初中数学北师大版八年级上册2 一定是直角三角形吗课堂教学课件ppt

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数学 八年级上册 BS版
1. 勾股定理的逆定理.如果三角形的三边长 a ， b ， c 满足 ，那么这个 三角形是直角三角形.注意：此时， c 是斜边长， a ， b 是直角边长.
a2＋ b2＝ c2　
2. 勾股数.满足 的三个正整数，称为勾股数.注意：勾股数应满足的三个条件：①都是正数；②都是整数； ③ a2＋ b2＝ c2.勾股数有无数组，若一组数是勾股数，则把它们 同时扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数.如3，4，5是一组勾 股数，则3 n ，4 n ，5 n （ n 为正整数）仍是一组勾股数.
（1）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　B　）
【思路导航】利用三边的长度来判断一个三角形是不是直角三 角形，只需看最长边的平方是否等于较短的两边的平方和即可.
【解析】A. 因为32＋42＞42，所以这三条线段只能组成锐角三 角形；B. 因为32＋42＝52，所以这三条线段能组成直角三角 形；C. 因为32＋42＜62，所以这三条线段只能组成钝角三角 形；D. 因为3＋4＝7，所以这三条线段不能组成三角形.故选B.
【点拨】（1）利用边的关系判定直角三角形的步骤：①先找到 三角形的最长边；②计算最长边的平方及另外两边的平方和； ③若两者相等，则为直角三角形，否则就不是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理不是判定直角三角形的唯一方法，还可 以用直角三角形的定义来判定.
（2）下列四组数中，是勾股数的是（　D　）
【思路导航】运用勾股数应满足的三个条件判断即可.
【解析】A，B中的数不是正整数，所以A，B中的数不是勾股 数；C. 62＋72≠82，所以C中的数不是勾股数；D. 212＋282＝ 352，所以D中的数是勾股数.故选D.
【点拨】（1）判断勾股数的步骤：①确定三个数都是正整数； ②确定其中的最大数；③分别计算最大数的平方与其他两个数 的平方和；④若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否则就 不是一组勾股数.（2）常见的勾股数：3，4，5；5，12，13； 7，24，25；8，15，17.勾股数同时扩大若干正整数倍后还是勾 股数；勾股数同时缩小到原来的若干正整数分之一后不一定是 勾股数，但仍满足 a2＋ b2＝ c2，以它们作为边长的三角形仍是 直角三角形.
【思路导航】设 AD ＝4 k （ k ＞0），由题目给出的线段之间的 关系，把△ FEC 的三边长分别用含 k 的代数式表示，再运用勾 股定理的逆定理即可解答.
在Rt△ BCE 中， EC2＝ BE2＋ BC2＝（2 k ）2＋（4 k ）2＝20 k2.在Rt△ DCF 中， FC2＝ DF2＋ CD2＝（3 k ）2＋（4 k ）2＝25 k2.所以 EF2＋ EC2＝5 k2＋20 k2＝25 k2＝ FC2.所以△ FEC 是直角三角形.
【点拨】直角三角形的两种判定方法：（1）从角上看，利用直 角三角形的定义判定，即有一个内角是直角的三角形是直角三 角形；（2）从边上看，利用勾股定理的逆定理判定，即从三角 形的三边数量关系来判定.在解题过程中，根据题目给出的具体 条件灵活选取判定方法.
如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ， BC ＝10，点 D 是线段 AB 上一点， BD ＝6，连接 CD ， CD ＝8.
解：（1）在△ BDC 中， BC ＝10， BD ＝6， CD ＝8.因为 BD2＋ CD2＝62＋82＝100＝ BC2，所以△ BDC 是直角三角形，且∠ BDC ＝90°.所以 CD ⊥ AB .
（1）试说明： CD ⊥ AB ；
（2）由题意，得 AC ＝ AB ＝ AD ＋6.因为 CD ⊥ AB ，所以△ ADC 是直角三角形.所以 AD2＋ CD2＝ AC2，即 AD2＋82＝（ AD ＋6）2.
（2）求△ ABC 的周长.
如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB ∶ BC ∶ CD ∶ DA ＝ 2∶2∶3∶1，且∠ B ＝90°，试求∠ DAB 的度数.
【思路导航】连接 AC ，把∠ DAB 分成∠ BAC 和∠ DAC ，放入 两个三角形中分别求解即可.
解：如图，连接 AC . 因为 AB ∶ BC ∶ CD ∶ DA ＝2∶2∶3∶1，所以设 AB ＝2 k （ k ＞0），则 BC ＝2 k ， CD ＝3 k ， DA ＝ k .在Rt△ ACB 中，因为 AB ＝ BC ，所以∠ BAC ＝45°.根据勾股定理，得 AC2＝ AB2＋ BC2＝（2 k ）2＋（2 k ）2＝8 k2.所以 AD2＋ AC2＝ k2＋8 k2＝9 k2.
又因为 CD2＝（3 k ）2＝9 k2，所以 CD2＝ AD2＋ AC2.所以△ ACD 是直角三角形，且∠ DAC ＝90°.所以∠ DAB ＝∠ DAC ＋∠ BAC ＝90°＋45°＝135°.
【点拨】本例是勾股定理与勾股定理的逆定理的综合运用.求∠ DAB 的度数时，采取了转化的思想方法，把∠ DAB 分成∠ BAC 和∠ DAC ，并放入两个三角形中分别求解，进而得到∠ DAB 的度数.因为题设给出了边长的比例式，这就需要引进新的未知数 k ，把多条边用含 k 的代数式表示，为利用勾股定理和勾股定理的逆定理创造条件，从而使问题得以顺利解决.
如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地.已知 AD ＝4 m， CD ＝3 m，∠ ADC ＝90°， AB ＝13 m， BC ＝12 m.小区为美化环境，欲在空地上铺草坪.若每平方米草坪30元，则用草坪铺满这块空地共需花费多少元？
故用草坪铺满这块空地共需24×30＝720（元）.