鲁教版数学九上 第二章综合素质评价试卷

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第二章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．[2024·淄博临淄区期中]在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝eq \r(3)，则下列结论正确的是(　　)A．sin A＝eq \f(\r(3),2) B．tan A＝eq \f(1,2) C．cos B＝eq \f(\r(3),2) D．tan B＝eq \r(3)2．在△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝eq \f(1,2)，则cos B的值为(　　)A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2) C．2 D．eq \f(\r(3),2)3．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向上距离灯塔P 6海里的A处，若海轮沿正南方向航行到灯塔P的正东方向，则海轮航行的路线AB的长是(　　)A．6海里 B．6cos 55°海里 C．6sin 55°海里 D．6tan 55°海里4．若爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1 m耗能(1.025－cos α)J，如图，若某人爬坡时爬了1 000 m，该坡的坡角为30°，则他耗能约为(　　)(参考数据：eq \r(3)≈1.732，eq \r(2)≈1.414)A．58 J B．159 J C．1 025 J D．1 732 J5．[2023·青岛市南区期末]如图，△ABC的顶点均在单位长度为1的正方形网格的格点上，则sin ∠BAC的值为(　　)A．eq \r(5) B．eq \f(\r(5),5) C．eq \f(1,2) D．eq \f(2\r(5),3)6．如图，∠ACB＝45°，∠PRQ＝125°，AC＝PR＝5，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有(　　)A．h1＝h2 B．h1

h2 D．以上都有可能7．如图，利用四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”中，小正方形的面积是1，大正方形的面积是25，直角三角形中较大的锐角为β，则tan β的值为(　　)A．eq \f(4,3) B．eq \f(3,4) C．eq \f(13,12) D．eq \f(12,13) 8．[2023·济南模拟]如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上的B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来在地面上的A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10 m，则标识牌CD的高度是(　　)A．(15－5eq \r(3))m B．(20－10eq \r(3))m C．(10－5eq \r(3))m D．(5eq \r(3)－5)m9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OCOB＝13，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P.若点P的坐标为(1，1)，则tan∠ACO的值是(　　)A．eq \f(1,3) B．3 C．eq \f(1,2) D．210．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB＝2eq \r(10)，延长AB至点C，连接OC，若OC2＝BC·AC，tan α＝3，则点C的坐标为(　　)A．(－2，6) B．(－3，9)C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(9,4))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，\f(15,4)))二、填空题(每题4分，共24分)11．已知α为锐角，若sin α＝eq \f(\r(3),2)，则α＝________°.12．如图，点P(12，a)在反比例函数y＝eq \f(60,x)(x>0)的图象上，PH⊥x轴于点H，连接OP，则tan∠POH的值为________．13．[2024·威海乳山市月考]某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2eq \r(5)米，则这个坡面的坡度为________．14．在△ABC中，sin B＝eq \f(1,2)，AC＝2eq \r(2)，AD是BC边上的高，∠ACD＝45°，则BC的长为__________．15．如图，测量船以每小时20海里的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上，航行半小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD＝________海里．(计算结果不取近似值)16．已知三条平行线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰直角三角形ABC为格线三角形，且∠BAC＝90°，那么直线BC与直线c所夹锐角α的正切值为________．三、解答题(17～19题每题10分，其余每题12分，共66分)17．计算：(1)sin2 30°＋sin 60°－sin2 45°＋cos2 30°； (2)eq \f(tan 30°·sin 30°,tan 45°·\f(\r(3),3))＋eq \r(2)·sin 45°－eq \f(1,2)cos 60°.18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝eq \f(3,5).(1)求BC的长；(2)BE是AC边上的高，请你补全图形，并求BE的长． 19．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．他们需要登顶600 m高的山峰，如图，由山脚A处先步行300 m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°(换乘登山缆车的时间忽略不计)．(1)求登山缆车上升的高度DE；(2)若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山脚A处到达山顶D处大约需要多少分钟(结果精确到0.1min，参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)．20．[2023·天津]综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6 m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°.(1)求DE的长．(2)设塔AB的高度为h(单位：m)．①用含有h的式子表示线段EA的长(结果保留根号)；②求塔AB的高度(tan27°取0.5，eq \r(3)取1.7，结果取整数)．21．如图，已知四边形ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，点E在BC上，CE＝AE，将△ABC沿AC翻折得到△AFC，连接EF.(1)求EF的长；(2)求sin∠CEF的值．22.根据以下素材，探索完成任务答案一、1.D　2.A3．B　【解析】由题易知∠ABP＝90°，∠A＝55°，AP＝6海里，∴AB＝AP·cos A＝6cos 55°海里．4．B　【解析】由题意得他耗能约为1 000×(1.025－cos 30°)＝1 000×(1.025－eq \f(\r(3),2))≈159(J)．5．B　【解析】过点B作BD⊥AC于点D.根据勾股定理得AB＝eq \r(42＋32)＝5，AC＝eq \r(32＋62)＝3eq \r(5)，易知S△ABC＝4×6－eq \f(1,2)×3×1－eq \f(1,2)×3×4－eq \f(1,2)×6×3＝eq \f(15,2)，∴eq \f(1,2)AC·BD＝eq \f(15,2)，∴BD＝eq \r(5)，∴sin∠BAC＝eq \f(BD,AB)＝eq \f(\r(5),5).6．B　【解析】如图，分别作出两个三角形的高h1，h2.∵∠ACB＝45°，AC＝5，∴h1＝AC·sin 45°＝5sin 45°.∵∠PRQ＝125°，PR＝5，∴h2＝PR·sin (180°－125°)＝5sin 55°.∵sin 55°>sin 45°，∴h2>h1.7．A　【解析】由题意知，小正方形的边长为1，大正方形的边长为5.设直角三角形中较短直角边的边长为x，则有(1＋x)2＋x2＝25.解得x＝3(负值不合题意，舍去)，∴较长直角边的边长为x＋1＝4，∴tan β＝eq \f(4,3).8．A　【解析】过点B作BM⊥EA交EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，由题意知DE⊥AE，∴四边形BMEN为矩形，∴BN＝ME，EN＝BM.在Rt△ABM中，AB＝10 m，∠BAM＝30°，∴AM＝AB·cos∠BAM＝5eq \r(3) m，BM＝AB·sin∠BAM＝5 m.在Rt△ADE中，AE＝10 m，∠DAE＝60°，∴DE＝AE·tan∠DAE＝10eq \r(3) m.在Rt△BCN中，BN＝ME＝AE＋AM＝(10＋5eq \r(3))m，∠CBN＝45°，∴CN＝BN·tan∠CBN＝(10＋5eq \r(3))m.∵EN＝BM＝5 m，∴CD＝CN＋EN－DE＝10＋5eq \r(3)＋5－10eq \r(3)＝15－5eq \r(3)(m)．9．B　【解析】∵OP∥AB，∴△OCP∽△BCA，∴eq \f(OC,BC)＝eq \f(CP,AC).∵OC∶OB＝1∶3，∴eq \f(OC,BC)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(CP,AC)＝eq \f(1,2).过点P作PQ⊥x轴于点Q，易知∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ∶AO＝CP∶AC＝1∶2，∠ACO＝∠APQ.∵P(1，1)，∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2OQ＝2，∴AQ＝3，∴tan∠APQ＝eq \f(AQ,PQ)＝3，∴tan∠ACO＝tan∠APQ＝3.10．C　【解析】∵OC2＝BC·AC，∴eq \f(OC,BC)＝eq \f(AC,OC).又∵∠OCB＝∠ACO，∴△OBC∽△AOC，∴∠A＝∠COB.∵α＋∠COB＝90°，∠A＋∠ABO＝90°，∴∠ABO＝α.∵tan α＝3，∴tan∠ABO＝eq \f(OA,OB)＝3，∴OA＝3OB.由勾股定理可得OA2＋OB2＝AB2，即9OB2＋OB2＝(2eq \r(10))2，∴OB＝2(负值舍去)，∴OA＝6.∴tan A＝eq \f(OB,OA)＝eq \f(1,3).如图，过点C作CD⊥x轴于点D. ∵tan α＝3，∴设C(－m，3m)(m>0)，∴CD＝3m，AD＝6＋m.∵tan A＝eq \f(1,3)，∴eq \f(CD,AD)＝eq \f(1,3)，即eq \f(3m,6＋m)＝eq \f(1,3)，解得m＝eq \f(3,4).经检验，m＝eq \f(3,4)是原方程的解．∴点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(9,4))).二、11.6012.eq \f(5,12)　【解析】∵点P(12，a)在反比例函数y＝eq \f(60,x)(x>0)的图象上，∴a＝eq \f(60,12)＝5.∵PH⊥x轴于点H，∴PH＝5，OH＝12，∴tan∠POH＝eq \f(5,12).13.eq \f(1,2)　【解析】由勾股定理得沿坡面前进10米时，水平距离为eq \r(102－(2 \r(5))2)＝4 eq \r(5)(米)，则这个坡面的坡度为2 eq \r(5)∶4 eq \r(5)＝eq \f(1,2).14．2eq \r(3)＋2或2eq \r(3)－2　【解析】分情况讨论：如图①，当AD在△ABC的内部时，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ACD中，∵∠ACD＝45°，∴∠DAC＝45°.∴DC＝AD，∵AC＝2eq \r(2)，∴DC＝AD＝AC·sin 45°＝2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝2.在Rt△ABD中，∵sin B＝eq \f(1,2)，AD＝2，∴sin B＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(2,AB)＝eq \f(1,2)，解得AB＝4.根据勾股定理得BD＝eq \r(AB2－AD2)＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3).∴BC＝BD＋DC＝2eq \r(3)＋2.如图②，当AD在△ABC的外部时，∵AD是BC边上的高，∴∠D＝90°.在Rt△ACD中，∵∠ACD＝45°，∴∠DAC＝45°.∴DC＝AD＝AC·sin 45°＝2.在Rt△ABD中，∵sin B＝eq \f(1,2)，∴sin B＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(1,2)，∴AB＝4.∴BD＝eq \r(AB2－AD2)＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3).∴BC＝BD－DC＝2eq \r(3)－2.综上，BC的长为2eq \r(3)＋2或2eq \r(3)－2.　15．(5eq \r(3)－5)　【解析】如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E.依题意得，AB＝20×eq \f(1,2)＝10(海里)，∠FAD＝15°，∠FAC＝45°，∠FAB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠CAB＝∠FAB－∠FAC＝90°－45°＝45°，∠DAC＝∠FAC－∠FAD＝30°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝90°.在Rt△ACB中，∵∠ABC＝45°，AB＝10海里，∴AC＝AB·sin 45°＝10×eq \f(\r(2),2)＝5eq \r(2)(海里)．设DE＝x海里，在Rt△DAE中，∵∠DAE＝30°，∴AE＝eq \f(DE,tan 30°)＝eq \f(x,\f(\r(3),3))＝eq \r(3)x(海里)．∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝45°.∴在Rt△DEC中，CE＝eq \f(DE,tan 45°)＝x海里，CD＝eq \f(DE,sin45°)＝eq \r(2)x海里．∵AE＋EC＝AC，∴eq \r(3)x＋x＝5eq \r(2)，解得x＝eq \f(5\r(6)－5\r(2),2)，∴CD＝eq \r(2)×eq \f(5\r(6)－5\r(2),2)＝5eq \r(3)－5(海里)．16.eq \f(1,3)　【解析】如图，过点B作BE⊥a于点E，延长EB交直线c于点F，过点C作CD⊥a于点D，则∠CDA＝∠AEB＝90°.设平行线a，b间的距离为d，由a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离相等，易知BF⊥c，CD＝2d，BE＝BF＝d.∵∠CAB＝90°，∠CDA＝90°，∴∠DCA＋∠DAC＝90°，∠EAB＋∠DAC＝90°，∴∠DCA＝∠EAB.在△CDA和△AEB中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DCA＝∠EAB，,∠CDA＝∠AEB，,AC＝AB，))∴△CDA≌△AEB(AAS)．∴AE＝CD＝2d，AD＝BE＝d.∴易得CF＝DE＝AE＋AD＝2d＋d＝3d.∵BF＝d，∴tan α＝eq \f(BF,CF)＝eq \f(d,3d)＝eq \f(1,3).三、17.【解】(1)原式＝(eq \f(1,2))2＋eq \f(\r(3),2)－(eq \f(\r(2),2))2＋(eq \f(\r(3),2))2＝eq \f(1,4)＋eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)＋eq \f(3,4)＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2).(2)原式＝eq \f(\f(\r(3),3)×\f(1,2),1×\f(\r(3),3))＋eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)＋1－eq \f(1,4)＝eq \f(5,4).18．【解】(1)如图，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，∵AB＝5，sin∠ABC＝eq \f(3,5)，∴AD＝AB·sin∠ABC＝5×eq \f(3,5)＝3，∴BD＝eq \r(52－32)＝4.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD＝8.(2)补全图形如图所示．∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴sin∠ACB＝sin∠ABC＝eq \f(3,5).∴BE＝BC·sin∠ECB＝8×eq \f(3,5)＝eq \f(24,5).19．【解】(1)过点B作BM⊥AF于点M.由题意可知∠A＝30°，DF＝600 m，AB＝300 m.∴BM＝AB·sin A＝eq \f(1,2)×300＝150(m)．易知EF＝BM＝150 m，∴DE＝DF－EF＝600－150＝450(m)．答：登山缆车上升的高度DE为450 m.(2)在Rt△BDE中，∠DBE＝53°，DE＝450 m，∴BD＝eq \f(DE,sin∠DBE)≈eq \f(450,0.80)＝562.5(m)，∴需要的时间≈eq \f(300,30)＋eq \f(562.5,60)≈19.4(min)．答：从山脚A处到达山顶D处大约需要19.4 min.20．【解】(1)由题意得DE⊥EC，在Rt△DEC中，CD＝6 m，∠DCE＝30°，∴DE＝eq \f(1,2)CD＝3 m.(2)①在Rt△DEC中，DE＝3 m，∠DCE＝30°，∴CE＝eq \f(DE,tan∠DCE)＝eq \r(3)DE＝3eq \r(3)m.由题意得BA⊥EA，在Rt△ABC中，AB＝h m，∠BCA＝45°，∴AC＝eq \f(AB,tan45°)＝h m．∴EA＝EC＋AC＝(3eq \r(3)＋h)m.②过点D作DF⊥AB于点F.由题意得DF＝EA＝(3eq \r(3)＋h)m，FA＝DE＝3 m，∴BF＝AB－AF＝(h－3)m.在Rt△BDF中，∠BDF＝27°，∴BF＝DF·tan27°≈0.5(3eq \r(3)＋h)m，∴h－3≈0.5(3eq \r(3)＋h)，解得h≈11，∴塔AB的高度约为11 m.21．【解】(1)设BE＝x，则EC＝4－x，∴AE＝EC＝4－x.在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，∴(2eq \r(2))2＋x2＝(4－x)2，解得x＝1.∴BE＝1，AE＝CE＝4－1＝3.如图，∵AE＝EC，∴∠1＝∠2.∵∠ABC＝90°，∴∠CAB＝90°－∠2，∴∠CAB＝90°－∠1.由折叠可知△FAC≌△BAC，∴∠FAC＝∠CAB＝90°－∠1，AF＝AB＝2eq \r(2)，∴∠FAC＋∠1＝90°，即∠FAE＝90°.在Rt△FAE中，根据勾股定理得EF＝eq \r(AF2＋AE2)＝eq \r((2\r(2))2＋32)＝eq \r(17).(2)如图，过F作FM⊥BC于点M，∴∠FME＝∠FMC＝90°.设EM＝a，则MC＝3－a.在Rt△FME中，FM2＝FE2－EM2，在Rt△FMC中，FM2＝FC2－MC2，∴FE2－EM2＝FC2－MC2.由(1)知△FAC≌△BAC，∴FC＝BC＝4，∴(eq \r(17))2－a2＝42－(3－a)2，∴a＝eq \f(5,3).∴EM＝eq \f(5,3)，∴FM＝eq \r((\r(17))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))\s\up12(2))＝eq \f(8\r(2),3)，∴sin∠CEF＝eq \f(FM,EF)＝eq \f(\f(8\r(2),3),\r(17))＝eq \f(8\r(34),51).22．(1)【证明】∵AB＝AC，AE＝eq \f(1,3)AB，AF＝eq \f(1,3)AC，∴AE＝AF.在△ADE和△ADF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AF，,AD＝AD，,DE＝DF，))∴△ADE≌△ADF(SSS)．∴∠BAD＝∠CAD.∴AP是∠BAC的平分线．(2)【解】∵AD′＝50 cm，AE＝20 cm，∴DE＝D′E＝30 cm.∵当伞完全张开时，∠BAC＝120°，AP是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝60°.过点E作EG⊥AD于点G.在Rt△AEG中，AG＝AE·cos∠EAG＝20·cos 60°＝20×eq \f(1,2)＝10(cm)，EG＝AE·sin∠EAG＝20·sin 60°＝20×eq \f(\r(3),2)＝10eq \r(3)(cm)．在Rt△DEG中，由勾股定理，得DG＝eq \r(DE2－EG2)＝eq \r(302－(10\r(3))2)≈24.5(cm)，∴AD＝AG＋DG≈34.5 cm，∴DD′＝AD′－AD≈50－34.5＝15.5(cm)．答：当伞从完全张开到完全收拢时，伞圈D移动的距离约为15.5 cm.(3)【解】伞至少向下移动约37.3 cm，才能使小明站在G处时身上不被雨淋湿．【解析】连接BC，设AG与BC交于点O，与BM交于点Q.在Rt△ABO中，AB＝3AE＝60 cm，∠BAO＝60°，∴BO＝AB·sin∠BAO＝60·sin 60°≈51.96(cm)，易得NG＝BO≈51.96cm.在Rt△BMN中，BN＝180 cm，∠BMN＝70°，∴MN＝eq \f(BN,tan 70°)≈eq \f(180,2.747)≈65.53(cm)．∴MG＝MN－NG≈65.53－51.96＝13.57(cm)．∴在Rt△QGM中，QG＝MG·tan 70°≈13.57×2.747≈37.3(cm)．∴伞至少向下移动约37.3 cm，才能使小明站在G处时身上不被雨淋湿．探究纸伞中的数学问题素材1我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图①，伞不管是张开还是收拢，AP是伞柄，伞骨AB＝AC，且AE＝eq \f(1,3)AB，AF＝eq \f(1,3)AC，D为伞圈，DE＝DF.素材2伞圈D能沿着伞柄滑动，如图②是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到D′的位置，且A，E，D′三点共线，测得AD′＝50 cm，AE＝20 cm，伞完全张开时∠BAC＝120°，如图①所示．(参考数据：≈24.5)素材3学习小组的同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图③，某一天，雨线BM与地面的夹角为70°，小明站在完全张开的伞的伞圈D的正下方G处，记为GH，此时，发现身上被雨淋湿，测得BN＝180 cm(BN⊥MN)．(结果保留0.1 cm，参考数据：tan 70°≈2.747，sin 70°≈0.940，cos 70°≈0.342，≈1.732)问题解决任务1判断AP的位置(1)求证：AP是∠BAC的平分线；任务2探究伞圈移动的距离(2)当伞从完全张开到完全收拢时，求伞圈D移动的距离；任务3拟定撑伞方案(3)求伞至少向下移动多少厘米，才能使小明站在G处时身上不被雨淋湿．(直接写出答案)