初中数学华东师大版（2024）九年级上册22.3 实践与探索教案及反思

这是一份初中数学华东师大版（2024）九年级上册22.3 实践与探索教案及反思，共6页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感态度，教学重点，教学难点，思维拓展等内容，欢迎下载使用。

第1课时 用一元二次方程解决简单的应用问题
※教学目标※
【知识与技能】
使学生理解并掌握利用一元二次方程的知识解决实际问题的一般思路与步骤，学会将实际问题转化为数学模型，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型.
【过程与方法】
让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中的等量关系来建立一元二次方程.
【情感态度】
通过合作交流等活动进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，以及与他人交流的能力.
【教学重点】
利用一元二次方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题.
【教学难点】
寻找实际问题中的相等关系.
※教学过程※
一、复习引入
问题：利用一元一次方程解决实际问题的一般思路是什么？
答：（1）认真审题，找出相等关系；（2）根据相等关系设出适当的未知数列出方程；（3）解方程确定出实际问题的答案.
二、探索新知
【例1】 学生生物小组有一块长32m、宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为540m，小道的宽应是多少？
分析：如图①，设小道宽为xm,则两条小道的面积分别为,其中重叠部分小正方形的面积为可根据题意列方程解答.
解：设小道的宽应是xm，根据题意，得
解得
应舍去.
只取x=2.
答：小道的宽应是2m.
【思维拓展】 本题同学们还有其他解法吗？
① ②
如图②，可将两条小道平移到边缘，从而将四小块种植地合并成一个整体来解决问题.
解：设小道的宽应是xm，根据题意,得
只取x=2.
答：小道的宽应是2m.
点拨:（1）利用平移、旋转、翻折等变换可以进行等面积变形.（2）从上面的解答过程可以看出利用一元二次方程解实际问题的思路和利用一元一次方程解实际问题的思路类似.其主要区别在于：解一元二次方程求得的未知数值往往有两个，不一定都是实际问题的答案，需要进行适当的取舍.
【例2】 某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元.已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.
分析：若每次降价的百分率为x，则第一次降价后的零售价为原来的(1-x)倍，即56（1-x）元，第二次降价后的零售价为56（1-x）元的（1-x）倍.
解：设每次降价的百分率为x，根据题意，得
解这个方程,得
因为降价的百分率不可能大于1，所以不符合题意.经检验，符合本题要求.所以，每次降价的百分率为25%.
三、巩固练习
1.学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸.经试验，彩纸面积为相片面积的时较美观，求所镶彩纸的宽.(精确到0.1厘米)
2.某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？（精确到0.1%）
答案：1.设所镶彩纸的宽为x厘米，根据题意，得
解得
所以，所镶彩纸的宽约为2.1厘米.
2.设这两个月的产值平均月增长的百分率是x,根据题意，得
解得-2.095(不合题意，舍去).
所以，这两个月的产值平均月增长的百分率是9.5%.
四、归纳小结
1.利用一元二次方程解实际问题的一般步骤：
（1）审题找出等量关系；（2）设出适当的未知数列出方程；（3）解方程；（4）根据实际问题，确定答案；（5）作答.
2.注意点：
利用一元二次方程解实际问题时，解所列出的一元二次方程时，求出的未知数的值往往有两个，需要注意的是未知数的两个值不一定都是实际问题的答案，需要根据实际问题的意义进行适当的取舍.
※课后作业※
教材第40页练习2、4.
教材习题22.3第1、2题.

第2课时 用一元二次方程解决复杂的应用问题
※教学过程※
一、复习引入
1.一元二次方程解决相关几何问题，需要充分利用平面图形的一些知识，如图形的面积公式、体积公式、勾股定理、图形的全等.
2.列一元二次方程解决增长（降低）率问题时，要掌握下列关系式：（两次变化）
原数×（1+增长的=后来数.
原数×（1-降低的=后来数.
3.列一元二次方程解决有关利润问题时，要掌握下列关系式：商品利润=销售价-原价=原价×利润率=单件利润×件数.
二、探索新知
【例1】 小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图.
（1）如果要求长方体的底面积为81cm,那么剪去的正方形边长为多少？
（2）如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生怎样的变化？折叠成的长方体的侧面积又会发生怎样的变化？
（3）你认为折叠而成的长方体的侧面积会不会有最大的情况？如果有，请你求出长方体侧面积的最大值是多少？
解：（1）设剪去的正方形的边长为xcm,根据题意，得
解得
只取x=0.5.
答：剪去的正方形边长为0.5cm.
(2)根据题意，填表如下：
观察表中数据发现：随着折叠成的长方体底面积减小，剪去的正方形边长增大，折叠成的长方体的侧面积先增大后减小.
（3）长方体的侧面积存在最大值.
设剪去的正方形边长为xcm,折叠成的长方体的侧面积为Scm.
根据题意可得S随x变化的函数关系式为
整理,得
配方,得
所以当x=2.5时，S有最大值为50.
答：当剪去的正方形边长为2.5cm时，折叠成的长方体的侧面积有最大值为
【例2】 某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率应为多少？如果第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时，可以实现两年后产值翻一番？
分析：翻一番，即为原产值的2倍.
若设原产值为1个单位，那么两年后的产值就是2个单位.
解：（1）设原产值为1个单位，这两年中产值的平均年增长率为x,根据题意，得
解得
∵增长率不可能为负值，
答：这两年中产值的平均年增长率为41.4%.
（2）设第一年的增长率为x,则第二年的增长率应为2x.
根据题意，得
解得
∵增长率不可能为负值，
答：第一年的增长率为28%时，可以实现两年后产值翻一番.
【例3】 某种新产品进价是120元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销量（件）始终存在下表中的数量关系：
(1)请你根据上表所给的数据表述出每件售价提高的价格（元）与产品的日销售量减少的数量（件）之间的关系.
（2）在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价多少元时，每日盈利可达到1600元？
分析：（1）从表中可以看出，每件售价提高多少元，日销售量就要减少多少件.
（2）可根据表格中“每件售价130元时，日销售为70件”，以此为基础，利用公式“每件商品的利润×销售量=总利润”列出方程，得出答案.
解：（1）由表格中数量关系可知，该产品每件售价上涨1元，其日销售量就要减少1件.
（2）设每件产品的售价在130元的基础上，涨价x元，则销售价为(130+x)元，日销售量为(70-x)件.根据题意，得
［（130+x）-120］×(70-x)=1600.
解这个方程，得
x+130=160.
答：每件商品的定价为160元时，每日盈利可达到1600元.
巩固练习
1.某花生种植基地原有花生品种每公顷产量为3000千克，出油率为55%.改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2025千克.已知新品种花生的每公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率增加是每公顷产量增长率的一半，求两者的增长率.（精确到1%）
2.某商店准备进一种季节性小家电，每台进价为40元.经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每增长（或降低）1元，销售量将减少（或增加）10台.商店若希望获得2000元，则应进货多少台？销售定价为多少？
（1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？
（2）所列方程的解是否都符合题意？如何解释？
（3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少台？销售定价为多少？
答案：1.设新品种花生每公顷产量的增长率为x,则出油率的增长率为根据题意，得解得(不合题意，舍去).答：新品种花生每公顷产量的增长率约为14%，出油率的增长率约为7%.
2.（1）设销售定价在52元的基础上增加了x元，则每台家电所获利润为(52+x-40)元，销售量为(180-10x)台.
（2）根据题意，得(52+x-40)(180-10x)=2000.解得当x=-2时，定价为52+(-2)=50(元)，此时的销售量为180-10×(-2)=200(台);当x=8时,销售定价为52+8=60（元），此时的销售量为180-10×8=100(台).都符合题意.销售定价为50元，进货200台；或销售定价为60元，进货100台.
（3）设最大利润为W（元），则W=(12+x)(180-10x)=-10(x-3)+2250.当x=3时，W取最大值2250.故当销售定价为55元时，能获得最大利润2250元，应进货180-10×3=150（台）.
四、归纳小结
用一元二次方程能解决的问题涉及实际生活的方方面面，题型新颖，解法灵活，综合性强.解题的关键是找出等量关系.分析等量关系时，应从多角度来考虑.常见的题型有形积问题、增长（降低）率问题、利润问题等.
※课后作业※
教材习题22.3第3、4、5、6题.