鲁教版数学九上 期末综合素质评价试卷

这是一份鲁教版数学九上 期末综合素质评价试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列光源形成的投影不同于其他三种的是( )
A．太阳光 B．手电筒灯光 C．探照灯光 D．台灯灯光
2．[2023·聊城]如图所示的几何体的主视图是( )
3．[2023·重庆]反比例函数y＝－eq \f(4,x)的图象一定经过的点是( )
A．(1，4) B．(－1，－4) C．(－2，2) D．(2，2)
4．[2023·扬州]函数y＝eq \f(1,x2)的大致图象是( )
5. 学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉一条彩旗绳AB到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成25°角(即∠BAC＝25°)，彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32 m(即AC＝32 m)，则彩旗绳AB的长度为( )
A．32sin 25° m B．32cs 25° m C．eq \f(32,sin 25°) m D．eq \f(32,cs 25°) m
6．[2024·聊城月考]如图，△ABC的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，则tan ∠CAB的值为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(\r(5),5) D．eq \f(2\r(5),5)
7．如图，△ABC是等边三角形，点A和点B在x轴上，点C在y轴上，AD⊥CB，垂足为点D，反比例函数y＝eq \f(k,x)(k>0)的图象经过点D，若△ABC的面积为8，则k的值为( )
A．2 B．eq \r(3) C．3 D．4
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝12，AB的垂直平分线EF交CA于点D，连接BD．若cs ∠BDC＝eq \f(5,7)，则BC的长是( )
A．10 B．8 C．4eq \r(3) D．2eq \r(6)
9．已知二次函数y＝mx2－2mx＋2(m≠0)在－2≤x≤2时有最小值－2，则m的值为( )
A．－4或－eq \f(1,2) B．4或－eq \f(1,2) C．－4或eq \f(1,2) D．4或eq \f(1,2)
10．[2023·烟台]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，m))，与x轴的一个交点位于0和1之间，有以下结论：
①abc>0；②2b＋c>0；③若图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，y1))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，y2))，则y1>y2；④若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－3＝0无实数根，则m<3.
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每题4分，共24分)
11．[2023·青岛平度市期末]已知函数y＝eq \f(2,x)，当－2＜x＜－1时，y的取值范围是____________．
12．[2023·淄博临淄区期末]计算2sin 45°＋2cs 30°＋3tan 60°的结果是________．
13．二次函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是____________．
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，过点C作CD⊥BC，且CD＝2，连接AD，则tan∠DAC＝________．
15.一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，如图分别是它的左视图与俯视图，该几何体所用小正方体的个数是m，则m的最小值是________．
16. 定义：若x，y满足x2＝4y＋t，y2＝4x＋t(t为常数)且x≠y，则称点M(x，y)为“和谐点”．
(1)若P(3，m)是“和谐点”，则m＝________；
(2)若双曲线y＝eq \f(k,x)(－3＜x＜－1)上存在“和谐点”，则k的取值范围是________．
三、解答题(17，18，19题每题8分， 20，21，22题每题10分，23题12分，共66分)
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD＝，求AB的长．
18．如图，反比例函数y＝eq \f(m,x)的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于A，B两点，点A的坐标为(2，6)，点B的坐标为(n，1)．
(1)分别求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)点E为y轴上的一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标．
19. “游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225 m的点P，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200 m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度．(结果精确到1 m，参考数据：sin 15°≈0.26，cs 15°≈0.97，tan 15°≈0.27)
20．如图①是一种包装盒的平面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．
(1)这个几何体模型最确切的名称是____________；
(2)如图②是根据a，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图；
(3)在(2)的条件下，已知h＝20 cm，求该几何体的表面积．
21．[2023·随州]为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天(1≤x≤30且x为整数)的售价p(元/千克)与x的函数关系式为p＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(mx＋n，1≤x<20，且x为整数，,30，20≤x≤30，且x为整数，))销量q(千克)与x的函数关系式为q＝x＋10，已知第5天的售价为50元/千克，第10天的售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元．
(1)m＝________，n＝________；
(2)求第x天的销售额W与x之间的函数关系式；
(3)在试销售的30天中，销售额超过1 000元的共有多少天？
22．[2023·十堰]函数y＝eq \f(k,x＋a)的图象可以由函数y＝eq \f(k,x)的图象左右平移得到．
(1)将函数y＝eq \f(1,x)的图象向右平移4个单位长度得到函数y＝eq \f(1,x＋a)的图象，则a＝________．
(2)下列关于函数y＝eq \f(1,x＋a)的性质：①图象关于点(－a，0)对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线y＝－x＋a对称；④y的取值范围为y≠0.其中正确的有________(填序号)．
(3)根据(1)中a的值，写出不等式eq \f(1,x＋a)＞eq \f(1,x)的解集．
23.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象经过点A(－4，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式．
(2)如图①，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△BCP的面积为5？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图②，小明经过探究发现：位于x轴下方的抛物线上，存在一点D，使∠DAB与∠ACB互为余角．你认为他探究出的结论是否正确？若正确，求出点D的坐标；若不正确，请说明理由．
答案
一、1.A 2.D
3．C 【解析】A.∵1×4＝4≠－4，∴此点不在函数图象上；
B．∵－1×(－4)＝4≠－4，∴此点不在函数图象上；
C．∵－2×2＝－4，∴此点在函数图象上；
D．∵2×2＝4≠－4，∴此点不在函数图象上．
4．A 【解析】由函数y＝eq \f(1,x2)可知，函数图象的两个分支分别位于第一、二象限，当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．
5．D 【解析】在Rt△ABC中，∵cs A＝eq \f(AC,AB)，
∴AB＝eq \f(AC,cs A)＝eq \f(32,cs 25°) m.
6．B 【解析】如图，取格点D，连接BD.
由网格图，可得AD＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，BD＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，AB＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10)，∴AB2＝AD2＋BD2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，
∴tan∠CAB＝eq \f(BD,AD)＝eq \f(\r(2),2\r(2))＝eq \f(1,2).
7．A 【解析】过点D作DE∥CO，DF∥AB，分别交AB，CO于点E，F，则四边形OEDF是矩形．
∵△ABC是等边三角形，CO⊥AB，AD⊥BC，
∴AO＝OB，CD＝DB，∴点D是BC边的中点．
又∵DE∥CO，DF∥AB，∴DF＝eq \f(1,2)OB，
DE＝eq \f(1,2)CO，
∴S矩形OEDF＝DF·DE＝eq \f(1,2)OB·eq \f(1,2)OC＝eq \f(1,2)S△COB＝eq \f(1,4)S△ABC＝eq \f(1,4)×8＝2.
∵点D在反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象上，∴|k|＝2，
又∵k>0，∴k＝2.
8．D 【解析】∵cs∠BDC＝eq \f(CD,BD)＝eq \f(5,7)，∴设CD＝5x，BD＝7x.∵EF是AB的垂直平分线，∴AD＝BD＝7x.∴CD＋AD＝5x＋7x＝12，解得x＝1.
∴BD＝7，CD＝5.
∴在Rt△BCD中，BC＝eq \r(BD2－CD2)＝eq \r(72－52)＝2eq \r(6).
9．B 【解析】∵y＝mx2－2mx＋2＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))2－m＋2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
①当m>0时，抛物线开口向上，当x＝1时有最小值，此时y＝－m＋2＝－2，解得m＝4；
②当m＜0时，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x＝1，函数在－2≤x≤2时有最小值－2，
∴当x＝－2时函数有最小值，此时y＝9m－m＋2＝－2，解得m＝－eq \f(1,2).
综上，m的值为4或－eq \f(1,2).
10．C 【解析】①∵该抛物线开口向下，∴a<0.
∵该抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴－eq \f(b,2a)<0，∴b<0.
∵该抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，∴abc>0，故①正确．
②∵顶点A(－eq \f(1,2)，m)，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a)＝－eq \f(1,2)，
∴a＝b.
当x＝1时，y＝a＋b＋c，
把a＝b代入，得y＝2b＋c.
由题图可知，当x＝1时，y<0，
∴2b＋c<0，故②不正确．
③∵该抛物线的对称轴为直线x＝－eq \f(1,2)，
∴点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，y1))到对称轴的距离为－eq \f(1,2)－(－3)＝eq \f(5,2)，点(3，y2)到对称轴的距离为3－(－eq \f(1,2))＝eq \f(7,2).
∵该抛物线开口向下，
∴在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小．
∵eq \f(5,2)y2，故③正确．
④将方程ax2＋bx＋c－3＝0移项，可得ax2＋bx＋c＝3.
∵ax2＋bx＋c－3＝0无实数根，
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝3没有交点．
∵顶点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，m))，抛物线开口向下，
∴m<3，故④正确．
综上，正确的结论有①③④，共3个．
二、11.－2＜y＜－1 【解析】∵在y＝eq \f(2,x)中，2>0，
∴在第三象限内，y随x的增大而减小，
∴当x＝－1时，y有最小值－2；
当x＝－2时，y有最大值－1，
∴当－2＜x＜－1时，－2＜y＜－1.
12.eq \r(2)＋4eq \r(3) 【解析】原式＝2×eq \f(\r(2),2)＋2×eq \f(\r(3),2)＋3×eq \r(3)＝eq \r(2)＋eq \r(3)＋3eq \r(3)＝eq \r(2)＋4eq \r(3).
13．－30时，－314.eq \f(1,3) 【解析】过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E.
∵∠B＝∠DCB＝∠E＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCE是正方形．
∴AE＝EC＝AB＝4，∠DCA＝45°.
又∵CD＝2，∴DE＝CE－CD＝4－2＝2.
在Rt△AED中，AD＝eq \r(AE2＋DE2)＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5).
过点D作DF⊥AC于点F.
∵∠DCA＝45°，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝45°.
∴FD＝FC，∴DC＝eq \r(2)FD，∴FD＝eq \r(2).
在Rt△AFD中，AF＝eq \r(AD2－FD2)＝eq \r((2\r(5))2－(\r(2))2)＝3eq \r(2)，
∴tan∠DAC＝eq \f(FD,AF)＝eq \f(\r(2),3\r(2))＝eq \f(1,3).
15．9 【解析】由左视图与俯视图可确定所用小正方体个数最少时的俯视图如图．
所以组成这个几何体所用的小正方体最少有9个，即m的最小值是9.
16．(1)－7 (2)3＜k＜4
【解析】(1)∵P(3，m)是“和谐点”，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4m＋t＝9，①,12＋t＝m2，②))①－②，得m2＋4m－21＝0，
解得m＝－7或m＝3.
∵x≠y，∴m＝－7.
(2)∵双曲线y＝eq \f(k,x)(－3＜x＜－1)上存在“和谐点”，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝\f(4k,x)＋t，①,\f(k2,x2)＝4x＋t，②))
①－②，得x＋eq \f(k,x)x－eq \f(k,x)＝－4x－eq \f(k,x)，
∴x－eq \f(k,x)x＋eq \f(k,x)＋4＝0，
∴x－eq \f(k,x)＝0或x＋eq \f(k,x)＋4＝0.
∵x≠y，∴x＋eq \f(k,x)＋4＝0，
整理，得k＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4.
∵－3＜x＜－1，∴3＜k＜4.
三、17.【解】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
tan A＝eq \f(\r(3),3)，∴∠A＝30°，∴∠ABC＝60°.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝eq \f(1,2)∠ABC＝eq \f(1,2)×60°＝30°.
又∵CD＝eq \r(3)，∴在Rt△BCD中，BC＝eq \f(CD,tan 30°)＝3.
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝eq \f(BC,sin 30°)＝6.
18．【解】(1)把点A(2，6)的坐标代入y＝eq \f(m,x)，解得m＝12，
∴反比例函数的表达式为y＝eq \f(12,x).
把点B(n，1)的坐标代入y＝eq \f(12,x)，解得n＝12，
∴点B的坐标为(12，1)．
由一次函数y＝kx＋b的图象过点A(2，6)，B(12，1)，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2k＋b＝6，,12k＋b＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,2)，,b＝7.))
∴一次函数的表达式为y＝－eq \f(1,2)x＋7.
(2)设直线AB与y轴的交点为点P，点E的坐标为(0，a)，连接AE，BE，
∵在y＝－eq \f(1,2)x＋7中，当x＝0时，y＝7，∴P(0，7)．
∴PE＝|a－7|.
∵S△AEB＝S△BEP－S△AEP＝eq \f(1,2)PE·(xB－xA)＝5，
∴eq \f(1,2)|a－7|·(12－2)＝5.
∴|a－7|＝1.解得a1＝6，a2＝8.
∴点E的坐标为(0，6)或(0，8)．
19．【解】延长BA交PQ的延长线于点C，则∠ACQ＝90°.
由题意得CB＝225 m，PQ＝200 m.
在Rt△BCQ中，∵∠BQC＝45°，∴QC＝CB＝225 m，
∴PC＝PQ＋QC＝200＋225＝425 (m)．
在Rt△PCA中，tan∠APC＝tan 15°＝eq \f(CA,PC)＝eq \f(CA,425)≈0.27，
∴AC≈114.75 m.
∴AB＝CB－CA≈225－114.75＝110.25≈110(m)．
答：奇楼AB的高度约为110 m.
20．【解】(1)直三棱柱
(2)如图所示．
(3)由题可得a＝eq \f(h,\r(2))＝eq \f(20,\r(2))＝10eq \r(2)(cm)，
所以该几何体的表面积为eq \f(1,2)×(10eq \r(2))2×2＋2×10eq \r(2)×20＋202＝600＋
400eq \r(2)(cm2)．
21．【解】(1)－2；60
(2)当1≤x＜20时，W＝pq＝(－2x＋60)(x＋10)＝－2x2＋40x＋600；
当20≤x≤30时，W＝pq＝30(x＋10)＝30x＋300.
∴W＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x2＋40x＋600 (1≤x<20)，,30x＋300 (20≤x≤30).))
(3)在W＝－2x2＋40x＋600中，令W＝1 000，
得－2x2＋40x＋600＝1 000，
整理得x2－20x＋200＝0，方程无实数解；
在W＝30x＋300中，令W>1 000，
得30x＋300＞1 000，解得x＞23eq \f(1,3).
∵20≤x≤30且x为整数，
∴x可取24，25，26，27，28，29，30，
∴销售额超过1 000元的共有7天．
22．【解】(1)－4 (2)①④
(3)观察如图所示的图象，不等式eq \f(1,x－4)＞eq \f(1,x)的解集为x＞4或x＜0.
23．【解】(1)将A(－4，0)，B(－1，0)的坐标代入y＝ax2＋bx＋4，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(16a－4b＋4＝0，,a－b＋4＝0，)))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝5，)))
∴二次函数的表达式为y＝x2＋5x＋4.
(2)存在．理由：由抛物线y＝x2＋5x＋4可知，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，4))，
其对称轴为直线x＝－eq \f(5,2)，
设直线BC的表达式为y＝kx＋c，
将Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，4))的坐标代入，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(k＝4，,c＝4，)))
∴直线BC的表达式为y＝4x＋4.
如图①，过点P作PQ∥x轴，交BC于点Q.
∵点P在二次函数图象的对称轴上，
∴设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，m))，
当y＝m时，4x＋4＝m，解得x＝eq \f(m－4,4)，
∴Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－4,4)，m))，
∴PQ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(m－4,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(m＋6,4)))，
∴S△BCP＝eq \f(1,2)PQeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(yC－yB))＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(m＋6,4)))·4＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(m＋6,2))).
∵△BCP的面积为5，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(m＋6,2)))＝5，解得m＝4或m＝－16，
∴点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，4))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，－16)).
(3)正确．
理由②：如图，设AC与对称轴的交点为点K，对称轴与x轴的交点为点H，连接BK，BD，延长AD与对称轴交于点M.
由(1)(2)可得OA＝OC＝4，OB＝1，∠AOC＝90°，
∴∠CAO＝45°，∴AC＝4eq \r(2).
根据抛物线的对称性，可知AK＝BK，
∴∠KBA＝∠KAB＝45°，
∴∠AKB＝90°.
∵AB＝OA－OB＝4－1＝3，
∴AK＝BK＝AB·sin 45°＝3×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(3\r(2),2)，
∴CK＝AC－AK＝4eq \r(2)－eq \f(3\r(2),2)＝eq \f(5\r(2),2).
∵∠AKB＝90°，∴∠CBK＋∠ACB＝90°.
又∵∠DAB＋∠ACB＝90°，
∴∠DAB＝∠CBK.
∵在Rt△CKB中，tan∠CBK＝eq \f(CK,BK)＝eq \f(\f(5\r(2),2),\f(3\r(2),2))＝eq \f(5,3)，
∴在Rt△AHM中，tan∠DAB＝eq \f(HM,AH)＝tan∠CBK＝eq \f(5,3).
∵AH＝－eq \f(5,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4))＝eq \f(3,2)，
∴HM＝eq \f(5,3)AH＝eq \f(5,3)×eq \f(3,2)＝eq \f(5,2)，∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，－\f(5,2))).
设直线AM的表达式为y＝sx＋t，
将A(－4，0)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，－\f(5,2)))的坐标代入，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－4s＋t＝0，,－\f(5,2)s＋t＝－\f(5,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(s＝－\f(5,3)，,t＝－\f(20,3)，))
∴直线AM的表达式为y＝－eq \f(5,3)x－eq \f(20,3).
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x2＋5x＋4，,y＝－\f(5,3)x－\f(20,3)，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(8,3)，,y＝－\f(20,9)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝0，))(不合题意，舍去)
∴小明探究出的结论正确，点D的坐标为(－eq \f(8,3)，－eq \f(20,9))．