专题3.6位置与坐标章末六大题型总结（拔尖篇）-八年级数学上册举一反三系列（北师大版）

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专题3.6 位置与坐标章末六大题型总结（拔尖篇）【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc7851" 【题型1 坐标与点的移动规律探究】  PAGEREF _Toc7851 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc5783" 【题型2 坐标与图形变换规律探究】  PAGEREF _Toc5783 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc5321" 【题型3 坐标系中的新定义问题探究】  PAGEREF _Toc5321 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc19782" 【题型4 坐标系中的动点问题探究】  PAGEREF _Toc19782 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc7110" 【题型5 坐标系中角度之间的数量关系问题探究】  PAGEREF _Toc7110 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc21710" 【题型6 坐标系中图形问题探究】  PAGEREF _Toc21710 \h 29【题型1 坐标与点的移动规律探究】【例1】（2023春·广东肇庆·八年级统考期中）如图，点A在x轴正半轴及y轴正半轴上运动，点A从原点出发，依次跳动至点A1(0,1)、A2(1,0)、A3(2,0)、A4(0,2)、A5(0,3)、A6(3,0)、A7(4,0)、A8(0,4)，……按此规律，则点A2023的坐标是(　　)A．(0,1011) B．(1011,0) C．(0,1012) D．(1012,0)【答案】D【分析】根据已知点的坐标特征，将连续的4个点看成一组，由第1组，第2组确定组内点的位置特征、点坐标与组序数的联系；以此类推，2023=4×505+3，故点A2023是第506组的第3个点，则A2023在x轴上，其非零坐标即横坐标为2×506=1012．【详解】解：根据题意，将连续的4个点A看成一组，第1组：A1(0，1)，A2(1，0)，A3(2，0)，A4(0，2)，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为1，后两个点的非零坐标为2；其中，1=2×1−1，2=2×1；第2组：A5(0，3)，A6(3，0)，A7(4，0)，A8(0，4)，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为3，后两个点的非零坐标为4；其中，3=2×2−1，4=2×2；……以此类推，2023=4×505+3，则点A2023是第506组的第3个点，则A2023在x轴上，其非零坐标即横坐标为2×506=1012，故点A2023的坐标是(1012,0)；故选：D．【点睛】本题考查规律探索，根据已知的点坐标，对点分组找出规律是解题的关键．【变式1-1】（2023春·八年级统考期末）如图，已知A11,1，A22,−1，A34,4，A46,−4，A57,1，A68,−1，A710,4，A812,−4……，按这样的规律，则点A2023的坐标为（    ）  A．3032,−1 B．3034,4 C．3036,4 D．3031,1【答案】B【分析】先找到点的规律，然后计算解题即可．【详解】由题可知，每四个点纵坐标重复一次，横坐标向左平移6个单位长度，∴2023÷4=505⋯3，则A2023的横坐标为：505×6+4=3034，纵坐标为4，故选B．【点睛】本题考查坐标的规律问题，解题的关键是找到点的坐标规律．【变式1-2】（2023春·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A从A1−4,0依次跳动到A2−4,1，A3−3,1，A4−3,0，A5−2,0，A6−2,3，A7−1,3，A8−1,0，A9−1,−3，A100,−3，A110,0，…，按此规律，则点A2023的坐标为（    ）A．2023,0 B．805,0 C．804,1 D．805,1【答案】D【分析】由图可知，10个坐标为一循环，因此判断A2023对应的坐标是A3−3,1，那么纵坐标为1，横坐标每多一个循环则大4，可算出横坐标为805，然后直接求解即可．【详解】∵2023÷10=202……3∴A2023对应的坐标为A3−3,1∴A2023横坐标为−3+202×4=805∴A2023805,1故选：D【点睛】此题考查点坐标的规律探究，解题关键是找到循环然后直接求解．【变式1-3】（2023春·湖北孝感·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动3个单位至点A2（2，1），第三次跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），……，依此规律跳动下去，点A第2018次跳动至点A2018的坐标是 .【答案】（1010，1009）【分析】观察所给图形，不难得到第偶数次跳动至点的横坐标是跳的次数的一半加上1，纵坐标是跳的次数的一半；由此可得规律：第2n次跳动至点A2n的坐标是(n+1，n)，进而求出点A2018的坐标．【详解】解：观察发现可知：第2次跳动至点A2的坐标是（2，1），第4次跳动至点A4的坐标是（3，2），第6次跳动至点A6的坐标是（4，3），第8次跳动至点A8的坐标是（5，4），…则第2n次跳动至点A2n的坐标是（n+1，n），故第2018次跳动至点的坐标是（1010，1009）．故答案为（1010，1009）．【点睛】本题考查了点的坐标规律，解题在关键在于明确偶数次跳动的点的横坐标、纵坐标与跳动次数的关系．【题型2 坐标与图形变换规律探究】【例2】（2023春·江西宜春·八年级统考期末）在如图所示的方格纸上（小正方形的边长均为1），△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7,⋯都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，且它们的斜边长分别为2，4，6…若△A1A2A3的顶点坐标分别为A12,0，A21,−1，A30,0，则依图中所示规律，A2022的坐标为（    ）  A．1,−1013 B．1,−1011 C．2,1012 D．2,1010【答案】B【分析】根据题意发现规律：当下标是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数；当下标是4、8、12…时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半，据此即可得到答案．【详解】解：∵图中的各三角形都是等腰直角三角形，∴各等腰直角三角形的直角顶点的纵坐标的绝对值为斜边的一半，∴A21,−1、A42,2，A61,−3，A82,4，A101,−5，A122,6当下标为偶数时的点的坐标规律如下：当下标是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数，当下标是4、8、12…时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半，∵每四个字母为一组，2022÷4=505....2，点A2022在第一象限，横坐标为１，纵坐标是2022÷2=1011，∴A2022(1,−1011)，故选：B．【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据坐标正确得到规律是解题关键．【变式2-1】（2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，…，观察每次变换前后的三角形的变化规律，找出规律，推测An、Bn的坐标分别是（    ）A．(n,3),(n2,0) B．(n,3),(2n,0) C．(2n,3),(2n,0) D．(2n,3),(2n+1,0)【答案】D【分析】根据图中各点的坐标的变化，依次写出A1,A2,A3,⋯，B1,B2,B3,⋯．再根据点的坐标变化的特点写出An、Bn的坐标即可．【详解】解：∵A1(2,3),A2(22,3),A3(23,3),⋯，∴An(2n,3)；∵B1(22,0),B2(23,0),B3(24,0),⋯，∴Bn(2n+1,0)；故选：D．【点睛】此题考查了坐标与图形的变化，正确写出前几个点的坐标、找出坐标变化的规律是解答此题的关键．【变式2-2】（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OM0M1的直角边OM0在x轴上，点M1在第一象限，且OM0=1，以点M1为直角顶点，OM1为一直角边作等腰直角三角形OM1M2，再以点M2为直角顶点，OM2为直角边作等腰直角三角形OM2M3…依此规律则点M2019的坐标是 ．【答案】−22019,22019【分析】本题点M坐标变化规律要分别从旋转次数与点M所在象限或坐标轴、点M到原点的距离与旋转次数的对应关系．【详解】由已知，点M每次旋转转动45°，则转动一周需转动8次，每次转动点M到原点的距离变为转动前的2倍∵2019＝252×8＋3∴点M2019的在第二象限的角平分线上，∴点M2019的坐标为−22019,22019,故答案为：−22019,22019.【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号．【变式2-3】（2023春·全国·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，0）、A2（3，0）、A3（6，0）、A4（10，0）、……，以A1A2为对角线作第一个正方形A1C1A2B1，以A2A3为对角线作第二个正方形A2C2A3B2，以A3A4，为对角线作第三个正方形A3C3A4B3，……，顶点B1，B2，B3……都在第一象限，按照此规律依次下去，则点Bn的坐标为 ．【答案】[(n+1)22，n+12]【分析】利用图形分别得出B点横坐标B1，B2，B3，…的横坐标分别为：42，92，162，252…，点Bn的横坐标为：(n+1)22，再利用纵坐标变化规律进而得出答案．【详解】解：分别过点B1，B2，B3，作B1D⊥x轴，B2E⊥x轴，B3F⊥x轴于点D，E，F，∵A1(1,0)，∴A1A2=3−1=2，A1D =1，OD=2，B1D=A1D =1，可得出B1(2,1)，∵A2(3,0)，∴A3A2=6−3=3，EB2=32，B2E=EA2=32，OE=6−32=92，可得B2(92，32)，同理可得出：B3(8,2)，B4(252，52)，…，∵B1，B2，B3，…的横坐标分别为：42，92，162，252…，∴点Bn的横坐标为：(n+1)22，∵B1，B2，B3，…的纵坐标分别为：1，32，43，52，…，∴点Bn的纵坐标为：n+12，∴点B5的坐标为(18,3)；点Bn的坐标为：[(n+1)22，n+12]．故答案为：[(n+1)22，n+12]．【点睛】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律分别得出B点横纵坐标的规律是解答本题的关键．【题型3 坐标系中的新定义问题探究】【例3】（2023春·北京海淀·八年级人大附中校联考期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，给出如下定义：点P的“第Ⅰ类变换”：将点P向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度；点P的“第Ⅱ类变换”：将点P向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．(1)①点A的坐标为(3,0)，对点A进行1次“第Ⅰ类变换”后得到的点的坐标为 　 　；②点B为平面内一点，若对点B进行1次“第Ⅰ类变换”后得到点(0,2)，则对点B进行1次“第Ⅱ类变换”后得到的点的坐标为 　 　；(2)点C在x轴上，若对点C进行a次“第Ⅰ类变换”，再进行b次“第Ⅱ类变换”后，所得到的点仍在x轴上，直接用等式表示a与b的数量关系为 　 　；(3)点P的坐标(−10,3)，对点P进行“第1类变换”和“第Ⅱ类变换”共计20次后得到点Q，请问是否存在一种上述两类变换的组合，使得点Q恰好在y轴上？如果存在，请求出此时点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)①(2,2)；②(4,−1)(2)2a=b(3)不存在，理由见解析【分析】（1）①利用点P的“第Ⅰ类变换”的定义，可求解；②利用点P的“第Ⅰ类变换”的定义和点P的“第Ⅱ类变换”的定义，可求解；（2）利用点P的“第Ⅰ类变换”的定义和点P的“第Ⅱ类变换”的定义列出方程可求解；（3）利用点P的“第Ⅰ类变换”的定义和点P的“第Ⅱ类变换”的定义列出方程可求解．【详解】（1）解：①∵点A的坐标为(3,0)，∴点A进行1次“第Ⅰ类变换”后得到的点的坐标(2,2)，故答案为：(2,2)；②∵点B进行1次“第Ⅰ类变换”后得到点(0,2)，∴点B坐标为(1,0)，∴点B进行1次“第Ⅱ类变换”后得到的点的坐标为(4,−1)，故答案为：(4,−1)；（2）设点C(c,0)，∵点C进行a次“第Ⅰ类变换”，再进行b次“第Ⅱ类变换”后，所得到的点仍在x轴上，∴0+2a−1×b=0，∴2a=b，故答案为：2a=b；（3）不存在，理由如下：设经过m次“第1类变换”，经过(20−m)次“第Ⅱ类变换”，使得点Q恰好在y轴上，∵点P的坐标(−10,3)，对点P进行“第1类变换”和“第Ⅱ类变换”共计20次后得到点Q，点Q恰好在y轴上，∴−10−1×m+3(20−m)=0，∴m=252，∵m为非负整数，∴m=252不合题意舍去，∴不存在一种上述两类变换的组合，使得点Q恰好在y轴上．【点睛】本题是平移变换综合题，理解点P的“第Ⅰ类变换”的定义和点P的“第Ⅱ类变换”的定义是解题的关键．【变式3-1】（2023春·辽宁抚顺·八年级统考期末）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P(x,y)，给出如下定义：记a=x+y，b=−y，将点M(a,b)与N(b,a)称为点P的一对“相伴点”．例如：点P(2,3)的一对“相伴点”是点(5,−3)与(−3,5)．(1)点Q(4,−1)的一对“相伴点”的坐标是______与______；(2)若点A(8,y)的一对“相伴点”重合，则y的值为______；(3)若点B的一个“相伴点”的坐标为(−1,7)，求点B的坐标．【答案】(1)(1,3)，(3,1)；(2)−4；(3)(6,−7)或(6,1)．【分析】（1）根据新定义求出a，b，即可得出结论；（2）根据新定义，求出点A的一对“相伴点”，进而得出结论；（3）设出点B的坐标，根据新定义，建立方程组，即可得出结论．【详解】（1）∵Q(4,−1)，∴a=4+(−1)=3，b=−(−1)=1，∴点Q(4,−1)的一对“相伴点”的坐标是(1,3)与(3,1)，故答案为：(1,3)，(3,1)；（2）∵点A(8,y)，∴a=8+y，b=−y，∴点A(8,y)的一对“相伴点”的坐标是(8+y,−y)和(−y,8+y)，∵点A(8,y)的一对“相伴点”重合，∴8+y=−y，∴y=−4，故答案为：−4；（3）设点B(x,y)，∵点B的一个“相伴点”的坐标为(−1,7)，∴ x+y=−1−y=7或−y=−1x+y=7，∴ x=6y=−7或x=6y=1，∴B(6,−7)或(6,1)．【点睛】此题主要考查了新定义，解方程组，解方程，理解和应用新定义是解本题的关键．【变式3-2】（2023春·北京海淀·八年级北理工附中校考期中）在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点Px,y的“绝对距离”，给出如下定义：若x≥y，则点P的“绝对距离”为x；若x1，所以点P−4,1的“绝对距离”为−4=4．当点Px,y的“绝对距离”为2时，所有满足条件的点P组成的图形为（　　）A．   B．  C．   D．  【答案】D【分析】根据点Px,y的“绝对距离”为2，可知x=2，y≤2或y=2，x≤2，即可确定点P组成的图形．【详解】解：∵点Px,y的“绝对距离”为2，∴x=2，y≤2或y=2，x≤2，即x=2时，−2≤y≤2，x=−2时，−2≤y≤2，y=2时，−2≤x≤2，y=−2时，−2≤x≤2，即可确定点P组成的图形为图D中的正方形，故选：D．【点睛】本题考查了点的坐标，新定义，理解新定义是解题的关键．【变式3-3】（2023春·浙江台州·八年级统考期末）定义：已知平面上两点Ax1,y1，Bx2,y2，称dA,B=x1−x2+y1−y2为A，B两点之间的折线距离．例如点M2,−3与点N5,2之间的折线距离为dM,N=2−5+−3−2=3+5=8．如图，已知平面直角坐标系中点A2,1，B−1,0．  (1)dA,B=___________；(2)过点B作直线l平行于y轴，求直线l上与点A的折线距离为5的点的坐标；(3)已知点Nn,n，且dA,N