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初中第四章 三角形4 用尺规作三角形课堂检测
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这是一份初中第四章 三角形4 用尺规作三角形课堂检测，共32页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9016" 【题型1 确定尺规作三角形的依据】 PAGEREF _Tc9016 \h 1
\l "_Tc9081" 【题型2 根据全等三角形的判定方法确定唯一三角形】 PAGEREF _Tc9081 \h 2
\l "_Tc24040" 【题型3 利用尺规作全等三角形】 PAGEREF _Tc24040 \h 3
\l "_Tc25716" 【题型4 格点中作全等三角形】 PAGEREF _Tc25716 \h 4
\l "_Tc14588" 【题型5 结合尺规作图的全等问题】 PAGEREF _Tc14588 \h 6
\l "_Tc9678" 【题型6 利用作全等三角形解决实际问题】 PAGEREF _Tc9678 \h 7
\l "_Tc30532" 【题型7 利用三角形全等测距离】 PAGEREF _Tc30532 \h 8
【题型1 确定尺规作三角形的依据】
【例1】（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，在用尺规作图得到△DBC≌△ABC过程中，运用的三角形全等的判定方法是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【变式1-1】（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，已知∠ABC，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB,BC于D，P；作一条射线FE，以点F圆心，BD长为半径作弧l，交EF于点H；以H为圆心，PD长为半径作弧，交弧l于点Q；作射线FQ．这样可得∠QFE=∠ABC，其依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【变式1-2】（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）已知△ABC，现将△ABC绕点B逆时针旋转，使点A落在射线BP上，求作△A'C'B．作法：在BP上截BA'=BA，以点B为圆心、BC为半径作弧，以点A'为圆心、AC为半径作弧，两弧在射线BP右侧交于点C'，则△A'C'B即为所求．此作图确定三角形的依据是：___________．
【变式1-3】（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）尺规作三角形的类型：
【题型2 根据全等三角形的判定方法确定唯一三角形】
【例2】（2022秋·安徽阜阳·八年级统考期末）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB=3，BC=4，AC=8B．∠A=60°，∠B=45°，AB=4
C．∠C=90°，AB=6D．AB=4，BC=3，∠A=30°
【变式2-1】（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，画出的三角形不是唯一的是（ ）
A．已知三条边
B．已知三个角
C．已知两角和夹边
D．已知两边和夹角
【变式2-2】（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）在△ABC中给定下面几组条件：
①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；
②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；
③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；
④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．
若根据每组条件画图，则△ABC能够唯一确定的是___________（填序号）.
【变式2-3】（2022秋·山东聊城·八年级校联考期中）∠MAB为锐角，AB=a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC=x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（ ）
A．x=d或x≥aB．x≥aC．x=dD．x=d或x>a
【题型3 利用尺规作全等三角形】
【例3】（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）尺规作图：作△ABC，使∠ABC=α，AB=m，BC=n．（保留作图痕迹，不写作法）．
【变式3-1】（2022秋·河北邢台·八年级统考期中）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
已知：线段a，b，c；
求作：△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c．
【变式3-2】（2022春·河南信阳·八年级统考期中）我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）．
(1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）：
①画EF=BC；
②在线段EF的上方画∠F=∠C；
③画DE=AB；
④顺次连接相应顶点得所求三角形．
(2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等；
(3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______．
【变式3-3】（2022春·陕西·七年级陕西师大附中校考期中）尺规作图
已知：∠α，∠β和线段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠B=2∠β，AB=a．
要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母．
【题型4 格点中作全等三角形】
【例4】（2022秋·山西晋城·八年级统考期末）如图是5×5的正方形网格，以点D、E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式4-1】（2022秋·湖北荆门·八年级统考期中）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，试在方格纸上按下列要求画格点三角形（三角形的顶点在格点上），只需画出一个即可：
(1)在图（1）中画出与△ABC全等的三角形，且有条公共边：
(2)在图（2）中画出与△ABC全等的三角形，且有一个公共顶点：
(3)在图（3）中画出与△ABC全等的三角形，且有一个公共角．
【变式4-2】（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）图①、图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形．
要求：
(1)三角形的三个顶点都在格点上．
(2)与△ABC全等，且位置不同．
【变式4-3】（2022春·四川达州·七年级统考期末）如图1，在边长为1的9×9正方形网格中，老师请同学们过点C画线段AB的垂线．如图2，小明在多媒体展台上展示了他画出的图形．请你利用所学知识判断并说明直线CD是否为线段AB的垂线．（点A，B，C，D，E，F都是小正方形的顶点）
【题型5 结合尺规作图的全等问题】
【例5】（2022秋·山西长治·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点P，Q分别在边BC及CB的延长线上，且BQ=CP．
(1)实践与探索：利用尺规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作∠PQM=∠CBA，且点M在QC的上方；
②在QM上截取QR=BA；
③连接PR．
(2)猜想与验证：试猜想线段AC和RP的数量关系，并证明你的猜想．
【变式5-1】（2022春·河南平顶山·七年级统考期末）如图，△ABC．
（1）按要求画出图形：利用尺规作∠BAD＝∠BAC，并在射线AD上截取AE＝AC，连接BE（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）判断BC和BE的数量关系．并说明理由，注明推理依据．
【变式5-2】（2022春·广东佛山·七年级校考期中）没有量角器，利用刻度尺也能画出一个角的平分线．下面是小彬的做法，请说明理由．（写出具体的说理过程，写出必要步骤的根据）
如图，角平分线刻度尺画法：
①利用刻度尺在∠AOB 的两边上，分别取OD＝OC．
②连接CD，利用刻度尺画出CD的中点E．
③画射线OE．所以射线OE为∠AOB的角平分线．
【变式5-3】（2022秋·八年级单元测试）求证：全等三角形对应边上的中线相等．要求：①根据给出的△ABC用尺规作出△A'B'C'，使得△A'B'C'≌△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
【题型6 利用作全等三角形解决实际问题】
【例6】（2022秋·山东东营·七年级统考期末）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长.他叔叔帮他出了一个这样的主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度．
(1)DE=AB吗？请说明理由；
(2)如果DE的长度是8 m，则AB的长度是多少？
【变式6-1】（2022春·山东青岛·七年级山东省青岛第七中学校考期末）如图，在小明的一张地图上，有A、B、C三个城市，但是图上城市C已被墨迹污染，只知道∠BAC＝∠α，∠ABC＝∠β，你能用尺规帮他在图中确定C城市的具体位置吗？
【变式6-2】（2022春·全国·七年级期末）如图所示，要测量一个沼泽水潭的宽度．现由于不能直接测量，小军是这样操作的：他在平地上选取一点C，该点可以直接到达A与B点，接着他量出AC和BC的距离，并找出AC与BC的中点E、F，连接EF，测量EF的长，于是他便知道了水潭AB的长等于2EF，小军的做法有道理吗？说明理由．你还有比小军更简单的方法吗？
【变式6-3】（2022春·广东佛山·七年级佛山市惠景中学校考期中）如图，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去切割一块大小完全一样的玻璃，现有以下几个方案：
方案A：带①去；方案B：带②去；方案C：带③去；
(1)你认为他选择最省事的办法是采用方案______；
(2)根据所选的方案用尺规作图的方法将三角形玻璃还原（不写作法，要求保留作图痕迹）．
【题型7 利用三角形全等测距离】
【例7】（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图1．海岸上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，如果从观测点A看海岛C，D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C，D到观测点A，B所在海岸距离CA，DB相等吗？请说明理由．
（2）在（1）的条件下，在A的正北方向有一个海岛K，通过测量得到KB长度是368海里，如图2所示．求BK中点G到A的距离．
【变式7-1】（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板AC=BC,∠ACB=90°，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
【变式7-2】（2022·江苏·八年级假期作业）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO=AO，DO=BO，连接DC，测出DC的长即可．
乙：如图②，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC=DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？
（2）请说明方案可行的理由．
尺
规
作
图
类型
依据
已知两边及其夹角作三角形
__________
已知两角一边作三角形
__________（或AAS）
已知三边作三角形
__________
专题4.5 用尺规作三角形【七大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9016" 【题型1 确定尺规作三角形的依据】 PAGEREF _Tc9016 \h 1
\l "_Tc9081" 【题型2 根据全等三角形的判定方法确定唯一三角形】 PAGEREF _Tc9081 \h 3
\l "_Tc24040" 【题型3 利用尺规作全等三角形】 PAGEREF _Tc24040 \h 5
\l "_Tc25716" 【题型4 格点中作全等三角形】 PAGEREF _Tc25716 \h 9
\l "_Tc14588" 【题型5 结合尺规作图的全等问题】 PAGEREF _Tc14588 \h 13
\l "_Tc9678" 【题型6 利用作全等三角形解决实际问题】 PAGEREF _Tc9678 \h 17
\l "_Tc30532" 【题型7 利用三角形全等测距离】 PAGEREF _Tc30532 \h 21
【题型1 确定尺规作三角形的依据】
【例1】（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，在用尺规作图得到△DBC≌△ABC过程中，运用的三角形全等的判定方法是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【答案】B
【分析】根据作法可得∠ABC=∠DBC,∠ACB=∠DCB，可利用ASA证明△DBC≌△ABC，即可求解．
【详解】解：根据作法得：∠ABC=∠DBC,∠ACB=∠DCB，
∵BC=BC，
∴△DBC≌△ABCASA．
故选：B
【点睛】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定，熟练掌握作一个角等于已知角的作法，全等三角形的判定定理是解题的关键．
【变式1-1】（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，已知∠ABC，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB,BC于D，P；作一条射线FE，以点F圆心，BD长为半径作弧l，交EF于点H；以H为圆心，PD长为半径作弧，交弧l于点Q；作射线FQ．这样可得∠QFE=∠ABC，其依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】D
【分析】根据题意得出BP=BD=FQ=FH，DP=QH，利用SSS证明△PBD≌△QFH，根据全等三角形的性质即可得出∠QFE=∠ABC．
【详解】解：如图，连接DP，QH，
根据题意得，BP=BD=FQ=FH，DP=QH，
在△PBD和△QFH中，BP=FQBD=FHDP=QH，
∴△PBD≌△QFHSSS，
∴∠ABC=∠QFE，
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式1-2】（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）已知△ABC，现将△ABC绕点B逆时针旋转，使点A落在射线BP上，求作△A'C'B．作法：在BP上截BA'=BA，以点B为圆心、BC为半径作弧，以点A'为圆心、AC为半径作弧，两弧在射线BP右侧交于点C'，则△A'C'B即为所求．此作图确定三角形的依据是：___________．
【答案】SSS##边边边
【分析】根据作图步骤可知，BA=BA'，AC=A'C'，BC=BC'，由此即可求解．
【详解】解：根据作图步骤可知，BA=BA'，AC=A'C'，BC=BC'
∴△ABC≌△A'BC'SSS
故答案为：SSS
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
【变式1-3】（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）尺规作三角形的类型：
【答案】 SAS ASA SSS
【详解】试题解析：已知两边及其夹角作三角形,其依据是：SAS.
已知两角一边作三角形,其依据是：ASA（或AAS）.
已知三边作三角形, 其依据是：SSS.
故答案为SAS,ASA,SSS.
点睛：判定三角形全等的方法有：SAS,ASA,SSS,AAS,HL.
【题型2 根据全等三角形的判定方法确定唯一三角形】
【例2】（2022秋·安徽阜阳·八年级统考期末）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB=3，BC=4，AC=8B．∠A=60°，∠B=45°，AB=4
C．∠C=90°，AB=6D．AB=4，BC=3，∠A=30°
【答案】B
【分析】判断一个三角形是否为三角形，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，两边夹一角，或两角夹一边可确定三角形的形状，否则三角形则并不是唯一存在，可能有多种情况存在.
【详解】A.因为AC，BC，AB的长不满足三角形三边关系，所以A选项不能确定一个三角形；
B. ∠A，∠B的公共边是AB，根据三角形全等的判定ASA可以确定一个三角形，故B选项能唯一确定一个三角形；
C. 只有一个角一条边，故C选项不能唯一确定一个三角形；
D. ∠A不是AB和BC边的夹角，故D选项不能唯一确定一个三角形，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了三角形的确定问题，熟练掌握三角形的三边关系等相关问题是解决本题的关键.
【变式2-1】（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，画出的三角形不是唯一的是（ ）
A．已知三条边
B．已知三个角
C．已知两角和夹边
D．已知两边和夹角
【答案】B
【详解】A、符合全等三角形的判定SSS，能作出唯一直角三角形；
B、不正确，已知三个角可画出无数个三角形；
C、正确，符合ASA判定；
D、正确，符合SAS判定．
故选∶B．
【点睛】本题主要考查由已知条件作三角形，可以依据三角形全等的判定来做．
【变式2-2】（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）在△ABC中给定下面几组条件：
①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；
②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；
③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；
④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．
若根据每组条件画图，则△ABC能够唯一确定的是___________（填序号）.
【答案】①③④
【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】解：①符合全等三角形的判定定理SAS，即能画出唯一三角形，正确；
②根据BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°不能画出唯一三角形，如图所示△ABC和△BCD，
错误；
③符合全等三角形的判定定理HL，即能画出唯一三角形，正确；
④∵∠ABC为钝角，结合②可知，只能画出唯一三角形，正确.
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法；解答此题的关键是要掌握三角形全等判定的几种方法即可，结合已知逐个验证，要找准对应关系．
【变式2-3】（2022秋·山东聊城·八年级校联考期中）∠MAB为锐角，AB=a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC=x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（ ）
A．x=d或x≥aB．x≥aC．x=dD．x=d或x>a
【答案】D
【分析】当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围．
【详解】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可，
当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；
当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点，
x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合，
所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，
故选为：A．
【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键．
【题型3 利用尺规作全等三角形】
【例3】（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）尺规作图：作△ABC，使∠ABC=α，AB=m，BC=n．（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】作图见解析．
【分析】先作∠DBE=α，然后在射线BD、BE上分别取线段AB=m，BC=n，连接AC即可得解．
【详解】解：如下图所示，△ABC为所求作的三角形．
【点睛】本题考查了尺规作一个三角形，解题的关键是能用尺规作一个角等于已知角．
【变式3-1】（2022秋·河北邢台·八年级统考期中）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
已知：线段a，b，c；
求作：△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c．
【答案】见解析
【分析】作射线AP，以A为圆心，c为半径画弧，交射线AP于点B，分别以A，B为圆心，以b，a为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC即为所求．
【详解】解：如图所示，△ABC即为所求；
．
【点睛】本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【变式3-2】（2022春·河南信阳·八年级统考期中）我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）．
(1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）：
①画EF=BC；
②在线段EF的上方画∠F=∠C；
③画DE=AB；
④顺次连接相应顶点得所求三角形．
(2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等；
(3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______．
【答案】(1)见解析
(2)2，D'EF；
(3)两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等
【分析】（1）根据尺规作线段，作一个角等于已知角的步骤作图即可；
（2）根据所画图形填空即可；
（3）根据探究过程结合全等三角形的判定可得出结论．
（1）
解：如图所示：
（2）
观察所画的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中三角形D'EF（填三角形的名称）与△ABC明显不全等，
故答案为：2，D'EF；
（3）
经历以上探究过程，可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，
故答案为：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等．
【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握尺规作图的方法和全等三角形的判定定理是解题的关键．
【变式3-3】（2022春·陕西·七年级陕西师大附中校考期中）尺规作图
已知：∠α，∠β和线段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠B=2∠β，AB=a．
要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母．
【答案】见解析
【分析】首先作射线进而截取AB=a，再分别以A，B为端点，作∠A=∠α，∠B=2∠β，两条射线交于点C，即可得到所求的△ABC．
【详解】解：如图，△ABC即为所求．
．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，正确掌握作一角等于已知角的方法是解题关键．
【题型4 格点中作全等三角形】
【例4】（2022秋·山西晋城·八年级统考期末）如图是5×5的正方形网格，以点D、E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【分析】观察图形可知：DE与AC是对应边，B点的对应点在DE上方两个，在DE下方两个共有4个满足要求的点，也就有四个全等三角形．
【详解】解：根据题意，运用SSS可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要做到不重不漏．
【变式4-1】（2022秋·湖北荆门·八年级统考期中）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，试在方格纸上按下列要求画格点三角形（三角形的顶点在格点上），只需画出一个即可：
(1)在图（1）中画出与△ABC全等的三角形，且有条公共边：
(2)在图（2）中画出与△ABC全等的三角形，且有一个公共顶点：
(3)在图（3）中画出与△ABC全等的三角形，且有一个公共角．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（ 1）可根据全等三角形判定中的边边边（SSS）为依据作图；
（2 ）（ 3）可根据全等三角形的判定中的边角边（SAS）为依据作图．
【详解】（1）解：如图1，△AB'C即为所求（答案不唯一），
；
（2）解：如图2，△BEF即为所求，
；
（3）解：如图3，△CDE即为所求，
．
【点睛】本题考查的是作图－复杂作图，熟知全等三角形的作法是解答此题的关键．
【变式4-2】（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）图①、图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形．
要求：
(1)三角形的三个顶点都在格点上．
(2)与△ABC全等，且位置不同．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可；
（2）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可．
【详解】（1）如图，△ECB即为所求
（2）如图，△DEF即为所求
【点睛】本题考查作图，全等三角形的判定的知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式4-3】（2022春·四川达州·七年级统考期末）如图1，在边长为1的9×9正方形网格中，老师请同学们过点C画线段AB的垂线．如图2，小明在多媒体展台上展示了他画出的图形．请你利用所学知识判断并说明直线CD是否为线段AB的垂线．（点A，B，C，D，E，F都是小正方形的顶点）
【答案】见解析
【分析】根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】证明：如图所示：
通过图可知：DF＝BE＝2，CF＝EA＝5，∠DFC＝∠BEA＝90°，
∴△DFC≌△BEA（SAS），
∴∠A＝∠C，
∵∠AGH＝∠CGP，
∴∠AHG＝∠APC＝90°，
∴直线CD为线段AB的垂线．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
【题型5 结合尺规作图的全等问题】
【例5】（2022秋·山西长治·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点P，Q分别在边BC及CB的延长线上，且BQ=CP．
(1)实践与探索：利用尺规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作∠PQM=∠CBA，且点M在QC的上方；
②在QM上截取QR=BA；
③连接PR．
(2)猜想与验证：试猜想线段AC和RP的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)见解析
(2)RP=AC，理由见解析
【分析】（1）按照尺规作图的方法作出图形即可；
（2）利用SAS证明△RQP≌△ABC即可得到结论RP=AC．
【详解】（1）解：如图所示，
；
（2）解：结论RP=AC．理由如下，
∵BQ=CP，∴QP=BC，
由作图知，∠PQM=∠CBA，QR=BA，
∴△RQP≌△ABCSAS，
∴RP=AC．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式5-1】（2022春·河南平顶山·七年级统考期末）如图，△ABC．
（1）按要求画出图形：利用尺规作∠BAD＝∠BAC，并在射线AD上截取AE＝AC，连接BE（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）判断BC和BE的数量关系．并说明理由，注明推理依据．
【答案】（1）见解析；（2）BC＝BE，见解析
【分析】（1）利用尺规作∠BAD＝∠BAC，并在射线AD上截取AE＝AC，连接BE即可；
（2）结合（1）证明△ABC≌△ABE即可判断BC和BE的数量关系．
【详解】（1）如图，∠BAD即为所求；
（2）BC＝BE，
理由如下：
∵AC＝AE（已知），∠CAB＝∠EAB（作图知），AB＝AB（公共边），
∴在△ABC和△ABE中，
AC=AE∠CAB=∠EABAB=AB，
∴△ABC≌△ABE（SAS），
∴BC＝BE（全等三角形对应边相等）．
【点睛】本题考查了用尺规作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，要熟悉几种基本尺规作图．
【变式5-2】（2022春·广东佛山·七年级校考期中）没有量角器，利用刻度尺也能画出一个角的平分线．下面是小彬的做法，请说明理由．（写出具体的说理过程，写出必要步骤的根据）
如图，角平分线刻度尺画法：
①利用刻度尺在∠AOB 的两边上，分别取OD＝OC．
②连接CD，利用刻度尺画出CD的中点E．
③画射线OE．所以射线OE为∠AOB的角平分线．
【答案】理由见解析
【分析】只需要利用SSS证明△COE≌△DOE即可证明∠COE=∠DOE，则OE为∠AOB的角平分线．
【详解】解：∵E是CD的中点（已知），
∴CE=DE（线段中点的定义），
在△COE和△DOE中，
OC=ODCE=DEOE=OE，
∴△COE≌△DOE（SSS），
∴∠COE=∠DOE（全等三角形的性质），
∴OE是∠AOB的角平分线．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
【变式5-3】（2022秋·八年级单元测试）求证：全等三角形对应边上的中线相等．要求：①根据给出的△ABC用尺规作出△A'B'C'，使得△A'B'C'≌△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
【答案】①作图见解析；②见解析．
【分析】①利用SSS构造全等三角形即可；
②写出已知，求证，再根据全等三角判定和性质证明即可．
【详解】解：①如图，△A'B'C'即为所求．
②已知：如图，ΔABC≌△A'B'C'，D是AB的中点，D'是A'B'的中点，
求证：CD=C'D'．
证明：∵ΔABC≌△A'B'C'
∴AB=A'B'，AC=A'C'，∠A=∠A'
∵D是AB的中点，D'是A'B'的中点，
∴AD=12AB，A'D'=12A'B'，
∴AD=A'D'
∴ΔCAD≌△C'A'D'(SAS)，
∴CD=C'D'．
【点睛】本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定和性质，三角形的中线，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
【题型6 利用作全等三角形解决实际问题】
【例6】（2022秋·山东东营·七年级统考期末）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长.他叔叔帮他出了一个这样的主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度．
(1)DE=AB吗？请说明理由；
(2)如果DE的长度是8 m，则AB的长度是多少？
【答案】（1）DE=AB．理由见解析；（2）AB =8m．
【分析】（1）由题意知AC=DC，BC=EC，根据∠ACB=∠DCE即可证明△ABC≌△DEC，即可得AB=DE，即可解题；
（2）由（1）可知DE=AB，则可知AB的长度.
【详解】（1）
解：由题意知AC=DC，BC=EC，且∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
AC=DC∠ACB=∠DCEBC=EC ，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE=AB．
（2）由（1）知AB =DE=8m．
【点睛】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABC≌△DEC是解题的关键．
【变式6-1】（2022春·山东青岛·七年级山东省青岛第七中学校考期末）如图，在小明的一张地图上，有A、B、C三个城市，但是图上城市C已被墨迹污染，只知道∠BAC＝∠α，∠ABC＝∠β，你能用尺规帮他在图中确定C城市的具体位置吗？
【答案】见解析
【分析】连接AB，以AB为边，A为顶点作∠BAC＝α，以B为顶点作∠ABC＝∠β，两边交于点C，如图所示．
【详解】如图所示，点C为求作的点．
【点睛】此题考查作图-应用与设计作图，熟练掌握全等三角形的判定方法（ASA）是解题的关键．
【变式6-2】（2022春·全国·七年级期末）如图所示，要测量一个沼泽水潭的宽度．现由于不能直接测量，小军是这样操作的：他在平地上选取一点C，该点可以直接到达A与B点，接着他量出AC和BC的距离，并找出AC与BC的中点E、F，连接EF，测量EF的长，于是他便知道了水潭AB的长等于2EF，小军的做法有道理吗？说明理由．你还有比小军更简单的方法吗？
【答案】详见解析
【分析】仔细阅读题目,分析可知若要说明小军的作法有道理,只需证明AB=2EF即可, 过点B作BG∥AC交EF的延长线于点G,连接BE，利用ASA证明△ECF≌△GBF，得出EF=GF ,CE=BG，再利用SAS证明△AEB≌△GBE得出AB=GE，即可得证．
【详解】
解:小军的作法有道理,理由如下:
过点B作BG∥AC交EF的延长线于点G,连接BE
∵ 点E、F分别是AC、BC的中点
∴ AE=CE, BF=CF
∵ BG∥AC
∴ ∠ECF=∠GBF ,∠AEB=∠GBE (两直线平行,内错角相等)
∵∠ECF=∠GBFBF=CF∠CFE=∠BFG
∴ △ECF≌△GBF (两角及其夹边对应相等的两个三角形全等)
∴ EF=GF ,CE=BG (全等三角形的对应边相等)
∵ EF=GF ,EF+GF=EG
∴ EG=2EF
∵ CE=BG, AE=CE
∴ AE=BG
∵ 在△AEB和△GBE中,AE=GB∠AEB=∠GBEEB=BE
∴ △AEB≌△GBE (两边及其夹角对应相等的两个三角形全等)
∴ AB=GE (全等三角形的对应边相等)
∵ GE=2EF, AB=GE
∴ AB=2EF
故小军的做法是有道理的；
取直接能到达A，B两点的C点，延长BC，AC，使EC=AC，DC=BC，
连接DE，
在△ABC和△EDC中,
EC=AC∠DCE=∠BCADC=BC
则△ABC≌△EDC，所以DE=AB．
【点睛】此题主要考查了应用全等三角形的相关知识来解决实际生活中的问题,在实际生活中,对于难以实地测量的线段,常常通过作辅助线构造出全等的三角形,再运用“全等三角形的对应边相等”这一性质将需要测量的线段转化到易测量的线段上,从而求解．
【变式6-3】（2022春·广东佛山·七年级佛山市惠景中学校考期中）如图，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去切割一块大小完全一样的玻璃，现有以下几个方案：
方案A：带①去；方案B：带②去；方案C：带③去；
(1)你认为他选择最省事的办法是采用方案______；
(2)根据所选的方案用尺规作图的方法将三角形玻璃还原（不写作法，要求保留作图痕迹）．
【答案】(1)③
(2)见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法解答；
（2）先作一个角等于已知角，再作出已知边，然后作出另一个角等于已知角，两边相交，然后连接即可得到该三角形；
（1）
解：带③去满足“角边角”，可以配一块完全一样的玻璃．
故答案为：③．
（2）
先作∠C=∠A，然后再在射线CE上截取CD=AB，以点D为角的顶点，作∠CDF=∠B，∠CDF与∠DCF的一条边为公共边，另外一条边交于点F，则△CDF即为所求作的三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段的作法，是基础题，熟记全等三角形的判定方法和基本作图是解题的关键．
【题型7 利用三角形全等测距离】
【例7】（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图1．海岸上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，如果从观测点A看海岛C，D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C，D到观测点A，B所在海岸距离CA，DB相等吗？请说明理由．
（2）在（1）的条件下，在A的正北方向有一个海岛K，通过测量得到KB长度是368海里，如图2所示．求BK中点G到A的距离．
【答案】（1）相等，证明见解析；（2）184海里．
【分析】（1）证ΔCAB≅ΔDBA(AAS)，得CA=DB即可；
（2）先证△KGA≅△BGH(SAS)，得KA=BH，∠K=∠HBG，则KA//BH，由平行线的性质得∠HBA=90°=∠KAB，证△KAB≅△HBA(SAS)，得BK=AH=2AG=368，即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图1所示：
∵∠CAD=∠CBD，∠COA=∠DOB，
∴∠C=∠D，
又∵点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，
∴∠CAB=∠DBA=90°，
在△CAB和△DBA中，
∠C=∠D∠CAB=∠DBAAB=BA，
∴△CAB≅△DBA(AAS)，
∴CA=DB，
即海岛C，D到观测点A，B所在海岸距离CA，DB相等；
（2）解：延长AG至H，使GH=AG，连接BH，如图2所示：
∵点G是BK的中点，
∴GK=GB，
在△KGA和△BGH中，
GK=GB∠KGA=∠BGHAG=HG，
∴△KGA≅△BGH(SAS)，
∴KA=BH，∠K=∠HBG，
∴KA//BH，
∴∠HBA=180°−∠KAB=90°=∠KAB，
在△KAB和△HBA中，
KA=HB∠KAB=∠HBAAB=BA，
∴△KAB≅△HBA(SAS)，
∴BK=AH=2AG=368，
∴AG=184（海里）；
答：BK中点G到A的距离为184海里．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、方向角等知识；本题综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质以及方向角，
【变式7-1】（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板AC=BC,∠ACB=90°，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
【答案】20cm
【分析】由题意易得∠ADC=∠CEB=90°，则有∠BCE=∠DAC，进而可证△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质可求解．
【详解】解：∵AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
∵在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
又∵AD=EC=6cm，DC=BE=14cm，
∴DE=DC+CE=20(cm)，
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键．
【变式7-2】（2022·江苏·八年级假期作业）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO=AO，DO=BO，连接DC，测出DC的长即可．
乙：如图②，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC=DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？
（2）请说明方案可行的理由．
【答案】（1）甲同学方案可行；（2）见解析
【分析】（1）根据三角形全等的判定定理即可判断，判定三角形全等的方法有：SAS，SSS，AAS，ASA，HL(直角三角形)；
（2）根据SAS判定三角形全等的定理证明即可．
【详解】（1）甲同学：由题意可知，
在△AOB和△COD中，
AO=CO∠AOB=∠CODBO=DO
∴△AOB≌△CODSAS．
∴CD=AB．
∴甲同学方案可行；
乙同学：由题意可知，已知的条件只有CD=AD，BD=BD两组对应边相等，
所以无法证明△ABD≌△CBD，
所以乙同学方案不可行
（2）理由:在△AOB和△COD中，
AO=CO∠AOB=∠CODBO=DO
∴△AOB≌△CODSAS．
∴CD=AB，
∴求出CD的长度即可得出AB的长度．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理．判定三角形全等的方法有：SAS，SSS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．
【变式7-3】（2022春·重庆南岸·七年级统考期末）如图，A，B两点位于高墙外，不能直接到达．为在该高楼的楼顶上搭建一个支架，需要在地面测量出A，B间的距离．学习了三角形全等知识后，小明给出了如下的方案：先在地面上取一点可以直接到达A点和B点的点O，连接AO并延长到C，使OC=OA；连接BO并延长到D，使OD=OB，连接CD并测量出CD的长度，CD的长度就是A，B间的距离．请根据以上的信息，说明AB=CD．
【答案】见解析
【分析】利用SAS证得△AOB≌△COD，则其对应边相等．
【详解】解：在△AOB与△COD中，
OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD，
则△AOB≌△COD（SAS）．
尺
规
作
图
类型
依据
已知两边及其夹角作三角形
__________
已知两角一边作三角形
__________（或AAS）
已知三边作三角形
__________
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9016" 【题型1 确定尺规作三角形的依据】 PAGEREF _Tc9016 \h 1
\l "_Tc9081" 【题型2 根据全等三角形的判定方法确定唯一三角形】 PAGEREF _Tc9081 \h 2
\l "_Tc24040" 【题型3 利用尺规作全等三角形】 PAGEREF _Tc24040 \h 3
\l "_Tc25716" 【题型4 格点中作全等三角形】 PAGEREF _Tc25716 \h 4
\l "_Tc14588" 【题型5 结合尺规作图的全等问题】 PAGEREF _Tc14588 \h 6
\l "_Tc9678" 【题型6 利用作全等三角形解决实际问题】 PAGEREF _Tc9678 \h 7
\l "_Tc30532" 【题型7 利用三角形全等测距离】 PAGEREF _Tc30532 \h 8
【题型1 确定尺规作三角形的依据】
【例1】（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，在用尺规作图得到△DBC≌△ABC过程中，运用的三角形全等的判定方法是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【变式1-1】（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，已知∠ABC，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB,BC于D，P；作一条射线FE，以点F圆心，BD长为半径作弧l，交EF于点H；以H为圆心，PD长为半径作弧，交弧l于点Q；作射线FQ．这样可得∠QFE=∠ABC，其依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【变式1-2】（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）已知△ABC，现将△ABC绕点B逆时针旋转，使点A落在射线BP上，求作△A'C'B．作法：在BP上截BA'=BA，以点B为圆心、BC为半径作弧，以点A'为圆心、AC为半径作弧，两弧在射线BP右侧交于点C'，则△A'C'B即为所求．此作图确定三角形的依据是：___________．
【变式1-3】（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）尺规作三角形的类型：
【题型2 根据全等三角形的判定方法确定唯一三角形】
【例2】（2022秋·安徽阜阳·八年级统考期末）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB=3，BC=4，AC=8B．∠A=60°，∠B=45°，AB=4
C．∠C=90°，AB=6D．AB=4，BC=3，∠A=30°
【变式2-1】（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，画出的三角形不是唯一的是（ ）
A．已知三条边
B．已知三个角
C．已知两角和夹边
D．已知两边和夹角
【变式2-2】（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）在△ABC中给定下面几组条件：
①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；
②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；
③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；
④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．
若根据每组条件画图，则△ABC能够唯一确定的是___________（填序号）.
【变式2-3】（2022秋·山东聊城·八年级校联考期中）∠MAB为锐角，AB=a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC=x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（ ）
A．x=d或x≥aB．x≥aC．x=dD．x=d或x>a
【题型3 利用尺规作全等三角形】
【例3】（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）尺规作图：作△ABC，使∠ABC=α，AB=m，BC=n．（保留作图痕迹，不写作法）．
【变式3-1】（2022秋·河北邢台·八年级统考期中）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
已知：线段a，b，c；
求作：△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c．
【变式3-2】（2022春·河南信阳·八年级统考期中）我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）．
(1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）：
①画EF=BC；
②在线段EF的上方画∠F=∠C；
③画DE=AB；
④顺次连接相应顶点得所求三角形．
(2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等；
(3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______．
【变式3-3】（2022春·陕西·七年级陕西师大附中校考期中）尺规作图
已知：∠α，∠β和线段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠B=2∠β，AB=a．
要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母．
【题型4 格点中作全等三角形】
【例4】（2022秋·山西晋城·八年级统考期末）如图是5×5的正方形网格，以点D、E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式4-1】（2022秋·湖北荆门·八年级统考期中）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，试在方格纸上按下列要求画格点三角形（三角形的顶点在格点上），只需画出一个即可：
(1)在图（1）中画出与△ABC全等的三角形，且有条公共边：
(2)在图（2）中画出与△ABC全等的三角形，且有一个公共顶点：
(3)在图（3）中画出与△ABC全等的三角形，且有一个公共角．
【变式4-2】（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）图①、图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形．
要求：
(1)三角形的三个顶点都在格点上．
(2)与△ABC全等，且位置不同．
【变式4-3】（2022春·四川达州·七年级统考期末）如图1，在边长为1的9×9正方形网格中，老师请同学们过点C画线段AB的垂线．如图2，小明在多媒体展台上展示了他画出的图形．请你利用所学知识判断并说明直线CD是否为线段AB的垂线．（点A，B，C，D，E，F都是小正方形的顶点）
【题型5 结合尺规作图的全等问题】
【例5】（2022秋·山西长治·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点P，Q分别在边BC及CB的延长线上，且BQ=CP．
(1)实践与探索：利用尺规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作∠PQM=∠CBA，且点M在QC的上方；
②在QM上截取QR=BA；
③连接PR．
(2)猜想与验证：试猜想线段AC和RP的数量关系，并证明你的猜想．
【变式5-1】（2022春·河南平顶山·七年级统考期末）如图，△ABC．
（1）按要求画出图形：利用尺规作∠BAD＝∠BAC，并在射线AD上截取AE＝AC，连接BE（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）判断BC和BE的数量关系．并说明理由，注明推理依据．
【变式5-2】（2022春·广东佛山·七年级校考期中）没有量角器，利用刻度尺也能画出一个角的平分线．下面是小彬的做法，请说明理由．（写出具体的说理过程，写出必要步骤的根据）
如图，角平分线刻度尺画法：
①利用刻度尺在∠AOB 的两边上，分别取OD＝OC．
②连接CD，利用刻度尺画出CD的中点E．
③画射线OE．所以射线OE为∠AOB的角平分线．
【变式5-3】（2022秋·八年级单元测试）求证：全等三角形对应边上的中线相等．要求：①根据给出的△ABC用尺规作出△A'B'C'，使得△A'B'C'≌△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
【题型6 利用作全等三角形解决实际问题】
【例6】（2022秋·山东东营·七年级统考期末）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长.他叔叔帮他出了一个这样的主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度．
(1)DE=AB吗？请说明理由；
(2)如果DE的长度是8 m，则AB的长度是多少？
【变式6-1】（2022春·山东青岛·七年级山东省青岛第七中学校考期末）如图，在小明的一张地图上，有A、B、C三个城市，但是图上城市C已被墨迹污染，只知道∠BAC＝∠α，∠ABC＝∠β，你能用尺规帮他在图中确定C城市的具体位置吗？
【变式6-2】（2022春·全国·七年级期末）如图所示，要测量一个沼泽水潭的宽度．现由于不能直接测量，小军是这样操作的：他在平地上选取一点C，该点可以直接到达A与B点，接着他量出AC和BC的距离，并找出AC与BC的中点E、F，连接EF，测量EF的长，于是他便知道了水潭AB的长等于2EF，小军的做法有道理吗？说明理由．你还有比小军更简单的方法吗？
【变式6-3】（2022春·广东佛山·七年级佛山市惠景中学校考期中）如图，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去切割一块大小完全一样的玻璃，现有以下几个方案：
方案A：带①去；方案B：带②去；方案C：带③去；
(1)你认为他选择最省事的办法是采用方案______；
(2)根据所选的方案用尺规作图的方法将三角形玻璃还原（不写作法，要求保留作图痕迹）．
【题型7 利用三角形全等测距离】
【例7】（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图1．海岸上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，如果从观测点A看海岛C，D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C，D到观测点A，B所在海岸距离CA，DB相等吗？请说明理由．
（2）在（1）的条件下，在A的正北方向有一个海岛K，通过测量得到KB长度是368海里，如图2所示．求BK中点G到A的距离．
【变式7-1】（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板AC=BC,∠ACB=90°，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
【变式7-2】（2022·江苏·八年级假期作业）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO=AO，DO=BO，连接DC，测出DC的长即可．
乙：如图②，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC=DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？
（2）请说明方案可行的理由．
尺
规
作
图
类型
依据
已知两边及其夹角作三角形
__________
已知两角一边作三角形
__________（或AAS）
已知三边作三角形
__________
专题4.5 用尺规作三角形【七大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9016" 【题型1 确定尺规作三角形的依据】 PAGEREF _Tc9016 \h 1
\l "_Tc9081" 【题型2 根据全等三角形的判定方法确定唯一三角形】 PAGEREF _Tc9081 \h 3
\l "_Tc24040" 【题型3 利用尺规作全等三角形】 PAGEREF _Tc24040 \h 5
\l "_Tc25716" 【题型4 格点中作全等三角形】 PAGEREF _Tc25716 \h 9
\l "_Tc14588" 【题型5 结合尺规作图的全等问题】 PAGEREF _Tc14588 \h 13
\l "_Tc9678" 【题型6 利用作全等三角形解决实际问题】 PAGEREF _Tc9678 \h 17
\l "_Tc30532" 【题型7 利用三角形全等测距离】 PAGEREF _Tc30532 \h 21
【题型1 确定尺规作三角形的依据】
【例1】（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，在用尺规作图得到△DBC≌△ABC过程中，运用的三角形全等的判定方法是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【答案】B
【分析】根据作法可得∠ABC=∠DBC,∠ACB=∠DCB，可利用ASA证明△DBC≌△ABC，即可求解．
【详解】解：根据作法得：∠ABC=∠DBC,∠ACB=∠DCB，
∵BC=BC，
∴△DBC≌△ABCASA．
故选：B
【点睛】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定，熟练掌握作一个角等于已知角的作法，全等三角形的判定定理是解题的关键．
【变式1-1】（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，已知∠ABC，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB,BC于D，P；作一条射线FE，以点F圆心，BD长为半径作弧l，交EF于点H；以H为圆心，PD长为半径作弧，交弧l于点Q；作射线FQ．这样可得∠QFE=∠ABC，其依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】D
【分析】根据题意得出BP=BD=FQ=FH，DP=QH，利用SSS证明△PBD≌△QFH，根据全等三角形的性质即可得出∠QFE=∠ABC．
【详解】解：如图，连接DP，QH，
根据题意得，BP=BD=FQ=FH，DP=QH，
在△PBD和△QFH中，BP=FQBD=FHDP=QH，
∴△PBD≌△QFHSSS，
∴∠ABC=∠QFE，
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式1-2】（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）已知△ABC，现将△ABC绕点B逆时针旋转，使点A落在射线BP上，求作△A'C'B．作法：在BP上截BA'=BA，以点B为圆心、BC为半径作弧，以点A'为圆心、AC为半径作弧，两弧在射线BP右侧交于点C'，则△A'C'B即为所求．此作图确定三角形的依据是：___________．
【答案】SSS##边边边
【分析】根据作图步骤可知，BA=BA'，AC=A'C'，BC=BC'，由此即可求解．
【详解】解：根据作图步骤可知，BA=BA'，AC=A'C'，BC=BC'
∴△ABC≌△A'BC'SSS
故答案为：SSS
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
【变式1-3】（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）尺规作三角形的类型：
【答案】 SAS ASA SSS
【详解】试题解析：已知两边及其夹角作三角形,其依据是：SAS.
已知两角一边作三角形,其依据是：ASA（或AAS）.
已知三边作三角形, 其依据是：SSS.
故答案为SAS,ASA,SSS.
点睛：判定三角形全等的方法有：SAS,ASA,SSS,AAS,HL.
【题型2 根据全等三角形的判定方法确定唯一三角形】
【例2】（2022秋·安徽阜阳·八年级统考期末）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB=3，BC=4，AC=8B．∠A=60°，∠B=45°，AB=4
C．∠C=90°，AB=6D．AB=4，BC=3，∠A=30°
【答案】B
【分析】判断一个三角形是否为三角形，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，两边夹一角，或两角夹一边可确定三角形的形状，否则三角形则并不是唯一存在，可能有多种情况存在.
【详解】A.因为AC，BC，AB的长不满足三角形三边关系，所以A选项不能确定一个三角形；
B. ∠A，∠B的公共边是AB，根据三角形全等的判定ASA可以确定一个三角形，故B选项能唯一确定一个三角形；
C. 只有一个角一条边，故C选项不能唯一确定一个三角形；
D. ∠A不是AB和BC边的夹角，故D选项不能唯一确定一个三角形，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了三角形的确定问题，熟练掌握三角形的三边关系等相关问题是解决本题的关键.
【变式2-1】（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，画出的三角形不是唯一的是（ ）
A．已知三条边
B．已知三个角
C．已知两角和夹边
D．已知两边和夹角
【答案】B
【详解】A、符合全等三角形的判定SSS，能作出唯一直角三角形；
B、不正确，已知三个角可画出无数个三角形；
C、正确，符合ASA判定；
D、正确，符合SAS判定．
故选∶B．
【点睛】本题主要考查由已知条件作三角形，可以依据三角形全等的判定来做．
【变式2-2】（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）在△ABC中给定下面几组条件：
①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；
②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；
③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；
④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．
若根据每组条件画图，则△ABC能够唯一确定的是___________（填序号）.
【答案】①③④
【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】解：①符合全等三角形的判定定理SAS，即能画出唯一三角形，正确；
②根据BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°不能画出唯一三角形，如图所示△ABC和△BCD，
错误；
③符合全等三角形的判定定理HL，即能画出唯一三角形，正确；
④∵∠ABC为钝角，结合②可知，只能画出唯一三角形，正确.
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法；解答此题的关键是要掌握三角形全等判定的几种方法即可，结合已知逐个验证，要找准对应关系．
【变式2-3】（2022秋·山东聊城·八年级校联考期中）∠MAB为锐角，AB=a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC=x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（ ）
A．x=d或x≥aB．x≥aC．x=dD．x=d或x>a
【答案】D
【分析】当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围．
【详解】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可，
当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；
当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点，
x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合，
所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，
故选为：A．
【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键．
【题型3 利用尺规作全等三角形】
【例3】（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）尺规作图：作△ABC，使∠ABC=α，AB=m，BC=n．（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】作图见解析．
【分析】先作∠DBE=α，然后在射线BD、BE上分别取线段AB=m，BC=n，连接AC即可得解．
【详解】解：如下图所示，△ABC为所求作的三角形．
【点睛】本题考查了尺规作一个三角形，解题的关键是能用尺规作一个角等于已知角．
【变式3-1】（2022秋·河北邢台·八年级统考期中）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
已知：线段a，b，c；
求作：△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c．
【答案】见解析
【分析】作射线AP，以A为圆心，c为半径画弧，交射线AP于点B，分别以A，B为圆心，以b，a为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC即为所求．
【详解】解：如图所示，△ABC即为所求；
．
【点睛】本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【变式3-2】（2022春·河南信阳·八年级统考期中）我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）．
(1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）：
①画EF=BC；
②在线段EF的上方画∠F=∠C；
③画DE=AB；
④顺次连接相应顶点得所求三角形．
(2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等；
(3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______．
【答案】(1)见解析
(2)2，D'EF；
(3)两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等
【分析】（1）根据尺规作线段，作一个角等于已知角的步骤作图即可；
（2）根据所画图形填空即可；
（3）根据探究过程结合全等三角形的判定可得出结论．
（1）
解：如图所示：
（2）
观察所画的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中三角形D'EF（填三角形的名称）与△ABC明显不全等，
故答案为：2，D'EF；
（3）
经历以上探究过程，可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，
故答案为：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等．
【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握尺规作图的方法和全等三角形的判定定理是解题的关键．
【变式3-3】（2022春·陕西·七年级陕西师大附中校考期中）尺规作图
已知：∠α，∠β和线段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠B=2∠β，AB=a．
要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母．
【答案】见解析
【分析】首先作射线进而截取AB=a，再分别以A，B为端点，作∠A=∠α，∠B=2∠β，两条射线交于点C，即可得到所求的△ABC．
【详解】解：如图，△ABC即为所求．
．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，正确掌握作一角等于已知角的方法是解题关键．
【题型4 格点中作全等三角形】
【例4】（2022秋·山西晋城·八年级统考期末）如图是5×5的正方形网格，以点D、E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【分析】观察图形可知：DE与AC是对应边，B点的对应点在DE上方两个，在DE下方两个共有4个满足要求的点，也就有四个全等三角形．
【详解】解：根据题意，运用SSS可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要做到不重不漏．
【变式4-1】（2022秋·湖北荆门·八年级统考期中）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，试在方格纸上按下列要求画格点三角形（三角形的顶点在格点上），只需画出一个即可：
(1)在图（1）中画出与△ABC全等的三角形，且有条公共边：
(2)在图（2）中画出与△ABC全等的三角形，且有一个公共顶点：
(3)在图（3）中画出与△ABC全等的三角形，且有一个公共角．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（ 1）可根据全等三角形判定中的边边边（SSS）为依据作图；
（2 ）（ 3）可根据全等三角形的判定中的边角边（SAS）为依据作图．
【详解】（1）解：如图1，△AB'C即为所求（答案不唯一），
；
（2）解：如图2，△BEF即为所求，
；
（3）解：如图3，△CDE即为所求，
．
【点睛】本题考查的是作图－复杂作图，熟知全等三角形的作法是解答此题的关键．
【变式4-2】（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）图①、图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形．
要求：
(1)三角形的三个顶点都在格点上．
(2)与△ABC全等，且位置不同．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可；
（2）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可．
【详解】（1）如图，△ECB即为所求
（2）如图，△DEF即为所求
【点睛】本题考查作图，全等三角形的判定的知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式4-3】（2022春·四川达州·七年级统考期末）如图1，在边长为1的9×9正方形网格中，老师请同学们过点C画线段AB的垂线．如图2，小明在多媒体展台上展示了他画出的图形．请你利用所学知识判断并说明直线CD是否为线段AB的垂线．（点A，B，C，D，E，F都是小正方形的顶点）
【答案】见解析
【分析】根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】证明：如图所示：
通过图可知：DF＝BE＝2，CF＝EA＝5，∠DFC＝∠BEA＝90°，
∴△DFC≌△BEA（SAS），
∴∠A＝∠C，
∵∠AGH＝∠CGP，
∴∠AHG＝∠APC＝90°，
∴直线CD为线段AB的垂线．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
【题型5 结合尺规作图的全等问题】
【例5】（2022秋·山西长治·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点P，Q分别在边BC及CB的延长线上，且BQ=CP．
(1)实践与探索：利用尺规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作∠PQM=∠CBA，且点M在QC的上方；
②在QM上截取QR=BA；
③连接PR．
(2)猜想与验证：试猜想线段AC和RP的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)见解析
(2)RP=AC，理由见解析
【分析】（1）按照尺规作图的方法作出图形即可；
（2）利用SAS证明△RQP≌△ABC即可得到结论RP=AC．
【详解】（1）解：如图所示，
；
（2）解：结论RP=AC．理由如下，
∵BQ=CP，∴QP=BC，
由作图知，∠PQM=∠CBA，QR=BA，
∴△RQP≌△ABCSAS，
∴RP=AC．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式5-1】（2022春·河南平顶山·七年级统考期末）如图，△ABC．
（1）按要求画出图形：利用尺规作∠BAD＝∠BAC，并在射线AD上截取AE＝AC，连接BE（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）判断BC和BE的数量关系．并说明理由，注明推理依据．
【答案】（1）见解析；（2）BC＝BE，见解析
【分析】（1）利用尺规作∠BAD＝∠BAC，并在射线AD上截取AE＝AC，连接BE即可；
（2）结合（1）证明△ABC≌△ABE即可判断BC和BE的数量关系．
【详解】（1）如图，∠BAD即为所求；
（2）BC＝BE，
理由如下：
∵AC＝AE（已知），∠CAB＝∠EAB（作图知），AB＝AB（公共边），
∴在△ABC和△ABE中，
AC=AE∠CAB=∠EABAB=AB，
∴△ABC≌△ABE（SAS），
∴BC＝BE（全等三角形对应边相等）．
【点睛】本题考查了用尺规作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，要熟悉几种基本尺规作图．
【变式5-2】（2022春·广东佛山·七年级校考期中）没有量角器，利用刻度尺也能画出一个角的平分线．下面是小彬的做法，请说明理由．（写出具体的说理过程，写出必要步骤的根据）
如图，角平分线刻度尺画法：
①利用刻度尺在∠AOB 的两边上，分别取OD＝OC．
②连接CD，利用刻度尺画出CD的中点E．
③画射线OE．所以射线OE为∠AOB的角平分线．
【答案】理由见解析
【分析】只需要利用SSS证明△COE≌△DOE即可证明∠COE=∠DOE，则OE为∠AOB的角平分线．
【详解】解：∵E是CD的中点（已知），
∴CE=DE（线段中点的定义），
在△COE和△DOE中，
OC=ODCE=DEOE=OE，
∴△COE≌△DOE（SSS），
∴∠COE=∠DOE（全等三角形的性质），
∴OE是∠AOB的角平分线．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
【变式5-3】（2022秋·八年级单元测试）求证：全等三角形对应边上的中线相等．要求：①根据给出的△ABC用尺规作出△A'B'C'，使得△A'B'C'≌△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
【答案】①作图见解析；②见解析．
【分析】①利用SSS构造全等三角形即可；
②写出已知，求证，再根据全等三角判定和性质证明即可．
【详解】解：①如图，△A'B'C'即为所求．
②已知：如图，ΔABC≌△A'B'C'，D是AB的中点，D'是A'B'的中点，
求证：CD=C'D'．
证明：∵ΔABC≌△A'B'C'
∴AB=A'B'，AC=A'C'，∠A=∠A'
∵D是AB的中点，D'是A'B'的中点，
∴AD=12AB，A'D'=12A'B'，
∴AD=A'D'
∴ΔCAD≌△C'A'D'(SAS)，
∴CD=C'D'．
【点睛】本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定和性质，三角形的中线，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
【题型6 利用作全等三角形解决实际问题】
【例6】（2022秋·山东东营·七年级统考期末）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长.他叔叔帮他出了一个这样的主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度．
(1)DE=AB吗？请说明理由；
(2)如果DE的长度是8 m，则AB的长度是多少？
【答案】（1）DE=AB．理由见解析；（2）AB =8m．
【分析】（1）由题意知AC=DC，BC=EC，根据∠ACB=∠DCE即可证明△ABC≌△DEC，即可得AB=DE，即可解题；
（2）由（1）可知DE=AB，则可知AB的长度.
【详解】（1）
解：由题意知AC=DC，BC=EC，且∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
AC=DC∠ACB=∠DCEBC=EC ，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE=AB．
（2）由（1）知AB =DE=8m．
【点睛】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABC≌△DEC是解题的关键．
【变式6-1】（2022春·山东青岛·七年级山东省青岛第七中学校考期末）如图，在小明的一张地图上，有A、B、C三个城市，但是图上城市C已被墨迹污染，只知道∠BAC＝∠α，∠ABC＝∠β，你能用尺规帮他在图中确定C城市的具体位置吗？
【答案】见解析
【分析】连接AB，以AB为边，A为顶点作∠BAC＝α，以B为顶点作∠ABC＝∠β，两边交于点C，如图所示．
【详解】如图所示，点C为求作的点．
【点睛】此题考查作图-应用与设计作图，熟练掌握全等三角形的判定方法（ASA）是解题的关键．
【变式6-2】（2022春·全国·七年级期末）如图所示，要测量一个沼泽水潭的宽度．现由于不能直接测量，小军是这样操作的：他在平地上选取一点C，该点可以直接到达A与B点，接着他量出AC和BC的距离，并找出AC与BC的中点E、F，连接EF，测量EF的长，于是他便知道了水潭AB的长等于2EF，小军的做法有道理吗？说明理由．你还有比小军更简单的方法吗？
【答案】详见解析
【分析】仔细阅读题目,分析可知若要说明小军的作法有道理,只需证明AB=2EF即可, 过点B作BG∥AC交EF的延长线于点G,连接BE，利用ASA证明△ECF≌△GBF，得出EF=GF ,CE=BG，再利用SAS证明△AEB≌△GBE得出AB=GE，即可得证．
【详解】
解:小军的作法有道理,理由如下:
过点B作BG∥AC交EF的延长线于点G,连接BE
∵ 点E、F分别是AC、BC的中点
∴ AE=CE, BF=CF
∵ BG∥AC
∴ ∠ECF=∠GBF ,∠AEB=∠GBE (两直线平行,内错角相等)
∵∠ECF=∠GBFBF=CF∠CFE=∠BFG
∴ △ECF≌△GBF (两角及其夹边对应相等的两个三角形全等)
∴ EF=GF ,CE=BG (全等三角形的对应边相等)
∵ EF=GF ,EF+GF=EG
∴ EG=2EF
∵ CE=BG, AE=CE
∴ AE=BG
∵ 在△AEB和△GBE中,AE=GB∠AEB=∠GBEEB=BE
∴ △AEB≌△GBE (两边及其夹角对应相等的两个三角形全等)
∴ AB=GE (全等三角形的对应边相等)
∵ GE=2EF, AB=GE
∴ AB=2EF
故小军的做法是有道理的；
取直接能到达A，B两点的C点，延长BC，AC，使EC=AC，DC=BC，
连接DE，
在△ABC和△EDC中,
EC=AC∠DCE=∠BCADC=BC
则△ABC≌△EDC，所以DE=AB．
【点睛】此题主要考查了应用全等三角形的相关知识来解决实际生活中的问题,在实际生活中,对于难以实地测量的线段,常常通过作辅助线构造出全等的三角形,再运用“全等三角形的对应边相等”这一性质将需要测量的线段转化到易测量的线段上,从而求解．
【变式6-3】（2022春·广东佛山·七年级佛山市惠景中学校考期中）如图，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去切割一块大小完全一样的玻璃，现有以下几个方案：
方案A：带①去；方案B：带②去；方案C：带③去；
(1)你认为他选择最省事的办法是采用方案______；
(2)根据所选的方案用尺规作图的方法将三角形玻璃还原（不写作法，要求保留作图痕迹）．
【答案】(1)③
(2)见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法解答；
（2）先作一个角等于已知角，再作出已知边，然后作出另一个角等于已知角，两边相交，然后连接即可得到该三角形；
（1）
解：带③去满足“角边角”，可以配一块完全一样的玻璃．
故答案为：③．
（2）
先作∠C=∠A，然后再在射线CE上截取CD=AB，以点D为角的顶点，作∠CDF=∠B，∠CDF与∠DCF的一条边为公共边，另外一条边交于点F，则△CDF即为所求作的三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段的作法，是基础题，熟记全等三角形的判定方法和基本作图是解题的关键．
【题型7 利用三角形全等测距离】
【例7】（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图1．海岸上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，如果从观测点A看海岛C，D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C，D到观测点A，B所在海岸距离CA，DB相等吗？请说明理由．
（2）在（1）的条件下，在A的正北方向有一个海岛K，通过测量得到KB长度是368海里，如图2所示．求BK中点G到A的距离．
【答案】（1）相等，证明见解析；（2）184海里．
【分析】（1）证ΔCAB≅ΔDBA(AAS)，得CA=DB即可；
（2）先证△KGA≅△BGH(SAS)，得KA=BH，∠K=∠HBG，则KA//BH，由平行线的性质得∠HBA=90°=∠KAB，证△KAB≅△HBA(SAS)，得BK=AH=2AG=368，即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图1所示：
∵∠CAD=∠CBD，∠COA=∠DOB，
∴∠C=∠D，
又∵点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，
∴∠CAB=∠DBA=90°，
在△CAB和△DBA中，
∠C=∠D∠CAB=∠DBAAB=BA，
∴△CAB≅△DBA(AAS)，
∴CA=DB，
即海岛C，D到观测点A，B所在海岸距离CA，DB相等；
（2）解：延长AG至H，使GH=AG，连接BH，如图2所示：
∵点G是BK的中点，
∴GK=GB，
在△KGA和△BGH中，
GK=GB∠KGA=∠BGHAG=HG，
∴△KGA≅△BGH(SAS)，
∴KA=BH，∠K=∠HBG，
∴KA//BH，
∴∠HBA=180°−∠KAB=90°=∠KAB，
在△KAB和△HBA中，
KA=HB∠KAB=∠HBAAB=BA，
∴△KAB≅△HBA(SAS)，
∴BK=AH=2AG=368，
∴AG=184（海里）；
答：BK中点G到A的距离为184海里．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、方向角等知识；本题综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质以及方向角，
【变式7-1】（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板AC=BC,∠ACB=90°，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
【答案】20cm
【分析】由题意易得∠ADC=∠CEB=90°，则有∠BCE=∠DAC，进而可证△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质可求解．
【详解】解：∵AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
∵在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
又∵AD=EC=6cm，DC=BE=14cm，
∴DE=DC+CE=20(cm)，
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键．
【变式7-2】（2022·江苏·八年级假期作业）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO=AO，DO=BO，连接DC，测出DC的长即可．
乙：如图②，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC=DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？
（2）请说明方案可行的理由．
【答案】（1）甲同学方案可行；（2）见解析
【分析】（1）根据三角形全等的判定定理即可判断，判定三角形全等的方法有：SAS，SSS，AAS，ASA，HL(直角三角形)；
（2）根据SAS判定三角形全等的定理证明即可．
【详解】（1）甲同学：由题意可知，
在△AOB和△COD中，
AO=CO∠AOB=∠CODBO=DO
∴△AOB≌△CODSAS．
∴CD=AB．
∴甲同学方案可行；
乙同学：由题意可知，已知的条件只有CD=AD，BD=BD两组对应边相等，
所以无法证明△ABD≌△CBD，
所以乙同学方案不可行
（2）理由:在△AOB和△COD中，
AO=CO∠AOB=∠CODBO=DO
∴△AOB≌△CODSAS．
∴CD=AB，
∴求出CD的长度即可得出AB的长度．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理．判定三角形全等的方法有：SAS，SSS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．
【变式7-3】（2022春·重庆南岸·七年级统考期末）如图，A，B两点位于高墙外，不能直接到达．为在该高楼的楼顶上搭建一个支架，需要在地面测量出A，B间的距离．学习了三角形全等知识后，小明给出了如下的方案：先在地面上取一点可以直接到达A点和B点的点O，连接AO并延长到C，使OC=OA；连接BO并延长到D，使OD=OB，连接CD并测量出CD的长度，CD的长度就是A，B间的距离．请根据以上的信息，说明AB=CD．
【答案】见解析
【分析】利用SAS证得△AOB≌△COD，则其对应边相等．
【详解】解：在△AOB与△COD中，
OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD，
则△AOB≌△COD（SAS）．
尺
规
作
图
类型
依据
已知两边及其夹角作三角形
__________
已知两角一边作三角形
__________（或AAS）
已知三边作三角形
__________
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