初中数学24.3 正多边形和圆课后作业题

这是一份初中数学24.3 正多边形和圆课后作业题，共8页。试卷主要包含了作图与证明等内容，欢迎下载使用。

知识点1 正多边形的有关概念及计算
1.(2021内蒙古兴安盟中考)一个正多边形的中心角为30°,这个正多边形的边数是( )
A.3 B.6 C.8 D.12
2.(2022江苏南京秦淮期末)如图,正八边形ABCDEFGH中,∠EAG大小为( )
A.30° B.40° C.45° D.50°
3.(2022独家原创)如图,平面直角坐标系中,正六边形ABCDEF的顶点A、B在x轴上,顶点F在y轴上,若AB=2,则中心P的坐标为( )
A.(2,3) B.(1,3)C.(2,2) D.(3,2)
4.(2022独家原创)如图,A、B、C、D、E为一个正九边形的顶点,O为正九边形的中心,点P为动点,从点C出发,沿CD向点D运动,在运动的过程中,下列关于∠APB大小的说法,正确的是( )
A.始终为20° B.由大变小C.由小变大 D.由小变大再变小
5.(2021江苏常州武进期中)如图,☉O的半径为2,以☉O的内接正八边形的一边为边在☉O内作正方形ABCD,则正方形ABCD的面积为 .
知识点2 正多边形的画法
6.作图与证明:
如图,已知☉O和☉O上的一点A,请完成下列任务:
(1)用尺规作☉O的内接正六边形ABCDEF;
(2)连接BF,CE,判断四边形BCEF的形状并加以证明.
能力提升全练
7.如图所示,在正六边形ABCDEF内,以AB为边作正五边形ABGHI,则∠FAI=( )
A.10° B.12° C.14° D.15°
8.(2022福建福州鼓楼月考,9,)如图,☉O是正五边形ABCDE的内切圆,点M,N,F分别是边AE,AB,CD与☉O的切点,则∠MFN的度数为( )
A.25° B.36° C.35° D.40°
9.(2021江苏盐城亭湖期中,7,)如图,工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽,现测得扳手的开口宽度b=3 cm,则螺帽边长a等于( )
A.3 cm B.23 cm C.2 cm D.2 cm
10.如图,已知正六边形ABCDEF的边长为2,G,H分别是AF和CD的中点,P是GH上的动点,连接AP,BP,当AP+BP的值最小时,BP与HG的夹角(锐角)度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
(2021河北中考,10,)如图,点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点,S△AFO=8,S△CDO=2,则S正六边形ABCDEF的值是( )
A.20 B.30C.40 D.随点O位置而变化
12.(2020天津滨海新区期末,16,)如图,△PQR是☉O的内接正三角形,四边形ABCD是☉O的内接正方形,BC∥QR,则∠BOQ= .
13.(2020江苏南京中考,14,)如图,在边长为2 cm的正六边形ABCDEF中,点P在BC上,则△PEF的面积为 cm2.
素养探究全练
14.[逻辑推理]如图,取正六边形ABCDEF的各边中点并依次连接,得到正六边形A1B1C1D1E1F1,再取正六边形A1B1C1D1E1F1的各边中点并依次连接,得到正六边形A2B2C2D2E2F2,则正六边形A2B2C2D2E2F2与正六边形ABCDEF的边长之比为( )A.12 B.23 C.34 D.45
15.[数学建模]如图,正方形ABCD内接于☉O,线段MN在对角线BD上运动,若☉O的面积为2π,MN=1,则△AMN周长的最小值是( )A.3 B.4 C.5 D.6
答案全解全析
基础过关全练
1.D 这个正多边形的边数=360°30°=12.
2.C 如图,连接AC、GE、EC,∵正八边形ABCDEFGH的各顶点是其外接圆的八等分点,∴四边形ACEG为正方形,∴∠EAG=45°.
3.A 如图,连接PA、PF,作PQ⊥AB于Q,由正六边形的性质可得PF=PA=AF=AB=2,∠APQ=30°.
在Rt△APQ中,AQ=12AP=1,∴PQ=22-12=3.
易证四边形OFPQ是矩形,∴OQ=PF=2,
∴点P的坐标为(2,3).
4.D 如图,作正九边形的外接圆☉O,连接OA、OB、AC.由题意得∠AOB=360°9=40°,则∠ACB=12∠AOB=20°.当点P与点C、D重合时,∠APB=∠ACB=20°,当点P在边CD上且不与C、D重合时,∵点P在圆内,∴∠APB>20°,∴在运动过程中,∠APB由小变大再变小.
5.4-22
解析 如图,连接OA、OD,过A作AE⊥OD于E,则∠AEO=∠AED=90°,∵∠AOD是正八边形的中心角,∴∠AOD=360°8=45°,∴△AOE是等腰直角三角形,
∴AE=OE=22OA=1,∴DE=OD-OE=2-1,∴AD2=AE2+DE2=1+(2-1)2=4-22,∴正方形ABCD的面积=AD2=4-22.
6.解析 (1)如图,首先作直径AD,然后分别以A,D为圆心,OA长为半径画弧,交☉O于点B,F,C,E,连接AB,BC,CD,DE,EF,AF,则正六边形ABCDEF即为所求.
(2)四边形BCEF是矩形.
理由:如图,连接OE,
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴AB=AF=DE=DC=FE=BC,
∴AB=AF=DE=DC,
∴BF=CE,∴BF=CE,
∴四边形BCEF是平行四边形.
∵六边形ABCDEF为正六边形,
∴∠EDC=∠FED=(6-2)×180°6=120°.
∵DE=DC,∴∠DEC=∠DCE=30°,
∴∠CEF=∠DEF-∠CED=90°,
∴四边形BCEF是矩形.
能力提升全练
B 在正六边形ABCDEF和正五边形ABGHI中,∠FAB=120°,∠IAB=108°,
∴∠FAI=∠FAB-∠IAB=120°-108°=12°.
B 如图,连接OM,ON.∵M,N分别是AE,AB与☉O的切点,∴OM⊥AE,ON⊥AB,∴∠OMA=∠ONA=90°.∵∠A=108°,
∴∠MON=180°-108°=72°,∴∠MFN=12∠MON=36°.
A 如图,连接AC,过点B作BD⊥AC于D,由题意得∠ABC=120°,AB=BC=a,
∴∠BCD=∠BAC=30°,由AC=3,得AD=CD=1.5,∵Rt△ABD中,∠BAD=30°,∴BD=12AB=12a,∴AD=a2-12a2=32a,即32a=1.5,∴a=3(cm).故选A.
C 如图,连接PF,BF,BF交GH于点P',连接AP'.∵正六边形ABCDEF中,G,H分别是AF和CD的中点,∴直线GH是正六边形的对称轴,
∴PA=PF,∴PA+PB=PF+PB.∵PB+PF≥BF,∴当点P与点P'重合时,PA+PB的值最小.∵∠BAF=120°,AB=AF,∴∠ABF=∠AFB=30°.∵∠FGP'=90°,∴∠FP'G=60°,即∠BP'H=60°.故选C.
11.B 如图,设正六边形ABCDEF的中心为G,连接GC,GD,GE,GF,AC.易得△EFG,△DEG和△CDG都是等边三角形,且大小相同,点C,G,F在同一条直线上,则S△CDG=S△DFG=16S正六边形ABCDEF.易得四边形ACDF是矩形,∵S△AFO=8,S△CDO=2,∴S矩形ACDF=2×(8+2)=20,∴S△CDG=14S矩形ACDF=5,∴S正六边形ABCDEF=6S△CDG=30.
12.15°
解析 如图,连接OA,OD,OP,∵△PQR是☉O的内接正三角形,∴PQ=PR=QR,
∴∠POQ=13×360°=120°.∵BC∥QR,OP⊥QR,∴OP⊥BC.
∵四边形ABCD是☉O的内接正方形,∴OP⊥AD,∠AOD=90°,∴AP=DP,∴∠AOP=∠DOP,∴∠AOP=12×90°=45°,∴∠AOQ=∠POQ-∠AOP=75°.∵∠AOB=90°,∴∠QOB=15°.
13.23
解析 如图,连接BF,BE,过点A作AT⊥BF于T,
∵六边形ABCDEF是正六边形,∴CB∥EF,AB=AF,∠BAF=120°,∴S△PEF=S△BEF.∵AT⊥BF,AB=AF,
∴BT=FT,∠BAT=∠FAT=60°,∴∠ABT=30°,∴AT=12AB=1 cm,∴BT=3 cm.
∴BF=2BT=23 cm,
∵∠AFE=120°,∠AFB=∠ABF=30°,∴∠BFE=90°,
∴S△PEF=S△BEF=12EF·BF=12×2×23=23(cm2).
素养探究全练
C 如图,连接AF2,设AF1=FF1=a,
∵∠BAF=120°,AA1=AF1=a,∴∠AF1F2=30°,∠AF2F1=90°,AF2=12a,由勾股定理得A1F2=F2F1=32a,∴A1F1=3a.同理可得F2E2=3F2F1=32a,
∴正六边形A2B2C2D2E2F2与正六边形ABCDEF的边长之比=32a∶2a=34.
B 由正方形的性质知,点C和点A关于直线BD对称,如图,过点C作CA'∥BD,且使CA'=1,连接AA'交BD于点N',截取N'M'=1,连接AM'、CM',易知A'N'=CM'=AM',
△AMN的周长的最小值等于△AM'N'的周长.连接AC,∵☉O的面积为2π,∴圆的半径为2,则BD=22=AC.∵AC⊥BD,CA'∥BD,∴∠A'CA=90°.在Rt△A'AC中,
A'A=AC2+A'C2=(22)2+12=3.
∴△AM'N'的周长=AM'+AN'+M'N'=AA'+M'N'=3+1=4,∴△AMN周长的最小值是4.