初中数学北师大版七年级下册第四章 三角形4 用尺规作三角形学案及答案

用尺规作三角形

复习：1、探索全等条件时，有四种证明方法：

边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）

而尺规作图根据就是三角形全等的条件

2、尺规作线段、与尺规作角，在前面已经学习了，请同学自行复习

         （尺规做线段在七上四章二节、尺规作角在七下二章四节）

1、边边边：已知三角形三边，求做三角形做法如下：

2、已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形。

3、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形．

画图思路：   1. 假设所求作的图形已经作出，并在草稿纸上作出草图；

             2. 在草图上标出已给的边、角的对应位置；

             3. 从草图中首先找出基本图形，由此确定作图的起始步骤；

             4. 在3的基础上逐步向所求图形扩展。

注意：1、在作图时，要注意保留作图痕迹

      2、要注意语言的规范性，；例如：(1)作∠ ······· = ∠·······，(2)在······上截取，使······=······；(3)以···为顶点，以······为一边，作∠······ =∠······；(4)作一条线段······ = ······ ；(5)连接······ ，或连接······交······于点······ ；(6)分别以··· ， ···为圆心，以··· ， ···为半径画弧，两弧交于···点；

             3、因为上面及课本只陈述了边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）三种画图的方法，唯独少了角角边（AAS），因为这种方法的尺规作图十分复杂；而且因为角边角（ASA）和角角边（AAS）这两种证明方法可以根据三角形的内角和相互转化，所以只需要掌握角角边（AAS）的尺规作图即可。

4、辨析：为什么已知三角形的两边及一角并不都能只确定一个三角形。

例：已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使其有一个内角等于∠α，且∠α的对边等于a，另有一边等于b。

分析：先在草纸上画出一个假设的“已作出的三角形”；然后在草图上标出已给的边、角的对应位置；再找出边与角，确定作图的顺序。

同样是已知两边及一角，为什么会出现两个三角形呢？

作法：

1. 作∠MAN=∠α

2. 在射线AM上截取AB=b

3. 以B为圆心，以a为半径画弧，交AN于点C， C'

4. 连接BC，BC'

得到△ABC和△ABC'就是所求作的三角形

所以根据上述步骤及图像的绘画：已知三角形的两边及一角并不都能只确定一个三角形。当已知两边及夹角时可以确定一个三角形，因此可以用来判定两个三角形全等；而当已知两边及一边的对角时，会画出两个不同的三角形，因此不能用来作为判别两个三角形全等的条件。

简而言之，三角形尺规作图，需明白所给出已知条件之间关系，尤其是角边条件都知道的时候————是夹角还是对角，是夹边还是对边。

例题练习：

1、利用尺规不能唯一作出的三角形是（       ）

A．已知三边             

B．已知两边及夹角

C．已知两角及夹边       

D．已知两边及其中一边的对角

2．利用尺规不可作的直角三角形是    （        ）

 A．已知斜边及一条直角边    

B．已知两条直角边

C．已知两锐角               

D．已知一锐角及一直角边

3．以下列线段为边能作三角形的是    （         ）

      A．2厘米、3厘米、5厘米   

      B．4厘米、4厘米、9厘米

      C．1厘米、2厘米、 3厘米 

      D．2厘米、3厘米、4厘米

4、利用尺规作图不能作出唯一三角形的是 (　　)

A.已知三边　       

B.已知两边及夹角

C.已知两角及夹边　    

D.已知三个角

5、按下列条件画三角形,能唯一确定三角形形状和大小的是 (　　)

A.三角形的一个内角为60°,一条边长为3 cm

B.三角形的两个内角为30°和70°

C.三角形的两条边长分别为3 cm和5 cm

D.三角形的三条边长分别为4 cm、5 cm和8 cm

6、4.下列作图中，只用无刻度的直尺就能够作出的是(   )   

A.连接A，B两点并延长

 B.作∠MON等于已知角∠α

 C.作线段AB等于已知线段

 D.作已知角的2倍

6、如图,△ABC中,a=5 cm,b=3 cm,c=4 cm,∠B=30°,∠C=40°.选择适当数据,
作出与△ABC全等的三角形,写出所有的情况,看共有几种作法.

7、、已知线段a,b和m,如图①,求作△ABC,使BC=2a,AC=b,BC边上的中线AD=m.盈盈想出了一种作法,根据图②中的作图痕迹,你能想出她是怎样作出来的吗?把她的具体作法写下来吧!

①

②

8、如图所示,已知线段a,c和∠α,求作:△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠α,根据作图在下面空格填上适当的文字或字母.

(1)如图①所示,作∠MBN=　　　    ;

(2)如图②所示,在射线BM上截取BC=　　　    ,在射线BN上截取BA=　     ;

(3)连接　　　    ,如图③所示,△ABC就是所求作的三角形.

9、如图,已知△ABC.按如下步骤作图:

①以A为圆心,AB长为半径画弧;

②以C为圆心,CB长为半径画弧,两弧相交于点D;

③连接BD,与AC交于点E,连接AD,CD.

求证:△ABC≌△ADC.

10、如图,要求画一个三角形,使其两条边长分别是1 cm和2 cm,一个内角为

40°.

11、已知∠β和线段a,b,用直尺和圆规作△ABC,使∠B=∠β,BC=a,
AC=b,这样的三角形能作几个?(保留作图痕迹)