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初中数学苏科版（2024）九年级上册2.5 直线与圆的位置关系同步达标检测题
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这是一份初中数学苏科版（2024）九年级上册2.5 直线与圆的位置关系同步达标检测题，共76页。试卷主要包含了5 直线与圆的位置关系，8cm．r＝6cm．等内容，欢迎下载使用。
直线与圆的位置关系 & 切线的判定与性质
知识点一
直线和圆的位置关系
知识点二
圆的切线的判定定理
◆1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
◆2、几何语言表示：（如右图）
∵OA为☉O的半径，BC⊥OA于A，
∴直线l是☉O的切线
◆3、判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
（1）定义法：（如图1）直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；
（2）数量关系法：（如图2）圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
（3）判定定理：（如图3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
◆4、常见证切线作辅助线的方法：
（1）有交点，连半径，证垂直；
（2）无交点，作垂直，证相等(证明 d = r ).
知识点三
圆的切线的性质定理
◆1、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
◆2、几何语言表示：
∵直线l是☉O的切线，A是切点，
∴直线l ⊥OA.
题型一 判断直线和圆的位置关系
【例题1】（2023•南浔区二模）已知平面内有⊙O与直线AB，⊙O的半径为3cm，点O到直线AB的距离为3cm，则直线AB与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．不能判断
【变式1-1】（2023春•宁远县期中）已知⊙O的半径是10，圆心O到直线l的距离是13，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．无法确定
【变式1-2】（2022秋•大名县校级期末）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．平行
【变式1-3】（2023•江夏区校级模拟）已知平面内有⊙O和点M，N，若⊙O半径为2cm，线段OM＝3cm，ON＝2cm，则直线MN与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．相切D．相交或相切
【变式1-4】（2022秋•广阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）
A．点B在⊙A内B．直线BC与⊙A相离
C．点C在⊙A上D．直线BC与⊙A相切
【变式1-5】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有何位置关系？为什么？
（1）r＝4cm．（2）r＝4.8cm．（3）r＝6cm．
题型二 根据直线和圆的位置关系确定交点个数
【例题2】（2022秋•江夏区校级期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
【变式2-1】已知⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为9cm，则直线l与⊙O的公共点的个数
为（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
【变式2-2】（2022秋•武汉期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．不能确定
【变式2-3】已知⊙O的半径是3，圆心O到直线l的距离是4，则直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．1或2
【变式2-4】已知⊙O的直径等于8cm，圆心O到直线l上一点的距离为4cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．1或2
题型三 已知直线和圆的位置关系确定取值范围
【例题3】（2023•浦东新区校级模拟）在平面直角坐标系中，以点A（4，3）为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（ ）
A．0＜R＜5B．3＜R＜4C．3＜R＜5D．4＜R＜5
【变式3-1】（2022秋•连云港期中）直线l与⊙O相离，且⊙O的半径r等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ．
【变式3-2】（2022秋•青龙县月考）如图，已知∠ACB＝30°，CM＝2，AM＝5，以点M为圆心，r为半径作⊙M，⊙M与线段AC有交点时，则r的取值范围是 ．
【变式3-3】（2023•前郭县二模）如图，平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
【变式3-4】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB有唯一公共点，求半径r的取值范围．
题型四 利用直线与圆的位置关系求最值
【例题4】（2022秋•凉山州期末）点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA的最小值是 ．
【变式4-1】（2022•雁塔区校级模拟）如图，在等腰三角形ABC中，已知BC＝4，AB＝AC＝3，若⊙C的半径为1，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ．
【变式4-2】（2023春•市南区校级月考）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点
P(m，3m+23)，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．3B．2C．3D．2
【变式4-3】（2022秋•常熟市期中）如图，直线y=34x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（ ）
A．5B．10C．15D．20
题型五 切线的判定---连半径证垂直
【例题5】（2023春•保德县校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．求证：DE是⊙O切线．
【变式5-1】（2022秋•黄埔区期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，垂足为D，AC平分∠DAB．求证：DC为⊙O的切线．
【变式5-2】（2023•义乌市模拟）如图，⊙O的直径AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于点D，D是BC的中点．
（1）求BC的长；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．
【变式5-3】（2022•昭平县一模）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．
（1）求AB的长；
（2）若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．
【变式5-4】（2023•岚山区开学）如图，已知△ABC中，AC＝BC，AD是△ABC外接圆⊙O的直径，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，连接CD．
求证：（1）CD平分∠ADE；
（2）CE是⊙O的切线．
题型六 切线的判定---作半径证垂直
【例题6】（2022•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
【变式6-1】 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．
【变式6-2】（2022•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．
【变式6-3】如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE．
（1）求证：OB与⊙D相切；
（2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长．
题型七 切线判定多结论问题
【例题七】（2022秋•青山湖区期末）如图所示，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙O的切线，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式7-1】如图，在⊙O中，E是半径OA上一点，射线EF⊥OA，交圆于B，P为EB上任一点，射线AP交圆于C，D为射线BF上一点，且DC＝DP，下列结论：①CD为⊙O的切线；②PA＞PC；③∠CDP＝2∠A，其中正确的结论有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【变式7-2】如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙O的切线，则上述结论中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式7-3】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝25°，∠C＝90°，∠ADC＝115°，O为AB的中点，以点O为圆心、AO长为半径作圆，恰好使得点D在⊙O上，连接OD，若∠EAD＝25°，下列说法中不正确的是（ ）
A．D是劣弧BE的中点B．CD是⊙O的切线
C．AE∥ODD．∠OBC＝120°
【变式7-4】（2022秋•台江区校级月考）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠ABC＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于BC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，下列结论：
①CE＝CF；②∠E＝30°；③线段EF的最小值为23；④当AD＝2时，EF与半圆相切．其中正确结论的序号是 ．
题型八 利用切线的性质求角度
【例题8】如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P＝40°，当∠B等于（ ）时，PA与⊙O相切．
A．20°B．25°C．30°D．40°
【变式8-1】（2023•李沧区三模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作⊙O的切线，切点为B，连接AC交⊙O于D，∠C＝38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是（ ）
A．62°B．52°C．38°D．28°
【变式8-2】（2022秋•栖霞市期末）如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上．
若∠D＝25°，则∠A为（ ）
A．25°B．40°C．50°D．65°
【变式8-3】（2023•安岳县二模）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，EA切⊙O于点A，交CD的延长线于点E．若∠ABC＝75°，则∠E的度数为 ．
【变式8-4】（2023•福鼎市模拟）如图，△ABC内接于⊙O，点D在BC的延长线上，AD与⊙O相切，AC＝CD，∠B＝40°，则∠BAD等于（ ）
A．95°B．100°C．110°D．120°
【变式8-5】（2023•临汾模拟）如图，已知点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点C，BE与⊙O相切，交直线CD于点E．
（1）判断BE与DE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠C＝20°，求∠EBD的度数．
题型九 利用切线的性质求线段长
【例题9】（2023•开州区校级模拟）如图，BC与⊙O相切于点C，线段BO交⊙O于点A，过点A作⊙O的切线交BC于点D．若CD＝3，AB＝4，则⊙O的半径等于（ ）
A．4B．5C．6D．12
【变式9-1】（2023•遵义一模）如图，AB是半圆O的直径，点P为BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．若CD＝2，BD＝4，则⊙O的半径为（ ）
A．3B．2C．2.5D．25
【变式9-2】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（ ）
A．2B．4C．22D．23
【变式9-3】（2023春•铜梁区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是斜边AB边上一点，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O恰好与边BC相切于点D，连接AD，若AD＝BD，⊙O的半径为4，则CD的长度为（ ）
A．23B．4C．3D．5
【变式9-4】（2022•泸县一模）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长．
【变式9-5】（2023•银川校级四模）如图△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．
（1）求证：⊙D与AC相切；
（2）若AC＝5，BC＝3，试求AE的长．
题型十 切线的判定与性质的综合应用
【例题10】（2022秋•嘉陵区校级期末）如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．
（1）求证：HB是⊙O的切线；
（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的直径．
【变式10-1】（2022•淮安二模）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BC＝3，CD＝33，求ED的长．
【变式10-2】（2022•仪征市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
【变式10-3】（2022•盘锦模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE∥AD与BA的延长线交于点E．
（1）求证：CE与⊙O相切；
（2）若AD＝4，∠D＝60°，求线段AB，BC的长．
【变式10-4】（2023•牧野区校级三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．
（苏科版）九年级上册数学《第2章 对称图形---圆》
2.5 直线与圆的位置关系（1）
直线与圆的位置关系 & 切线的判定与性质
知识点一
直线和圆的位置关系
知识点二
圆的切线的判定定理
◆1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
◆2、几何语言表示：（如右图）
∵OA为☉O的半径，BC⊥OA于A，
∴直线l是☉O的切线
◆3、判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
（1）定义法：（如图1）直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；
（2）数量关系法：（如图2）圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
（3）判定定理：（如图3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
◆4、常见证切线作辅助线的方法：
（1）有交点，连半径，证垂直；
（2）无交点，作垂直，证相等(证明 d = r ).
知识点三
圆的切线的性质定理
◆1、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
◆2、几何语言表示：
∵直线l是☉O的切线，A是切点，
∴直线l ⊥OA.
题型一 判断直线和圆的位置关系
【例题1】（2023•南浔区二模）已知平面内有⊙O与直线AB，⊙O的半径为3cm，点O到直线AB的距离为3cm，则直线AB与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．不能判断
【分析】根据点O到直线AB的距离与圆的半径大小作比较即可．
【解答】解：∵点O到直线AB的距离为3cm，且⊙O的半径为3cm，
∴3cm＝3cm，即直线AB与⊙O的位置关系是相切，
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
【变式1-1】（2023春•宁远县期中）已知⊙O的半径是10，圆心O到直线l的距离是13，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．无法确定
【分析】运用直线与圆的三种位置关系，结合10＜13，即可解决问题．
【解答】解：∵⊙O的半径为10，圆心O到直线l的距离是13，而10＜13，
∴点O到直线l的距离大于半径，
∴直线l与⊙O相离．
故选：A．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
【变式1-2】（2022秋•大名县校级期末）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．平行
【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∵⊙O的半径为一元二次方程程x2﹣2x﹣3＝0的根，
∴r＝3，
∵d＞r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故选：C．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
【变式1-3】（2023•江夏区校级模拟）已知平面内有⊙O和点M，N，若⊙O半径为2cm，线段OM＝3cm，ON＝2cm，则直线MN与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．相切D．相交或相切
【分析】根据直线上点与圆的位置关系的判定得出直线与圆的位置关系．
【解答】解：∵⊙O的半径为2cm，线段OM＝3cm，ON＝2cm，
即点M到圆心O的距离大于圆的半径，点N到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点M在⊙O外，点N在⊙O上，
∴直线MN与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
【变式1-4】（2022秋•广阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）
A．点B在⊙A内B．直线BC与⊙A相离
C．点C在⊙A上D．直线BC与⊙A相切
【分析】过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH＝CH=12BC＝4，则利用勾股定理可计算出AH＝3，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．
【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH=12BC＝4，
在Rt△ABH中，AH=AB2−BH2=52−42=3，
∵AB＝5＞3，
∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；
∵AC＝5＞3，
∴C点在⊙A外，所以C选项不符合题意；
∴AH＝3，AH⊥BC，
∴直线BC与⊙A相切，所以D选项符合题意，B选项不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了点与圆的位置关系和等腰三角形的性质．
【变式1-5】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有何位置关系？为什么？
（1）r＝4cm．（2）r＝4.8cm．（3）r＝6cm．
【分析】此题重点是求得圆心到直线的距离，即是求直角三角形斜边上的高．该高等于两条直角边的乘积除以斜边，然后根据数量关系判断直线和圆的位置关系．
若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：AB=AC2+BC2=62+82=10（cm），
设AB边高为h，
则h•AB＝AC×BC，
h=6×810=4.8（cm）．
（1）当r＝4cm，d＞r，则AB与⊙C相离；
（2）当r＝4.8cm，d＝r，则AB与⊙C相切；
（3）当r＝6cm，r＞d，则AB与⊙C相交．
【点评】注意直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边；能够熟练根据数量关系判断直线和圆的位置关系是解题的关键．
题型二 根据直线和圆的位置关系确定交点个数
【例题2】（2022秋•江夏区校级期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相交，然后根据相离的定义对各选项进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，
即圆心O到直线l的距离小于圆的半径，
∴直线l和⊙O相交，
∴直线l与⊙O有2个公共点．
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．
【变式2-1】已知⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为9cm，则直线l与⊙O的公共点的个数
为（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为9cm，
即圆心O到直线l的距离大于圆的半径，
∴直线l和⊙O相离，
∴直线l与⊙O没有公共点．
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．
【变式2-2】（2022秋•武汉期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．不能确定
【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝10，
∴斜边上的高为：AB⋅ACBC=4.8，
∴d＝4.8cm＝rcm＝4.8cm，
∴圆与该直线BC的位置关系是相切，交点个数为1，
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．
【变式2-3】已知⊙O的半径是3，圆心O到直线l的距离是4，则直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．1或2
【分析】欲求直线l与圆O的位置关系，关键是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：∵圆半径r＝3，圆心到直线的距离d＝4．
故r＝3＜d＝4，
∴直线与圆的位置关系是相离．
∴直线l与⊙O的公共点的个数是0，
故选：A．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
【变式2-4】已知⊙O的直径等于8cm，圆心O到直线l上一点的距离为4cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．1或2
【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断．
【解答】解：∵⊙O的直径等于8cm，圆心O到直线l上一点的距离为4cm，
∴⊙O的半径等于4cm，圆心O到直线l的距离≤4cm
即圆心O到直线l的距离≤圆的半径，
∴直线l和⊙O相切或相交，
∴直线l与⊙O有1个或2个有公共点．
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．
题型三 已知直线和圆的位置关系确定取值范围
【例题3】（2023•浦东新区校级模拟）在平面直角坐标系中，以点A（4，3）为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（ ）
A．0＜R＜5B．3＜R＜4C．3＜R＜5D．4＜R＜5
【分析】分别根据原点O在圆A的外部，圆A与x轴相交，可得半径R的取值范围．
【解答】解：∵A（4，3），
∴OA=32+42=5，
∵原点O在圆A的外部，
∴R＜OA，即R＜5，
∵圆A与x轴相交，
∴R＞3，
∴3＜R＜5，
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，直线、点与圆的位置关系等知识点，能熟记直线、点与圆的位置关系是解此题的关键．
【变式3-1】（2022秋•连云港期中）直线l与⊙O相离，且⊙O的半径r等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ．
【分析】根据“若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离”即可得到结论．
【解答】解：∵直线l与⊙O相离，⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，
∴d＞3．
故答案为：d＞3．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＞r时，直线l和⊙O相离是解答此题的关键．
【变式3-2】（2022秋•青龙县月考）如图，已知∠ACB＝30°，CM＝2，AM＝5，以点M为圆心，r为半径作⊙M，⊙M与线段AC有交点时，则r的取值范围是 ．
【分析】过M作MH⊥AC于H，根据直角三角形的性质得到HM=12CM＝1，然后根据直线与圆的位置关系即可得到结论．
【解答】解：过M作MH⊥AC于H，
∵CM＝2，∠ACB＝30°，
∴HM=12CM＝1，
∵AM＝5，⊙M与线段AC有交点，
∴r的取值范围是1≤r≤5，
故答案为：1≤r≤5．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．
【变式3-3】（2023•前郭县二模）如图，平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．
【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．
故平移的距离d的取值范围是1＜d＜5．
故答案为：1＜d＜5．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．
【变式3-4】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB有唯一公共点，求半径r的取值范围．
【分析】此题注意两种情况：
（1）圆与AB相切时；
（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时．
根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．
【解答】解：如图，根据勾股定理求得AB＝5．
∵BC＞AC，
∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点分两种情况：
（1）圆与AB相切时，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4；
（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．
∴3＜r≤4或r＝2.4．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，此题注意考虑两种情况，只需保证圆和斜边只有一个公共点即可．
题型四 利用直线与圆的位置关系求最值
【例题4】（2022秋•凉山州期末）点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA的最小值是 ．
【分析】根据勾股定理用OP表示出PA，根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：∵∠POA＝90°，
∴PA=OA2+OP2=4+OP2，
当OP最小时，PA取最小值，
由题意得：当OP⊥MN时，OP最小，最小值为3，
∴PA的最小值为：4+32=13，
故答案为：13．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系、垂线段最短、勾股定理的应用，根据勾股定理表示出PA的长是解题的关键．
【变式4-1】（2022•雁塔区校级模拟）如图，在等腰三角形ABC中，已知BC＝4，AB＝AC＝3，若⊙C的半径为1，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ．
【分析】作AE⊥BC于点E，CD⊥AB于点D，连接CP、CQ，先由BC＝4，AB＝AC＝3得BE＝CE=12BC＝2，再根据勾股定理求得AE=5，由12×3CD=12×4×5=S△ABC求得CD=453，由PQ=CP2−1可知，当CP的值最小时，PQ的值最小，所以当点P与点D重合时，CP的值最小，根据勾股定理求出此时PQ的值即可．
【解答】解：如图，作AE⊥BC于点E，CD⊥AB于点D，连接CP、CQ，
∵BC＝4，AB＝AC＝3，
∴BE＝CE=12BC=12×4＝2，
∵∠AEB＝90°，
∴AE=AB2−BE2=32−22=5，
∵12AB•CD=12BC•AE＝S△ABC，
∴12×3CD=12×4×5，
∴CD=453，
∵PQ切⊙O于点Q，CQ＝1，
∴PQ⊥CQ，
∴∠CQP＝90°，
∴PQ=CP2−CQ2=CP2−12=CP2−1，
∴当CP的值最小时，PQ的值最小，
∴当点P与点D重合时，CP的值最小，此时CP＝CD=453，
∴PQ最小=(453)2−1=713，
故答案为：713．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的性质、根据面积等式列方程求线段的长度、勾股定理、垂线段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
【变式4-2】（2023春•市南区校级月考）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P(m，3m+23)，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．3B．2C．3D．2
【分析】连接PA，OA，由切线的性质得到OA⊥PA，求出PO2＝m2+(3m+23)2=4m2+12m+12，由勾股定理得到PA2＝PO2﹣OA2＝4m2+12m+11＝4(m+32)2+2，即可求出PA的最小值是2．
【解答】解：连接PO，OA，
∵PA切圆于A，
∴OA⊥PA，
∵点P(m，3m+23)，
∴PO2＝m2+(3m+23)2=4m2+12m+12，
∵圆的半径是1，
∴OA＝1，
∴PA2＝PO2﹣OA2＝4m2+12m+11＝4(m+32)2+2，
∴PA2的最小值是2，
∵PA＞0，
∴PA的最小值是2．
故选：D．
【点评】本题考查切线的性质，勾股定理，二次函数的性质，关键是由切线的性质，勾股定理得到PA2＝PO2﹣OA2＝4m2+12m+11＝4(m+32)2+2，即可求出PA的最小值．
【变式4-3】（2022秋•常熟市期中）如图，直线y=34x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（ ）
A．5B．10C．15D．20
【分析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．当点P与E重合时，△PAB的面积最小，求出EH、AB的长即可解决问题
【解答】解：作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．
∵C（1，0），直线AB的解析式为y=34x+3，
∴直线CH的解析式为y=−43x+43，
由 y=−43x+43y=34x+3解得x=−45y=125，
∴H（−45，125），
∴CH=(1+45)2+(125)2=3，
∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，AB＝5，
∴EH＝3﹣1＝2，
当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值=12×5×2＝5，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
题型五 切线的判定---连半径证垂直
【例题5】（2023春•保德县校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．求证：DE是⊙O切线．
【分析】连接OD，由于∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，那么∠BAC＝∠BOD，可得OD∥AC，而DE⊥AC，易证∠ODB＝90°，从而可证DE是⊙O切线．
【解答】证明：连接OD，
∵∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BAC＝∠BOD，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ODE＝∠AED＝90°，
∴半径OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一定理、平行线的判定和性质、圆周角定理、切线的判定．解题的关键是连接OD、AD，并证明OD∥AC．
【变式5-1】（2022秋•黄埔区期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，垂足为D，AC平分∠DAB．求证：DC为⊙O的切线．
【分析】由于C是⊙O上一点，连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA＝∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．
【解答】证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAC，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．
【点评】本题主要考查的是切线的判定方法．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
【变式5-2】（2023•义乌市模拟）如图，⊙O的直径AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于点D，D是BC的中点．
（1）求BC的长；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．
【分析】（1）根据圆周角定理求得∠ADB＝90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；
（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO＝90°即可．
【解答】解：（1）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠ABC＝30°，AB＝4，
∴BD＝23，
∵D是BC的中点，
∴BC＝2BD＝43；
（2）连接OD．
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴DO是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，则∠EDO＝∠CED
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，∠EDO＝∠CED＝90°
∴DE是⊙O的切线．
【点评】此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．
【变式5-3】（2022•昭平县一模）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．
（1）求AB的长；
（2）若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．
【分析】（1）连接OA、OB，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝60°，则∠OAD＝30°，所以OD=12OA＝1，AD=3OD=3，再根据垂径定理得AD＝BD，所以AB＝23；
（2）由（1）∠BOC＝60°，则△OCB为等边三角形，所以BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，而CP＝CO＝CB，则∠CBP＝∠P，可计算出∠CBP＝30°，所以∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，于是根据切线的判定定理得PB是⊙O的切线．
【解答】（1）解：连接OA、OB，如图，
∵∠ABC＝30°，OP⊥AB，
∴∠AOC＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴OD=12OA=12×2＝1，
∴AD=3OD=3，
又∵OP⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AB＝23；
（2）证明：由（1）∠BOC＝60°，
而OC＝OB，
∴△OCB为等边三角形，
∴BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴C是OP的中点，
∴CP＝CO＝CB，
∴∠CBP＝∠P，
而∠OCB＝∠CBP+∠P，
∴∠CBP＝30°
∴∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，
∴OB⊥BP，
∴PB是⊙O的切线．
【点评】本题考次了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
【变式5-4】（2023•岚山区开学）如图，已知△ABC中，AC＝BC，AD是△ABC外接圆⊙O的直径，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，连接CD．
求证：（1）CD平分∠ADE；
（2）CE是⊙O的切线．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠ABC，等量代换得到∠ADC＝∠CDE，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）连接OC，根据三角形的内角和定理得到∠DCE+∠CDE＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCD＝∠ODC，求得∠OCE＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠ABC，
∵∠CDE＝∠CAB，∠ADC＝∠ABC，
∴∠ADC＝∠CDE，
∴CD平分∠ADE；
（2）连接OC，
∵CE⊥BE，
∴∠E＝90°，
∴∠DCE+∠CDE＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠ODC＝∠CDE，
∴∠OCD＝∠CDE，
∴∠OCD+∠DCE＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
题型六 切线的判定---作半径证垂直
【例题6】（2022•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论．
【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，
∵圆心到直线的距离等于半径，
∴AC是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
【变式6-1】 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．
【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案．
【解答】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC，
又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，
∴OM＝ON，
∴ON为⊙O的半径，
∴CD与⊙O相切．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM＝ON是解题关键．
【变式6-2】（2022•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．
【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线．
（2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB＝AF，得出AB+EB＝AC．
【解答】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F；
∵AB为⊙D的切线，
∴∠B＝90°
∴AB⊥BC
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC
∴BD＝DF
∴AC与⊙D相切；
（2）在△BDE和△DCF中；
∵BD＝DF，DE＝DC，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴EB＝FC．
∵AB＝AF，
∴AB+EB＝AF+FC，
即AB+EB＝AC，
∴AC＝5+3＝8．
【点评】本题考查的是切线的判定、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定方法，证明三角形全等得出EB=FC是解决问题（2）的关键．
【变式6-3】如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE．
（1）求证：OB与⊙D相切；
（2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长．
【分析】（1）过点D作DF⊥OB于点F，先由切线的性质得DE⊥OA，则由角平分线的性质得DF＝DE，即可证得结论；
（2）过E作EG⊥OD于G，先由勾股定理求出OD＝5，再由面积法求出EG=125，然后由勾股定理求出DG=95，最后由勾股定理求出CE即可．
【解答】（1）证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，如图所示：
∵⊙D与OA相切于点E，
∴DE⊥OA，
∵OC平分∠AOB，
∴DF＝DE，
又∵DF⊥OB，
∴OB与⊙D相切；
（2）解：过E作EG⊥OD于G，如图所示：
由（1）得：DE⊥OA，
∴∠OED＝90°，
∵OE＝4，DE＝3，
∴OD=32+42=5，
∵EG⊥OD，
∴12OD×EG=12OE×DE，
∴EG=OE×DEOD=4×35=125，
∴DG=DE2−EG2=32−(125)2=95，
∴CG＝CD+DG＝3+95=245，
∴CE=EG2+CG2=(125)2+(245)2=1255．
【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线．
题型七 切线判定多结论问题
【例题七】（2022秋•青山湖区期末）如图所示，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙O的切线，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由直径所对的圆周角是直角，即可判断出选项①正确；由O为AB中点，得到AO为AB的一半，故AO为AC的一半，选项③正确；由OD为三角形ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得到OD与AC平行，由AC与DE垂直得到OD与DE垂直，即∠ODE为90°，故DE为圆O的切线，选项④正确．
【解答】解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，选项①正确；
连接OD，如图，
∵D为BC中点，O为AB中点，
∴DO为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE为圆O的切线，选项④正确；
又OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠BDO，
∴∠EDA＝∠B，选项②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB，又OA=12AB，
∴OA=12AC，选项③正确；
则正确结论的个数为4个．
故选：D．
【点评】此题考查了切线的判定，及三角形的中位线定理．证明切线时连接OD是解这类题经常连接的辅助线．
【变式7-1】如图，在⊙O中，E是半径OA上一点，射线EF⊥OA，交圆于B，P为EB上任一点，射线AP交圆于C，D为射线BF上一点，且DC＝DP，下列结论：①CD为⊙O的切线；②PA＞PC；③∠CDP＝2∠A，其中正确的结论有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【分析】根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案．
【解答】解：∵DC＝DP，
∴∠DPC＝∠DCP，
∵∠DPC＝∠APE，
∴∠DCP＝∠APE，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA；
∵∠OAC+∠APE＝90°，
∴∠OCA+∠DCP＝90°，
∴CD为⊙O的切线（①正确）；
②不一定；
连接CO，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DCP=12∠AOC．
∵∠DCP=12∠AOC=12（180°﹣2∠A），
又∵∠DCP=12（180°﹣∠CDP），
∴180°﹣2∠A＝180°﹣∠CDP，
∴∠CDP＝2∠A，③正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了切线的判定的理解及运用．
【变式7-2】如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙O的切线，则上述结论中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据圆周角定理和切线的判定，采用排除法，逐条分析判断．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，故①正确；
连接DO，
∵点D是BC的中点，
∴CD＝BD，
又∵∠ADC＝∠ADB＝90°，AD＝AD，
∴△ACD≌△ABD（SAS），
∴AC＝AB，∠C＝∠B，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是圆O的切线，故④正确；
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠ODB，
∵∠ODB＝∠B，
∴∠EDA＝∠B，选项②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB，又OA=12AB，
∴OA=12AC，选项③正确；
故选：D．
【点评】此题考查了切线的判定，证明切线时连接OD是解这类题经常连接的辅助线．
【变式7-3】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝25°，∠C＝90°，∠ADC＝115°，O为AB的中点，以点O为圆心、AO长为半径作圆，恰好使得点D在⊙O上，连接OD，若∠EAD＝25°，下列说法中不正确的是（ ）
A．D是劣弧BE的中点B．CD是⊙O的切线
C．AE∥ODD．∠OBC＝120°
【分析】证出∠BAD＝∠EAD，由圆周角定理得出BD=ED，得出选项A正确；由等腰三角形的性质得出∠ADO＝∠BAD＝25°，求出∠ODC＝∠ADC﹣∠ADO＝90°，得出CD⊥OD，证出CD是⊙O的切线，选项B正确；由圆周角定理得出∠BOD＝2∠BAD＝50°，证出∠BOD＝∠BAE，得出AE∥OD，选项C正确；由已知条件得出∠OBC＝130°，得出选项D不正确；即可得出结论．
【解答】解：∵∠BAD＝25°，∠EAD＝25°，
∴∠BAD＝∠EAD，
∴BD=ED，
∴D是BE的中点，选项A正确；
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠BAD＝25°，
∴∠ODC＝∠ADC﹣∠ADO＝115°﹣25°＝90°，
∴CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切线，选项B正确；
∵∠BOD＝2∠BAD＝50°，∠BAE＝25°+25°＝50°，
∴∠BOD＝∠BAE，
∴AE∥OD，选项C正确；
∵∠C＝90°，
∴∠OBC＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°≠120°，选项D不正确；
故选：D．
【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的判定；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解决问题的关键．
【变式7-4】（2022秋•台江区校级月考）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠ABC＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于BC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，下列结论：
①CE＝CF；②∠E＝30°；③线段EF的最小值为23；④当AD＝2时，EF与半圆相切．其中正确结论的序号是 ．
【分析】①由点E与点D关于AC对称可得CE＝CD，再根据DF⊥DE即可证到CE＝CF，从而判断正误；
②由对称性质得BC⊥DE，∠BCD＝∠BCE，当∠BCD≠60°时，∠E≠30°，从而判断正误；
③根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD⊥AB时CD最小，由于EF＝2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值，从而判断正误；
④连接OC，易证△AOC是等边三角形，AD＝OD，根据等腰三角形的“三线合一”可求出∠ACD，进而可求出∠ECO＝90°，从而得到EF与半圆相切，从而判断正误．
【解答】解：①连接CD，
∵点E与点D关于AC对称，
∴CE＝CD．
∴∠E＝∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°．
∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°．
∴∠F＝∠CDF．
∴CD＝CF．
∴CE＝CD＝CF．
故①的结论正确；
②∵点E与点D关于AC对称，
∴DE⊥BC，∠BCD＝∠BCE，
当∠BCD≠60°时，∠E≠30°，
故②的结论错误；
③当CD⊥AB时，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵AB＝8，∠CBA＝30°，
∴∠CAB＝60°，AC＝4，BC＝43．
∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，
∴CD=12BC＝23．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得点D在线段AB上运动时，CD的最小值为23．
∵CE＝CD＝CF，
∴EF＝2CD．
∴线段EF的最小值为43．
故③的结论错误；
③当AD＝2时，连接OC，
∵OA＝OC，∠CAB＝60°，
∴△OAC是等边三角形．
∴CA＝CO，∠ACO＝60°．
∵AO＝4，AD＝2，
∴DO＝2．
∴AD＝DO．
∴∠ACD＝∠OCD＝30°，
∴∠BCO＝30°，
∵点E与点D关于AC对称，
∴∠ECB＝∠DCB＝60°．
∴∠ECO＝90°．
∴OC⊥EF．
∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，
∴EF与半圆相切．
故④的结论正确；
故答案为：①④．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、垂线段最短等知识，关键是根据轴对称的性质和等边三角形的判定与性质进行分析．
题型八 利用切线的性质求角度
【例题8】如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P＝40°，当∠B等于（ ）时，PA与⊙O相切．
A．20°B．25°C．30°D．40°
【分析】先利用切线的性质求出∠AOP＝50°，再利用等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝50°，
∵OB＝OC，
∴∠AOP＝2∠B，
∴∠B=12∠AOP＝25°，
故选：B．
【点评】此题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，求出∠AOP是解本题的关键．
【变式8-1】（2023•李沧区三模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作⊙O的切线，切点为B，连接AC交⊙O于D，∠C＝38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是（ ）
A．62°B．52°C．38°D．28°
【分析】首先连接BD，由AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，根据圆周角定理与切线的性质，可得∠ADB＝90°，AB⊥BC，又由同角的余角相等，易证得∠AED＝∠ABD＝∠C．
【解答】解：如图，连接BD，
∵AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠ADB＝90°，AB⊥BC，
∴∠C+∠BAC＝∠BAC+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∵∠AED＝∠ABD，
∴∠AED＝∠C＝38°，
故选：C．
【点评】此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
【变式8-2】（2022秋•栖霞市期末）如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上．
若∠D＝25°，则∠A为（ ）
A．25°B．40°C．50°D．65°
【分析】根据切线的性质得到∠OCA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠A．
【解答】解：∵∠D＝25°，
∴∠AOC＝2∠D＝2×25°＝50°，
∵AC切⊙O于点C，
∴OC⊥AC
∴∠OCA＝90°
∴∠A＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，故B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形性质，解题的关键是熟练掌握圆心与切点的连线垂直切线．
【变式8-3】（2023•安岳县二模）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，EA切⊙O于点A，交CD的延长线于点E．若∠ABC＝75°，则∠E的度数为 ．
【分析】连接BC、AD，则∠ADC＝∠ABC＝75°，由OA＝OD，得∠OAD＝∠ADC＝75°，则∠AOE＝30°，由切线的性质得∠OAE＝90°，则∠E＝90°﹣∠AOE＝60°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接BC、AD，则∠ADC＝∠ABC＝75°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADC＝75°，
∴∠AOE＝180°﹣∠OAD﹣∠ADC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∵EA切⊙O于点A，
∴EA⊥OA，
∴∠OAE＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠AOE＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：60°．
【点评】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的性质定量、直角三角形的两个内角互余等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
【变式8-4】（2023•福鼎市模拟）如图，△ABC内接于⊙O，点D在BC的延长线上，AD与⊙O相切，AC＝CD，∠B＝40°，则∠BAD等于（ ）
A．95°B．100°C．110°D．120°
【分析】根据圆周角定理可得∠AOC＝80°，再由等腰三角形的性质以及切线的性质可求出∠CAD＝40°＝∠D，由三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：如图，连接OA、OC，
∵∠ABC＝40°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA=180°−80°2=50°，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠OAD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣50°＝40°，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC﹣∠ADB
＝180°﹣40°﹣40°
＝100°，
故选：B．
【点评】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握切线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和是180°是正确解答的前提．
【变式8-5】（2023•临汾模拟）如图，已知点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点C，BE与⊙O相切，交直线CD于点E．
（1）判断BE与DE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠C＝20°，求∠EBD的度数．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质可得∠OBE＝∠ODE＝90°，从而可得∠OBD+∠EBD＝90°，∠ODB+∠EDB＝90°，再根据等腰三角形的性质可得∠OBD＝∠ODB，然后利用等角的余角相等可得∠EBD＝∠EDB，再根据等角对等边可得EB＝ED；
（2）先根据直角三角形的两个锐角互余可得∠E＝70°，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）BE＝DE，
理由：连接OD，
∵BE与⊙O相切于点B，CD与⊙O相切于点D，
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
∴∠OBD+∠EBD＝90°，∠ODB+∠EDB＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴EB＝ED；
（2）∵∠EBC＝90°，∠C＝20°，
∴∠E＝90°﹣∠C＝70°，
∵EB＝ED，
∴∠EBD＝∠EDB=180°−∠E2=55°，
∴∠EBD的度数为55°．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
题型九 利用切线的性质求线段长
【例题9】（2023•开州区校级模拟）如图，BC与⊙O相切于点C，线段BO交⊙O于点A，过点A作⊙O的切线交BC于点D．若CD＝3，AB＝4，则⊙O的半径等于（ ）
A．4B．5C．6D．12
【分析】根据切线的性质得到AD＝CD＝3，∠BCO＝∠BAD＝90°，根据勾股定理得到BD=AB2+AD2=5，求得BC＝8，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵DA，CD是⊙O的切线，
∴AD＝CD＝3，∠BCO＝∠BAD＝90°，
∵AB＝4，
∴BD=AB2+AD2=5，
∴BC＝8，
∵OC2+BC2＝OB2，
∴OA2+82＝（OA+4）2，
解得OA＝6，
∴⊙O的半径等于6，
故选：C．
【点评】本题考查的是切线的性质、切线长定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
【变式9-1】（2023•遵义一模）如图，AB是半圆O的直径，点P为BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．若CD＝2，BD＝4，则⊙O的半径为（ ）
A．3B．2C．2.5D．25
【分析】连接OC，作OI⊥BD于点I，由PC与⊙O相切于点C，得PC⊥OC，而BD⊥PC交PC的延长线于点D，则∠OCD＝∠CDI＝∠OID＝90°，所以四边形OCDI是矩形，则OE＝CD＝2，ID＝OC＝OB，由BI2+OI2＝OB2，BI＝4﹣ID＝4﹣OB，得（4﹣OB）2+22＝OB2，求得OB＝2.5，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵连接OC，作OI⊥BD于点I，
∵PC与⊙O相切于点C，
∴PC⊥OC，
∵BD⊥PC交PC的延长线于点D，
∴∠OCD＝∠CDI＝∠OID＝90°，
∴四边形OCDI是矩形，
∴OE＝CD＝2，ID＝OC＝OB，
∵∠OIB＝90°，BD＝4，
∴BI2+OI2＝OB2，BI＝4﹣ID＝4﹣OB，
∴（4﹣OB）2+22＝OB2，
解得OB＝2.5，
∴⊙O的半径为2.5，
故选：C．
【点评】此题重点考查切线的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线并且根据勾股定理列方程是解题的关键．
【变式9-2】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（ ）
A．2B．4C．22D．23
【分析】连接OB，根据切线的性质定理得到∠OBD＝90°，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△OAB为等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：连接OB，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ODB＝30°，
∴OD＝2OB＝4，
由勾股定理得，BD=OD2−OB2=23，
故选：D．
【点评】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
【变式9-3】（2023春•铜梁区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是斜边AB边上一点，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O恰好与边BC相切于点D，连接AD，若AD＝BD，⊙O的半径为4，则CD的长度为（ ）
A．23B．4C．3D．5
【分析】由切线的性质得BC⊥OD，则∠ODB＝∠C＝90°，所以OD∥AC，则∠ODA＝∠CAD，由OA＝OD，得∠ODA＝∠BAD，所以∠CAD＝∠BAD，因为AD＝BD，所以∠BAD＝∠B，则∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，所以OB＝2OD＝8，则AD＝BD=OB2−OD2=43，所以CD=12AD＝23，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵⊙O与边BC相切于点D，∠C＝90°，
∴BC⊥OD，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，
∵∠CAD+∠BAD+∠B＝∠CAB+∠B＝90°，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，
∴OB＝2OD＝2×4＝8，
∴AD＝BD=OB2−OD2=82−42=43，
∴CD=12AD=12×43=23，
故选：A．
【点评】此题重点考查切线的性质定理、等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、勾股定理等知识，求得∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°是解题的关键．
【变式9-4】（2022•泸县一模）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长．
【分析】利用切线的性质得∠OAB＝90°，则根据勾股定理可计算出OA＝5，再根据垂径定理得到AH＝CH，接着利用勾股定理计算出AH，从而得到AC的长．
【解答】解：∵AB为切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
在Rt△OAB中，OA=OB2−AB2=132−122=5，
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH，
在Rt△OAH中，AH=OA2−OH2=52−32=4，
∴AC＝2AH＝8，
答：⊙O的半径为5，AC的长为8．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理．
【变式9-5】（2023•银川校级四模）如图△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．
（1）求证：⊙D与AC相切；
（2）若AC＝5，BC＝3，试求AE的长．
【分析】（1）过D作DF⊥AC于F，利用角平分线的性质定理可得BD＝FD即可证明：⊙D与AC相切；
（2）在直角三角形ABC中由勾股定理可求出AB的长，设圆的半径为x，利用切线长定理可求出CF＝BC＝3，所以AF＝2，AD＝AB﹣x，利用勾股定理建立方程求出x，进而求出AE的长．
【解答】（1）证明：过D作DF⊥AC于F，
∵∠B＝90°，
∴AB⊥BC，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴BD＝DF，
∴⊙D与AC相切；
（2）解：设圆的半径为x，
∵∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，
∴AB=AC2−BC2=4，
∵AC，BC，是圆的切线，
∴BC＝CF＝3，
∴AF＝AB﹣CF＝2，
∵AB＝4，
∴AD＝AB﹣BD＝4﹣x，
在Rt△AFD中，（4﹣x）2＝x2+22，
解得：x=32，
∴AE＝4﹣3＝1．
【点评】本题考查了圆的切线的判定、角平分线的性质、切线长定理以及勾股定理的运用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理列方程．
题型十 切线的判定与性质的综合应用
【例题10】（2022秋•嘉陵区校级期末）如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．
（1）求证：HB是⊙O的切线；
（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的直径．
【分析】（1）连接OH，由题意可得∠OHP＝∠HPA＝∠HPB，可证OH∥BP，则可得OH⊥BH，根据切线的判定可证HB是⊙O的切线；
（2）过点O作OE⊥PC，垂足为E，可证四边形EOHB是矩形，可得OE＝BH＝4，OH＝BE，再根据勾股定理可求OP的长，即可求⊙O的直径．
【解答】证明：（1）如图，连接OH，
∵PH平分∠APB，
∴∠HPA＝∠HPB，
∵OP＝OH，
∴∠OHP＝∠HPA，
∴∠HPB＝∠OHP，
∴OH∥BP，
∵BP⊥BH，
∴OH⊥BH，
∴HB是⊙O的切线；
（2）如图，过点O作OE⊥PC，垂足为E，
∵OE⊥PC，OH⊥BH，BP⊥BH，
∴四边形EOHB是矩形，
∴OE＝BH＝4，OH＝BE，
∴CE＝OH﹣2，
∵OE⊥PC
∴PE＝EC＝OH﹣2＝OP﹣2，
在Rt△POE中，OP2＝PE2+OE2，
∴OP2＝（OP﹣2）2+16
∴OP＝5，
∴AP＝2OP＝10，
∴⊙O的直径是10．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，角平分线的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
【变式10-1】（2022•淮安二模）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BC＝3，CD＝33，求ED的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，角平分线的定义可得出OD∥AE，再根据AE⊥CD，得出OD⊥CD，进而得出结论；
（2）利用勾股定理求出半径OD，进而得出∠C＝30°，∠COD＝60°，再根据等腰三角形的性质得出∠OAD＝∠ODA=12×60°＝30°＝∠C，进而得出AD＝CD，即可求解．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD＝∠OAD，
∴∠EAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
又∵AE⊥CD，
∴OD⊥CD，
∵OD是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：设OD＝x＝OB，在Rt△COD中，由勾股定理得，OD2+CD2＝OC2，
即x2+（33）2＝（x+3）2，
解得x＝3，
即OD＝3，OC＝6，
∴∠C＝30°，∠COD＝60°，
∴∠EAD＝∠DAC=12×60°＝30°＝∠C，
∴AD＝CD＝33，
∴DE=12AD=332．
【点评】本题考查切线的判定和性质，掌握切线的判定方法，等腰三角形的性质，平行线的性质以及角平分线的定义是解决问题的关键．
【变式10-2】（2022•仪征市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，根据等腰三角形的性质求出BD＝CD，根据三角形的中位线求出OD∥AC，求出DE⊥OD，根据切线的判定得出即可；
（2）由等腰三角形的性质求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案．
【解答】解：（1）直线DE与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接AD，OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵AO＝BO，
∴DO∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE与⊙O的位置关系是相切；
（2）∵⊙O的半径为5，
∴AC＝AB＝10，
∵BC＝16，BD＝CD，
∴CD＝8，
在Rt△ACD中，
AD=AC2−CD2=102−82=6，
∵S△ADC=12AC•DE=12AD•CD，
∴DE=AD⋅CDAC=6×810=245．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积等知识，正确作出辅助线，熟练掌握掌握切线的判定与性质是解题的关键．
【变式10-3】（2022•盘锦模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE∥AD与BA的延长线交于点E．
（1）求证：CE与⊙O相切；
（2）若AD＝4，∠D＝60°，求线段AB，BC的长．
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得∠AOC＝90°，再根据AD∥EC，可得∠OCE＝90°，从而证明结论；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD＝90°，又AD＝4，∠D＝60°，即得AB=3BD＝23，根据∠ABC＝45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF＝BF=22AB=6，又△AOC是等腰直角三角形，OA＝OC＝2，得AC＝22，故CF=AC2−AF2=2，从而BC＝BF+CF=6+2．
【解答】（1）证明：连接OC，如图：
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵AD∥EC，
∴∠AOC+∠OCE＝180°，
∴∠OCE＝90°，
∴OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：过点A作AF⊥BC于F，如图：
∵AD是圆O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AD＝4，∠D＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD=12AD＝2，
∴AB=3BD＝23；
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝BF=22AB=22×23=6，
∵△AOC是等腰直角三角形，OA＝OC＝2，
∴AC＝22，
∴CF=AC2−AF2=(22)2−(6)2=2，
∴BC＝BF+CF=6+2．
答：线段AB的长为23，线段BC的长为6+2．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．
【变式10-4】（2023•牧野区校级三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OA，因为点A在⊙O上，所以只要证明OA⊥AE即可；由同圆的半径相等得：OA＝OD，则∠ODA＝∠OAD，根据角平分线可知：∠OAD＝∠EDA，所以EC∥OA，由此得OA⊥AE，则AE是⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F，证明四边形AOFE是矩形，得OF＝AE＝4cm，由垂径定理得：DF＝3，根据勾股定理求半径OD的长．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA＝∠EDA，
∴∠OAD＝∠EDA，
∴EC∥OA，
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE，
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F，
∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，
∴四边形AOFE是矩形，
∴OF＝AE＝4cm，
又∵OF⊥CD，
∴DF=12CD＝3cm，
在Rt△ODF中，OD=OF2+DF2=5cm，
即⊙O的半径为5cm．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，在判定一条直线为圆的切线时，分两种情况判定：①当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径即可，②当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，此题属于第二种情况：连接OA，是半径，证明垂直即可．
直线和圆的位置关系
相离
相切
相交
定义
直线和圆没有公共点，这时这条直线和圆相离
直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切
直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交
图形
公共点个数
0
1
2
圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系
d＞ r
d＝ r
d＜ r
公共点名称
切点
交点
直线名称
切线
割线
总结
直线与圆相离 ⇔ d＞r
直线与圆相切 ⇔ d = r
直线与圆相交 ⇔ d＜r
解题技巧提炼
本题主要考查了直线和圆的位置关系，解决此类问题的关键是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断．
①d＜r⇔直线和圆相交；②d＝r⇔直线和圆相切；③d＞r⇔直线和圆相离．
解题技巧提炼
直线和圆的位置关系与圆的公共点个数间的关系：
1、直线和圆相交⇔两个公共点，
2、直线和圆相切⇔一个公共点，
3、直线和圆相离⇔没有公共点．
解题技巧提炼
解决此类问题的关键是根据直线和圆的位置关系，得到圆心到直线的距离与半径的大小关系，然后求其取值范围即可．
解题技巧提炼
本题主要考查了根据直线和圆的位置关系中的相切来解决问题，结合勾股定理，添加适当的辅助线是解题的关键．利用“过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短”求最值.
解题技巧提炼
直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于 90°等.
解题技巧提炼
直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”.证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用角平分线上的点到角的两边的距离相等.
解题技巧提炼
本题考查的是垂径定理，有时需要根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
解题技巧提炼
已知切线，通常需连接过切点的半径，利用切线的性质可得到直角，然后结合圆周角定理及其推论，找到要求的角与已知角之间的联系，从而求出角度.
解题技巧提炼
利用切线的性质求线段长度时，通常利用切线的性质构造直角三角形，抓住题目中的已知条件，在直角三角形中利用勾股定理找出等量关系求解.当题目中含有特殊角时，可以含30°或45°的直角三角形的性质求解.
解题技巧提炼
切线的判定与性质的综合运用问题主要里结合利用了垂径定理、全等三角形、等腰三角形、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握它们的性质是解题的关键．
直线和圆的位置关系
相离
相切
相交
定义
直线和圆没有公共点，这时这条直线和圆相离
直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切
直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交
图形
公共点个数
0
1
2
圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系
d＞ r
d＝ r
d＜ r
公共点名称
切点
交点
直线名称
切线
割线
总结
直线与圆相离 ⇔ d＞r
直线与圆相切 ⇔ d = r
直线与圆相交 ⇔ d＜r
解题技巧提炼
本题主要考查了直线和圆的位置关系，解决此类问题的关键是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断．
①d＜r⇔直线和圆相交；②d＝r⇔直线和圆相切；③d＞r⇔直线和圆相离．
解题技巧提炼
直线和圆的位置关系与圆的公共点个数间的关系：
1、直线和圆相交⇔两个公共点，
2、直线和圆相切⇔一个公共点，
3、直线和圆相离⇔没有公共点．
解题技巧提炼
解决此类问题的关键是根据直线和圆的位置关系，得到圆心到直线的距离与半径的大小关系，然后求其取值范围即可．
解题技巧提炼
本题主要考查了根据直线和圆的位置关系中的相切来解决问题，结合勾股定理，添加适当的辅助线是解题的关键．利用“过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短”求最值.
解题技巧提炼
直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于 90°等.
解题技巧提炼
直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”.证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用角平分线上的点到角的两边的距离相等.
解题技巧提炼
本题考查的是垂径定理，有时需要根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
解题技巧提炼
已知切线，通常需连接过切点的半径，利用切线的性质可得到直角，然后结合圆周角定理及其推论，找到要求的角与已知角之间的联系，从而求出角度.
解题技巧提炼
利用切线的性质求线段长度时，通常利用切线的性质构造直角三角形，抓住题目中的已知条件，在直角三角形中利用勾股定理找出等量关系求解.当题目中含有特殊角时，可以含30°或45°的直角三角形的性质求解.
解题技巧提炼
切线的判定与性质的综合运用问题主要里结合利用了垂径定理、全等三角形、等腰三角形、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握它们的性质是解题的关键．
直线与圆的位置关系 & 切线的判定与性质
知识点一
直线和圆的位置关系
知识点二
圆的切线的判定定理
◆1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
◆2、几何语言表示：（如右图）
∵OA为☉O的半径，BC⊥OA于A，
∴直线l是☉O的切线
◆3、判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
（1）定义法：（如图1）直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；
（2）数量关系法：（如图2）圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
（3）判定定理：（如图3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
◆4、常见证切线作辅助线的方法：
（1）有交点，连半径，证垂直；
（2）无交点，作垂直，证相等(证明 d = r ).
知识点三
圆的切线的性质定理
◆1、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
◆2、几何语言表示：
∵直线l是☉O的切线，A是切点，
∴直线l ⊥OA.
题型一 判断直线和圆的位置关系
【例题1】（2023•南浔区二模）已知平面内有⊙O与直线AB，⊙O的半径为3cm，点O到直线AB的距离为3cm，则直线AB与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．不能判断
【变式1-1】（2023春•宁远县期中）已知⊙O的半径是10，圆心O到直线l的距离是13，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．无法确定
【变式1-2】（2022秋•大名县校级期末）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．平行
【变式1-3】（2023•江夏区校级模拟）已知平面内有⊙O和点M，N，若⊙O半径为2cm，线段OM＝3cm，ON＝2cm，则直线MN与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．相切D．相交或相切
【变式1-4】（2022秋•广阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）
A．点B在⊙A内B．直线BC与⊙A相离
C．点C在⊙A上D．直线BC与⊙A相切
【变式1-5】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有何位置关系？为什么？
（1）r＝4cm．（2）r＝4.8cm．（3）r＝6cm．
题型二 根据直线和圆的位置关系确定交点个数
【例题2】（2022秋•江夏区校级期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
【变式2-1】已知⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为9cm，则直线l与⊙O的公共点的个数
为（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
【变式2-2】（2022秋•武汉期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．不能确定
【变式2-3】已知⊙O的半径是3，圆心O到直线l的距离是4，则直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．1或2
【变式2-4】已知⊙O的直径等于8cm，圆心O到直线l上一点的距离为4cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．1或2
题型三 已知直线和圆的位置关系确定取值范围
【例题3】（2023•浦东新区校级模拟）在平面直角坐标系中，以点A（4，3）为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（ ）
A．0＜R＜5B．3＜R＜4C．3＜R＜5D．4＜R＜5
【变式3-1】（2022秋•连云港期中）直线l与⊙O相离，且⊙O的半径r等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ．
【变式3-2】（2022秋•青龙县月考）如图，已知∠ACB＝30°，CM＝2，AM＝5，以点M为圆心，r为半径作⊙M，⊙M与线段AC有交点时，则r的取值范围是 ．
【变式3-3】（2023•前郭县二模）如图，平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
【变式3-4】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB有唯一公共点，求半径r的取值范围．
题型四 利用直线与圆的位置关系求最值
【例题4】（2022秋•凉山州期末）点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA的最小值是 ．
【变式4-1】（2022•雁塔区校级模拟）如图，在等腰三角形ABC中，已知BC＝4，AB＝AC＝3，若⊙C的半径为1，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ．
【变式4-2】（2023春•市南区校级月考）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点
P(m，3m+23)，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．3B．2C．3D．2
【变式4-3】（2022秋•常熟市期中）如图，直线y=34x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（ ）
A．5B．10C．15D．20
题型五 切线的判定---连半径证垂直
【例题5】（2023春•保德县校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．求证：DE是⊙O切线．
【变式5-1】（2022秋•黄埔区期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，垂足为D，AC平分∠DAB．求证：DC为⊙O的切线．
【变式5-2】（2023•义乌市模拟）如图，⊙O的直径AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于点D，D是BC的中点．
（1）求BC的长；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．
【变式5-3】（2022•昭平县一模）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．
（1）求AB的长；
（2）若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．
【变式5-4】（2023•岚山区开学）如图，已知△ABC中，AC＝BC，AD是△ABC外接圆⊙O的直径，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，连接CD．
求证：（1）CD平分∠ADE；
（2）CE是⊙O的切线．
题型六 切线的判定---作半径证垂直
【例题6】（2022•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
【变式6-1】 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．
【变式6-2】（2022•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．
【变式6-3】如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE．
（1）求证：OB与⊙D相切；
（2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长．
题型七 切线判定多结论问题
【例题七】（2022秋•青山湖区期末）如图所示，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙O的切线，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式7-1】如图，在⊙O中，E是半径OA上一点，射线EF⊥OA，交圆于B，P为EB上任一点，射线AP交圆于C，D为射线BF上一点，且DC＝DP，下列结论：①CD为⊙O的切线；②PA＞PC；③∠CDP＝2∠A，其中正确的结论有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【变式7-2】如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙O的切线，则上述结论中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式7-3】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝25°，∠C＝90°，∠ADC＝115°，O为AB的中点，以点O为圆心、AO长为半径作圆，恰好使得点D在⊙O上，连接OD，若∠EAD＝25°，下列说法中不正确的是（ ）
A．D是劣弧BE的中点B．CD是⊙O的切线
C．AE∥ODD．∠OBC＝120°
【变式7-4】（2022秋•台江区校级月考）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠ABC＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于BC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，下列结论：
①CE＝CF；②∠E＝30°；③线段EF的最小值为23；④当AD＝2时，EF与半圆相切．其中正确结论的序号是 ．
题型八 利用切线的性质求角度
【例题8】如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P＝40°，当∠B等于（ ）时，PA与⊙O相切．
A．20°B．25°C．30°D．40°
【变式8-1】（2023•李沧区三模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作⊙O的切线，切点为B，连接AC交⊙O于D，∠C＝38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是（ ）
A．62°B．52°C．38°D．28°
【变式8-2】（2022秋•栖霞市期末）如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上．
若∠D＝25°，则∠A为（ ）
A．25°B．40°C．50°D．65°
【变式8-3】（2023•安岳县二模）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，EA切⊙O于点A，交CD的延长线于点E．若∠ABC＝75°，则∠E的度数为 ．
【变式8-4】（2023•福鼎市模拟）如图，△ABC内接于⊙O，点D在BC的延长线上，AD与⊙O相切，AC＝CD，∠B＝40°，则∠BAD等于（ ）
A．95°B．100°C．110°D．120°
【变式8-5】（2023•临汾模拟）如图，已知点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点C，BE与⊙O相切，交直线CD于点E．
（1）判断BE与DE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠C＝20°，求∠EBD的度数．
题型九 利用切线的性质求线段长
【例题9】（2023•开州区校级模拟）如图，BC与⊙O相切于点C，线段BO交⊙O于点A，过点A作⊙O的切线交BC于点D．若CD＝3，AB＝4，则⊙O的半径等于（ ）
A．4B．5C．6D．12
【变式9-1】（2023•遵义一模）如图，AB是半圆O的直径，点P为BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．若CD＝2，BD＝4，则⊙O的半径为（ ）
A．3B．2C．2.5D．25
【变式9-2】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（ ）
A．2B．4C．22D．23
【变式9-3】（2023春•铜梁区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是斜边AB边上一点，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O恰好与边BC相切于点D，连接AD，若AD＝BD，⊙O的半径为4，则CD的长度为（ ）
A．23B．4C．3D．5
【变式9-4】（2022•泸县一模）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长．
【变式9-5】（2023•银川校级四模）如图△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．
（1）求证：⊙D与AC相切；
（2）若AC＝5，BC＝3，试求AE的长．
题型十 切线的判定与性质的综合应用
【例题10】（2022秋•嘉陵区校级期末）如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．
（1）求证：HB是⊙O的切线；
（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的直径．
【变式10-1】（2022•淮安二模）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BC＝3，CD＝33，求ED的长．
【变式10-2】（2022•仪征市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
【变式10-3】（2022•盘锦模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE∥AD与BA的延长线交于点E．
（1）求证：CE与⊙O相切；
（2）若AD＝4，∠D＝60°，求线段AB，BC的长．
【变式10-4】（2023•牧野区校级三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．
（苏科版）九年级上册数学《第2章 对称图形---圆》
2.5 直线与圆的位置关系（1）
直线与圆的位置关系 & 切线的判定与性质
知识点一
直线和圆的位置关系
知识点二
圆的切线的判定定理
◆1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
◆2、几何语言表示：（如右图）
∵OA为☉O的半径，BC⊥OA于A，
∴直线l是☉O的切线
◆3、判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
（1）定义法：（如图1）直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；
（2）数量关系法：（如图2）圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
（3）判定定理：（如图3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
◆4、常见证切线作辅助线的方法：
（1）有交点，连半径，证垂直；
（2）无交点，作垂直，证相等(证明 d = r ).
知识点三
圆的切线的性质定理
◆1、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
◆2、几何语言表示：
∵直线l是☉O的切线，A是切点，
∴直线l ⊥OA.
题型一 判断直线和圆的位置关系
【例题1】（2023•南浔区二模）已知平面内有⊙O与直线AB，⊙O的半径为3cm，点O到直线AB的距离为3cm，则直线AB与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．不能判断
【分析】根据点O到直线AB的距离与圆的半径大小作比较即可．
【解答】解：∵点O到直线AB的距离为3cm，且⊙O的半径为3cm，
∴3cm＝3cm，即直线AB与⊙O的位置关系是相切，
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
【变式1-1】（2023春•宁远县期中）已知⊙O的半径是10，圆心O到直线l的距离是13，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．无法确定
【分析】运用直线与圆的三种位置关系，结合10＜13，即可解决问题．
【解答】解：∵⊙O的半径为10，圆心O到直线l的距离是13，而10＜13，
∴点O到直线l的距离大于半径，
∴直线l与⊙O相离．
故选：A．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
【变式1-2】（2022秋•大名县校级期末）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．平行
【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∵⊙O的半径为一元二次方程程x2﹣2x﹣3＝0的根，
∴r＝3，
∵d＞r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故选：C．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
【变式1-3】（2023•江夏区校级模拟）已知平面内有⊙O和点M，N，若⊙O半径为2cm，线段OM＝3cm，ON＝2cm，则直线MN与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．相切D．相交或相切
【分析】根据直线上点与圆的位置关系的判定得出直线与圆的位置关系．
【解答】解：∵⊙O的半径为2cm，线段OM＝3cm，ON＝2cm，
即点M到圆心O的距离大于圆的半径，点N到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点M在⊙O外，点N在⊙O上，
∴直线MN与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
【变式1-4】（2022秋•广阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）
A．点B在⊙A内B．直线BC与⊙A相离
C．点C在⊙A上D．直线BC与⊙A相切
【分析】过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH＝CH=12BC＝4，则利用勾股定理可计算出AH＝3，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．
【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH=12BC＝4，
在Rt△ABH中，AH=AB2−BH2=52−42=3，
∵AB＝5＞3，
∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；
∵AC＝5＞3，
∴C点在⊙A外，所以C选项不符合题意；
∴AH＝3，AH⊥BC，
∴直线BC与⊙A相切，所以D选项符合题意，B选项不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了点与圆的位置关系和等腰三角形的性质．
【变式1-5】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有何位置关系？为什么？
（1）r＝4cm．（2）r＝4.8cm．（3）r＝6cm．
【分析】此题重点是求得圆心到直线的距离，即是求直角三角形斜边上的高．该高等于两条直角边的乘积除以斜边，然后根据数量关系判断直线和圆的位置关系．
若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：AB=AC2+BC2=62+82=10（cm），
设AB边高为h，
则h•AB＝AC×BC，
h=6×810=4.8（cm）．
（1）当r＝4cm，d＞r，则AB与⊙C相离；
（2）当r＝4.8cm，d＝r，则AB与⊙C相切；
（3）当r＝6cm，r＞d，则AB与⊙C相交．
【点评】注意直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边；能够熟练根据数量关系判断直线和圆的位置关系是解题的关键．
题型二 根据直线和圆的位置关系确定交点个数
【例题2】（2022秋•江夏区校级期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相交，然后根据相离的定义对各选项进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，
即圆心O到直线l的距离小于圆的半径，
∴直线l和⊙O相交，
∴直线l与⊙O有2个公共点．
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．
【变式2-1】已知⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为9cm，则直线l与⊙O的公共点的个数
为（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为9cm，
即圆心O到直线l的距离大于圆的半径，
∴直线l和⊙O相离，
∴直线l与⊙O没有公共点．
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．
【变式2-2】（2022秋•武汉期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．不能确定
【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝10，
∴斜边上的高为：AB⋅ACBC=4.8，
∴d＝4.8cm＝rcm＝4.8cm，
∴圆与该直线BC的位置关系是相切，交点个数为1，
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．
【变式2-3】已知⊙O的半径是3，圆心O到直线l的距离是4，则直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．1或2
【分析】欲求直线l与圆O的位置关系，关键是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：∵圆半径r＝3，圆心到直线的距离d＝4．
故r＝3＜d＝4，
∴直线与圆的位置关系是相离．
∴直线l与⊙O的公共点的个数是0，
故选：A．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
【变式2-4】已知⊙O的直径等于8cm，圆心O到直线l上一点的距离为4cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．1或2
【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断．
【解答】解：∵⊙O的直径等于8cm，圆心O到直线l上一点的距离为4cm，
∴⊙O的半径等于4cm，圆心O到直线l的距离≤4cm
即圆心O到直线l的距离≤圆的半径，
∴直线l和⊙O相切或相交，
∴直线l与⊙O有1个或2个有公共点．
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．
题型三 已知直线和圆的位置关系确定取值范围
【例题3】（2023•浦东新区校级模拟）在平面直角坐标系中，以点A（4，3）为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（ ）
A．0＜R＜5B．3＜R＜4C．3＜R＜5D．4＜R＜5
【分析】分别根据原点O在圆A的外部，圆A与x轴相交，可得半径R的取值范围．
【解答】解：∵A（4，3），
∴OA=32+42=5，
∵原点O在圆A的外部，
∴R＜OA，即R＜5，
∵圆A与x轴相交，
∴R＞3，
∴3＜R＜5，
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，直线、点与圆的位置关系等知识点，能熟记直线、点与圆的位置关系是解此题的关键．
【变式3-1】（2022秋•连云港期中）直线l与⊙O相离，且⊙O的半径r等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ．
【分析】根据“若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离”即可得到结论．
【解答】解：∵直线l与⊙O相离，⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，
∴d＞3．
故答案为：d＞3．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＞r时，直线l和⊙O相离是解答此题的关键．
【变式3-2】（2022秋•青龙县月考）如图，已知∠ACB＝30°，CM＝2，AM＝5，以点M为圆心，r为半径作⊙M，⊙M与线段AC有交点时，则r的取值范围是 ．
【分析】过M作MH⊥AC于H，根据直角三角形的性质得到HM=12CM＝1，然后根据直线与圆的位置关系即可得到结论．
【解答】解：过M作MH⊥AC于H，
∵CM＝2，∠ACB＝30°，
∴HM=12CM＝1，
∵AM＝5，⊙M与线段AC有交点，
∴r的取值范围是1≤r≤5，
故答案为：1≤r≤5．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．
【变式3-3】（2023•前郭县二模）如图，平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．
【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．
故平移的距离d的取值范围是1＜d＜5．
故答案为：1＜d＜5．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．
【变式3-4】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB有唯一公共点，求半径r的取值范围．
【分析】此题注意两种情况：
（1）圆与AB相切时；
（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时．
根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．
【解答】解：如图，根据勾股定理求得AB＝5．
∵BC＞AC，
∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点分两种情况：
（1）圆与AB相切时，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4；
（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．
∴3＜r≤4或r＝2.4．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，此题注意考虑两种情况，只需保证圆和斜边只有一个公共点即可．
题型四 利用直线与圆的位置关系求最值
【例题4】（2022秋•凉山州期末）点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA的最小值是 ．
【分析】根据勾股定理用OP表示出PA，根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：∵∠POA＝90°，
∴PA=OA2+OP2=4+OP2，
当OP最小时，PA取最小值，
由题意得：当OP⊥MN时，OP最小，最小值为3，
∴PA的最小值为：4+32=13，
故答案为：13．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系、垂线段最短、勾股定理的应用，根据勾股定理表示出PA的长是解题的关键．
【变式4-1】（2022•雁塔区校级模拟）如图，在等腰三角形ABC中，已知BC＝4，AB＝AC＝3，若⊙C的半径为1，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ．
【分析】作AE⊥BC于点E，CD⊥AB于点D，连接CP、CQ，先由BC＝4，AB＝AC＝3得BE＝CE=12BC＝2，再根据勾股定理求得AE=5，由12×3CD=12×4×5=S△ABC求得CD=453，由PQ=CP2−1可知，当CP的值最小时，PQ的值最小，所以当点P与点D重合时，CP的值最小，根据勾股定理求出此时PQ的值即可．
【解答】解：如图，作AE⊥BC于点E，CD⊥AB于点D，连接CP、CQ，
∵BC＝4，AB＝AC＝3，
∴BE＝CE=12BC=12×4＝2，
∵∠AEB＝90°，
∴AE=AB2−BE2=32−22=5，
∵12AB•CD=12BC•AE＝S△ABC，
∴12×3CD=12×4×5，
∴CD=453，
∵PQ切⊙O于点Q，CQ＝1，
∴PQ⊥CQ，
∴∠CQP＝90°，
∴PQ=CP2−CQ2=CP2−12=CP2−1，
∴当CP的值最小时，PQ的值最小，
∴当点P与点D重合时，CP的值最小，此时CP＝CD=453，
∴PQ最小=(453)2−1=713，
故答案为：713．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的性质、根据面积等式列方程求线段的长度、勾股定理、垂线段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
【变式4-2】（2023春•市南区校级月考）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P(m，3m+23)，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．3B．2C．3D．2
【分析】连接PA，OA，由切线的性质得到OA⊥PA，求出PO2＝m2+(3m+23)2=4m2+12m+12，由勾股定理得到PA2＝PO2﹣OA2＝4m2+12m+11＝4(m+32)2+2，即可求出PA的最小值是2．
【解答】解：连接PO，OA，
∵PA切圆于A，
∴OA⊥PA，
∵点P(m，3m+23)，
∴PO2＝m2+(3m+23)2=4m2+12m+12，
∵圆的半径是1，
∴OA＝1，
∴PA2＝PO2﹣OA2＝4m2+12m+11＝4(m+32)2+2，
∴PA2的最小值是2，
∵PA＞0，
∴PA的最小值是2．
故选：D．
【点评】本题考查切线的性质，勾股定理，二次函数的性质，关键是由切线的性质，勾股定理得到PA2＝PO2﹣OA2＝4m2+12m+11＝4(m+32)2+2，即可求出PA的最小值．
【变式4-3】（2022秋•常熟市期中）如图，直线y=34x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（ ）
A．5B．10C．15D．20
【分析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．当点P与E重合时，△PAB的面积最小，求出EH、AB的长即可解决问题
【解答】解：作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．
∵C（1，0），直线AB的解析式为y=34x+3，
∴直线CH的解析式为y=−43x+43，
由 y=−43x+43y=34x+3解得x=−45y=125，
∴H（−45，125），
∴CH=(1+45)2+(125)2=3，
∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，AB＝5，
∴EH＝3﹣1＝2，
当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值=12×5×2＝5，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
题型五 切线的判定---连半径证垂直
【例题5】（2023春•保德县校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．求证：DE是⊙O切线．
【分析】连接OD，由于∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，那么∠BAC＝∠BOD，可得OD∥AC，而DE⊥AC，易证∠ODB＝90°，从而可证DE是⊙O切线．
【解答】证明：连接OD，
∵∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BAC＝∠BOD，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ODE＝∠AED＝90°，
∴半径OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一定理、平行线的判定和性质、圆周角定理、切线的判定．解题的关键是连接OD、AD，并证明OD∥AC．
【变式5-1】（2022秋•黄埔区期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，垂足为D，AC平分∠DAB．求证：DC为⊙O的切线．
【分析】由于C是⊙O上一点，连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA＝∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．
【解答】证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAC，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．
【点评】本题主要考查的是切线的判定方法．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
【变式5-2】（2023•义乌市模拟）如图，⊙O的直径AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于点D，D是BC的中点．
（1）求BC的长；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．
【分析】（1）根据圆周角定理求得∠ADB＝90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；
（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO＝90°即可．
【解答】解：（1）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠ABC＝30°，AB＝4，
∴BD＝23，
∵D是BC的中点，
∴BC＝2BD＝43；
（2）连接OD．
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴DO是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，则∠EDO＝∠CED
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，∠EDO＝∠CED＝90°
∴DE是⊙O的切线．
【点评】此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．
【变式5-3】（2022•昭平县一模）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．
（1）求AB的长；
（2）若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．
【分析】（1）连接OA、OB，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝60°，则∠OAD＝30°，所以OD=12OA＝1，AD=3OD=3，再根据垂径定理得AD＝BD，所以AB＝23；
（2）由（1）∠BOC＝60°，则△OCB为等边三角形，所以BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，而CP＝CO＝CB，则∠CBP＝∠P，可计算出∠CBP＝30°，所以∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，于是根据切线的判定定理得PB是⊙O的切线．
【解答】（1）解：连接OA、OB，如图，
∵∠ABC＝30°，OP⊥AB，
∴∠AOC＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴OD=12OA=12×2＝1，
∴AD=3OD=3，
又∵OP⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AB＝23；
（2）证明：由（1）∠BOC＝60°，
而OC＝OB，
∴△OCB为等边三角形，
∴BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴C是OP的中点，
∴CP＝CO＝CB，
∴∠CBP＝∠P，
而∠OCB＝∠CBP+∠P，
∴∠CBP＝30°
∴∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，
∴OB⊥BP，
∴PB是⊙O的切线．
【点评】本题考次了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
【变式5-4】（2023•岚山区开学）如图，已知△ABC中，AC＝BC，AD是△ABC外接圆⊙O的直径，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，连接CD．
求证：（1）CD平分∠ADE；
（2）CE是⊙O的切线．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠ABC，等量代换得到∠ADC＝∠CDE，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）连接OC，根据三角形的内角和定理得到∠DCE+∠CDE＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCD＝∠ODC，求得∠OCE＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠ABC，
∵∠CDE＝∠CAB，∠ADC＝∠ABC，
∴∠ADC＝∠CDE，
∴CD平分∠ADE；
（2）连接OC，
∵CE⊥BE，
∴∠E＝90°，
∴∠DCE+∠CDE＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠ODC＝∠CDE，
∴∠OCD＝∠CDE，
∴∠OCD+∠DCE＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
题型六 切线的判定---作半径证垂直
【例题6】（2022•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论．
【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，
∵圆心到直线的距离等于半径，
∴AC是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
【变式6-1】 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．
【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案．
【解答】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC，
又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，
∴OM＝ON，
∴ON为⊙O的半径，
∴CD与⊙O相切．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM＝ON是解题关键．
【变式6-2】（2022•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．
【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线．
（2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB＝AF，得出AB+EB＝AC．
【解答】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F；
∵AB为⊙D的切线，
∴∠B＝90°
∴AB⊥BC
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC
∴BD＝DF
∴AC与⊙D相切；
（2）在△BDE和△DCF中；
∵BD＝DF，DE＝DC，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴EB＝FC．
∵AB＝AF，
∴AB+EB＝AF+FC，
即AB+EB＝AC，
∴AC＝5+3＝8．
【点评】本题考查的是切线的判定、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定方法，证明三角形全等得出EB=FC是解决问题（2）的关键．
【变式6-3】如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE．
（1）求证：OB与⊙D相切；
（2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长．
【分析】（1）过点D作DF⊥OB于点F，先由切线的性质得DE⊥OA，则由角平分线的性质得DF＝DE，即可证得结论；
（2）过E作EG⊥OD于G，先由勾股定理求出OD＝5，再由面积法求出EG=125，然后由勾股定理求出DG=95，最后由勾股定理求出CE即可．
【解答】（1）证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，如图所示：
∵⊙D与OA相切于点E，
∴DE⊥OA，
∵OC平分∠AOB，
∴DF＝DE，
又∵DF⊥OB，
∴OB与⊙D相切；
（2）解：过E作EG⊥OD于G，如图所示：
由（1）得：DE⊥OA，
∴∠OED＝90°，
∵OE＝4，DE＝3，
∴OD=32+42=5，
∵EG⊥OD，
∴12OD×EG=12OE×DE，
∴EG=OE×DEOD=4×35=125，
∴DG=DE2−EG2=32−(125)2=95，
∴CG＝CD+DG＝3+95=245，
∴CE=EG2+CG2=(125)2+(245)2=1255．
【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线．
题型七 切线判定多结论问题
【例题七】（2022秋•青山湖区期末）如图所示，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙O的切线，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由直径所对的圆周角是直角，即可判断出选项①正确；由O为AB中点，得到AO为AB的一半，故AO为AC的一半，选项③正确；由OD为三角形ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得到OD与AC平行，由AC与DE垂直得到OD与DE垂直，即∠ODE为90°，故DE为圆O的切线，选项④正确．
【解答】解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，选项①正确；
连接OD，如图，
∵D为BC中点，O为AB中点，
∴DO为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE为圆O的切线，选项④正确；
又OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠BDO，
∴∠EDA＝∠B，选项②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB，又OA=12AB，
∴OA=12AC，选项③正确；
则正确结论的个数为4个．
故选：D．
【点评】此题考查了切线的判定，及三角形的中位线定理．证明切线时连接OD是解这类题经常连接的辅助线．
【变式7-1】如图，在⊙O中，E是半径OA上一点，射线EF⊥OA，交圆于B，P为EB上任一点，射线AP交圆于C，D为射线BF上一点，且DC＝DP，下列结论：①CD为⊙O的切线；②PA＞PC；③∠CDP＝2∠A，其中正确的结论有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【分析】根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案．
【解答】解：∵DC＝DP，
∴∠DPC＝∠DCP，
∵∠DPC＝∠APE，
∴∠DCP＝∠APE，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA；
∵∠OAC+∠APE＝90°，
∴∠OCA+∠DCP＝90°，
∴CD为⊙O的切线（①正确）；
②不一定；
连接CO，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DCP=12∠AOC．
∵∠DCP=12∠AOC=12（180°﹣2∠A），
又∵∠DCP=12（180°﹣∠CDP），
∴180°﹣2∠A＝180°﹣∠CDP，
∴∠CDP＝2∠A，③正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了切线的判定的理解及运用．
【变式7-2】如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙O的切线，则上述结论中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据圆周角定理和切线的判定，采用排除法，逐条分析判断．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，故①正确；
连接DO，
∵点D是BC的中点，
∴CD＝BD，
又∵∠ADC＝∠ADB＝90°，AD＝AD，
∴△ACD≌△ABD（SAS），
∴AC＝AB，∠C＝∠B，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是圆O的切线，故④正确；
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠ODB，
∵∠ODB＝∠B，
∴∠EDA＝∠B，选项②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB，又OA=12AB，
∴OA=12AC，选项③正确；
故选：D．
【点评】此题考查了切线的判定，证明切线时连接OD是解这类题经常连接的辅助线．
【变式7-3】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝25°，∠C＝90°，∠ADC＝115°，O为AB的中点，以点O为圆心、AO长为半径作圆，恰好使得点D在⊙O上，连接OD，若∠EAD＝25°，下列说法中不正确的是（ ）
A．D是劣弧BE的中点B．CD是⊙O的切线
C．AE∥ODD．∠OBC＝120°
【分析】证出∠BAD＝∠EAD，由圆周角定理得出BD=ED，得出选项A正确；由等腰三角形的性质得出∠ADO＝∠BAD＝25°，求出∠ODC＝∠ADC﹣∠ADO＝90°，得出CD⊥OD，证出CD是⊙O的切线，选项B正确；由圆周角定理得出∠BOD＝2∠BAD＝50°，证出∠BOD＝∠BAE，得出AE∥OD，选项C正确；由已知条件得出∠OBC＝130°，得出选项D不正确；即可得出结论．
【解答】解：∵∠BAD＝25°，∠EAD＝25°，
∴∠BAD＝∠EAD，
∴BD=ED，
∴D是BE的中点，选项A正确；
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠BAD＝25°，
∴∠ODC＝∠ADC﹣∠ADO＝115°﹣25°＝90°，
∴CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切线，选项B正确；
∵∠BOD＝2∠BAD＝50°，∠BAE＝25°+25°＝50°，
∴∠BOD＝∠BAE，
∴AE∥OD，选项C正确；
∵∠C＝90°，
∴∠OBC＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°≠120°，选项D不正确；
故选：D．
【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的判定；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解决问题的关键．
【变式7-4】（2022秋•台江区校级月考）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠ABC＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于BC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，下列结论：
①CE＝CF；②∠E＝30°；③线段EF的最小值为23；④当AD＝2时，EF与半圆相切．其中正确结论的序号是 ．
【分析】①由点E与点D关于AC对称可得CE＝CD，再根据DF⊥DE即可证到CE＝CF，从而判断正误；
②由对称性质得BC⊥DE，∠BCD＝∠BCE，当∠BCD≠60°时，∠E≠30°，从而判断正误；
③根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD⊥AB时CD最小，由于EF＝2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值，从而判断正误；
④连接OC，易证△AOC是等边三角形，AD＝OD，根据等腰三角形的“三线合一”可求出∠ACD，进而可求出∠ECO＝90°，从而得到EF与半圆相切，从而判断正误．
【解答】解：①连接CD，
∵点E与点D关于AC对称，
∴CE＝CD．
∴∠E＝∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°．
∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°．
∴∠F＝∠CDF．
∴CD＝CF．
∴CE＝CD＝CF．
故①的结论正确；
②∵点E与点D关于AC对称，
∴DE⊥BC，∠BCD＝∠BCE，
当∠BCD≠60°时，∠E≠30°，
故②的结论错误；
③当CD⊥AB时，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵AB＝8，∠CBA＝30°，
∴∠CAB＝60°，AC＝4，BC＝43．
∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，
∴CD=12BC＝23．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得点D在线段AB上运动时，CD的最小值为23．
∵CE＝CD＝CF，
∴EF＝2CD．
∴线段EF的最小值为43．
故③的结论错误；
③当AD＝2时，连接OC，
∵OA＝OC，∠CAB＝60°，
∴△OAC是等边三角形．
∴CA＝CO，∠ACO＝60°．
∵AO＝4，AD＝2，
∴DO＝2．
∴AD＝DO．
∴∠ACD＝∠OCD＝30°，
∴∠BCO＝30°，
∵点E与点D关于AC对称，
∴∠ECB＝∠DCB＝60°．
∴∠ECO＝90°．
∴OC⊥EF．
∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，
∴EF与半圆相切．
故④的结论正确；
故答案为：①④．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、垂线段最短等知识，关键是根据轴对称的性质和等边三角形的判定与性质进行分析．
题型八 利用切线的性质求角度
【例题8】如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P＝40°，当∠B等于（ ）时，PA与⊙O相切．
A．20°B．25°C．30°D．40°
【分析】先利用切线的性质求出∠AOP＝50°，再利用等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝50°，
∵OB＝OC，
∴∠AOP＝2∠B，
∴∠B=12∠AOP＝25°，
故选：B．
【点评】此题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，求出∠AOP是解本题的关键．
【变式8-1】（2023•李沧区三模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作⊙O的切线，切点为B，连接AC交⊙O于D，∠C＝38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是（ ）
A．62°B．52°C．38°D．28°
【分析】首先连接BD，由AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，根据圆周角定理与切线的性质，可得∠ADB＝90°，AB⊥BC，又由同角的余角相等，易证得∠AED＝∠ABD＝∠C．
【解答】解：如图，连接BD，
∵AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠ADB＝90°，AB⊥BC，
∴∠C+∠BAC＝∠BAC+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∵∠AED＝∠ABD，
∴∠AED＝∠C＝38°，
故选：C．
【点评】此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
【变式8-2】（2022秋•栖霞市期末）如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上．
若∠D＝25°，则∠A为（ ）
A．25°B．40°C．50°D．65°
【分析】根据切线的性质得到∠OCA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠A．
【解答】解：∵∠D＝25°，
∴∠AOC＝2∠D＝2×25°＝50°，
∵AC切⊙O于点C，
∴OC⊥AC
∴∠OCA＝90°
∴∠A＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，故B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形性质，解题的关键是熟练掌握圆心与切点的连线垂直切线．
【变式8-3】（2023•安岳县二模）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，EA切⊙O于点A，交CD的延长线于点E．若∠ABC＝75°，则∠E的度数为 ．
【分析】连接BC、AD，则∠ADC＝∠ABC＝75°，由OA＝OD，得∠OAD＝∠ADC＝75°，则∠AOE＝30°，由切线的性质得∠OAE＝90°，则∠E＝90°﹣∠AOE＝60°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接BC、AD，则∠ADC＝∠ABC＝75°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADC＝75°，
∴∠AOE＝180°﹣∠OAD﹣∠ADC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∵EA切⊙O于点A，
∴EA⊥OA，
∴∠OAE＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠AOE＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：60°．
【点评】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的性质定量、直角三角形的两个内角互余等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
【变式8-4】（2023•福鼎市模拟）如图，△ABC内接于⊙O，点D在BC的延长线上，AD与⊙O相切，AC＝CD，∠B＝40°，则∠BAD等于（ ）
A．95°B．100°C．110°D．120°
【分析】根据圆周角定理可得∠AOC＝80°，再由等腰三角形的性质以及切线的性质可求出∠CAD＝40°＝∠D，由三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：如图，连接OA、OC，
∵∠ABC＝40°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA=180°−80°2=50°，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠OAD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣50°＝40°，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC﹣∠ADB
＝180°﹣40°﹣40°
＝100°，
故选：B．
【点评】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握切线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和是180°是正确解答的前提．
【变式8-5】（2023•临汾模拟）如图，已知点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点C，BE与⊙O相切，交直线CD于点E．
（1）判断BE与DE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠C＝20°，求∠EBD的度数．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质可得∠OBE＝∠ODE＝90°，从而可得∠OBD+∠EBD＝90°，∠ODB+∠EDB＝90°，再根据等腰三角形的性质可得∠OBD＝∠ODB，然后利用等角的余角相等可得∠EBD＝∠EDB，再根据等角对等边可得EB＝ED；
（2）先根据直角三角形的两个锐角互余可得∠E＝70°，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）BE＝DE，
理由：连接OD，
∵BE与⊙O相切于点B，CD与⊙O相切于点D，
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
∴∠OBD+∠EBD＝90°，∠ODB+∠EDB＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴EB＝ED；
（2）∵∠EBC＝90°，∠C＝20°，
∴∠E＝90°﹣∠C＝70°，
∵EB＝ED，
∴∠EBD＝∠EDB=180°−∠E2=55°，
∴∠EBD的度数为55°．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
题型九 利用切线的性质求线段长
【例题9】（2023•开州区校级模拟）如图，BC与⊙O相切于点C，线段BO交⊙O于点A，过点A作⊙O的切线交BC于点D．若CD＝3，AB＝4，则⊙O的半径等于（ ）
A．4B．5C．6D．12
【分析】根据切线的性质得到AD＝CD＝3，∠BCO＝∠BAD＝90°，根据勾股定理得到BD=AB2+AD2=5，求得BC＝8，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵DA，CD是⊙O的切线，
∴AD＝CD＝3，∠BCO＝∠BAD＝90°，
∵AB＝4，
∴BD=AB2+AD2=5，
∴BC＝8，
∵OC2+BC2＝OB2，
∴OA2+82＝（OA+4）2，
解得OA＝6，
∴⊙O的半径等于6，
故选：C．
【点评】本题考查的是切线的性质、切线长定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
【变式9-1】（2023•遵义一模）如图，AB是半圆O的直径，点P为BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．若CD＝2，BD＝4，则⊙O的半径为（ ）
A．3B．2C．2.5D．25
【分析】连接OC，作OI⊥BD于点I，由PC与⊙O相切于点C，得PC⊥OC，而BD⊥PC交PC的延长线于点D，则∠OCD＝∠CDI＝∠OID＝90°，所以四边形OCDI是矩形，则OE＝CD＝2，ID＝OC＝OB，由BI2+OI2＝OB2，BI＝4﹣ID＝4﹣OB，得（4﹣OB）2+22＝OB2，求得OB＝2.5，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵连接OC，作OI⊥BD于点I，
∵PC与⊙O相切于点C，
∴PC⊥OC，
∵BD⊥PC交PC的延长线于点D，
∴∠OCD＝∠CDI＝∠OID＝90°，
∴四边形OCDI是矩形，
∴OE＝CD＝2，ID＝OC＝OB，
∵∠OIB＝90°，BD＝4，
∴BI2+OI2＝OB2，BI＝4﹣ID＝4﹣OB，
∴（4﹣OB）2+22＝OB2，
解得OB＝2.5，
∴⊙O的半径为2.5，
故选：C．
【点评】此题重点考查切线的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线并且根据勾股定理列方程是解题的关键．
【变式9-2】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（ ）
A．2B．4C．22D．23
【分析】连接OB，根据切线的性质定理得到∠OBD＝90°，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△OAB为等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：连接OB，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ODB＝30°，
∴OD＝2OB＝4，
由勾股定理得，BD=OD2−OB2=23，
故选：D．
【点评】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
【变式9-3】（2023春•铜梁区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是斜边AB边上一点，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O恰好与边BC相切于点D，连接AD，若AD＝BD，⊙O的半径为4，则CD的长度为（ ）
A．23B．4C．3D．5
【分析】由切线的性质得BC⊥OD，则∠ODB＝∠C＝90°，所以OD∥AC，则∠ODA＝∠CAD，由OA＝OD，得∠ODA＝∠BAD，所以∠CAD＝∠BAD，因为AD＝BD，所以∠BAD＝∠B，则∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，所以OB＝2OD＝8，则AD＝BD=OB2−OD2=43，所以CD=12AD＝23，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵⊙O与边BC相切于点D，∠C＝90°，
∴BC⊥OD，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，
∵∠CAD+∠BAD+∠B＝∠CAB+∠B＝90°，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，
∴OB＝2OD＝2×4＝8，
∴AD＝BD=OB2−OD2=82−42=43，
∴CD=12AD=12×43=23，
故选：A．
【点评】此题重点考查切线的性质定理、等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、勾股定理等知识，求得∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°是解题的关键．
【变式9-4】（2022•泸县一模）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长．
【分析】利用切线的性质得∠OAB＝90°，则根据勾股定理可计算出OA＝5，再根据垂径定理得到AH＝CH，接着利用勾股定理计算出AH，从而得到AC的长．
【解答】解：∵AB为切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
在Rt△OAB中，OA=OB2−AB2=132−122=5，
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH，
在Rt△OAH中，AH=OA2−OH2=52−32=4，
∴AC＝2AH＝8，
答：⊙O的半径为5，AC的长为8．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理．
【变式9-5】（2023•银川校级四模）如图△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．
（1）求证：⊙D与AC相切；
（2）若AC＝5，BC＝3，试求AE的长．
【分析】（1）过D作DF⊥AC于F，利用角平分线的性质定理可得BD＝FD即可证明：⊙D与AC相切；
（2）在直角三角形ABC中由勾股定理可求出AB的长，设圆的半径为x，利用切线长定理可求出CF＝BC＝3，所以AF＝2，AD＝AB﹣x，利用勾股定理建立方程求出x，进而求出AE的长．
【解答】（1）证明：过D作DF⊥AC于F，
∵∠B＝90°，
∴AB⊥BC，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴BD＝DF，
∴⊙D与AC相切；
（2）解：设圆的半径为x，
∵∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，
∴AB=AC2−BC2=4，
∵AC，BC，是圆的切线，
∴BC＝CF＝3，
∴AF＝AB﹣CF＝2，
∵AB＝4，
∴AD＝AB﹣BD＝4﹣x，
在Rt△AFD中，（4﹣x）2＝x2+22，
解得：x=32，
∴AE＝4﹣3＝1．
【点评】本题考查了圆的切线的判定、角平分线的性质、切线长定理以及勾股定理的运用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理列方程．
题型十 切线的判定与性质的综合应用
【例题10】（2022秋•嘉陵区校级期末）如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．
（1）求证：HB是⊙O的切线；
（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的直径．
【分析】（1）连接OH，由题意可得∠OHP＝∠HPA＝∠HPB，可证OH∥BP，则可得OH⊥BH，根据切线的判定可证HB是⊙O的切线；
（2）过点O作OE⊥PC，垂足为E，可证四边形EOHB是矩形，可得OE＝BH＝4，OH＝BE，再根据勾股定理可求OP的长，即可求⊙O的直径．
【解答】证明：（1）如图，连接OH，
∵PH平分∠APB，
∴∠HPA＝∠HPB，
∵OP＝OH，
∴∠OHP＝∠HPA，
∴∠HPB＝∠OHP，
∴OH∥BP，
∵BP⊥BH，
∴OH⊥BH，
∴HB是⊙O的切线；
（2）如图，过点O作OE⊥PC，垂足为E，
∵OE⊥PC，OH⊥BH，BP⊥BH，
∴四边形EOHB是矩形，
∴OE＝BH＝4，OH＝BE，
∴CE＝OH﹣2，
∵OE⊥PC
∴PE＝EC＝OH﹣2＝OP﹣2，
在Rt△POE中，OP2＝PE2+OE2，
∴OP2＝（OP﹣2）2+16
∴OP＝5，
∴AP＝2OP＝10，
∴⊙O的直径是10．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，角平分线的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
【变式10-1】（2022•淮安二模）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BC＝3，CD＝33，求ED的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，角平分线的定义可得出OD∥AE，再根据AE⊥CD，得出OD⊥CD，进而得出结论；
（2）利用勾股定理求出半径OD，进而得出∠C＝30°，∠COD＝60°，再根据等腰三角形的性质得出∠OAD＝∠ODA=12×60°＝30°＝∠C，进而得出AD＝CD，即可求解．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD＝∠OAD，
∴∠EAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
又∵AE⊥CD，
∴OD⊥CD，
∵OD是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：设OD＝x＝OB，在Rt△COD中，由勾股定理得，OD2+CD2＝OC2，
即x2+（33）2＝（x+3）2，
解得x＝3，
即OD＝3，OC＝6，
∴∠C＝30°，∠COD＝60°，
∴∠EAD＝∠DAC=12×60°＝30°＝∠C，
∴AD＝CD＝33，
∴DE=12AD=332．
【点评】本题考查切线的判定和性质，掌握切线的判定方法，等腰三角形的性质，平行线的性质以及角平分线的定义是解决问题的关键．
【变式10-2】（2022•仪征市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，根据等腰三角形的性质求出BD＝CD，根据三角形的中位线求出OD∥AC，求出DE⊥OD，根据切线的判定得出即可；
（2）由等腰三角形的性质求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案．
【解答】解：（1）直线DE与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接AD，OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵AO＝BO，
∴DO∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE与⊙O的位置关系是相切；
（2）∵⊙O的半径为5，
∴AC＝AB＝10，
∵BC＝16，BD＝CD，
∴CD＝8，
在Rt△ACD中，
AD=AC2−CD2=102−82=6，
∵S△ADC=12AC•DE=12AD•CD，
∴DE=AD⋅CDAC=6×810=245．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积等知识，正确作出辅助线，熟练掌握掌握切线的判定与性质是解题的关键．
【变式10-3】（2022•盘锦模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE∥AD与BA的延长线交于点E．
（1）求证：CE与⊙O相切；
（2）若AD＝4，∠D＝60°，求线段AB，BC的长．
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得∠AOC＝90°，再根据AD∥EC，可得∠OCE＝90°，从而证明结论；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD＝90°，又AD＝4，∠D＝60°，即得AB=3BD＝23，根据∠ABC＝45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF＝BF=22AB=6，又△AOC是等腰直角三角形，OA＝OC＝2，得AC＝22，故CF=AC2−AF2=2，从而BC＝BF+CF=6+2．
【解答】（1）证明：连接OC，如图：
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵AD∥EC，
∴∠AOC+∠OCE＝180°，
∴∠OCE＝90°，
∴OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：过点A作AF⊥BC于F，如图：
∵AD是圆O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AD＝4，∠D＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD=12AD＝2，
∴AB=3BD＝23；
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝BF=22AB=22×23=6，
∵△AOC是等腰直角三角形，OA＝OC＝2，
∴AC＝22，
∴CF=AC2−AF2=(22)2−(6)2=2，
∴BC＝BF+CF=6+2．
答：线段AB的长为23，线段BC的长为6+2．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．
【变式10-4】（2023•牧野区校级三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OA，因为点A在⊙O上，所以只要证明OA⊥AE即可；由同圆的半径相等得：OA＝OD，则∠ODA＝∠OAD，根据角平分线可知：∠OAD＝∠EDA，所以EC∥OA，由此得OA⊥AE，则AE是⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F，证明四边形AOFE是矩形，得OF＝AE＝4cm，由垂径定理得：DF＝3，根据勾股定理求半径OD的长．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA＝∠EDA，
∴∠OAD＝∠EDA，
∴EC∥OA，
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE，
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F，
∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，
∴四边形AOFE是矩形，
∴OF＝AE＝4cm，
又∵OF⊥CD，
∴DF=12CD＝3cm，
在Rt△ODF中，OD=OF2+DF2=5cm，
即⊙O的半径为5cm．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，在判定一条直线为圆的切线时，分两种情况判定：①当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径即可，②当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，此题属于第二种情况：连接OA，是半径，证明垂直即可．
直线和圆的位置关系
相离
相切
相交
定义
直线和圆没有公共点，这时这条直线和圆相离
直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切
直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交
图形
公共点个数
0
1
2
圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系
d＞ r
d＝ r
d＜ r
公共点名称
切点
交点
直线名称
切线
割线
总结
直线与圆相离 ⇔ d＞r
直线与圆相切 ⇔ d = r
直线与圆相交 ⇔ d＜r
解题技巧提炼
本题主要考查了直线和圆的位置关系，解决此类问题的关键是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断．
①d＜r⇔直线和圆相交；②d＝r⇔直线和圆相切；③d＞r⇔直线和圆相离．
解题技巧提炼
直线和圆的位置关系与圆的公共点个数间的关系：
1、直线和圆相交⇔两个公共点，
2、直线和圆相切⇔一个公共点，
3、直线和圆相离⇔没有公共点．
解题技巧提炼
解决此类问题的关键是根据直线和圆的位置关系，得到圆心到直线的距离与半径的大小关系，然后求其取值范围即可．
解题技巧提炼
本题主要考查了根据直线和圆的位置关系中的相切来解决问题，结合勾股定理，添加适当的辅助线是解题的关键．利用“过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短”求最值.
解题技巧提炼
直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于 90°等.
解题技巧提炼
直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”.证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用角平分线上的点到角的两边的距离相等.
解题技巧提炼
本题考查的是垂径定理，有时需要根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
解题技巧提炼
已知切线，通常需连接过切点的半径，利用切线的性质可得到直角，然后结合圆周角定理及其推论，找到要求的角与已知角之间的联系，从而求出角度.
解题技巧提炼
利用切线的性质求线段长度时，通常利用切线的性质构造直角三角形，抓住题目中的已知条件，在直角三角形中利用勾股定理找出等量关系求解.当题目中含有特殊角时，可以含30°或45°的直角三角形的性质求解.
解题技巧提炼
切线的判定与性质的综合运用问题主要里结合利用了垂径定理、全等三角形、等腰三角形、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握它们的性质是解题的关键．
直线和圆的位置关系
相离
相切
相交
定义
直线和圆没有公共点，这时这条直线和圆相离
直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切
直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交
图形
公共点个数
0
1
2
圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系
d＞ r
d＝ r
d＜ r
公共点名称
切点
交点
直线名称
切线
割线
总结
直线与圆相离 ⇔ d＞r
直线与圆相切 ⇔ d = r
直线与圆相交 ⇔ d＜r
解题技巧提炼
本题主要考查了直线和圆的位置关系，解决此类问题的关键是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断．
①d＜r⇔直线和圆相交；②d＝r⇔直线和圆相切；③d＞r⇔直线和圆相离．
解题技巧提炼
直线和圆的位置关系与圆的公共点个数间的关系：
1、直线和圆相交⇔两个公共点，
2、直线和圆相切⇔一个公共点，
3、直线和圆相离⇔没有公共点．
解题技巧提炼
解决此类问题的关键是根据直线和圆的位置关系，得到圆心到直线的距离与半径的大小关系，然后求其取值范围即可．
解题技巧提炼
本题主要考查了根据直线和圆的位置关系中的相切来解决问题，结合勾股定理，添加适当的辅助线是解题的关键．利用“过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短”求最值.
解题技巧提炼
直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于 90°等.
解题技巧提炼
直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”.证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用角平分线上的点到角的两边的距离相等.
解题技巧提炼
本题考查的是垂径定理，有时需要根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
解题技巧提炼
已知切线，通常需连接过切点的半径，利用切线的性质可得到直角，然后结合圆周角定理及其推论，找到要求的角与已知角之间的联系，从而求出角度.
解题技巧提炼
利用切线的性质求线段长度时，通常利用切线的性质构造直角三角形，抓住题目中的已知条件，在直角三角形中利用勾股定理找出等量关系求解.当题目中含有特殊角时，可以含30°或45°的直角三角形的性质求解.
解题技巧提炼
切线的判定与性质的综合运用问题主要里结合利用了垂径定理、全等三角形、等腰三角形、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握它们的性质是解题的关键．
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