初中数学人教版（2024）八年级上册12.1 全等三角形优秀复习练习题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册12.1 全等三角形优秀复习练习题，共35页。

【考点1】利用全等三角形性质求角度与线段长； 【考点2】利用“SSS”求值与证明；
【考点3】利用“SAS”求值与证明； 【考点4】利用“ASA”或“AAS”求值与证明；
【考点5】利用“HL”求值与证明； 【考点6】添加条件证明三角形全等；
【考点7】尺规作图与三角形全等； 【考点8】添加辅助线证明三角形全等；
【考点9】利用角平分线性质与判定求值或证明； 【考点10】全等全角形综合问题.
单选题
【考点1】利用全等三角形性质求角度与线段长；
1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，点在同一直线上，若，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【考点2】利用“SSS”求值与证明；
3．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明和的全等的依据是（ ）
A．B．C．D．
4．（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【考点3】利用“SAS”求值与证明；
5．（23-24七年级下·海南海口·期末）如图，在的正方形网格中，等于（ ）

A．B．C．D．
6．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，则（ ）
A．B．C．D．
【考点4】利用“ASA”或“AAS”求值与证明；
7．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．（22-23八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，于E，于D，，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【考点5】利用“HL”求值与证明；
9．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，，垂足为，是上一点，且，．若，，则的长为（ ）
A．2B．2.5C．3D．5.5
10．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在和中，，过作，垂足为交的延长线于点，连接．四边形的面积为，则的长是（ ）
A．4B．C．3D．
【考点6】添加条件证明三角形全等；
11．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，，，添加下列条件后仍然不能判断的是（ ）

A．B．C．D．
12．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，点，在上，，，添加：①；②；③；④．四个条件中的一个，能使的是（ ）
A．①或③B．①或④C．②或④D．②或③
【考点7】尺规作图与三角形全等；
13．（23-24七年级上·山东淄博·期中）利用尺规作，根据下列条件作出的不唯一的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
14．（20-21八年级上·广东东莞·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围，小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E，使DE=AD，连接BE，请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．HL
【考点8】添加辅助线证明三角形全等；
15．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，中线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
16．（20-21八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知：，，，，则（ ）
A．B．C．或D．
【考点9】利用角平分线性质与判定求值或证明；
17．（2024·云南文山·模拟预测）如图，射线平分，，垂足为C，点M是射线上的一个动点，若，则线段最短为（ ）
A．5B．10C．15D．20
18．（2024·湖北黄石·三模）如图所示，在中，，以顶点为圆心，取适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则点到的距离是（ ）
A．1B．C．D．
【考点10】全等全角形综合问题.
19．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）

A．①③④B．①②③④C．①②③D．①②④
20．（23-24七年级下·河南郑州·期中）（1）小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程（如图①所示）．
（2）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图②所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线．
（3）如图③，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线．
（4）小颖在作业本上画的被墨迹污染（如图④），小颖想用尺规作一个与原来完全一样的．
以上作图过程都用到了三角形全等的判定，其中，判定方法不一样的是（ ）
A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）
填空题
【考点1】利用全等三角形性质求角度与线段长；
21．（23-24八年级上·江苏·周测）如图，中，，P是边上一动点，过C作射线，Q是射线上一动点，连接交于E，在点P、Q的运动过程中，当与全等时，的度数为 ．

22．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，，，垂足分别为点、． 若，，，则 ．
【考点2】利用“SSS”求值与证明；
23．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在的上方有一点，连接，，，，，则的度数为 ．
24．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且，，，若，则的度数为 ．

【考点3】利用“SAS”求值与证明；
25．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，则的面积为 ．
26．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，锐角 的面积为10， 的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【考点4】利用“ASA”或“AAS”求值与证明；
27．（23-24七年级下·宁夏中卫·期末）如图，在中，，D是边的中点，E是边上一点，过点B作，交的延长线于点F，若，，求的长 ．
28．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，中，平分，于点，交于点，如果，，那么 ．

【考点5】利用“HL”求值与证明；
29．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，D为中斜边上的一点，且，过D作BC的垂线，交于E．若，则的长为 cm
30．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，若，，则的长为 ．

【考点6】添加条件证明三角形全等；
31．（23-24七年级下·甘肃白银·期末）如图，已知，要使，只需添加一个条件： （写一个即可）．
32．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在和中，，，要使，则需添加的条件是 ．（只需添加一个即可）
【考点7】尺规作图与三角形全等；
33．（20-21七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为 ．
34．（19-20八年级上·江苏盐城·期中）如图所示，要测量池塘 AB 宽度，在池塘外选取一点 P，连接 AP、BP 并分别延长，使PC＝PA，PD＝PB，连接 CD．测得 CD 长为 9 m，则池塘宽 AB 为 m.
【考点8】添加辅助线证明三角形全等；
35．（19-20八年级上·上海静安·期末）如图，已知在中，平分，，则 . （用含的代数式表示）.
36．（20-21八年级上·广西崇左·期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是 ．
【考点9】利用角平分线性质与判定求值或证明；
37．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，的三边，，长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，已知，则 ．
38．（2024·吉林长春·一模）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，其中“将一个几何图形任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，分别平分，且点O到的距离为3．若的周长为16，则的面积为 ．
【考点10】全等全角形综合问题.
39．（21-22八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，．点为外一点，于．，，，则的长为 ．
40．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰中，的邻补角的角平分线交的角平分线于点D，交直线于点E，作交于点F，连接．
下列四个结论：
①；
②垂直平分；
③；
④．
其中正确的是 ．（填写序号）
参考答案：
1．B
【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质，由，则与是一组对应角，与是一组对应角，对于，外角等于除外的两个内角之和，求得，再在中，由三角形内角和即可求得结果．
【详解】解：，，，
，．
∵由三角形外角的性质可得，
．
．
，，
．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了全等三角形的性质和线段和差，根据全等三角形的性质得出，，再由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：．
3．A
【分析】本题考查了角平分线的尺规作法和全等三角形的判定．掌握证明三角形全等是关键．
根据尺规作图痕迹可得，两个三角形对应边相等，进而可得答案
【详解】解：从角平分线的作法得出，与的三边全部相等，
则．
故选：A．
4．A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据证明，得出即可得出答案．
【详解】解：∵在和中，
∴，
∴．
故选：A．
5．C
【分析】本题主要考查了正方形网格的特点，以及全等三角形的判定和性质，解题关键是掌握全等三角形的判定方法以及全等三角形的对应角相等．证明，则，根据，利用等量代换即可得到答案．
【详解】解：，，
故选：C
6．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，网格性质，先证明，再运用全等三角形的对应角相等、对应边相等，分别得出，，即可作答．
【详解】解：如图所示：
结合网格特征
∴
∴
∴
∴，
∴
同理得
∵
∴
∴
故选：D
7．A
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，结合即可求得答案．
【详解】解：∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵每本书长，厚度为，
∴，
∴．
故选：A．
8．A
【分析】此题考查同角的余角相等，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．
由于D，于E，得，而，则，而，即可证明，则，所以．
【详解】解：∵于D，于E，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长是．
故选A．
9．A
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据题意，利用直角三角形全等的判定定理得到，求出相关线段长度，由图中线段关系表示出，代值求解即可得到答案，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：A．
10．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识．过点作于，证，得，再证，同理，得，进而得到的长．
【详解】解：过点作于，如图所示：
在和中，
，
∴，
，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
同理：，
∴，
∵，
，
，
∴，
解得：；
故选：A．
11．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．
【详解】解：∵，，
添加条件，结合条件，，可以根据证明，故A不符合题意；
添加条件，结合条件，，可以根据证明，故B不符合题意；
添加条件，结合条件，，可以根据证明，故C不符合题意；
添加条件，结合条件，，不可以根据证明，故D符合题意；
故选D．
12．D
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．添加条件得，根据得出全等，也可以加上条件可以用证明三角形全等．
【详解】解：根据题意，∵，
∴，
∴加上条件，利用证明三角形全等；
∴添加条件，
得，根据得出全等；
故选：D．
13．C
【分析】本题考查结合尺规作图的全等问题，根据全等三角形的判定方法逐个分析即可．
【详解】解：A，，，，根据，可以作出唯一三角形；
B， ，，，根据，可以作出唯一三角形；
C，，，，形式，作出的不唯一；
D，，，，根据，可以作出唯一三角形．
故选C．
14．B
【分析】根据全等三角形的判定定理解答．
【详解】解：在和中，
，
，
故选：.
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
15．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，
作辅助线（延长至，使，连接）构建全等三角形，然后由全等三角形的对应边相等知；而三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，据此可以求得的取值范围．
【详解】解：延长至，使，连接，则，
∵是边上的中线，是中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由三角形三边关系，得，
即，
∴．
故选：B．
16．B
【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】连接，如图，
在与中
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键．
17．B
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、垂线段最短等知识点，熟练掌握垂线段最短、角平分线的性质定理是解题的关键．
如图，过P作．根据垂线段最短以及经角平分线的性质定理即可解答．
【详解】解：如图，过P作．
根据垂线段最短可知，当时，即点M和点D重合时，最短，
∵射线平分，，，
∴，
∴PM的最小值为10．
故选B．
18．C
【分析】本题考查了作图-基本作图：角平分线的作法；由作法得是的角平分线，，然后根据角平分线的性质求解．
【详解】解：由题可知，是的角平分线，
点P到和的距离相等，
，，
，
点D到的距离为的长，即点D到的距离为3，
∴点D到的距离为3．
故选：C．
19．A
【分析】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴①③都正确，
在中，
，
∴，
故④正确，
根据已知条件无法证明②是否正确，
故①③④正确，
故选：A．
20．D
【分析】本题主要考查了三角形全等判定的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，先根据作图分别判断三角形全等的判定方法，然后进行判断即可．
【详解】解：（1）从作图可知：，，
根据“”可得：，
所以；
（2）从操作可得：，，，根据“”得；
（3）因为，，，根据“”得，
所以是的平分线；
（4）从图形可知：应该先画，然后边和上分别截取，，连接，根据“”得；
综上分析可知：判定方法不一样的是（4）．
故选：D．
21．或
【分析】先求得，再分当和时两种情况讨论，利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴是的外角，
当时，则，
∴；
当时，则，
∴；
故答案为：或．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
22．3
【分析】本题考查全等三角性的性质，属于基础题型，根据全等三角形的性质，得到，再根据线段的和差关系，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：3．
23．
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意直接证明，即可得出，即可求解．
【详解】解：在中，
，
∴，
又，
∴，
故答案为：．
24．/48度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质．利用可证明，从而得到，，再利用三角形外角性质即可求出最后结果．
【详解】解：在与中，
，
，
，，
在中，由三角形性质得：，
，
，
故答案为：．
25．30
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，作出辅助线，根据证明全等，是解题的关键．根据证明与全等，，然后利用代数求解即可．
【详解】解：∵是高，
∴，
∵，
∴，
在上截取，如图所示：
在与中
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：30．
26．4
【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，在上取一点E，使，连接ME，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，
又由垂线段最短得：当时，BE取得最小值，
，
，
解得，
即的最小值为4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键．
27．3
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．根据可证明，得出，则可求出答案．
【详解】解：∵
∴，
∵D为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
28．4
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，
首先得到，然后证明出，得到，进而求解即可．
【详解】∵平分，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴．
故答案为：4．
29．6
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先连接，再根据“”证明，然后根据全等三角形的性质得出答案．
【详解】连接．
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：6．
30．
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质；由为角平分线，利用角平分线定理得到，再由，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得出，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，由，即可求解．
【详解】解：是的平分线，，，
，
在和中，
，
，
，
；
在和中，
，
，
，
，
故答案：.
31．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可知，推出，，则可添加条件，利用即可证明．
【详解】解：添加条件，理由如下：
∵，
∴，，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
32．（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理；根据全等三角形的判定定理添加条件即可求解．
【详解】解：∵在和中，，，
添加条件，则，
故答案为：（答案不唯一）．
33．52°
【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：由作图可知，OD=OE=OF，EF=DE，
∴△ODE≌△OFE（SSS），
∴∠EOD=∠EOF=26°，
∴∠BOD=2∠AOB=52°，
故答案为：52°．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，基本作图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
34．9
【分析】这种设计方案利用了“边角边”判断两个三角形全等，利用对应边相等，得AB=CD．
【详解】解：在△APB和△DPC中
，
∴△APB≌△DPC（SAS）；
∴AB=CD=9米（全等三角形的对应边相等）．
故池塘宽AB为9m，
故答案为9．
【点拨】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．
35．a-b
【分析】在CB上截取CA′=CA，连接DA′，根据SAS证明△ADC≌△A′DC，根据△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，∠CA′D=∠A，再证明DA′=A′B即可解决问题.
【详解】在CB上截取CA′=CA，连接DA′，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠A′CD，
在△ADC和△A′DC中， ，
∴△ADC≌△A′DC（SAS），
∴DA′=DA，∠CA′D=∠A，
∵∠A=2∠B，∠CA′D=∠B+∠A′DB，
∴∠A′DB=∠B，
∴BA′=A′D=AD，
∴BC=CA′+BA′=AC+AD
∴AD=BC-AC=a-b，
故答案为：a-b.
【点拨】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
36．全等三角形的对应边相等
【分析】连接AB，，可以证△AOB≌△COD（SAS），依所据全等三角形对就边相等得所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长．
【详解】解：连接AB，，如图，
∵点O分别是AC、BD的中点，
∴OA＝OC，OB＝OD．
在△AOB和△COD中，
OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD，
∴△AOB≌△COD（SAS）．
∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）．
故答案为：全等三角形的对应边相等．
【点拨】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
37．
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点分别作，，的垂线，可得，从而可得，求出，即可求解．
【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，

由角平分线的性质定理得：，
的三边，，长分别是，，，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
38．24
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出，由三角形面积公式得到．
【详解】解：连接，过O作于M，于N，
分别平分，
，
，
，
故答案为：24．
39．5
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
方法一：过作，交的延长线于，证，得，，再证，得，则，即可求解．
方法二：在上截取，连接，设交于，先证明，再证明，得出，由等腰三角形三线合一的性质得，即可得出答案．
【详解】解：方法一：过作，交的延长线于，如图所示：
则，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：5．
方法二：在上截取，连接，设交于，如图2所示：
，，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：5．
40．①②④
【分析】根据角平分线的定义以及外角等于，即可证明①是正确的；证明，得，则②是正确的；将绕点D顺时针旋转90度，与重合，点F与点M是对应点，结合外角性质以及等角对等边，即可作答．
【详解】解：∵
∴
∵的邻补角的角平分线交的角平分线于点D，
∴
在中，
∴①是正确的；
∵
∴
∵的角平分线
∴
∵
∴
∴
∴垂直平分
∴②是正确的；
将绕点D顺时针旋转90度，与重合，点F与点M是对应点，如图：
易得
∴
∵，且
∴
∴
则
∴④是正确的；
过点作，如图所示：
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴③是错误的
综上①②④是正确的
故答案为：①②④
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角以及内角和性质，角平分线，等角对等边等知识内容，难度较大，解题的关键是正确作出辅助线证明全等．