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北师大版七年级数学下册举一反三系列4.1三角形内角和定理的运用【八大题型】同步学案(学生版+解析)
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这是一份北师大版七年级数学下册举一反三系列4.1三角形内角和定理的运用【八大题型】同步学案(学生版+解析)，共37页。
专题4.1 三角形内角和定理的运用【八大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \t "正文,1" \hTOC \o "1-1" \h \u HYPERLINK \l "_Toc7550" 【题型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】 PAGEREF _Toc7550 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc2836" 【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】 PAGEREF _Toc2836 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc26832" 【题型3 三角形内角和定理与平行线的性质综合】 PAGEREF _Toc26832 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc12177" 【题型4 三角形内角和定理与折叠性质综合】 PAGEREF _Toc12177 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc286" 【题型5 三角形内角和定理与新定义问题综合】 PAGEREF _Toc286 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc2555" 【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】 PAGEREF _Toc2555 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc27146" 【题型7 判断直角三角形】 PAGEREF _Toc27146 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc16473" 【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】 PAGEREF _Toc16473 \h 9【知识点1 三角形的内角及内角和定理】三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°．【题型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】【例1】（2021秋•涡阳县期末）在△ABC中，已知∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，求∠A的度数．【变式1-1】（2022春•武侯区校级期中）如图，点E、D分别在AB、AC上．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠1+∠2＝ °．【变式1-2】（2022•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是 度．【变式1-3】（2022•南京模拟）已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为45°，则∠BAC等于 ．【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】【例2】（2022春•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADB的度数为（ ）A．100° B．90° C．80° D．50°【变式2-1】（2021秋•靖西市期末）△ABC中，∠C＝50°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，点F为AE上一点，FD⊥BC于点D，则∠EFD的度数为（ ）A．5 B．10 C．12 D．20【变式2-2】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．（1）若∠B＝32°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；（2）若∠C﹣∠B＝18°，求∠DAE的度数．【变式2-3】（2022春•锡山区期中）已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的平分线，若∠DAC＝30°，∠BAC＝80°．（1）求∠EBC的度数；（2）求∠AOB的度数．【题型3 三角形内角和定理与平行线的性质综合】【例3】（2022•高唐县二模）将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠B＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点C在边DF上，AC，BC分别交DE于点G，H．若BC∥EF，则∠AGD的度数为（ ）A．30° B．45° C．60° D．75°【变式3-1】（2022春•兴宁区校级期末）如图，在△ABG中，D为AG上一点，AB∥DC，点E是边AB上一点，连接ED，∠EBD＝∠EDB，DF平分∠EDG，若∠GDC＝72°，则∠BDF的度数为（ ）A．50° B．40° C．45° D．36°【变式3-2】（2022春•泌阳县期末）如图，在△ABC中，AO平分∠BAC，BO⊥AO，O为垂足，OD∥AC，若∠ABO＝40°，试求∠BOD的大小．（提示：延长AO交BC于点E）【变式3-3】（2022春•铜梁区校级期中）如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．（1）若2∠1+∠EAB＝180°，求证：EF∥BC；（2）若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．【题型4 三角形内角和定理与折叠性质综合】【例4】（2022春•锦江区校级期中）如图甲所示三角形纸片ABC中，∠B＝∠C，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙），则∠ABC的大小为 °．【变式4-2】（2021春•丹阳市期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点O，将△ABC沿MN折叠，使点C与点O重合，若∠AOB＝135°，则∠1+∠2 = °．【变式4-3】（2022春•铁西区期末）有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝30°，∠C＝50°，点D在边AB上，请在边BC上找一点E，将纸片沿直线DE折叠，点B落在点F处，若EF与三角形纸片ABC的边AC平行，则∠BED的度数为 ．【变式4-4】（2022•巴彦县二模）在△ABC中，∠A＝110°，点D在△ABC内，将射线BA沿直线BD翻折，将射线CA沿直线CD翻折，两射线交于点E，若∠BEC＝150°，则∠BDC的度数为 ．【题型5 三角形内角和定理与新定义问题综合】【例5】（2021秋•山亭区期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是 ．【变式5-1】（2022春•大丰区校级月考）当三角形中一个内角â是另外一个内角á的12时，我们称此三角形为“友好三角形”，á为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为36°，那么这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为 ．【变式5-2】（2022春•安溪县期末）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”．（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“ 倍角三角形”．（2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．【变式5-3】（2021秋•福田区校级期末）我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）∠ABO＝ °，△AOB （填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】【例6】（2021秋•青田县期末）如图，直线l∥线段BC，点A是直线l上一动点．在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线．（1）如图1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度数；（2）当点A在直线l上运动时，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明．【变式6-1】（2022春•顺德区期中）如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的内角平分线且BO，CO相交于点O．（1）若∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，求∠BOC的度数；（2）若∠A＝60°，求∠BOC的度数；（3）请你直接写出∠A与∠BOC满足的数量关系式，不需要说明理由．【变式6-2】（2022春•海门市期末）已知：△ABC，点D，E分别在边AC，AB上，连接BD，CE，BD与CE交于点O，∠BOC﹣∠BAC＝54°．（1）如图1，当BD，CE都是△ABC的角平分线时，求∠BOC的度数；（2）如图2，当BD，CE都是△ABC的高时，求∠BOC的度数；（3）如图3，当∠ABD＝2∠ACE时，探究∠BEO与∠CDO的数量关系，并说明理由．【变式6-3】（2022春•辉县市期末）小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系．（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：上表中a＝ ，于是得到∠B、∠C、∠EAD的数量关系为 ．（2）小明继续探究，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由．（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图2，过EA的延长线是一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D，当∠ABC＝80°，∠C＝24°时，∠F度数为 °．【知识点2 直角三角形的判定】直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．【题型7 判断直角三角形】【例7】（2021春•历下区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式7-1】（2022秋•旌阳区校级月考）在下列条件中（1）∠A+∠B＝∠C；（2）∠A：∠B：∠C＝1：2：3；（3）∠A＝∠B=12∠C；（4）∠A=12∠B=13∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式7-2】（2021秋•谢家集区期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，AE平分∠BAC．（1）求∠BAE；（2）若AD⊥BC于点D，∠ADF＝74°，证明：△ADF是直角三角形．【变式7-3】（2022春•崇川区期末）定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求证：△ABD为“奇妙三角形”（2）若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：△ABC是直角三角形；（3）如图2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数．【知识点3 直角三角形的性质】直角三角形的性质：直角三角形两个内角互余．【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】【例8】（2022秋•宁晋县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【变式8-1】（2022•碑林区校级模拟）如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（ ）个．A．5 B．4 C．3 D．2【变式8-2】（2022春•邓州市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．【变式8-3】（2022春•米东区期末）如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．（1）求证：∠ACE＝∠ABC；（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；（3）求证：∠CEF＝∠CFE． ∠B/度1030302020∠C/度7070606080∠EAD/度30a152030专题4.1 三角形内角和定理的运用【八大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \t "正文,1" \hTOC \o "1-1" \h \u HYPERLINK \l "_Toc7550" 【题型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】 PAGEREF _Toc7550 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc2836" 【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】 PAGEREF _Toc2836 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc26832" 【题型3 三角形内角和定理与平行线的性质综合】 PAGEREF _Toc26832 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc12177" 【题型4 三角形内角和定理与折叠性质综合】 PAGEREF _Toc12177 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc286" 【题型5 三角形内角和定理与新定义问题综合】 PAGEREF _Toc286 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc2555" 【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】 PAGEREF _Toc2555 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc27146" 【题型7 判断直角三角形】 PAGEREF _Toc27146 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc16473" 【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】 PAGEREF _Toc16473 \h 28【知识点1 三角形的内角及内角和定理】三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°．【题型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】【例1】（2021秋•涡阳县期末）在△ABC中，已知∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，求∠A的度数．【分析】将第一个等式代入第二等式用∠A表示出∠C，再根据三角形的内角和等于180°列方程求出∠A，然后求解即可．【解答】解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，∴∠C＝∠A+10°+25°＝∠A+35°，由三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°，所以，∠A+∠A+10°+∠A+35°＝180°，解得∠A＝45°．【变式1-1】（2022春•武侯区校级期中）如图，点E、D分别在AB、AC上．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠1+∠2＝ °．【分析】根据三角形的内角和定理列式整理可得∠1+∠2＝∠B+∠C，从而可求解．【解答】解：∵∠1+∠2+∠A＝180°，∠B+∠C+∠A＝180°，∴∠1+∠2＝∠B+∠C，∵∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠1+∠2＝∠B+∠C＝30°+50°＝80°．故答案为：80°．【变式1-2】（2022•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是 度．【分析】分两种情况：△ABC为锐角三角形或钝角三角形，然后利用三角形内角和定理即可作答．【解答】解：当△ABC为锐角三角形时，如图，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；当△ABC为钝角三角形时，如图，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．综上所述，∠BAC＝80°或40°．故答案为：80或40．【变式1-3】（2022•南京模拟）已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为45°，则∠BAC等于 ．【分析】根据三角形的内角和定理．分∠BAC与这个45°的角在一个四边形内，及∠BAC与这个45°的角不在一个四边形内两种情况讨论．【解答】解：若∠BAC与这个45°的角在一个四边形BCDE内，因为BD、CE是△ABC的高，设BD的延长线交CE的延长线于O．∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵∠O＝45°，∴∠DAE＝180°﹣45°＝135°∴∠BAC＝∠DAE＝135°；若∠BAC与这个45°的角不在一个四边形BCDE内，因为BD、CE是△ABC的高，如图：∠BAC＝180°﹣（180°﹣45°）＝45°，所以∠BAC等于45度．若∠ACB是钝角，∠A是锐角，易知∠ABD＝40°，∠A＝45°综上所述，∠A的值为45°或135°．故答案为：45°或135°．【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】【例2】（2022春•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADB的度数为（ ）A．100° B．90° C．80° D．50°【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠B与∠BAD的度数即可求解．【解答】解：∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC＝30°，∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣30°＝100°．【变式2-1】（2021秋•靖西市期末）△ABC中，∠C＝50°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，点F为AE上一点，FD⊥BC于点D，则∠EFD的度数为（ ）A．5 B．10 C．12 D．20【分析】根据三角形的内角和为180°即可得出结论．【解答】解：∵∠C＝50°，∠B＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣50°﹣30°＝100°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝50°，∴∠FED＝50°+30°＝80°，又∵DF⊥BC，∴∠FED+∠EFD＝90°，∴∠EFD＝90°﹣80°＝10°，【变式2-2】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．（1）若∠B＝32°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；（2）若∠C﹣∠B＝18°，求∠DAE的度数．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠EAC，根据垂直求出∠ADC＝90°，根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC，再求出答案即可；（2）求出∠C＝18°+∠B，根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠EAC，根据垂直求出∠ADC＝90°，根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC，再求出答案即可．【解答】解：（1）∵∠B＝32°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝88°，∵AE是角平分线，∴∠EAC=12∠BAC＝44°，∵AD是高，∴∠AC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝30°，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝44°﹣30°＝14°；（2）∵∠C﹣∠B＝18°，∴∠C＝18°+∠B，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣∠B﹣（18°+∠B）＝162°﹣2∠B，∵AE是角平分线，∴∠EAC=12∠BAC＝81°﹣∠B，∵AD是高，∴∠AC＝90°，∵∠C＝18°+∠B，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣（18°+∠B）＝72°﹣∠B，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝（81°﹣∠B）﹣（72°﹣∠B）＝9°．【变式2-3】（2022春•锡山区期中）已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的平分线，若∠DAC＝30°，∠BAC＝80°．（1）求∠EBC的度数；（2）求∠AOB的度数．【分析】（1）由直角三角形的性质可求解∠C＝60°，利用三角形的内角和定理可求解∠ABC＝40°，再根据角平分线的定义可求解；（2）由∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC可求解∠BAD＝50°，由角平分线的定义可求解∠ABO＝∠EBC＝20°，由三角形的内角和定理可求解．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴△ADC是直角三角形，∵∠DAC＝30°，∴∠C＝90°﹣∠DAC＝60°，∵∠BAC＝80°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝40°，∵BE是△ABC的平分线，∴∠EBC=12∠ABC＝20°；（2）∵∠BAC＝80°，∠DAC＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝50°，由（1）可知∠EBC＝20°，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABO＝∠EBC＝20°，在△AOB中，∠AOB＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝110°．【题型3 三角形内角和定理与平行线的性质综合】【例3】（2022•高唐县二模）将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠B＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点C在边DF上，AC，BC分别交DE于点G，H．若BC∥EF，则∠AGD的度数为（ ）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠ACB（即∠HCG）的度数，由BC∥EF，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠GHC的度数，在△HCG中，利用三角形内角和定理可求出∠HGC的度数，再结合对顶角相等可得出∠AGD的度数．【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝45°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣90°﹣45°＝45°，即∠HCG＝45°．∵BC∥EF，∴∠GHC＝∠E＝60°，∴∠HGC＝180°﹣∠GHC﹣∠HCG＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴∠AGD＝∠HGC＝75°．故选：D．【变式3-1】（2022春•兴宁区校级期末）如图，在△ABG中，D为AG上一点，AB∥DC，点E是边AB上一点，连接ED，∠EBD＝∠EDB，DF平分∠EDG，若∠GDC＝72°，则∠BDF的度数为（ ）A．50° B．40° C．45° D．36°【分析】根据平行线的性质可得∠EBD＝∠BDC，根据角平分线的定义可得∠EDB＝∠BDC，设∠EDB＝∠BDC＝x°，表示出∠GDE，根据角平分线的性质可得∠EDF，再根据∠BDF＝∠EDF﹣∠BDE，求解即可．【解答】解：∵AB∥DC，∴∠EBD＝∠BDC，∵∠EBD＝∠EDB，∴∠EDB＝∠BDC，设∠EDB＝∠BDC＝x°，∵∠GDC＝72°，∴∠GDE＝2x°+72°，∵DF平分∠EDG，∴∠EDF=12∠EDG＝x°+36°，∴∠BDF＝∠EDF﹣∠BDE＝x°+36°﹣x°＝36°，故选：D．【变式3-2】（2022春•泌阳县期末）如图，在△ABC中，AO平分∠BAC，BO⊥AO，O为垂足，OD∥AC，若∠ABO＝40°，试求∠BOD的大小．（提示：延长AO交BC于点E）【分析】延长AO交BC于点E，根据垂直的定义得到∠AOB＝∠BOE＝90°，根据三角形内角和得出∠BAO＝50°，根据角平分线的定义得到∠EAC＝50°，根据平行线的性质得到∠EOD＝50°，根据角的和差即可得解．【解答】解：延长AO交BC于点E，∵BO⊥AO，∴∠AOB＝∠BOE＝90°，∵∠ABO＝40°，∴∠BAO＝180°﹣∠ABO﹣∠AOB＝50°，∵AO平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAO＝50°，∵OD∥AC，∴∠EOD＝∠EAC＝50°，∴∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝140°．【变式3-3】（2022春•铜梁区校级期中）如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．（1）若2∠1+∠EAB＝180°，求证：EF∥BC；（2）若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．【分析】（1）先根据垂直等于得到∠ABC＝90°，则∠C+∠BAC＝90°，再证明2∠C+∠EAB＝180°，加上2∠1+∠EAB＝180°，则∠1＝∠C，然后根据平行线的判定方法得到结论；（2）先根据三角形内角和定理可计算出计算出∠BAC＝18°，则∠EAD＝18°，根据三角形内角和定理得到∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，即18°+78°＝72°+∠CBE，从而可求出∠CBE的度数．【解答】（1）证明：∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∵AD是△ABE的角平分线，∴∠BAC=12∠EAB，∴∠C+12∠EAB＝90°，即2∠C+∠EAB＝180°，∵2∠1+∠EAB＝180°，∴∠1＝∠C，∴EF∥BC；（2）解：∵∠ABC＝90°，∠C＝72°，∴∠BAC＝18°，∴∠EAD＝∠BAC＝18°，∵∠ADE＝∠BDC，∴∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，即18°+78°＝72°+∠CBE，∴∠CBE＝24°．【题型4 三角形内角和定理与折叠性质综合】【例4】（2022春•锦江区校级期中）如图甲所示三角形纸片ABC中，∠B＝∠C，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙），则∠ABC的大小为 °．【分析】设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题．【解答】解：设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠DEB＝∠A+∠EDA＝2x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2x，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠ABC＝72°．故答案为：72．【变式4-2】（2021春•丹阳市期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点O，将△ABC沿MN折叠，使点C与点O重合，若∠AOB＝135°，则∠1+∠2 = °．【分析】根据折叠的性质得到对应角相等，推出∠1+∠2＝2∠MON，根据垂直的定义得到∠ODN＝∠OEM＝90°，利用平角的定义得到∠BOD+∠DON+∠MON+∠EOM＝180°，即可求出结果．【解答】解：由折叠性质可知，∠OMN＝∠CMN，∠ONM＝∠CNM，∠MON＝∠MCN，∴∠1＝180°﹣2∠CMN，∠2＝180°﹣2∠CNM，∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠CMN﹣∠CNM）＝2∠MCN＝2∠MON，∵∠AOB＝135°，∴∠BOD＝45°，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ODN＝∠OEM＝90°，∴∠DON＝90°﹣∠2，∠EOM＝90°﹣∠1，∵∠BOD+∠DON+∠MON+∠EOM＝180°，即45°+90°﹣∠2+90°﹣∠1+12（∠1+∠2）＝180°，∴12（∠1+∠2）＝45°，∴∠1+∠2＝90°，故答案为：90．【变式4-3】（2022春•铁西区期末）有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝30°，∠C＝50°，点D在边AB上，请在边BC上找一点E，将纸片沿直线DE折叠，点B落在点F处，若EF与三角形纸片ABC的边AC平行，则∠BED的度数为 ．【分析】分两种情况：①当点F在AB的上方时，②当点F在BC的下方时，根据折叠性质、平行线的性质即可解决问题．【解答】解：①当点F在AB的上方时，如图：∵AC∥EF，∠C＝50°，∴∠BEF＝∠C＝50°，∴∠BED＝∠FED=12∠BEF=12×50°＝25°，∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180°﹣30°﹣25°＝125°；②当点F在BC的下方时，如图：∵AC∥EF，∠C＝50°，∴∠CEF＝∠C＝50°，∵∠F＝∠B＝30°，∴∠BGD＝50°+30°＝80°，∴∠BDG＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∴∠BDE=12∠BDG=12×70°＝35°；综上所述，∠BDE的度数为35°或125°．故答案为：35°或125°．【变式4-4】（2022•巴彦县二模）在△ABC中，∠A＝110°，点D在△ABC内，将射线BA沿直线BD翻折，将射线CA沿直线CD翻折，两射线交于点E，若∠BEC＝150°，则∠BDC的度数为 ．【分析】当点E在△ABC外时，根据四边形的内角和求出∠ABE+∠ACE，再由折叠性质求得∠ABD+∠ACD，由三角形内角和求得∠ABC+∠ACB，便可求得∠CBD+∠BCD，最后由三角形内角和求得∠BDC；当点E在△ABC内时，根据三角形内角和求出结果便可．【解答】解：当点E在△ABC外时，如图，∵∠A＝110°，∠BEC＝150°，∴∠ABE+∠ACE＝360°﹣110°﹣150°＝100°，由折叠性质知，∠ABD＝∠EBD=12∠ABE，∠ACD＝∠ECD=12∠ACE，∴∠ABD+∠ACD=12×100°=50°，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝70°，∴∠CBD+∠BCD＝70°﹣50°＝20°，∴∠BDC＝180°﹣20°＝160°，当点E在△ABC内时，如图，∵∠A＝110°，∠BEC＝150°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣110°＝70°，∠EBC+∠ECB＝180°﹣150°＝30°，∴∠ABE+∠ACE＝＝70°﹣30°＝40°，由折叠性质知，∠DBE=12∠ABE，∠DCE=12∠ACE，∴∠DBE+∠DCE=12（∠ABE+∠ACE）＝20°，∴∠DBC+∠DCB＝∠DBE+∠DCE+∠EBC+∠ECB＝50°，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）130°，故答案为：160°或130°．【题型5 三角形内角和定理与新定义问题综合】【例5】（2021秋•山亭区期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是 ．【分析】根据三角形内角和定理以及分类讨论的思想解决本题．【解答】解：设这个“倍角”三角形的三个内角分别为α、β、γ，其中α＝2β，则可能出现以下几种情况：①当α＝99°时，则β＝49.5°；②当β＝99°时，则α＝198°，该种情况不存在；③当γ＝99°时，则α+β+γ＝2β+β+99°＝180°，故β＝27°，α＝54°．综上：α＝99°或54°．故答案为：99°或54°．【变式5-1】（2022春•大丰区校级月考）当三角形中一个内角â是另外一个内角á的12时，我们称此三角形为“友好三角形”，á为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为36°，那么这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为 ．【分析】利用“友好三角形”的定义讨论：当三角形的另一个内角为72°时，可确定“友好角á”的度数为72°；当三角形的另一个内角为18°时，可确定“友好角á”的度数为36°；当三角形的另两个内角为x，2x时，利用三角形内角和求出x＝48°，所以2x＝96°，从而得到“友好角á”的度数．【解答】解：∵一个“友好三角形”中有一个内角为36°，∴当三角形的另一个内角为72°时，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为72°；当三角形的另一个内角为18°时，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为36°；当三角形的另两个内角为x，2x时，则x+2x+36°＝180°，解得x＝48°，2x＝96°，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为96°；综上所述，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为36°或72°或96°．故答案为：36°或72°或96°．【变式5-2】（2022春•安溪县期末）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”．（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“ 倍角三角形”．（2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠D，根据n倍角三角形的定义判断；（2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定义分情况讨论计算，得到答案．【解答】解：（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，∴∠D＝2∠E，∴△DEF为“2倍角三角形”，故答案为：2；（2）∵∠C＝36°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，∴∠DAB=12∠BAC，∠DBA=12∠ABC，∴∠DAB+∠DBA=12×144°＝72°，∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，∵△ABD为“6倍角三角形”，∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，当∠ADB＝6∠ABD时，∠ABD＝18°，当∠ADB＝6∠BAD时，∠BAD＝18°，则∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，综上所述，∠ABD的度数为18°或54°．【变式5-3】（2021秋•福田区校级期末）我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）∠ABO＝ °，△AOB （填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）∠ABO＝ 18 °，△AOB 是 （填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“完美三角形”的概念判断；（2）根据“完美三角形”的概念证明即可；应用拓展：根据比较的性质得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“完美三角形”的定义求解即可．【解答】解：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝90°﹣72°＝18°，∵∠MON＝4∠ABO，∴△AOB为“完美三角形”，故答案为：18；是；（2）证明：∵∠MON＝72°，∠ACB＝90°，∠ACB＝∠OAC+∠MON，∴∠OAC＝90°﹣72°＝18°，∵∠AOB＝72°＝4×18°＝4∠OAC，∴△AOC是“完美三角形”；应用拓展：∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，∴∠EFC＝∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF＝∠ADE，∵∠DEF＝∠B，∴∠B＝∠ADE，∴DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠B＝∠BCD，∵△BCD是“完美三角形”，∴∠BDC＝4∠B，或∠B＝4∠BDC，∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∴∠B＝30°或∠B＝80°．【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】【例6】（2021秋•青田县期末）如图，直线l∥线段BC，点A是直线l上一动点．在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线．（1）如图1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度数；（2）当点A在直线l上运动时，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明．【分析】（1）根据角平分线的定义得∠BAE=12∠BAC＝40°．而∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°，利用角的和差关系可得答案；（2）根据高在形内和形外进行分类，再根据AB，AC，AD为位置进行讨论．【解答】解：（1）∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=12∠BAC＝40°．∵AD是△ABC的高线，∴∠BDA＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣25°＝15°；（2）如图1，∠BAD+∠BAE＝∠DAE；如图2，∠BAD+∠DAE＝∠BAE；如图3，∠BAE+∠DAE＝∠BAD；如图4，∠BAE+∠DAE＝∠BAD．【变式6-1】（2022春•顺德区期中）如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的内角平分线且BO，CO相交于点O．（1）若∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，求∠BOC的度数；（2）若∠A＝60°，求∠BOC的度数；（3）请你直接写出∠A与∠BOC满足的数量关系式，不需要说明理由．【分析】（1）由角平分线的定义可得∠CBO＝40°，∠BCO＝20°，由三角形的内角和定理即可求解；（2）由三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，再由角平分线的定义得∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB，从而可求得∠CBO+∠BCO＝60°，即可求∠BOC的度数；（3）仿照（2）的过程进行求解即可．【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，∴∠CBO=12∠ABC＝20°，∠BCO=12∠ACB＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝120°；（2）∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB，∴∠CBO+∠BCO=12（∠ABC+∠ACB）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝120°；（3）由题意得：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB，∴∠CBO+∠BCO=12（∠ABC+∠ACB）＝90°−12∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝90°+12∠A，即∠BOC＝90°+12∠A．【变式6-2】（2022春•海门市期末）已知：△ABC，点D，E分别在边AC，AB上，连接BD，CE，BD与CE交于点O，∠BOC﹣∠BAC＝54°．（1）如图1，当BD，CE都是△ABC的角平分线时，求∠BOC的度数；（2）如图2，当BD，CE都是△ABC的高时，求∠BOC的度数；（3）如图3，当∠ABD＝2∠ACE时，探究∠BEO与∠CDO的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算即可；（2）根据高的定义，三角形内角和定理以及图形中角之间的和差关系进行计算即可；（3）利用三角形内角和定理，四边形的内角和以及角之间的和差关系进行计算即可．【解答】解：（1）∵BD，CE都是△ABC的角平分线，∴∠DBC＝∠ABD=12∠ABC，∠ECB＝∠ACE=12∠ACB，∴∠DBC+∠ECB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠BAC）＝90°−12∠BAC，∴∠BOC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣（90°−12∠BAC）＝90°+12∠BAC，又∵∠BOC﹣∠BAC＝54°，即90°+12∠BAC﹣∠BAC＝54°，∴∠BAC＝72°，∴∠BOC＝90°+12∠BAC＝90°+36°＝126°；（2）∵BD，CE都是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵∠A+∠ADB+∠DOE+∠AEC＝360°，∴∠A+90°+∠DOE+90°＝360°，∴∠A＝180°﹣∠DOE，∵∠DOE＝∠BOC，∴∠A＝180°﹣∠BOC，∵∠BOC﹣∠A＝54°，∴∠BOC﹣（180°﹣∠BOC）＝54°，∴∠BOC＝117°．（3）∠ODC﹣∠BEO＝18°，理由如下：∵∠BEO＝∠A+∠ACE，∴∠BOC＝∠BEO+∠ABD＝∠A+∠ACE+∠ABD，∴∠BOC﹣∠A＝∠ACE+∠ABD．∵∠BOC﹣∠A＝54°，∴∠ABD＝2∠ACE，∴54°＝∠ACE+2∠ACE，∴∠ACE＝18°，∴∠ABD＝2×18°＝36°，∵∠BOC＝∠ODC+∠DCO＝∠BEO+∠ABD，∴∠BEO+36°＝∠ODC+18°，∴∠ODC﹣∠BEO＝18°．【变式6-3】（2022春•辉县市期末）小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系．（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：上表中a＝ ，于是得到∠B、∠C、∠EAD的数量关系为 ．（2）小明继续探究，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由．（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图2，过EA的延长线是一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D，当∠ABC＝80°，∠C＝24°时，∠F度数为 °．【分析】（1）求出∠BAE和∠BAD的大小即可得到∠EAD的值，再通过找规律的形式得出三者的关系，（2）分别用∠B和∠C表示出∠BAE和∠BAD，再由∠EAD＝∠BAE和﹣BAD即可得出答案，（3）分析同（2）．【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝70°，∴Rt△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣∠B﹣∠C）=12（180°﹣30°﹣70°）＝40°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣40°＝20°，∴a＝20，故答案为：20；2∠EAD＝∠C﹣∠B．（2）如图，过点A作AF⊥BC于F，∵PD⊥BC，AF⊥BC，∴PD∥AF，∴∠EPD＝∠EAF，∵△ABC内角和为180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC＝90°−∠B+∠C2，同时∠BAF＝90°﹣∠B，∴可得出∠EAF＝∠BAF﹣∠BAE=∠C−∠B2=∠EPD，综上所述，∠EPD=∠C−∠B2；（3）同理（2），依旧可得∠EFD=∠C−∠B2=28°，故答案为：28．【知识点2 直角三角形的判定】直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．【题型7 判断直角三角形】【例7】（2021春•历下区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案．【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，∴5x+2x+3x＝180°，解得：x＝18°，∴∠A＝18°×5＝90°，∴△ABC是直角三角形；③∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝180°﹣90°＝90°，∴△ABC是直角三角形；④∵3∠C＝2∠B＝∠A，∴∠A+∠B+∠C=12∠A+13∠A+∠A＝180°，∴∠A＝（108011）°，∴△ABC为钝角三角形．∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，【变式7-1】（2022秋•旌阳区校级月考）在下列条件中（1）∠A+∠B＝∠C；（2）∠A：∠B：∠C＝1：2：3；（3）∠A＝∠B=12∠C；（4）∠A=12∠B=13∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】（1）根据三角形内角和定理列式计算，根据直角三角形的概念判定即可．【解答】解：（1）∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，解得：∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；（2）设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，由三角形内角和定理得：x+2x+3x＝180°，解得：x＝30°，∴∠C＝30°×3＝90°，∴△ABC是直角三角形；（3）∵∠A＝∠B=12∠C，∠A+∠B+∠C＝180°∴12∠C+12∠C+∠C＝180°，解得：∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；（4）∵∠A=12∠B=13∠C，∴∠C＝3∠A，∠B＝2∠A，∴∠A+∠B+∠C＝3∠A+2∠A+∠A＝180°，解得：∠A＝30°，∴∠C＝3∠A＝90°，∴△ABC为直角三角形．所以能确定△ABC是直角三角形的有共4个，故选：D．【变式7-2】（2021秋•谢家集区期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，AE平分∠BAC．（1）求∠BAE；（2）若AD⊥BC于点D，∠ADF＝74°，证明：△ADF是直角三角形．【分析】（1）在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，根据三角形内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AE平分∠BAC，根据角平分线的定义，可求得∠BAE的度数；（2）由AD⊥BC，根据直角三角形的性质，可求得∠BAD的度数，继而求得∠DAE的度数，则可求得∠ADF的度数．【解答】（1）解：∵∠B＝30°，∠C＝62°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣62°＝88°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=12×88°＝44°；（2）证明：∵AD⊥BC；∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣44°＝16°，∵∠ADF＝74°，∴∠ADF+∠EAD＝74°+16°＝90°，∴∠AFD＝90°，∴△ADF是直角三角形．【变式7-3】（2022春•崇川区期末）定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求证：△ABD为“奇妙三角形”（2）若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：△ABC是直角三角形；（3）如图2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数．【分析】（1）根据“奇妙三角形”的定义，在△ABD中，∠A+2∠ABD＝100°，即证明△ABD为“奇妙三角形”．（2）由三角形的内角和知，A+∠B＝100°，由△ABC为“奇妙三角形”得出∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°两种情况，计算得∠B＝90°或∠A＝90°，从而证明△ABC是直角三角形．（3）由三角形的内角和知，∠ADB+∠ABD＝140，由△ABC为“奇妙三角形得出∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°两种情况，求得∠C＝80°或100°．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD．在△ABC中，∵∠ACB＝80°，∴∠A+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°，即∠A+2∠ABD＝100°，∴△ABD为“奇妙三角形”．（2）证明：在△ABC中，∵∠C＝80°，∴∠A+∠B＝100°，∵△ABC为“奇妙三角形”，∴∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°，∴∠B＝10°或∠A＝10°，当∠B＝10°时，∠A＝90°，△ABC是直角三角形．当∠A＝10°时，∠B＝90°，△ABC是直角三角形．由此证得，△ABC是直角三角形．（3）解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD，∵△ABD为“奇妙三角形”，∴∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°，①当∠A+2∠ABD＝100°时，∠ABD＝（100°﹣40°）÷2＝30°，∴∠ABC＝2∠ABD＝60°，∴∠C＝80°；②当2∠A+∠ABD＝100°时，∠ABD＝100°﹣2∠A＝20°，∴∠ABC＝2∠ABD＝40°，∴∠C＝100°；综上得出：∠C的度数为80°或100°．【知识点3 直角三角形的性质】直角三角形的性质：直角三角形两个内角互余．【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】【例8】（2022秋•宁晋县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C＝∠BDF＝∠BAD＝∠ADE．【解答】解：如图，∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，∴∠C＝∠ADE，∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，【变式8-1】（2022•碑林区校级模拟）如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（ ）个．A．5 B．4 C．3 D．2【分析】利用平行线的性质与判定可得∠E＝∠BME＝∠AMF，根据同角的余角相等可得∠E＝∠C，即可求解．【解答】解：∵∠BAC＝∠EDF＝90°，∴∠BAC+∠EDF＝180°，∴AB∥DE，∠E+∠F＝90°，∴∠E＝∠BME＝∠AMF，∵EF⊥BC，∴∠C+∠F＝90°，∴∠E＝∠C，故与∠E相等的角有3个，【变式8-2】（2022春•邓州市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ABD＝∠CAD＝36°，根据角平分线的性质求出∠ABE，根据直角三角形的性质计算即可；（2）根据角平分线的性质、直角三角形的性质证明结论．【解答】（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAD＝36°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=12∠ABC＝18°，∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，∴∠AEF＝∠BFD，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠AEF＝∠AFE．【变式8-3】（2022春•米东区期末）如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．（1）求证：∠ACE＝∠ABC；（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；（3）求证：∠CEF＝∠CFE．【分析】（1）根据条件易求∠ACE＝∠D，进而可证明结论；（2）通过判定AD∥BC可得∠BEC+∠EBC＝90°，根据直角三角形的性质结合角平分线的定义可得2∠EBC+∠ECD＝90°，进而可证明结论；（3）由对顶角的定义结合角平分线的定义可证明结论．【解答】证明：（1）∵CE⊥AD，∠ACD＝90°，∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠D．∵∠D＝∠ABC，∴∠ACE＝∠ABC；（2）∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，∴∠ACB＝∠DAC，∴AD∥BC，∵CE⊥AD，∴CE⊥BC，∴∠BEC+∠EBC＝90°，∵∠D+∠ECD＝90°，∠D＝∠ABC，∴∠ABC+∠ECD＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC∴2∠EBC+∠ECD＝90°，∴2∠EBC+∠ECD＝∠BEC+∠EBC，即∠EBC+∠ECD＝∠BEC；（3）∵∠ABF+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFE，∴∠ABF+∠CFE＝90°， ∠B/度1030302020∠C/度7070606080∠EAD/度30a152030
专题4.1 三角形内角和定理的运用【八大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \t "正文,1" \hTOC \o "1-1" \h \u HYPERLINK \l "_Toc7550" 【题型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】 PAGEREF _Toc7550 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc2836" 【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】 PAGEREF _Toc2836 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc26832" 【题型3 三角形内角和定理与平行线的性质综合】 PAGEREF _Toc26832 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc12177" 【题型4 三角形内角和定理与折叠性质综合】 PAGEREF _Toc12177 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc286" 【题型5 三角形内角和定理与新定义问题综合】 PAGEREF _Toc286 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc2555" 【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】 PAGEREF _Toc2555 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc27146" 【题型7 判断直角三角形】 PAGEREF _Toc27146 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc16473" 【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】 PAGEREF _Toc16473 \h 9【知识点1 三角形的内角及内角和定理】三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°．【题型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】【例1】（2021秋•涡阳县期末）在△ABC中，已知∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，求∠A的度数．【变式1-1】（2022春•武侯区校级期中）如图，点E、D分别在AB、AC上．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠1+∠2＝ °．【变式1-2】（2022•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是 度．【变式1-3】（2022•南京模拟）已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为45°，则∠BAC等于 ．【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】【例2】（2022春•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADB的度数为（ ）A．100° B．90° C．80° D．50°【变式2-1】（2021秋•靖西市期末）△ABC中，∠C＝50°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，点F为AE上一点，FD⊥BC于点D，则∠EFD的度数为（ ）A．5 B．10 C．12 D．20【变式2-2】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．（1）若∠B＝32°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；（2）若∠C﹣∠B＝18°，求∠DAE的度数．【变式2-3】（2022春•锡山区期中）已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的平分线，若∠DAC＝30°，∠BAC＝80°．（1）求∠EBC的度数；（2）求∠AOB的度数．【题型3 三角形内角和定理与平行线的性质综合】【例3】（2022•高唐县二模）将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠B＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点C在边DF上，AC，BC分别交DE于点G，H．若BC∥EF，则∠AGD的度数为（ ）A．30° B．45° C．60° D．75°【变式3-1】（2022春•兴宁区校级期末）如图，在△ABG中，D为AG上一点，AB∥DC，点E是边AB上一点，连接ED，∠EBD＝∠EDB，DF平分∠EDG，若∠GDC＝72°，则∠BDF的度数为（ ）A．50° B．40° C．45° D．36°【变式3-2】（2022春•泌阳县期末）如图，在△ABC中，AO平分∠BAC，BO⊥AO，O为垂足，OD∥AC，若∠ABO＝40°，试求∠BOD的大小．（提示：延长AO交BC于点E）【变式3-3】（2022春•铜梁区校级期中）如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．（1）若2∠1+∠EAB＝180°，求证：EF∥BC；（2）若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．【题型4 三角形内角和定理与折叠性质综合】【例4】（2022春•锦江区校级期中）如图甲所示三角形纸片ABC中，∠B＝∠C，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙），则∠ABC的大小为 °．【变式4-2】（2021春•丹阳市期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点O，将△ABC沿MN折叠，使点C与点O重合，若∠AOB＝135°，则∠1+∠2 = °．【变式4-3】（2022春•铁西区期末）有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝30°，∠C＝50°，点D在边AB上，请在边BC上找一点E，将纸片沿直线DE折叠，点B落在点F处，若EF与三角形纸片ABC的边AC平行，则∠BED的度数为 ．【变式4-4】（2022•巴彦县二模）在△ABC中，∠A＝110°，点D在△ABC内，将射线BA沿直线BD翻折，将射线CA沿直线CD翻折，两射线交于点E，若∠BEC＝150°，则∠BDC的度数为 ．【题型5 三角形内角和定理与新定义问题综合】【例5】（2021秋•山亭区期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是 ．【变式5-1】（2022春•大丰区校级月考）当三角形中一个内角â是另外一个内角á的12时，我们称此三角形为“友好三角形”，á为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为36°，那么这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为 ．【变式5-2】（2022春•安溪县期末）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”．（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“ 倍角三角形”．（2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．【变式5-3】（2021秋•福田区校级期末）我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）∠ABO＝ °，△AOB （填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】【例6】（2021秋•青田县期末）如图，直线l∥线段BC，点A是直线l上一动点．在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线．（1）如图1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度数；（2）当点A在直线l上运动时，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明．【变式6-1】（2022春•顺德区期中）如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的内角平分线且BO，CO相交于点O．（1）若∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，求∠BOC的度数；（2）若∠A＝60°，求∠BOC的度数；（3）请你直接写出∠A与∠BOC满足的数量关系式，不需要说明理由．【变式6-2】（2022春•海门市期末）已知：△ABC，点D，E分别在边AC，AB上，连接BD，CE，BD与CE交于点O，∠BOC﹣∠BAC＝54°．（1）如图1，当BD，CE都是△ABC的角平分线时，求∠BOC的度数；（2）如图2，当BD，CE都是△ABC的高时，求∠BOC的度数；（3）如图3，当∠ABD＝2∠ACE时，探究∠BEO与∠CDO的数量关系，并说明理由．【变式6-3】（2022春•辉县市期末）小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系．（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：上表中a＝ ，于是得到∠B、∠C、∠EAD的数量关系为 ．（2）小明继续探究，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由．（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图2，过EA的延长线是一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D，当∠ABC＝80°，∠C＝24°时，∠F度数为 °．【知识点2 直角三角形的判定】直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．【题型7 判断直角三角形】【例7】（2021春•历下区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式7-1】（2022秋•旌阳区校级月考）在下列条件中（1）∠A+∠B＝∠C；（2）∠A：∠B：∠C＝1：2：3；（3）∠A＝∠B=12∠C；（4）∠A=12∠B=13∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式7-2】（2021秋•谢家集区期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，AE平分∠BAC．（1）求∠BAE；（2）若AD⊥BC于点D，∠ADF＝74°，证明：△ADF是直角三角形．【变式7-3】（2022春•崇川区期末）定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求证：△ABD为“奇妙三角形”（2）若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：△ABC是直角三角形；（3）如图2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数．【知识点3 直角三角形的性质】直角三角形的性质：直角三角形两个内角互余．【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】【例8】（2022秋•宁晋县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【变式8-1】（2022•碑林区校级模拟）如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（ ）个．A．5 B．4 C．3 D．2【变式8-2】（2022春•邓州市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．【变式8-3】（2022春•米东区期末）如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．（1）求证：∠ACE＝∠ABC；（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；（3）求证：∠CEF＝∠CFE． ∠B/度1030302020∠C/度7070606080∠EAD/度30a152030专题4.1 三角形内角和定理的运用【八大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \t "正文,1" \hTOC \o "1-1" \h \u HYPERLINK \l "_Toc7550" 【题型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】 PAGEREF _Toc7550 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc2836" 【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】 PAGEREF _Toc2836 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc26832" 【题型3 三角形内角和定理与平行线的性质综合】 PAGEREF _Toc26832 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc12177" 【题型4 三角形内角和定理与折叠性质综合】 PAGEREF _Toc12177 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc286" 【题型5 三角形内角和定理与新定义问题综合】 PAGEREF _Toc286 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc2555" 【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】 PAGEREF _Toc2555 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc27146" 【题型7 判断直角三角形】 PAGEREF _Toc27146 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc16473" 【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】 PAGEREF _Toc16473 \h 28【知识点1 三角形的内角及内角和定理】三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°．【题型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】【例1】（2021秋•涡阳县期末）在△ABC中，已知∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，求∠A的度数．【分析】将第一个等式代入第二等式用∠A表示出∠C，再根据三角形的内角和等于180°列方程求出∠A，然后求解即可．【解答】解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，∴∠C＝∠A+10°+25°＝∠A+35°，由三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°，所以，∠A+∠A+10°+∠A+35°＝180°，解得∠A＝45°．【变式1-1】（2022春•武侯区校级期中）如图，点E、D分别在AB、AC上．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠1+∠2＝ °．【分析】根据三角形的内角和定理列式整理可得∠1+∠2＝∠B+∠C，从而可求解．【解答】解：∵∠1+∠2+∠A＝180°，∠B+∠C+∠A＝180°，∴∠1+∠2＝∠B+∠C，∵∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠1+∠2＝∠B+∠C＝30°+50°＝80°．故答案为：80°．【变式1-2】（2022•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是 度．【分析】分两种情况：△ABC为锐角三角形或钝角三角形，然后利用三角形内角和定理即可作答．【解答】解：当△ABC为锐角三角形时，如图，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；当△ABC为钝角三角形时，如图，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．综上所述，∠BAC＝80°或40°．故答案为：80或40．【变式1-3】（2022•南京模拟）已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为45°，则∠BAC等于 ．【分析】根据三角形的内角和定理．分∠BAC与这个45°的角在一个四边形内，及∠BAC与这个45°的角不在一个四边形内两种情况讨论．【解答】解：若∠BAC与这个45°的角在一个四边形BCDE内，因为BD、CE是△ABC的高，设BD的延长线交CE的延长线于O．∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵∠O＝45°，∴∠DAE＝180°﹣45°＝135°∴∠BAC＝∠DAE＝135°；若∠BAC与这个45°的角不在一个四边形BCDE内，因为BD、CE是△ABC的高，如图：∠BAC＝180°﹣（180°﹣45°）＝45°，所以∠BAC等于45度．若∠ACB是钝角，∠A是锐角，易知∠ABD＝40°，∠A＝45°综上所述，∠A的值为45°或135°．故答案为：45°或135°．【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】【例2】（2022春•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADB的度数为（ ）A．100° B．90° C．80° D．50°【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠B与∠BAD的度数即可求解．【解答】解：∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC＝30°，∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣30°＝100°．【变式2-1】（2021秋•靖西市期末）△ABC中，∠C＝50°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，点F为AE上一点，FD⊥BC于点D，则∠EFD的度数为（ ）A．5 B．10 C．12 D．20【分析】根据三角形的内角和为180°即可得出结论．【解答】解：∵∠C＝50°，∠B＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣50°﹣30°＝100°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝50°，∴∠FED＝50°+30°＝80°，又∵DF⊥BC，∴∠FED+∠EFD＝90°，∴∠EFD＝90°﹣80°＝10°，【变式2-2】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．（1）若∠B＝32°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；（2）若∠C﹣∠B＝18°，求∠DAE的度数．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠EAC，根据垂直求出∠ADC＝90°，根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC，再求出答案即可；（2）求出∠C＝18°+∠B，根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠EAC，根据垂直求出∠ADC＝90°，根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC，再求出答案即可．【解答】解：（1）∵∠B＝32°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝88°，∵AE是角平分线，∴∠EAC=12∠BAC＝44°，∵AD是高，∴∠AC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝30°，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝44°﹣30°＝14°；（2）∵∠C﹣∠B＝18°，∴∠C＝18°+∠B，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣∠B﹣（18°+∠B）＝162°﹣2∠B，∵AE是角平分线，∴∠EAC=12∠BAC＝81°﹣∠B，∵AD是高，∴∠AC＝90°，∵∠C＝18°+∠B，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣（18°+∠B）＝72°﹣∠B，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝（81°﹣∠B）﹣（72°﹣∠B）＝9°．【变式2-3】（2022春•锡山区期中）已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的平分线，若∠DAC＝30°，∠BAC＝80°．（1）求∠EBC的度数；（2）求∠AOB的度数．【分析】（1）由直角三角形的性质可求解∠C＝60°，利用三角形的内角和定理可求解∠ABC＝40°，再根据角平分线的定义可求解；（2）由∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC可求解∠BAD＝50°，由角平分线的定义可求解∠ABO＝∠EBC＝20°，由三角形的内角和定理可求解．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴△ADC是直角三角形，∵∠DAC＝30°，∴∠C＝90°﹣∠DAC＝60°，∵∠BAC＝80°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝40°，∵BE是△ABC的平分线，∴∠EBC=12∠ABC＝20°；（2）∵∠BAC＝80°，∠DAC＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝50°，由（1）可知∠EBC＝20°，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABO＝∠EBC＝20°，在△AOB中，∠AOB＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝110°．【题型3 三角形内角和定理与平行线的性质综合】【例3】（2022•高唐县二模）将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠B＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点C在边DF上，AC，BC分别交DE于点G，H．若BC∥EF，则∠AGD的度数为（ ）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠ACB（即∠HCG）的度数，由BC∥EF，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠GHC的度数，在△HCG中，利用三角形内角和定理可求出∠HGC的度数，再结合对顶角相等可得出∠AGD的度数．【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝45°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣90°﹣45°＝45°，即∠HCG＝45°．∵BC∥EF，∴∠GHC＝∠E＝60°，∴∠HGC＝180°﹣∠GHC﹣∠HCG＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴∠AGD＝∠HGC＝75°．故选：D．【变式3-1】（2022春•兴宁区校级期末）如图，在△ABG中，D为AG上一点，AB∥DC，点E是边AB上一点，连接ED，∠EBD＝∠EDB，DF平分∠EDG，若∠GDC＝72°，则∠BDF的度数为（ ）A．50° B．40° C．45° D．36°【分析】根据平行线的性质可得∠EBD＝∠BDC，根据角平分线的定义可得∠EDB＝∠BDC，设∠EDB＝∠BDC＝x°，表示出∠GDE，根据角平分线的性质可得∠EDF，再根据∠BDF＝∠EDF﹣∠BDE，求解即可．【解答】解：∵AB∥DC，∴∠EBD＝∠BDC，∵∠EBD＝∠EDB，∴∠EDB＝∠BDC，设∠EDB＝∠BDC＝x°，∵∠GDC＝72°，∴∠GDE＝2x°+72°，∵DF平分∠EDG，∴∠EDF=12∠EDG＝x°+36°，∴∠BDF＝∠EDF﹣∠BDE＝x°+36°﹣x°＝36°，故选：D．【变式3-2】（2022春•泌阳县期末）如图，在△ABC中，AO平分∠BAC，BO⊥AO，O为垂足，OD∥AC，若∠ABO＝40°，试求∠BOD的大小．（提示：延长AO交BC于点E）【分析】延长AO交BC于点E，根据垂直的定义得到∠AOB＝∠BOE＝90°，根据三角形内角和得出∠BAO＝50°，根据角平分线的定义得到∠EAC＝50°，根据平行线的性质得到∠EOD＝50°，根据角的和差即可得解．【解答】解：延长AO交BC于点E，∵BO⊥AO，∴∠AOB＝∠BOE＝90°，∵∠ABO＝40°，∴∠BAO＝180°﹣∠ABO﹣∠AOB＝50°，∵AO平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAO＝50°，∵OD∥AC，∴∠EOD＝∠EAC＝50°，∴∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝140°．【变式3-3】（2022春•铜梁区校级期中）如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．（1）若2∠1+∠EAB＝180°，求证：EF∥BC；（2）若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．【分析】（1）先根据垂直等于得到∠ABC＝90°，则∠C+∠BAC＝90°，再证明2∠C+∠EAB＝180°，加上2∠1+∠EAB＝180°，则∠1＝∠C，然后根据平行线的判定方法得到结论；（2）先根据三角形内角和定理可计算出计算出∠BAC＝18°，则∠EAD＝18°，根据三角形内角和定理得到∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，即18°+78°＝72°+∠CBE，从而可求出∠CBE的度数．【解答】（1）证明：∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∵AD是△ABE的角平分线，∴∠BAC=12∠EAB，∴∠C+12∠EAB＝90°，即2∠C+∠EAB＝180°，∵2∠1+∠EAB＝180°，∴∠1＝∠C，∴EF∥BC；（2）解：∵∠ABC＝90°，∠C＝72°，∴∠BAC＝18°，∴∠EAD＝∠BAC＝18°，∵∠ADE＝∠BDC，∴∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，即18°+78°＝72°+∠CBE，∴∠CBE＝24°．【题型4 三角形内角和定理与折叠性质综合】【例4】（2022春•锦江区校级期中）如图甲所示三角形纸片ABC中，∠B＝∠C，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙），则∠ABC的大小为 °．【分析】设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题．【解答】解：设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠DEB＝∠A+∠EDA＝2x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2x，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠ABC＝72°．故答案为：72．【变式4-2】（2021春•丹阳市期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点O，将△ABC沿MN折叠，使点C与点O重合，若∠AOB＝135°，则∠1+∠2 = °．【分析】根据折叠的性质得到对应角相等，推出∠1+∠2＝2∠MON，根据垂直的定义得到∠ODN＝∠OEM＝90°，利用平角的定义得到∠BOD+∠DON+∠MON+∠EOM＝180°，即可求出结果．【解答】解：由折叠性质可知，∠OMN＝∠CMN，∠ONM＝∠CNM，∠MON＝∠MCN，∴∠1＝180°﹣2∠CMN，∠2＝180°﹣2∠CNM，∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠CMN﹣∠CNM）＝2∠MCN＝2∠MON，∵∠AOB＝135°，∴∠BOD＝45°，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ODN＝∠OEM＝90°，∴∠DON＝90°﹣∠2，∠EOM＝90°﹣∠1，∵∠BOD+∠DON+∠MON+∠EOM＝180°，即45°+90°﹣∠2+90°﹣∠1+12（∠1+∠2）＝180°，∴12（∠1+∠2）＝45°，∴∠1+∠2＝90°，故答案为：90．【变式4-3】（2022春•铁西区期末）有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝30°，∠C＝50°，点D在边AB上，请在边BC上找一点E，将纸片沿直线DE折叠，点B落在点F处，若EF与三角形纸片ABC的边AC平行，则∠BED的度数为 ．【分析】分两种情况：①当点F在AB的上方时，②当点F在BC的下方时，根据折叠性质、平行线的性质即可解决问题．【解答】解：①当点F在AB的上方时，如图：∵AC∥EF，∠C＝50°，∴∠BEF＝∠C＝50°，∴∠BED＝∠FED=12∠BEF=12×50°＝25°，∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180°﹣30°﹣25°＝125°；②当点F在BC的下方时，如图：∵AC∥EF，∠C＝50°，∴∠CEF＝∠C＝50°，∵∠F＝∠B＝30°，∴∠BGD＝50°+30°＝80°，∴∠BDG＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∴∠BDE=12∠BDG=12×70°＝35°；综上所述，∠BDE的度数为35°或125°．故答案为：35°或125°．【变式4-4】（2022•巴彦县二模）在△ABC中，∠A＝110°，点D在△ABC内，将射线BA沿直线BD翻折，将射线CA沿直线CD翻折，两射线交于点E，若∠BEC＝150°，则∠BDC的度数为 ．【分析】当点E在△ABC外时，根据四边形的内角和求出∠ABE+∠ACE，再由折叠性质求得∠ABD+∠ACD，由三角形内角和求得∠ABC+∠ACB，便可求得∠CBD+∠BCD，最后由三角形内角和求得∠BDC；当点E在△ABC内时，根据三角形内角和求出结果便可．【解答】解：当点E在△ABC外时，如图，∵∠A＝110°，∠BEC＝150°，∴∠ABE+∠ACE＝360°﹣110°﹣150°＝100°，由折叠性质知，∠ABD＝∠EBD=12∠ABE，∠ACD＝∠ECD=12∠ACE，∴∠ABD+∠ACD=12×100°=50°，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝70°，∴∠CBD+∠BCD＝70°﹣50°＝20°，∴∠BDC＝180°﹣20°＝160°，当点E在△ABC内时，如图，∵∠A＝110°，∠BEC＝150°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣110°＝70°，∠EBC+∠ECB＝180°﹣150°＝30°，∴∠ABE+∠ACE＝＝70°﹣30°＝40°，由折叠性质知，∠DBE=12∠ABE，∠DCE=12∠ACE，∴∠DBE+∠DCE=12（∠ABE+∠ACE）＝20°，∴∠DBC+∠DCB＝∠DBE+∠DCE+∠EBC+∠ECB＝50°，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）130°，故答案为：160°或130°．【题型5 三角形内角和定理与新定义问题综合】【例5】（2021秋•山亭区期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是 ．【分析】根据三角形内角和定理以及分类讨论的思想解决本题．【解答】解：设这个“倍角”三角形的三个内角分别为α、β、γ，其中α＝2β，则可能出现以下几种情况：①当α＝99°时，则β＝49.5°；②当β＝99°时，则α＝198°，该种情况不存在；③当γ＝99°时，则α+β+γ＝2β+β+99°＝180°，故β＝27°，α＝54°．综上：α＝99°或54°．故答案为：99°或54°．【变式5-1】（2022春•大丰区校级月考）当三角形中一个内角â是另外一个内角á的12时，我们称此三角形为“友好三角形”，á为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为36°，那么这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为 ．【分析】利用“友好三角形”的定义讨论：当三角形的另一个内角为72°时，可确定“友好角á”的度数为72°；当三角形的另一个内角为18°时，可确定“友好角á”的度数为36°；当三角形的另两个内角为x，2x时，利用三角形内角和求出x＝48°，所以2x＝96°，从而得到“友好角á”的度数．【解答】解：∵一个“友好三角形”中有一个内角为36°，∴当三角形的另一个内角为72°时，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为72°；当三角形的另一个内角为18°时，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为36°；当三角形的另两个内角为x，2x时，则x+2x+36°＝180°，解得x＝48°，2x＝96°，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为96°；综上所述，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为36°或72°或96°．故答案为：36°或72°或96°．【变式5-2】（2022春•安溪县期末）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”．（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“ 倍角三角形”．（2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠D，根据n倍角三角形的定义判断；（2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定义分情况讨论计算，得到答案．【解答】解：（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，∴∠D＝2∠E，∴△DEF为“2倍角三角形”，故答案为：2；（2）∵∠C＝36°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，∴∠DAB=12∠BAC，∠DBA=12∠ABC，∴∠DAB+∠DBA=12×144°＝72°，∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，∵△ABD为“6倍角三角形”，∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，当∠ADB＝6∠ABD时，∠ABD＝18°，当∠ADB＝6∠BAD时，∠BAD＝18°，则∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，综上所述，∠ABD的度数为18°或54°．【变式5-3】（2021秋•福田区校级期末）我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）∠ABO＝ °，△AOB （填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）∠ABO＝ 18 °，△AOB 是 （填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“完美三角形”的概念判断；（2）根据“完美三角形”的概念证明即可；应用拓展：根据比较的性质得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“完美三角形”的定义求解即可．【解答】解：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝90°﹣72°＝18°，∵∠MON＝4∠ABO，∴△AOB为“完美三角形”，故答案为：18；是；（2）证明：∵∠MON＝72°，∠ACB＝90°，∠ACB＝∠OAC+∠MON，∴∠OAC＝90°﹣72°＝18°，∵∠AOB＝72°＝4×18°＝4∠OAC，∴△AOC是“完美三角形”；应用拓展：∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，∴∠EFC＝∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF＝∠ADE，∵∠DEF＝∠B，∴∠B＝∠ADE，∴DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠B＝∠BCD，∵△BCD是“完美三角形”，∴∠BDC＝4∠B，或∠B＝4∠BDC，∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∴∠B＝30°或∠B＝80°．【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】【例6】（2021秋•青田县期末）如图，直线l∥线段BC，点A是直线l上一动点．在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线．（1）如图1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度数；（2）当点A在直线l上运动时，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明．【分析】（1）根据角平分线的定义得∠BAE=12∠BAC＝40°．而∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°，利用角的和差关系可得答案；（2）根据高在形内和形外进行分类，再根据AB，AC，AD为位置进行讨论．【解答】解：（1）∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=12∠BAC＝40°．∵AD是△ABC的高线，∴∠BDA＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣25°＝15°；（2）如图1，∠BAD+∠BAE＝∠DAE；如图2，∠BAD+∠DAE＝∠BAE；如图3，∠BAE+∠DAE＝∠BAD；如图4，∠BAE+∠DAE＝∠BAD．【变式6-1】（2022春•顺德区期中）如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的内角平分线且BO，CO相交于点O．（1）若∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，求∠BOC的度数；（2）若∠A＝60°，求∠BOC的度数；（3）请你直接写出∠A与∠BOC满足的数量关系式，不需要说明理由．【分析】（1）由角平分线的定义可得∠CBO＝40°，∠BCO＝20°，由三角形的内角和定理即可求解；（2）由三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，再由角平分线的定义得∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB，从而可求得∠CBO+∠BCO＝60°，即可求∠BOC的度数；（3）仿照（2）的过程进行求解即可．【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，∴∠CBO=12∠ABC＝20°，∠BCO=12∠ACB＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝120°；（2）∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB，∴∠CBO+∠BCO=12（∠ABC+∠ACB）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝120°；（3）由题意得：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB，∴∠CBO+∠BCO=12（∠ABC+∠ACB）＝90°−12∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝90°+12∠A，即∠BOC＝90°+12∠A．【变式6-2】（2022春•海门市期末）已知：△ABC，点D，E分别在边AC，AB上，连接BD，CE，BD与CE交于点O，∠BOC﹣∠BAC＝54°．（1）如图1，当BD，CE都是△ABC的角平分线时，求∠BOC的度数；（2）如图2，当BD，CE都是△ABC的高时，求∠BOC的度数；（3）如图3，当∠ABD＝2∠ACE时，探究∠BEO与∠CDO的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算即可；（2）根据高的定义，三角形内角和定理以及图形中角之间的和差关系进行计算即可；（3）利用三角形内角和定理，四边形的内角和以及角之间的和差关系进行计算即可．【解答】解：（1）∵BD，CE都是△ABC的角平分线，∴∠DBC＝∠ABD=12∠ABC，∠ECB＝∠ACE=12∠ACB，∴∠DBC+∠ECB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠BAC）＝90°−12∠BAC，∴∠BOC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣（90°−12∠BAC）＝90°+12∠BAC，又∵∠BOC﹣∠BAC＝54°，即90°+12∠BAC﹣∠BAC＝54°，∴∠BAC＝72°，∴∠BOC＝90°+12∠BAC＝90°+36°＝126°；（2）∵BD，CE都是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵∠A+∠ADB+∠DOE+∠AEC＝360°，∴∠A+90°+∠DOE+90°＝360°，∴∠A＝180°﹣∠DOE，∵∠DOE＝∠BOC，∴∠A＝180°﹣∠BOC，∵∠BOC﹣∠A＝54°，∴∠BOC﹣（180°﹣∠BOC）＝54°，∴∠BOC＝117°．（3）∠ODC﹣∠BEO＝18°，理由如下：∵∠BEO＝∠A+∠ACE，∴∠BOC＝∠BEO+∠ABD＝∠A+∠ACE+∠ABD，∴∠BOC﹣∠A＝∠ACE+∠ABD．∵∠BOC﹣∠A＝54°，∴∠ABD＝2∠ACE，∴54°＝∠ACE+2∠ACE，∴∠ACE＝18°，∴∠ABD＝2×18°＝36°，∵∠BOC＝∠ODC+∠DCO＝∠BEO+∠ABD，∴∠BEO+36°＝∠ODC+18°，∴∠ODC﹣∠BEO＝18°．【变式6-3】（2022春•辉县市期末）小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系．（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：上表中a＝ ，于是得到∠B、∠C、∠EAD的数量关系为 ．（2）小明继续探究，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由．（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图2，过EA的延长线是一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D，当∠ABC＝80°，∠C＝24°时，∠F度数为 °．【分析】（1）求出∠BAE和∠BAD的大小即可得到∠EAD的值，再通过找规律的形式得出三者的关系，（2）分别用∠B和∠C表示出∠BAE和∠BAD，再由∠EAD＝∠BAE和﹣BAD即可得出答案，（3）分析同（2）．【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝70°，∴Rt△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣∠B﹣∠C）=12（180°﹣30°﹣70°）＝40°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣40°＝20°，∴a＝20，故答案为：20；2∠EAD＝∠C﹣∠B．（2）如图，过点A作AF⊥BC于F，∵PD⊥BC，AF⊥BC，∴PD∥AF，∴∠EPD＝∠EAF，∵△ABC内角和为180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC＝90°−∠B+∠C2，同时∠BAF＝90°﹣∠B，∴可得出∠EAF＝∠BAF﹣∠BAE=∠C−∠B2=∠EPD，综上所述，∠EPD=∠C−∠B2；（3）同理（2），依旧可得∠EFD=∠C−∠B2=28°，故答案为：28．【知识点2 直角三角形的判定】直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．【题型7 判断直角三角形】【例7】（2021春•历下区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案．【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，∴5x+2x+3x＝180°，解得：x＝18°，∴∠A＝18°×5＝90°，∴△ABC是直角三角形；③∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝180°﹣90°＝90°，∴△ABC是直角三角形；④∵3∠C＝2∠B＝∠A，∴∠A+∠B+∠C=12∠A+13∠A+∠A＝180°，∴∠A＝（108011）°，∴△ABC为钝角三角形．∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，【变式7-1】（2022秋•旌阳区校级月考）在下列条件中（1）∠A+∠B＝∠C；（2）∠A：∠B：∠C＝1：2：3；（3）∠A＝∠B=12∠C；（4）∠A=12∠B=13∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】（1）根据三角形内角和定理列式计算，根据直角三角形的概念判定即可．【解答】解：（1）∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，解得：∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；（2）设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，由三角形内角和定理得：x+2x+3x＝180°，解得：x＝30°，∴∠C＝30°×3＝90°，∴△ABC是直角三角形；（3）∵∠A＝∠B=12∠C，∠A+∠B+∠C＝180°∴12∠C+12∠C+∠C＝180°，解得：∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；（4）∵∠A=12∠B=13∠C，∴∠C＝3∠A，∠B＝2∠A，∴∠A+∠B+∠C＝3∠A+2∠A+∠A＝180°，解得：∠A＝30°，∴∠C＝3∠A＝90°，∴△ABC为直角三角形．所以能确定△ABC是直角三角形的有共4个，故选：D．【变式7-2】（2021秋•谢家集区期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，AE平分∠BAC．（1）求∠BAE；（2）若AD⊥BC于点D，∠ADF＝74°，证明：△ADF是直角三角形．【分析】（1）在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，根据三角形内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AE平分∠BAC，根据角平分线的定义，可求得∠BAE的度数；（2）由AD⊥BC，根据直角三角形的性质，可求得∠BAD的度数，继而求得∠DAE的度数，则可求得∠ADF的度数．【解答】（1）解：∵∠B＝30°，∠C＝62°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣62°＝88°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=12×88°＝44°；（2）证明：∵AD⊥BC；∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣44°＝16°，∵∠ADF＝74°，∴∠ADF+∠EAD＝74°+16°＝90°，∴∠AFD＝90°，∴△ADF是直角三角形．【变式7-3】（2022春•崇川区期末）定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求证：△ABD为“奇妙三角形”（2）若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：△ABC是直角三角形；（3）如图2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数．【分析】（1）根据“奇妙三角形”的定义，在△ABD中，∠A+2∠ABD＝100°，即证明△ABD为“奇妙三角形”．（2）由三角形的内角和知，A+∠B＝100°，由△ABC为“奇妙三角形”得出∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°两种情况，计算得∠B＝90°或∠A＝90°，从而证明△ABC是直角三角形．（3）由三角形的内角和知，∠ADB+∠ABD＝140，由△ABC为“奇妙三角形得出∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°两种情况，求得∠C＝80°或100°．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD．在△ABC中，∵∠ACB＝80°，∴∠A+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°，即∠A+2∠ABD＝100°，∴△ABD为“奇妙三角形”．（2）证明：在△ABC中，∵∠C＝80°，∴∠A+∠B＝100°，∵△ABC为“奇妙三角形”，∴∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°，∴∠B＝10°或∠A＝10°，当∠B＝10°时，∠A＝90°，△ABC是直角三角形．当∠A＝10°时，∠B＝90°，△ABC是直角三角形．由此证得，△ABC是直角三角形．（3）解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD，∵△ABD为“奇妙三角形”，∴∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°，①当∠A+2∠ABD＝100°时，∠ABD＝（100°﹣40°）÷2＝30°，∴∠ABC＝2∠ABD＝60°，∴∠C＝80°；②当2∠A+∠ABD＝100°时，∠ABD＝100°﹣2∠A＝20°，∴∠ABC＝2∠ABD＝40°，∴∠C＝100°；综上得出：∠C的度数为80°或100°．【知识点3 直角三角形的性质】直角三角形的性质：直角三角形两个内角互余．【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】【例8】（2022秋•宁晋县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C＝∠BDF＝∠BAD＝∠ADE．【解答】解：如图，∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，∴∠C＝∠ADE，∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，【变式8-1】（2022•碑林区校级模拟）如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（ ）个．A．5 B．4 C．3 D．2【分析】利用平行线的性质与判定可得∠E＝∠BME＝∠AMF，根据同角的余角相等可得∠E＝∠C，即可求解．【解答】解：∵∠BAC＝∠EDF＝90°，∴∠BAC+∠EDF＝180°，∴AB∥DE，∠E+∠F＝90°，∴∠E＝∠BME＝∠AMF，∵EF⊥BC，∴∠C+∠F＝90°，∴∠E＝∠C，故与∠E相等的角有3个，【变式8-2】（2022春•邓州市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ABD＝∠CAD＝36°，根据角平分线的性质求出∠ABE，根据直角三角形的性质计算即可；（2）根据角平分线的性质、直角三角形的性质证明结论．【解答】（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAD＝36°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=12∠ABC＝18°，∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，∴∠AEF＝∠BFD，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠AEF＝∠AFE．【变式8-3】（2022春•米东区期末）如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．（1）求证：∠ACE＝∠ABC；（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；（3）求证：∠CEF＝∠CFE．【分析】（1）根据条件易求∠ACE＝∠D，进而可证明结论；（2）通过判定AD∥BC可得∠BEC+∠EBC＝90°，根据直角三角形的性质结合角平分线的定义可得2∠EBC+∠ECD＝90°，进而可证明结论；（3）由对顶角的定义结合角平分线的定义可证明结论．【解答】证明：（1）∵CE⊥AD，∠ACD＝90°，∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠D．∵∠D＝∠ABC，∴∠ACE＝∠ABC；（2）∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，∴∠ACB＝∠DAC，∴AD∥BC，∵CE⊥AD，∴CE⊥BC，∴∠BEC+∠EBC＝90°，∵∠D+∠ECD＝90°，∠D＝∠ABC，∴∠ABC+∠ECD＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC∴2∠EBC+∠ECD＝90°，∴2∠EBC+∠ECD＝∠BEC+∠EBC，即∠EBC+∠ECD＝∠BEC；（3）∵∠ABF+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFE，∴∠ABF+∠CFE＝90°， ∠B/度1030302020∠C/度7070606080∠EAD/度30a152030
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