腰三角形ABC，从特殊情形到一般情形进行如下探究：
【独立思考】（1）如图1，∠BAC=60°，即△ABC为等边三角形ABC，D，E分别是BC，AC上的点，且AE=CD．
①求证：AD=BE；
②求∠AFB的度数；
【实践探究】（2）如图2，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上的点，过点B作BE⊥AD于点E．若CD=AC，猜想线段BE和AD的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】（3）如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=80°，D，E分别是BC，AC上的点，且AE=CD，当AD+BE的值最小时，求∠ADC的度数．
【思路点拨】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等：
（1）①先由等边对等角和三角形内角和定理得到∠ACB60°=∠BAC，再证明△ABE≌△CADSAS，即可证明BE=AD；②由全等三角形的性质得到∠ABE=∠CAD，则可推出∠BAD+∠ABE=60° ，即可得到∠AFB=120°；
（2）如图所示，过点C作CM⊥AD于点M，则∠AMC=90°，由三线合一定理得到AM=12AD，再证明△ABE≌△CAMΑAS，得到BE=AM，即可得到BE=12AD．
（3）如图所示，在BC下方，过点C作∠BCP=80°，且CP=AB，连接DP．证明△ABE≌△CPDSAS，得到BE=PD，则当A，D，P三点共线时，AD+PD的值最小，即AD+BE的值最小，求出∠ACB=50°，得到∠ACP=130°，再由AB=AC=CP，得到∠CAP=25°，即可求出∠ADC=105°．
【解题过程】
（1）①证明：∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠ABC=∠ACB=180°−∠BAC=60°=∠BAC，
∵AE=CD，
∴△ABE≌△CADSAS，
∴BE=AD；
②解：由①可知△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD=60°，
∴∠BAD+∠ABE=60° ，
∴∠AFB=120°；
（2）解：BE=12AD，理由如下：
如图所示，过点C作CM⊥AD于点M，则∠AMC=90°，
∵CD=AC，
∴AM=12AD，
∵∠BAC=90°，∠AMC=90°，
∴∠BAE+∠DAC=90°，∠DAC+∠ACM=90°，
∴∠BAE=∠ACM，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°．
∴∠AEB=∠AMC，
∵AB=AC，
∴△ABE≌△CAMΑAS，
∴BE=AM，
∴BE=12AD．
（3）解：如图所示，在BC下方，过点C作∠BCP=80°，且CP=AB，连接DP．
∵AE=CD，∠BAE=∠PCD=80°,
∴△ABE≌△CPDSAS，
∴BE=PD，
∴AD+BE=AD+PD
当AD+PD的值最小时，即AD+BE的值最小，
∴当A，D，P三点共线时，AD+PD的值最小，即AD+BE的值最小，
∵AB=AC，∠BAC=80°，
∴∠ACB=50°，
∴∠ACP=130°，
∵AB=AC=CP，
∴∠CAP=180°−130°2=25°，
∴∠ADC=180°−50°−25°=105°．
16．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，C为线段AB上一点，分别以AC，BC为底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE，在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接BF，DE.

（1）如图1，判断DE与BF的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若∠A=α，延长BF交DE于点G，探究∠BGE与∠GBC的关系，并说明理由.
【思路点拨】
（1）根据等边对等角和已知条件推出∠DCA=∠CBE，则可证明CD∥BE，推出∠DCE=∠BEF，利用SAS证明△DCE≌△FEB即可得到结论；
（2）由全等三角形的判定得到△DCE≌△FEB，由等边对等角得到∠ECB=∠EBC=α，则∠EBF=α−∠GBC，由三角形内角和定理得到∠GEF+∠FGE=∠FBC+∠FCB，则∠FGE+α−∠GBC=∠GBC+α，即可推出∠BGE=2∠GBC．
【解题过程】
（1）解：DE=BF，理由如下：
∵等腰△ACD和等腰△BCE中，AC和BC是底边，
∴ DA=DC，EC=EB，
∴ ∠A=∠DCA，
∵ ∠A=∠CBE，
∴ ∠CBE=∠DCA，
∴ DC∥BE，
∴ ∠DCE=∠FEB，
∵ DA=DC，EF=AD，
∴ CD=EF，
在△DCE和△FEB中，
CD=EF∠DCE=∠FEBEC=BE，
∴ △DCE≌△FEBSAS，
∴ DE=BF；
（2）解：∠BGE=2∠GBC，理由如下：
∵ △DCE≌△FEB，
∴ ∠CED=∠EBF，
∵ EC=EB，∠A=∠CBE=α，
∴ ∠ECB=∠EBC=α，
∴ ∠EBF=α−∠GBC，
∵ ∠GFE+∠GEF+∠FGE=180°，∠CFB+∠FBC+∠FCB=180°，∠CFB=∠GFE，
∴ ∠GEF+∠FGE=∠FBC+∠FCB，
∴ ∠EBF+∠FGE=∠FBC+∠FCB，
∴ α−∠GBC+∠FGE=∠GBC+α，
∴ ∠FGE=2∠GBC，
即∠BGE=2∠GBC．
17．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是△ABC的角平分线．

（1）直接写出∠ADC的大小；
（2）求证：AC+CD=AB；
（3）E在BC上，过点E作AD垂线，垂足为点G，延长EG交AC的延长线于点F．
①如图2，若E是BD的中点，求证：BD=2CF；
②如图3，若E是BC的中点，直接写出三条线段AB，BD，CF之间的数量关系．
【思路点拨】
（1）根据等边对等角得到∠CAB=45°，再根据角平分线得到∠CAD的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余解题即可；
（2）过点D作DM⊥AB，垂足为点M，证明Rt△ADC≌Rt△ADMHL，即可得到AC=AM，然后解题即可；
（3）①过点D作DM⊥AB，垂足为点M，连接ME，延长FE交AB于点N，则可得到AF=AN，借助（2）得到AC=AM，DM=BM，然后推导出MN=ME=DE，可以证明结论；②延长FE至点K，使得EK=FE，EK交AB于点N，连接BK，则有△CEF≌△BEKSAS，然后证得CD=2CF，由（2）的结论推导出结果即可．
【解题过程】
（1）解：∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=12∠CAB=12×45°=22.5°，
∴∠ADC=90°−∠CAD=90°−22.5°=67.5°，
故答案为：67.5°．
（2）证明：过点D作DM⊥AB，垂足为点M，
∴∠AMD=∠DMB=90°，
∵AD平分∠BAC，∠C=90，
∴CD=DM．
在Rt△ADC和Rt△ADM中，
AD=ADCD=MD，
∴Rt△ADC≌Rt△ADMHL，
∴AC=AM．
∵AC=BC，∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠BDM=∠B=45°，
∴DM=BM，
∴CD=MB．
∵AM+MB=AB，
∴AC+CD=AB．
（3）①证明：①证明：过点D作DM⊥AB，垂足为点M，连接ME，延长FE交AB于点N，
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAG=∠BAG=12∠CAB=22.5°．
∵AG⊥FN，
∴∠AGF=∠AGN=90°
∴∠F=180°−∠AGF−∠FAG=67.5°，∠ANG=180°−∠AGN−∠NAG=67.5°，
∴∠F=∠ANG，
∴AF=AN．
由（2）得AC=AM，DM=BM，
∴AF−AC=AN−AM，即CF=MN，
∵点E为BD中点，DM=BM，
∴∠DME=∠EMB=12∠DMB=45°，BD=2DE，
∴∠MEN=180°−∠EMN−∠MNE=67.5°，∠DME=∠EDM，
∴∠MEN=∠MNE，ME=DE，
∴MN=ME=DE，
∴CF=DE，
∴BD=2CF．
②4CF+BD=AB．
延长FE至点K，使得EK=FE，EK交AB于点N，连接BK．
又∵CE=BE，∠CEF=∠BEK，
∴△CEF≌△BEKSAS，
∴CF=BK，∠F=∠K，
∴∠F=∠K=∠ANF=∠KNB．
∴AF=AN，BN=BK，又AM=AC，
∴MN=CF=KB=NB，
∴MB=2MN=2CF，
∴CD=2CF．
由（2）得AC+CD=AB，
∴BC+2CF=AB，
∴CD+BD+2CF=AB，
∴4CF+BD=AB．
18．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图1，△ACB为等腰三角形，∠ABC=90°，点P在射线BC上（不与点B，点C重合），以AP为腰长作等腰Rt△PAQ，QE⊥AB于点E．

（1）当点P在线段BC上（不与点B，点C重合），求证：△PAB≌△AQE；
（2）在（1）的条件下，连接CQ交AB于点M，若PC=2PB，求PCMB的值；
（3）如图2，过点Q作QF⊥AQ于直线AB于点F，过点P作DP⊥AP交直线AC于点D，连接DF．则点P在运动过程中，线段DF、QF与DP有怎样的数量关系？请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据题目中的信息可以得到AQ=AP，∠QEA与∠ABP之间的关系，∠QAE与∠APB之间的关系，从而可以解答本题；
（2）由第一问中的两个三角形全等，可以得到各边之间的关系，然后根据题目中的信息找到PC与MB的关系，从而可以解答本题；
（3）分情况讨论，作合适的辅助线，构造直角三角形，通过三角形的全等可以找到所求问题需要的边之间的关系，从而可以解答本题．
【解题过程】
（1）证明：∵∠ABC=90°，△PAQ是等腰直角三角形，QE⊥AB于E．
∴AP=AQ，∠ABP=∠QEA=90°，
∴∠QAE+∠BAP=∠BAP+∠APB=90°，
∴∠QAE=∠APB，
在△PAB和△AQE中，
∠ABP=∠QEA∠APB=∠QAEAP=AQ，
∴△PAB≌△AQE(AAS)；
（2）∵△PAB≌△AQE，
∴PB=AE，AB=QE，
∵AB=CB，
∴QE=CB，
在△QEM和△CBM中，
∠QEM=∠CBM∠QME=∠CMBQE=∠CB
∴△QEM≌△CBMAAS，
∴ME=MB，
∵AB=CB，AE=PB，PC=2PB，
∴BE=PC，
∵PC=2PB，
∴PC=2MB，
∴PCMB=2．
（3）QF−DP=DF或DF=DP+QF理由如下：
如图所示：当P在线段BC上时，过点A作HA⊥AC交QF于点H，

∵QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，
∴∠QAH+∠HAP=∠HAP+∠PAD=90°，∠AQH=∠APD=90°，
∴∠QAH=∠PAD，
∵△PAQ为等腰直角三角形，
∴AQ=AP，
在△AQH和△APD中，
∠AQH=∠APDAQ=AP∠QAH=∠PAD，
∴△AQH≌△APD(ASA)，
∴AH=AD，QH=PD，
∵HA⊥AC，∠BAC=45°，
∴∠HAF=45°=∠DAF，
在△AHF和△ADF中，
AH=AD∠HAF=∠DAFAF=AF，
∴△AHF≌△ADF(SAS)，
∴HF=DF，
∴QF−DP=QF−QH=HF=DF．
当P在线段BC的延长线上时，如图，过点A作HA⊥AC交QF于点H，

同理可得：△AQH≌△APD，
∴QH=PD，
同理可得：△AHF≌△ADF，
∴HF=DF，
∴DF=HF=HQ+QF=DP+QF．
19．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=α，作等腰△ACD，使得AC=CD．

（1）如图1，若∠ACD与∠BAC互余，则∠DAB=___________；（用含α的代数式表示）
（2）如图2，若∠ACD与∠BAC互补，过点C作CH⊥AD于点H，求证：CH=12BC；
（3）若△ABC与△ACD的面积相等，请直接写出∠ACD的度数．（用含α的式子表示）
【思路点拨】
（1）根据∠ACD与∠BAC互余得 ∠ACD=90°−α，根据等腰三角形两底角相等得∠DAC=45°+12α，即可求出∠DAB的度数；
（2）作AE⊥BC，根据AAS证明△AEC≌ △AHC，则CH=CE，由等腰三角形三线合一可得CE=12BC，因此CH=12BC，问题得证；
（3）由△ABC与△ACD的面积相等得高相等.情况①：作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F,根据HL可得△DEC≌ △BFA，则可得∠ACD =∠BAC；情况②:△ACD是钝角三角形，作BG⊥AC于G，作DN垂直于AC的延长线于N，根据HL可得△ABG ≌△CDN，则可得∠BAC=∠DCN，由于∠DCN与∠ACD互补，因此∠BAC与∠ACD互补，即可得出结果．
【解题过程】
（1）解：∵△ABC中，AB=AC，且∠BAC=α,
∴∠ACB=∠ABC=12(180°−α)=90°−12α
∵∠ACD+∠BAC=90°，∠BAC=α，
∴∠ACD=90°−∠BAC=90°−α，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠D=45°+12α，
∴ ∠DAB=∠DAC−∠BAC
=45°+12α−α
=45°−12α；
故答案为：45°−12α；
（2）证明：如图，过A点作AE⊥BC于E点，
∵ △ABC中，AB=AC，AE⊥BC，
∴∠AEC=90°,EC=12BC，
∵ △ACD中，CA=CD,CH⊥AD，
∴ ∠AHC=90°,∠ACH=∠DCH=12∠ACD，
∴ ∠AEC=∠AHC，
∵ AB=AC,∠BAC=α，
∴∠ACB=∠B=12180°−∠BAC
=12180°−α
=90°−12α，
∵∠ACD+∠BAC=180°，
∴∠ACD=180°−∠BAC=180°−α ，
∴∠ACH=12∠ACD=12180°−α=90°−12α，
∴∠ACB=∠ACH．
在△ACE和△ACH中，
∠AEC=∠AHC∠ACB=∠ACHAC=AC，
∴△ACE≌ △ACH，
∴CH=CE，
∴CH=12BC；
（3）解：①如图，作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，

∵△ABC与△ACD的面积相等，
∴DE=BF，
又∵∠DEC=∠BFA=90° ，DC=AB
∴△DEC≌ △BFA，
∴∠DCE=∠BAF，
即∠ACD= ∠BAC，
∵∠BAC=α，
∴∠ACD=α；
②如图，作BG⊥AC于G，作DN垂直于AC的延长线于N，

则∠BGA=∠DNC=90°，
∵AB=AC，AC=CD，
∴AB=CD，
∵△ABC与△ACD的面积相等，
∴BG=DN，
∴△ABG ≌△CDN，
∴∠BAG=∠DCN，
∠ACD+∠DCN=180°，
∴∠ACD+∠BAC=180°，
∵∠BAC=α，
∴∠ACD=180°−α，
综上，∠ACD=α或180°−α．
20．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，AC=8cm，动点P从点C开始出发，沿CA−AB−BC的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．

（1）填空：当0≤t