专题3.3坐标系中的规律探究四大类型-八年级数学上册举一反三系列（北师大版）

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专题3.3 坐标系中的规律探究四大类型【北师大版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对坐标与中的规律探究的四大类型的理解！【类型1 沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究】1．（2023春·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中A−1，1，B−1，−2，C3，−2，D3，1，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2021秒瓢虫在（ ）处．A．3，1 B．−1，−2 C．1，−2 D．3，−2【答案】A【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出第2022秒是爬了第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．【详解】∵ A−1，1，B−1，−2，C3，−2，D3，1，∴AB=CD=3，BC=AD=4，∴AB+BC+CD+AD=3+4+3+4=14，∴瓢虫转一周，需要的时间是142=7 秒∵2021=288×7+5 ， ∴ 按A→B→C→D→A顺序循环爬行，第2021秒相当于从A点出发爬了5秒，路程是：5×2=10个单位，10=3+4+3，∴第2022秒瓢虫在3,1 ．故选A．【点睛】本题考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2021秒瓢虫爬完了多少个整圈，不成一圈的路程在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．2．（2023春·八年级单元测试）如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到0,1，接着它按图所示在x轴、y轴的平行方向来回运动（即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→(2，0)→ 2,2→...，且每秒运动1个单位，那么2021秒时，这个粒子所处位置的坐标为（    ）A．(3,44) B．(4,44) C．(44,3) D．(44,4)【答案】A【分析】根据现有点(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)分析点的运动时间和运动方向，可以得出一般结论，设点(n,n)，当n为奇数时，运动了n(n+1)秒，方向向下；当n为偶数时，运动了n(n+1)秒，方向向左；然后利用这个结论算出2021秒的坐标．【详解】解：粒子所在位置与运动的时间的情况如下：位置：(1,1)运动了2=1×2秒，方向向下，位置：(2,2)运动了6=2×3秒，方向向左，位置：(3,3)运动了12=3×4秒，方向向下，位置：(4,4)运动了20=4×5秒，方向向左；……总结规律发现，设点(n,n)，当n为奇数时，运动了n(n+1)秒，方向向下；当n为偶数时，运动了n(n+1)秒，方向向左；∵44×45=1980，45×46=2070，∴到(44,44)处，粒子运动了44×45=1980秒，方向向左，故到2021秒，须由(44,44)再向左运动2021−1980=41秒，44−41=3，2021秒时，这个粒子所处位置为(3,44)．故选：A．【点睛】本题考查了点的坐标，数形结合并发现点运动的坐标规律是解题的关键．3．（2023春·安徽滁州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A−1,0，点A第1次向上跳动1个单位至点A1−1,1，紧接着第2次向右跳动2个单位至点A21,1，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…依此规律跳动下去，点A第2022次跳动至点A2022的坐标是（    ）A．505,1009 B．−506,1010 C．−506,1011 D．506,1011【答案】D【分析】设第n次跳动至点An，根据部分点An坐标的变化找出变化规律“A4n(−n−1,2n)，A4n+1(−n−1,2n+1)，A4n+2(n+1,2n+1)，A4n+3(n+1，2n+2)(n为自然数）”，依此规律结合2022=505×4+2即可得出点A2022的坐标．【详解】解：设第n次跳动至点An，观察，发现：A(−1,0)，A1(−1,1)，A2(1,1)，A3(1,2)，A4(−2,2)，A5(−2,3)，A6(2,3)，A7(2,4)，A8(−3,4)，A9(−3,5)，…，∴A4n(−n−1,2n)，A4n+1(−n−1,2n+1)，A4n+2(n+1,2n+1)，A4n+3(n+1，2n+2)(n为自然数）．∵2022=505×4+2，∴A2022(506,1011)．故选：D．【点睛】本题考查了规律型中点的坐标，解题的关键是根据部分点An坐标的变化找出变化规律．4．（2023春·八年级课时练习）如图，点A1的坐标为（1，1），将点A1先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到点A2；将点A2先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到点A3；将点A3先向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度得到点A4……按这个规律平移下去得到点An，（n 为正整数），则点An的坐标是（   ）A．(2n,2n−1) B．(2n−1,2n) C．(2n−1,2n+1) D．(2n−1,2n−1)【答案】D【分析】探究规律，利用根据解决问题即可．【详解】解：由题意知，A1（1，1），A2（3，2），即（22−1，22−1），A3（7，4），（23−1，23−1），A4（15，8），（24−1，24−1），…An（2n−1，2n−1）．故选：D．【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是学会探究规律的方法．5．（2023春·湖南娄底·八年级娄底市第三中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A10,1，A21,1，A31,0，A42,0，……，那么点A2023的坐标为___________．【答案】1011,0【分析】动点在平面直角坐标系中按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，只要求出前几个坐标，根据规律找坐标即可．【详解】解：根据题意可知，A10,1，A21,1，A31,0，A42,0，A52,1，A63,1，A73,0，A84,0，……，∴坐标变换的规律为每移动4次，它的纵坐标都能为1，横坐标向右移动力2个单位长度，也就是移动次数的一半，∴2023÷4=505⋯⋯3，∴点A2023的纵坐标为0，横坐标为0+2×505+1=1011，∴点A2023的坐标1011,0，故答案为：1011,0．【点睛】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题．6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，－1），P5（－1，－1），…，根据这个规律，点P2022的坐标为____________．【答案】（-505，506）【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，由图可知，被4除余2的点在第二象限的角平分线往右移一个单位长度的点上，再根据第二象限内点的符号得出答案即可．【详解】解：∵P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，－1），P5（－1，－1），P6(－1，2)，…，∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线往上移一个单位长度的直线上，由规律可得，2022÷4=505⋅⋅⋅2，即点P2022在第二象限的角平分线往上移一个单位长度的直线上，∴点P2022（-505，506），故答案为：（-505，506）【点睛】本题考查平面直角坐标系当中点的规律，正确找出平面角坐标系当中点的规律是解题的关键．【类型2 沿斜线或曲线运动的点的规律探究】1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为A1(2,0)，A2(1,−1)，A3(0,0)，A4(2,2)，A5(4,0)，A6(1,−3)，A7(−2,0)，A8(2,4)，A9(6,0)，则依图中所示规律，A2022的坐标为（    ）A．(1,−1011) B．(1,−1010) C．(2,1010) D．(2,1011)【答案】A【分析】观察给出点的坐标，找出点之间的规律解答即可．【详解】解：∵A1(2,0)，A2(1,−1)，A3(0,0)，A4(2,2)，A5(4,0)，A6(1,−3)，A7(−2,0)，A8(2,4)，A9(6,0)，观察可知：每四个点为一组，第n组的点分别为：An(2n,0)，An+1(1,1−2n)，An+2(2−2n,0)，An+3(2,2n)，∵2022÷4=505⋯⋯2，∴A2022位于第506组的第二个点，∴A20221,1−2×506，即A20221,−1011．故选：A【点睛】本题考查点的坐标规律，解题的关键是找出点的规律：每四个点为一组，第n组的点分别为：An(2n,0)，An+1(1,1−2n)，An+2(2−2n,0)，An+3(2,2n)．2．（2023春·陕西西安·八年级交大附中分校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π个单位长度，则第2023秒时，点P的坐标是（    ）A．4044,2 B．4046,−2 C．4046,0 D．2023,−2【答案】B【分析】根据图象可得移动4秒图象完成一个循环，从而可得出点P的坐标．【详解】解：半径为2个单位长度的半圆的周长为12×2π×2=2π，∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π个单位长度，∴点P每秒走12个半圆，当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（2，2），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（4，0），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（6，-2），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（8，0），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（10，2），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（12，0），…，∵2023÷4=505……3，∴P的坐标是（4046，-2），故选：B．【点睛】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．3．（2023春·湖北荆州·八年级统考期末）如图，一个实心点从原点出发，沿下列路径0,0→0,1→1,0→1,1→1,2→⋅⋅⋅每次运动一个点，则运动到第2017次时实心点所在位置的横坐标为(   )A．45 B．946 C．990 D．103【答案】C【分析】根据多点横坐标相同的情况，设第m次多点横坐标相同时横坐标为n，且实心点最多运动的次数为an，观察图形可知m=1，n=1，a1=4=22=1+12，且有3个点横坐标相同；m=2，n=3，a3=9=32=2+12，且有4个点横坐标相同；m=3，n=6，a6=16=42=3+12，且有5个点横坐标相同；可推导一般性规律为第m次多点横坐标相同时横坐标为n=m×m+12，an=m+12，且有m+2个点横坐标相同；令an=m+12≤2017，求合适的m，n，an的值，进而可得结果．【详解】解：根据多点横坐标相同的情况，设第m次多点横坐标相同时横坐标为n，且实心点最多运动的次数为an，观察图形可知①m=1，n=1，a1=4=22=1+12，且有3个点横坐标相同；②m=2，n=3，a3=9=32=2+12，且有4个点横坐标相同；③m=3，n=6，a6=16=42=3+12，且有5个点横坐标相同；∴可推导一般性规律为：第m次多点横坐标相同时横坐标为n=m×m+12，an=m+12，且有m+2个点横坐标相同；∴令an=m+12≤2017，解得43≤m≤44，当m=43时，n=43×43+12=946，a946=43+12=1936，当m=44时，n=44×44+12=990，a990=44+12=2025，且有46个点横坐标相同，∵1936