浙教版九年级上册第4章 相似三角形4.3 相似三角形一课一练

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\l "_Tc5000" 【题型1 相似三角形的应用（九章算术）】 PAGEREF _Tc5000 \h 1
\l "_Tc10329" 【题型2 相似三角形的应用（影长问题）】 PAGEREF _Tc10329 \h 3
\l "_Tc19567" 【题型3 相似三角形的应用（杠杆问题）】 PAGEREF _Tc19567 \h 4
\l "_Tc26048" 【题型4 相似三角形的应用（建筑物问题）】 PAGEREF _Tc26048 \h 6
\l "_Tc16771" 【题型5 相似三角形的应用（树高问题）】 PAGEREF _Tc16771 \h 8
\l "_Tc19910" 【题型6 相似三角形的应用（河宽问题）】 PAGEREF _Tc19910 \h 9
\l "_Tc17986" 【题型7 相似三角形的应用（内接矩形问题）】 PAGEREF _Tc17986 \h 11
【知识点 相似三角形的应用】
在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时，需要掌握并应用一些简单的相似三角形模型。
【题型1 相似三角形的应用（九章算术）】
【例1】（2021·北京大兴·九年级期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）．
【变式1-1】（2022·湖南株洲·九年级期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得米，米，米，那么CD为（ ）米．
A．5B．4C．3D．2
【变式1-2】（2022·河北·二模）《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”大意是： 如图，四边形EFGH是一座正方形小城，北门A位于FG的中点，南门B位于EH的中点．从北门出去正北方向20步远的C处有一树木，从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看见C处的树木，则正方形小城的边长为（ ）
A．105步B．200步C．250步D．305步
【变式1-3】（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）《海岛算经》是中国最早的一部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》，所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远，因首题测算海岛的高、远得名《海岛算经》，亦为地图学提供了数学基础．
《海岛算经》中的第4道“望谷”的题目为：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．从勺端望谷底，入下股九尺一寸．又设重矩于上，其矩间相去三丈，更从勺端望谷底，入上股八尺五寸．问谷深几何？
大致意思是：望一个如图所示的深谷，深谷的底部为线段MN，在山谷边缘处放置一个直角三角尺ABC，∠ACB＝90°，AC＝6尺，A，C，N在一条直线上，CN⊥MN，从点A处望山谷底部M处时，视线经过BC上的点E处，测得EC长为9尺1寸；将三角尺沿着射线CA方向向上平移3丈得到，从处望山谷底部M处时，视线经过上的点F处，测得长为8尺5寸．求山谷深CN为几丈．（注：1丈＝10尺，1尺＝10寸）
【题型2 相似三角形的应用（影长问题）】
【例2】（2022·浙江金华·九年级期末）如图，小明在8：30测得某树的影长为16m，13：00时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（ ）
A．10mB．8mC．6mD．4m
【变式2-1】（2022·江苏徐州·中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面，坡角．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为，在坡面上的影长为．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．
【变式2-2】（2022·江苏宿迁·九年级期末）如图，河对岸有一路灯杆，在灯光下，小明在点D处，自己的影长，沿方向到达点F处再测自己的影长，如果小明的身高为，求路灯杆的高度．
【变式2-3】（2022·黑龙江·大庆市庆新中学八年级期末）如图,小华在晚上由路灯A走向路灯B，当她走到P点时,发现她身后影子的顶端刚好接触到路灯A的底部,当她向前再步行12m到Q点时，发现她身前影子的顶端刚好接触到路灯 B的底部.已知小萌的身高是1.6m，两路灯的高度都是9.6m，且AP=QB=x m.
(1)求两路灯之间的距离.
(2)当小萌在A，B之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子的长的和变吗?请说明理由.
【题型3 相似三角形的应用（杠杆问题）】
【例3】（2022·山东临沂·二模）如图，EF是一个杠杆，可绕支点O自由转动，若动力和阻力的施力方向都始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的大小变化情况是（ ）

A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定
【变式3-1】（2019·全国·九年级专题练习）如图，是用杠杆撬石头的示意图，是支点，当用力压杠杆的端时，杠杆绕点转动，另一端向上翘起，石头就被撬动，现有一块石头，要使其滚动，杠杆端必须向上翘，已知杠杆上的与长度之比为，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端向下压多少厘米？
【变式3-2】一根均匀的木棒OA所受重力G=10N，小亮以木棒的一端O为支点，竖直向上将木棒的另一端A缓慢拉到如图所示的位置，保持不动，此时拉力为F，若点B为OA的中点，AC，BD分别垂直地面于点C，D，则根据杠杆平衡原理得拉力F的大小为（ ）
A．5NB．10NC．15ND．20N
【变式3-3】（2021·甘肃白银·九年级期末）如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．在下列结论中：
①；②OA•OC=OB•OD；③OC•G=OD•F1；④F=F1，正确的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
【题型4 相似三角形的应用（建筑物问题）】
【例4】（2019·四川·成都市双流区立格实验学校九年级阶段练习）刘徽，公元3世纪人，是中国历史上最杰出的数学家之一．《九章算术注》和《海岛算经》是他留给后世最宝贵的数学遗产．《海岛算经》第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高3丈的标杆BC和DE，两杆之间的距离BD＝1000步，点D、B、H成一线，从B处退行123步到点F处，人的眼睛贴着地面观察点A，点A、C、F也成一线，从DE退行127步到点G处，从G观察A点，A，E，G三点也成一线，试计算山峰的高度AH及BH的长（这里古制1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步，结果用步来表示）．
【变式4-1】（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室一模）千佛铁塔位于陕西省咸阳市之北杜镇，用纯铁铸成，中空有梯可攀登，四角柱铸成金刚力士像，顶立层楼，各层环周铸铁佛多尊，故名“千佛塔”，此塔为中国现存铁塔中最高的一座．某数学兴趣小组本着用数学知识解决实际问题的想法，欲测量该塔的高度．如图，在点C处有一建筑物，小丽同学站在建筑物上，眼睛位于点D处，她手拿一支长0.5米的竹竿EF，边观察边移动竹竿（竹竿EF始终与地面垂直），当移动到如图所示的位置时，眼睛D与竹竿、塔的顶端E、A共线，同时眼睛D与它们的底端F、B也恰好共线，此时测得，小丽的眼睛距竹竿的距离为0.5米，小丽的眼睛距地面的高度米，已知，．请你根据以上测量结果计算该塔的高度AB．【参考数据：】
【变式4-2】（2022·陕西·模拟预测）延安宝塔，是历史名城延安的标志，是革命圣地的象征，坐落在陕西省延安市主城东南的宝塔山景区内．周末，数学实践小组的同学带着测量工具测量延安宝塔的高度．测量方案如下：首先，在A处竖立一根高4m的标杆AB，发现地面上的点D、标杆顶端B与宝塔顶端M在一条直线上，测得m；然后，移开标杆，在A处放置测角仪，调整测角仪的高度，当测角仪高AC为1m时，恰好测得点M的仰角为45°已知，，点D、A、N在一条直线上，点A，C、B在一条直线上，求延安宝塔的高MN．
【变式4-3】（2022·陕西西安·一模）“揽月阁”位于西安市雁塔南路最南端，是西安唐文化的标志性建筑，阳光明媚的一天，某校九年级一班的兴趣小组去测量揽月阁的高度．揽月阁前面有个高1米的平台，身高1.8米的小强在台上走动，当小强走到点C处，小红蹲在台下点N处，其视线通过边缘点M和小强头顶点D正好看到塔顶A点，测得米，然后小强从正前方跳下后，往前走到点E处，此时发现小强头顶F在太阳下的影子恰好和塔顶A在地面上的影子重合于点P处，测得米，米．请你根据以上数据帮助兴趣小组求出揽月阁的高度．
【题型5 相似三角形的应用（树高问题）】
【例5】（2011·辽宁大连·中考真题）为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树(AB)8.7m的点E处，然后观测考沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.7m，观测者目高CD＝1.6m，则树高AB约是____．（精确到0.1m）
【变式5-1】（2021·全国·九年级专题练习）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈西尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”
大意如下：如图，今有山位于树的西面.山高为未知数，山与树相距里，树高丈尺，人站在离树里的处，观察到树梢恰好与山峰处在同一斜线上，人眼离地尺，问山AB的高约为多少丈？(丈尺，结果精确到个位)
【变式5-2】（2022·全国·九年级单元测试）小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C点，人在F点时正好在镜子中看到树尖A；第二次把镜子放在D点，人在G点正好看到树尖A．已知小明的眼睛距离地面1.70m，量得CD＝12m，CF＝1.8m，DH＝3.8m．请你求出松树的高．
【变式5-3】（2021·陕西宝鸡·一模）傍晚，小张和妈妈在某公园散步，发现公园的一路灯旁有一棵古老的大树，小华激动地说：妈妈，我可以通过测量您的影长，测得妈妈的影长DF＝1.6m．妈妈沿BD的方向到达点F处，此时小华测得妈妈的影长FG＝2m．已知妈妈的身高为1.6m（即CD＝EF＝1.6m），AB⊥BG，CD⊥BG，求这棵大树的高度．
【题型6 相似三角形的应用（河宽问题）】
【例6】（2021·河北·石家庄市第四十一中学九年级期中）为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点，再在河的这一边选点和点，使得，，设与交于点，如图所示测得，，，那么这条河的大致宽度是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（2019·全国·九年级单元测试）如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使点A，B，D在一条直线上，且AD⊥DE，点A，C，E也在一条直线上且DE∥BC．如果BC＝24m，BD＝12m，DE＝40m，则河的宽度AB约为( )
A．20mB．18mC．28mD．30m
【变式6-2】（2022·贵州毕节·二模）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸边每隔5m有一棵树，小华站在离南岸20m的点P处看北岸，在两棵树之间的空隙中，恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾（假设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平平面内），已知龙舟的长为18.5m，若龙舟行驶在河的中心，且龙舟与河岸平行，则河宽为_______m．
【变式6-3】（2022·陕西·西安工业大学附中九年级期中）为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DEBC．经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度．
【题型7 相似三角形的应用（内接矩形问题）】
【例7】（2020·江苏无锡·九年级期中）一块直角三角形木板，它的一条直角边长为，面积为，甲、乙两人分别按图①、②把它加工成一个正方形桌面，则①、②中正方形的面积较大的是
A．①B．②C．一样大D．无法判断
【变式7-1】（2021·辽宁·沈阳市第七中学九年级期中）如图有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（2019·浙江宁波·九年级期末）如图，已知在中，为直角，，，在内从左往右叠放边长为1的正方形小纸片，第一层小纸片的一条边都在上，依次这样往上叠放上去，则第二层最多能叠放___个正方形小纸片.
【变式7-3】（2021·浙江台州·九年级期末）一块材料的形状是等腰△ABC，底边 BC=120 cm，高 AD=120 cm．
(1)若把这块材料加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在AB，AC 上（如图 1），则这个正方形的边长为多少？
(2)若把这块材料加工成正方体零件（如图 2，阴影部分为正方体展开图），则正方体的表面积为多少？