人教版（2024）八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式第1课时学案

这是一份人教版（2024）八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式第1课时学案，共6页。学案主要包含了知识链接，新知预习，我的疑惑等内容，欢迎下载使用。

14．3．2 公式法
第1课时 运用平方差公式因式分解
学习目标：1．探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．
2．能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．
重点：运用平方差公式进行因式分解．
难点：综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．
自主学习
教学备注：学生在课前完成自主学习部分
一、知识链接
1．什么叫多项式的因式分解？
2．下列式子从左到右哪个是因式分解？哪个整式乘法？它们有什么关系？
①a(x+y)=ax+ay； ②ax+ay=a(x+y)．
3．20192+2019能否被2019整除？
计算：
（1）(a+5)(a－5)= ；（2）(4m+3n)(4m－3n)= ．
二、新知预习
试一试：观察以上计算结果，并根据因式分解与整式乘法是互逆运算，分解下列因式：
（1）a2－25= ；（2）16m2－9n= ．
做一做：分解因式a2－b2= ．
自学自测
填一填：
（1）(a＋2)(a－2)＝_____________；a2－4= ；
（2）(5＋b)(5－b)＝_____________；25－b2= ；
（3）(x＋4y)(x－4y)=____________；x2－16y2= ．
四、我的疑惑
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课堂探究
要点探究
探究点：用平方差公式进行因式分解
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
要点归纳：两个数的 ，等于这两个数的 与这两个数的 的 ．
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
（1）x2+y2（2）x2-y2（3）-x2-y2
（4）-x2+y2（5）x2-25y2（6）m2-1
方法总结：符合平方差公式的形式的多项式才能用平方差公式进行分解因式，即能写成：（ ）2-（ ）2的形式．两数是平方，减号在中央．
典例精析
例1：分解因式：
（1）4x2-9；（2）(x+p)2-(x+q)2．
方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解．
针对训练
分解因式：
（1）(a＋b)2－4a2；（2）9(m＋n)2－(m－n)2．
例2：分解因式：
（1）x4－y4；（2）a3b-ab
方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
针对训练
（1）5m2a4－5m2b4；（2）a2－4b2－a－2b．
例3：已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值．
例4：计算下列各题：
（1）1012－992；（2）53.52×4-46.52×4．
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化．
例5：求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
二、课堂小结
运用平方差公式分解因式
公式：a2-b2=______________
步骤：一提：提______；
二套：套______；
三查：检查每一个多项式因式是否都不能再分解
当堂检测
1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A．a2＋(－b)2B．5m2－20mn
C．－x2－y2D．－x2＋9
2．分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（ ）
A．3(x2+4x+3)B．3(x2+2x+3)
C．(3x+3)(x+3)D．3(x+1)(x+3)
3．若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（ ）
A．-21B．21C．-10D．10
4．把下列各式分解因式：
（1）16a2-9b2=；
（2）(a+b)2-(a-b)2=；
（3）9xy3-36x3y=；
（4）-a4+16=．
5．若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是_________．
6．已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
7．如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．
8．（1）992-1能否被100整除？
（2）n为整数，(2n+1)2-25能否被4整除？
参考答案
自主学习
一、知识链接
1．解：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
2．解：②是因式分解，①是整式乘法，它们互为逆运算．
3．解：可以．
4．（1）a2-25 （2）16m2-9n2
二、新知预习
试一试 （1）(a+5)(a-5) （2）(4m+3n)(4m-3n)
做一做 (a+b)(a-b)
自学自测
（1）a2－4 (a＋2)(a－2) （2）25－b2 (5＋b)(5－b) （3）x2－16y2 (x＋4y)(x－4y)
四、我的疑惑
课堂探究
要点探究
探究点：用平方差公式进行因式分解
想一想 是a，b两数的平方差的形式
要点归纳 平方差 和 差 乘积
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
（1）× （2）(x+y)(x-y) （3）×
（4）(y+x)(y-x) （5）(x+5y)(x-5y) （6）(m+1)(m-1)
典例精析
例1 解：（1）原式=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)；
（2）[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x-q)]=(2x+p+q)(p-q)．
针对训练
解：（1）原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b)；
（2）原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)＝(2m＋4n)(4m＋2n)＝4(m＋2n)(2m＋n)．
例2 解（1）原式＝(x2)2-(y2)2＝(x2+y2)(x2-y2)＝(x2+y2)(x+y)(x-y)；
（2）原式＝ab(a2-1)＝ab(a+1)(a-1)．
针对训练
解（1）原式＝5m2(a4－b4)＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)；
（2）原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)＝(a＋2b)(a－2b－1)．
例3 解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，x＋y＝1①，∴x－y＝－2②．
联立①②组成二元一次方程组，解得
例4 解：（1）原式＝(101＋99)×(101－99)＝400；
（2）原式＝4×(53.52－46.52)=4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5)＝4×100×7=2800．
例5：证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n．
∵n为整数，∴8n被8整除，即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
当堂检测
1．D 2．D 3．A
4．（1）(4a+3b)(4a-3b) （2）(a+b)2-(a-b)24ab
（3）9xy3-36x3y9xy(y+2x)(y-2x) （4）-a4+16(4+a2)(2+a)(2-a)
5．4
6．解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)=(4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)(2m-3n)．
当4m+n=40，2m-3n=5时，原式=-40×5=-200．
7．解：根据题意，得
6．82－4×1.62＝6.82－(2×1.6)2＝6.82－3.22＝(6.8＋3.2)×(6.8－3.2)＝10×3.6＝36(cm2)．
答：剩余部分的面积为36 cm2．
8．解：（1）因为 992-1=(99+1)(99-1)=100×98，所以992-1能被100整除．
（2）原式=(2n+1+5)(2n+1-5)=(2n+6)(2n-4) =4(n+3)(n-2)．所以(2n+1)2-25能被4整除．