人教版（2024）24.1.1 圆课文课件ppt

这是一份人教版（2024）24.1.1 圆课文课件ppt，共60页。

　下列条件中,能确定圆的是 (　    )A.以点O为圆心的圆B.以点O为圆心,1 cm为半径的圆C.半径为1 cm的圆D.经过已知点A,且半径为1 cm的圆
选项A中,以点O为圆心的圆有无数个,不能确定一个圆;选 项B中,以点O为圆心,1 cm为半径的圆只有一个,即只能确定 一个圆;选项C中,半径为1 cm的圆随圆心位置的不同,有无数 个圆存在;选项D中,经过已知点A,且半径为1 cm的圆有无数 个,这些圆的圆心在以点A为圆心,1 cm为半径的圆上.综上所 述,选B.
确定一个圆需要两个要素:圆心和半径,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,两者缺一不可.只有圆心,其大小不能确定;只有半径,其位置不能确定,只有圆心和半径都确定了,圆才能唯一确定.
已知:如图,四边形ABCD的对角线AC⊥BD,垂足为E,点 F,G,H,I分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:F,G,H,I四个点在同 一个圆上,并画出这个圆.
如图,连接FG,GH,HI,IF,FH,GI,FH和GI交于点O,以点O为 圆心,以OF的长为半径作☉O,☉O就是所求作的圆.∵点F,G,H,I分别是AB,BC,CD,DA的中点,∴GH是△BCD的中位线,FI是△ABD的中位线,FG是△ABC 的中位线,∴GH∥BD,GH= BD,FI∥BD,FI= BD,FG∥AC,∴GH∥FI,GH=FI,
∴四边形FGHI是平行四边形.∵AC⊥BD,∴FG⊥GH,∴∠FGH=90°,∴四边形FGHI是矩形.∴FH=GI,OF=OH,OG=OI,∴OF=OG=OH=OI,∴F,G,H,I四个点在同一个圆上.
如图,两正方形彼此相邻,且大正方形ABCD的顶点A、 D在半圆O上,B、C在半圆O的直径上,小正方形BEFG的顶点 F在半圆O上,B、E在半圆O的直径上,G在大正方形的边AB 上,若小正方形的边长为4 cm,则该半圆的半径为 (　    )A.(4+ )cm　　B.9 cm　    C.4  cm　　D.6  cm
如图,连接OD、OA、OF,则OD=OA=OF.∵在正方形 ABCD中,AB=DC,∠OCD=∠OBA=90°,∴由“HL”判定定理 可得Rt△OCD≌Rt△OBA,∴OC=OB.设大正方形的边长为2x cm,在Rt△OAB中,OA2=OB2+AB2=x2+ (2x)2=5x2,在Rt△OEF中,OF2=OE2+EF2=(x+4)2+42,∵OA=OF,∴ 5x2=(x+4)2+42,整理,得(x-4)(x+2)=0,解得x=4或x=-2(舍去).∴ OA= =4  cm.
(2021天津河东月考)下列说法正确的有 (　    )①圆中的线段是弦;②直径是圆中最长的弦;③经过圆心的线 段是直径;④半径相等的两个圆是等圆;⑤长度相等的两条弧 是等弧;⑥弧是半圆,半圆是弧.A.2个　    B.3个　    C.4个　    D.5个
正确的有2个,故选A.
24.1　圆的有关性质
24.1.2　垂直于弦的直径
知识点1 圆的轴对称性
知识点2 垂径定理及其推论
圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.重点解读:(1)对称轴是直线,而直径是线段,所以不能说“任 何一条直径都是圆的对称轴”.(2)圆有无数条对称轴,在圆中 作任意一条直径都可以把圆二等分.
　下列命题中,正确的是 (　    )A.圆只有一条对称轴B.圆的对称轴不止一条,但只有有限条C.圆有无数条对称轴,每条直径都是它的对称轴D.圆有无数条对称轴,经过圆心的每条直线都是它的对称轴
   (2021江苏南京中考)如图,AB是☉O的弦,C是 的中点,OC交AB于点D.若AB=8 cm,CD=2 cm,则☉O的半径为　　         cm.
如图,连接OA,∵C是 的中点,∴OC⊥AB,AD=BD=4.∵OA=OC,CD=2,∴OD=OC-CD=OA-2.在Rt△OAD中,OA2=AD2+OD2,即OA2=16+(OA-2)2,解得OA=5(cm). 
    (2022北京西城期中)已知水平放置的圆柱形排水管道 的截面如图,其半径是1 m,若水面高0.2 m,则水面宽度为 (　    )A.0.6 m　　B.0.8 m　　C.1.2 m　　D.1.6 m
如图,作OD⊥AB于C,交☉O于D,连接OB,则AB=2BC,∠OCB=90°,OB=OD=1 m,CD=0.2 m,∴OC=OD-CD=0.8 m,∴BC = = =0.6 m,∴AB=2BC=1.2 m,∴水面宽度为1.2 m.
24.1.3　弧、弦、圆心角
知识点 弧、弦、圆心角之间的关系
弧、弦、圆心角之间的关系
    (2021湖北武汉硚口模拟)如图,☉O中的弦AB=CD,AB与 CD相交于点E.求证:(1)AC=BD;(2)CE=BE.
∴△ACD≌△DBA(SSS),∴∠ADC=∠DAB,∴EA=ED.∵AB=CD,∴AB-AE=CD-ED,即CE=BE.
　如图,在☉O中, = ,CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E.(1)求证:CD=CE;(2)若∠AOB=120°,OA=2,求四边形DOEC的面积.
(1)证明:如图,连接OC,
∵ = ,∴∠AOC=∠BOC.又CD⊥OA,CE⊥OB,
∴CD=CE.(2)∵∠AOB=120°,∴∠AOC=∠BOC=60°.∵∠CDO=90°,∴∠OCD=30°,∴OD= OC=1,∴CD= = = .∴S△OCD= ×OD·CD= ,
同理可得,S△OCE= ×OE·CE= ,∴S四边形DOEC= + = .
不能正确理解圆心角、弧、弦之间的关系
　如图所示,在同圆中,如果 =2 ,那么弦AB与弦CD的关系为AB　　　    2CD(填“>”“=”或“<”). 
如图,取 的中点E,连接AE,BE,则有 =2 =2 ,∵ =2 ,∴ = = ,∴AE=BE=CD,而在△ABE中,AE+BE>AB,∴AB<2CD.
知识点1 圆周角及圆周角定理
知识点2 圆周角定理的推论
知识点3 圆内接四边形的性质
    (2021黑龙江牡丹江中考)如图,点A,B,C为☉O上的三点, ∠AOB= ∠BOC,∠BAC=30°,则∠AOC的度数为(　    )A.100°　    B.90°　    C.80°　    D.60°
    (2020江苏镇江中考)如图,AB是半圆的直径,C、D是半 圆上的两点,∠ADC=106°,则∠CAB等于 (　    )A.10°　    B.14°　    C.16°　    D.26°
在圆中出现直径时,常构造直径所对的圆周角,利 用直径所对的圆周角等于90°求解.
　在☉O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧AC沿弦AC 翻折交AB于点D,连接CD.(1)如图1,若点D与圆心O重合,AC=2,求☉O的半径r;(2)如图2,若点D与圆心O不重合,∠BAC=25°,求∠DCA的度 数. 
(1)如图①,过点O作OE⊥AC于点E,图① 图②
则AE= AC= ×2=1.∵点D与圆心O重合,∴由翻折可知OE= r.在Rt△AOE中,AO2=AE2+OE2,即r2=12+ ,解得r= (舍
负).(2)如图②,连接BC.∵AB是直径,∴∠ACB=90°.又∠BAC=25°, ∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°.∵∠B为 所对的圆周角,且根据翻折的性质知 所对的圆周角的度数等于∠ADC的度数,∴∠ADC+∠B=180°,∴∠ADC=180°-65°=115°.∴∠DCA=180°-∠BAC-∠ADC=180°-25°-115°=40°.
    (2022江苏南京秦淮期中)如图,点A、B、C、D、E都是 ☉O上的点, = ,∠B=128°,则∠D的度数为 (　    )A.108°　    B.106°　    C.104°　    D.102°
(2019山东德州中考)如图,点O为线段BC的中点,点A,C,
D到点O的距离相等,若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是 (        )A.130°　    B.140°　    C.150°　    D.160°
由题意得点A,B,C,D到点O的距离相等,∴A,B,C,D四点共 圆且圆心为O,作出☉O,如图所示,四边形ABCD为☉O的内接 四边形,∴∠ABC+∠ADC=180°,∵∠ABC=40°,∴∠ADC=140°.故选B.
24.2　点和圆、直线和圆的位置关系
知识点1 点和圆的位置关系
知识点2 过已知点作圆
知识点3 三角形的外接圆与外心
24.2.1　点和圆的位置关系
    (2022浙江绍兴诸暨期中)在直角坐标平面内,点A的坐 标为(3,0),点B的坐标为(a,0),☉A的半径为4.下列说法中不正 确的是(　    )A.当a=-1时,点B在☉A上B.当a<7时,点B在☉A内C.当a<-1时,点B在☉A外D.当-1 当a=-1时,AB=4,即d=r,∴点B在☉A上,故选项A正确;当a<-1时,AB>4,即d>r,∴点B在☉A外,故选项C正确;当-1     如图,在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格 点(格线的交点称为格点),如果以A为圆心,r为半径画圆,选取 的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值范围为(　    ) A.2  如图所示.设除A外的其他8个格点分别 为B、C、D、E、F、G、M、N,连接AB、AC、AD、AE、 AF、AG、AM、AN.由勾股定理可得AB= =2 ,AC=AD= = ,AE= =3 ,AF= = ,AG=AM=AN= =5,∵除点A外恰好有三个格点在圆内,∴这三个格点为B、C、D,∴  如图,城市A的正北方向50 km的B处有一无线电信号发射塔.已知该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100 km,AC是
一条直达C城的公路,从A城发往C城的班车速度为60 km/h.(1)当班车从A城出发开往C城时,某人立即打开无线电收音 机,班车行驶了0.5 h的时候,接收信号最强.此时,班车到发射 塔的距离是多少km?(离发射塔越近,信号越强)(2)班车从A城到C城共行驶2 h,到C城后还能接收到信号吗? 请说明理由.
(1)如图,过点B作BM⊥AC于点M,由题意知班车行驶了0.5 h的时候到达M点,此时接收信号最 强,则AM=30 km,又AB=50 km,所以BM=40 km.答:班车到发射塔的距离是40 km.(2)能接收到信号.理由如下:
如图,连接BC,∵AC=60×2=120 km,AM=30 km,∴CM=AC-AM=90 km,∴BC= =10  km<100 km.∴到C城后还能接收到信号.
　下列命题中是真命题的为 (　    )A.经过两点不一定能作一个圆B.经过任意三点一定能作一个圆C.不在同一条直线上的三点确定一个圆D.经过四点一定不能作一个圆
　如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2.(1)求证:△AEC≌△BED;(2)若∠C=75°,求∠AEB的度数;(3)若∠AEC=90°,当△AEC的外心在直线DE上时,CE=2,求AE 的长.
(1)证明:∵∠ADE=∠1+∠C=∠2+∠BDE,且∠1=∠2,∴∠C=∠BDE.又∵∠A=∠B,AE=BE,∴△AEC≌△BED(AAS).(2)∵△AEC≌△BED,∴DE=EC,∠BED=∠AEC,∴∠EDC=∠C=75°,∴∠1=180°-2×75°=30°.∵∠BED=∠AEC,∴∠AEB=∠1=30°.(3)∵∠AEC=90°,
∴△AEC的外心是斜边AC的中点,∵△AEC的外心在直线DE上,∴点D是AC的中点,∴AD=CD=DE.又∵DE=EC,∴CD=EC=DE,∴△ECD是等边三角形,∴∠C=60°,∴AC=2EC,由勾股定理得AE= EC=2 .
　用反证法证明:等腰三角形的底角必定是锐角.
这与三角形内角和定理矛盾,所以∠B不是直角.
(2)若∠B是钝角,即∠B>90°,则∠C>90°,因为∠A>0°,所以∠A+∠B+∠C>180°.这与三角形内角和定理矛盾,所以∠B不是钝角.综上,∠B,∠C既不是直角也不是钝角,即∠B,∠C必定是锐角.所以等腰三角形的底角必定是锐角.
24.2.2　直线和圆的位置关系
知识点1 直线和圆的位置关系
知识点4 切线长及切线长定理
知识点5 三角形的内切圆与内心
    在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5.(1)以点A为圆心,4为半径的☉A与直线BC的位置关系是　     　　　    ;(2)以点B为圆心的☉B与直线AC相交,则☉B的半径r的取值 范围是　　　    ;(3)以点C为圆心,R为半径的☉C与直线AB相切,则R=　　         .
(1)∵AC⊥BC,而AC>4,∴以点A为圆心,4为半径的☉A与 直线BC相离.(2)BC= = =12,∵BC⊥AC,∴☉B的半径大于BC长时,以点B为圆心的☉B与直线AC相交,即 r>12.(3)如图,作CD⊥AB于
点D,∵ CD·AB= AC·BC,∴CD= = ,当R= 时,以点C为圆心,R为半径的☉C与直线AB相切.
例2    (2020江苏盐城中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB是 ☉O的直径,∠DCA=∠B.(1)求证:CD是☉O的切线;(2)若DE⊥AB,垂足为E,DE交AC于点F,求证:△DCF是等腰三 角形.
   (1)如图,连接OC,
∵OC=OA,∴∠OCA=∠A.∵AB是☉O的直径,∴∠BCA=90°,∴∠A+∠B=90°.∵∠DCA=∠B,
∴∠OCD=∠OCA+∠DCA=90°,∴OC⊥CD,∴CD是☉O的切线.(2)∵∠OCA+∠DCA=90°,∠OCA=∠A,
∴∠A+∠DCA=90°.∵DE⊥AB,∴∠A+∠EFA=90°,∴∠DCA=∠EFA.∵∠EFA=∠DFC,∴∠DCA=∠DFC,∴DC=DF,∴△DCF是等腰三角形.
　如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AE⊥BC于E,∠ADC的 平分线交AE于点O,以点O为圆心,OA长为半径的圆经过点B.求证:CD与☉O相切.
∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°.∵AD∥BC,∴∠DAO=∠AEB=90°,即OA⊥DA.∵DO平分∠ADC,OH⊥DC,OA⊥DA,∴OH=OA.又∵OH⊥DC,∴DC是☉O的切线,即CD与☉O相切.
例4    (2020湖北咸宁中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O 在AC上,以OA为半径的半圆O交AB于点D,交AC于点E,过点D 作半圆O的切线DF,交BC于点F.(1)求证:BF=DF;(2)若AC=4,BC=3,CF=1,求半圆O的半径.
(1)证明:如图,连接OD,
∵DF是半圆O的切线,∴∠ODF=90°,∴∠ADO+∠BDF=90°.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠OAD+∠BDF=90°.
∵∠C=90°,∴∠OAD+∠B=90°,∴∠B=∠BDF,∴BF=DF.(2)如图,连接OF,
设半圆O的半径为r,则OD=OE=r.∵AC=4,BC=3,CF=1,
∴OC=4-r,DF=BF=3-1=2.∵OD2+DF2=OF2=OC2+CF2,∴r2+22=(4-r)2+12,∴r= .故半圆O的半径为 .
　如图,PA、PB、CD都是☉O的切线,切点分别为A、B、 E,△PCD的周长为a,∠APB=α.(1)用含a的式子表示PA的长;(2)用含α的式子表示∠COD的度数. 
(1)∵CA,CE都是☉O的切线,∴CA=CE,同理,DE=DB,PA=PB.∴△PCD的周长=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=a,∴PA= a.(2)∵∠P=α,∴∠ACD+∠CDB=∠P+∠PDC+∠P+∠PCD=180°+α.∵CA,CE是☉O的切线,∴∠OCE=∠OCA= ∠ACD.同理,
∠ODE= ∠CDB,∴∠OCE+∠ODE= (∠ACD+∠CDB)= (180°
+α)=90°+ α,∴∠COD=180°-(∠OCE+∠ODE)=180°- =90°- α.
    (2020山东济宁中考)如图,在△ABC中,点D为△ABC的 内心,∠A=60°,CD=2,BD=4,则△DBC的面积是(　    ) A.4 　    B.2 　    C.2　    D.4
如图,过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H.∵点D为△ABC的内心,∠A=60°,∴∠DBC+∠DCB= (∠ABC+∠ACB)= (180°-∠A)= ×(180°-60°)=60°,∴∠BDC=180°-60°=120°,∴∠BDH=60°,∴∠DBH=30°.∵BD=4,∴DH=2,BH=2 .
∵CD=2,∴△DBC的面积= CD·BH= ×2×2 =2 .故选B. 
24.3　正多边形和圆
知识点1 正多边形的有关概念及计算
知识点2 正多边形的画法
正多边形的有关概念及计算
把一个圆分成相等的一些弧,顺次连接各分点,就作出这个圆 的内接正多边形,这个圆是这个正多边形的外接圆.
　如图所示,△OAB为等边三角形,以点O为圆心,OA为半 径作☉O,直径FC∥AB,AO,BO的延长线分别交☉O于点D,E. 求证:六边形ABCDEF是正六边形. 
∵FC∥AB,∴∠AOF=∠OAB=60°,∠BOC=∠OBA=60°,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF=60°,∴ = = = = = ,AB=BC=CD=DE=EF=AF,∴ = = = = = ,∴∠BAF=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA,∴六边形ABCDEF是正六边形.
　已知☉O的半径R=6 cm.(1)如图1,求☉O的内接正三角形ABC的边心距、边长、周 长、面积;(2)如图2,求☉O的内接正六边形ABCDEF的边心距、边长、 周长、面积. 
(1)如图①,连接OB,过点O作OD⊥BC于D. 由题意,得∠BOD= × =60°,∴∠OBD=30°.又R=6 cm,∴边心距r=OD= OB= R=3 cm.∴BD= =3  cm.由
垂径定理得边长a=BC=2BD=6  cm.∴周长l=3BC=18  cm.面积S= lr= ×18 ×3=27  cm2.(2)如图②,连接OA,过点O作OH⊥AB于H.由题意,得∠AOH= × =30°.又R=6 cm,∴AH= OA= R=3 cm.∴边心距r=OH= =3  cm.由垂径定理得边长a=AB=2AH=6 cm.∴周长l=6AB=36 cm.面积S= lr= ×36×3 =54  cm2.
　如图所示,利用量角器和圆规画☉O的内接正十边形.
24.4　弧长和扇形面积
知识点1 弧长公式及其应用
知识点2 扇形面积公式及其应用
知识点3 与圆锥有关的计算
    (2020四川达州中考)如图,在半径为5的☉O中,将劣弧 AB沿弦AB翻折,使折叠后的 恰好与OA、OB相切,则劣弧AB的长为 (　    )A. π　　B. π　　C. π　　D. π
如图,作O点关于直线AB的对称点O',连接O'A、O'B,∵OA= OB=O'A=O'B,∴四边形OAO'B为菱形.∵折叠后的 与OA、OB相切,∴O'A⊥OA,O'B⊥OB,∴四边形OAO'B为正方形,∴ ∠AOB=90°,∴劣弧AB的长= = π.故选B.
    矩形ABCD的边AB=4,AD=3,现将矩形ABCD放在直线l 上且沿着l向右做无滑动地翻滚,当它翻滚至类似开始的位置 A1B1C1D1时(如图所示),顶点A所经过的路线长是　　    . 
如图,∵AB=4,AD=3,∴A'M= =5,∴顶点A所经过的路线长为 + + =6π. 
    (2020内蒙古呼和浩特中考)如图,△ABC中,D为BC的中 点,以D为圆心,BD为半径画一弧,交AC于点E,若∠A=60°,∠ ABC=100°,BC=4,则扇形BDE的面积为　　　    . 
∵∠A=60°,∠ABC=100°,∴∠C=20°,∵D为BC的中点,∴BD=DC= BC=2,∵DE=DB,∴DE=DC=2,∴∠DEC=∠C=20°,∴∠BDE=40°,∴扇形BDE的面积= = .
    (2020湖南邵阳中考)图①是山东舰舰徽的构图,采用航 母45°破浪而出的角度,展现山东舰作为中国首艘国产航母横 空出世的气势,将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形,则是一 条长为10π的弧,若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开 图(如图②所示),则该圆锥的母线AB长为　　　    .
∵圆锥侧面展开后扇形的弧长是10π,∴OB= =5.在Rt△AOB中,AB= = =13,所以该圆锥的母线AB长为13.
　如图所示的圆锥中,底面半径是4 cm,母线长为12 cm,C 为母线PB中点,现在有一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面爬行 到C点,则蚂蚁在圆锥侧面爬行的最短路程为　　　    cm. 
作圆锥的侧面展开图如图所示,连接AC,则AC的长即为最 短路程.设圆锥侧面展开图的圆心角为n°,由题意得 =2π×4,∴n=120,即圆锥侧面展开图的圆心角是120°,∴∠APB=60°.∵PA=PB,∴△PAB是等边三角形,∵C是PB中点,∴AC⊥PB,∴∠ACP=90°.∵AP=12,∴PC=6,
∴AC= =6 ,即最短路程是6  cm. 
逻辑推理——证明切线的主要途径:“连半径,证垂直”
素养解读逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命 题的素养.主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理,推理形 式主要有归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理,推理形式 主要有演绎.逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重 要方式,是数学严谨性的基本保证,是人们在数学活动中进行 交流的基本思维品质.
本章中,利用圆的相关性质证明线段相等、角相等、进行线 段和角的相关计算,判定圆的切线,利用切线的性质进行相关
计算等问题中都培养了学生的逻辑推理素养.
    (2021湖南张家界中考)如图,在Rt△AOB中,∠ABO=90°, ∠OAB=30°,以点O为圆心,OB为半径的圆交BO的延长线于点 C,过点C作OA的平行线,交☉O于点D,连接AD.(1)求证:AD为☉O的切线;(2)若OB=2,求 的长.
(1)证明:连接OD.∵OC=OD,∴∠ODC=∠C.∵∠OAB=30°,∠B=90°,∴∠AOB=60°.∵CD∥AO,∴∠C=∠AOB=60°,∠AOD=∠ODC,∴∠AOD= ∠AOB=60°.又∵OB=OD,AO=AO,∴△AOB≌△AOD(SAS),∴∠ADO=∠ABO=90°,即AD⊥OD,
又∵OD是半径,∴AD是☉O的切线. (2)∵∠BOD=120°,∴∠COD=60°,又OB=2,∴ 的长= = .