鲁教版数学九上 期中综合素质评价试卷

这是一份鲁教版数学九上 期中综合素质评价试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．[2024·烟台蓬莱区期中]把△ABC三边的长度都缩小为原来的eq \f(1,3)，则锐角A的正弦值( )
A．不变 B．缩小为原来的eq \f(1,3)
C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
2．若A(2，4)与B(－2，a)都是反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)图象上的点，则a的值是( )
A．4 B．－4 C．2 D．－2
3．[2023·上海]下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是( )
A．y＝6x B．y＝－6x C．y＝eq \f(6,x) D．y＝－eq \f(6,x)
4．[2023·嘉兴]已知点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(1，y3)均在反比例函数y＝eq \f(3,x)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
5．如图，点A在反比例函数y＝eq \f(k,x)(x>0)的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在y轴的负半轴上，若S△ABC＝2，则k的值为( )
A．2 B．1 C．8 D．4
6．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝eq \f(4,x)(x>0)与y＝x－1的图象交于点P(a，b)，则代数式eq \f(1,a)－eq \f(1,b)的值为( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2) C．－eq \f(1,4) D．eq \f(1,4)
7．[2023·威海文登区期末]如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，那么sin∠BAC的值为( )
A．eq \f(\r(5),5) B．eq \f(2\r(5),5)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
8．如图，斜坡AP的坡比为12.4，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在坡底P处测得该塔顶B的仰角∠BPQ为45°，在坡顶A处测得该塔顶B的仰角∠BAC为76°，坡顶A到塔底C处的距离为7米，则斜坡AP的长度约为( )
(点P，A，B，C，Q在同一平面内，参考数据：sin 76°≈0.97，cs 76°≈0.24，tan 76°≈4.01)
A．24米 B．26米 C．28米 D．39米
9．如图，在矩形ABCD中，AD＝2eq \r(3)，AB＝5，M是CD上一点，将△ADM沿直线AM折叠得到△ANM，若AN平分∠MAB，则CN的长为( )
A．eq \f(3\r(5),2) B．eq \r(5) C．eq \r(7) D．3
10．[2023·济宁曲阜市期末]如图，直线y＝x＋1与x轴、y轴分别相交于点A，B，过点B作BC⊥AB，使BC＝2BA．将△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°.当第2 026次旋转结束时，点C的对应点C′落在反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象上，则k的值为( )
A．6 B．－6 C．－4 D．4
二、填空题(每题4分，共24分)
11．[2023·烟台芝罘区期末]已知点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，m－2))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(m,2)))都在反比例函数y＝eq \f(k－1,x)的图象上，则k的值是________．
12．[2024·烟台龙口期中]在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sin A＝eq \f(\r(3),2)，cs B＝eq \f(1,2)，则∠C的度数为________．
13．如图，点A是反比例函数y＝eq \f(k,x)(x>0)图象上一点，AB垂直于x轴，垂足为点B，△OAB的面积为6.若点P(a，7)也在此函数的图象上，则a＝________．
14．[2023·泰安泰山区期末]某滑雪运动员沿坡度为12的斜坡滑下50米，那么他下降的高度为________米．
15．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan ∠ADN＝________．
16.如图，一次函数y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(5,2)与反比例函数y＝eq \f(2,x)的图象相交于点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△BDP∽△ACP，则点P的坐标为________．
三、解答题(17，18，19题每题6分， 20，21，22题每题8分，23，24题每题12分，共66分)
17．计算：
(1)2cs 30°－tan 60°＋tan 45°－eq \f(1,2)sin 60°；
(2)eq \r(12)－2cs 60°＋sin245°＋2－1.
18．[2023·威海乳山市期中]如图，点A在双曲线y＝eq \f(3,x)(x＞0)上，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C．线段OA的垂直平分线BD分别交OC，OA于点B，D，△ABC的周长为4，求点A的坐标．
19. 如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(0，－3)，反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象经过点C．
(1)点D的坐标为__________；
(2)求反比例函数的表达式．
20．[2023·济南莱芜区模拟]如图，莱芜某景区入口处有一台阶AB，已知AB的坡角为42°，为了提高台阶的安全系数，管理部门决定把倾斜角由42°减至20°，已知原台阶AB长为8米．
(1)求台阶的高AC．
(2)在点B的正前方8.5米的点D处有一文化长廊，该长廊是否需要拆除？并说明理由．
(参考数据：sin 42°≈0.67，cs 42°≈0.74，tan 20°≈0.36)
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝eq \f(2,3)，点D，E分别在AB，AC上，DE⊥AC，垂足为点E，连接CD，DE＝2，DB＝9.求：
(1)BC的长；
(2)tan ∠CDE的值．
22．[2023·威海环翠区期中]如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米，点E在点A的正北方向，点B，D在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东45°方向．
(1)求步道DE边的长度；(精确到个位)
(2)点D处有直饮水，小红从点A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D，请通过计算说明她走哪一条路较近．(参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732)
23. 某水果生产基地在气温较低时用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)求这个恒温系统设定的恒定温度为多少摄氏度；
(2)求全天的温度y与时间x之间的函数表达式；
(3)若大棚内的温度低于12℃不利于新品种水果的生长，则这天内，相对有利于新品种水果生长的时间共有多少小时？
24. 如图，在平面直角坐标系中，点B，D分别在反比例函数y＝－eq \f(6,x)(x<0)和y＝eq \f(k,x)(k>0，x>0)的图象上，AB⊥x轴于点A，DC⊥x轴于点C，点O是线段AC的中点，AB＝3，DC＝2.
(1)求反比例函数y＝eq \f(k,x)(k>0，x>0)的表达式．
(2)连接BD，OB，OD，求△OBD的面积．
(3)点P是线段AB上的一个动点，点Q是线段OB上的一个动点，试探究是否存在点P，使得△APQ是等腰直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
一、1.A
2．B 【解析】∵A(2，4)与B(－2，a)都是反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)图象上的点，∴k＝2×4＝－2a，解得a＝－4.
3．B
4．B 【解析】∵反比例函数y＝eq \f(3,x)的图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴y2＜y1＜y3.
5．D 【解析】∵AB⊥x轴，点C在y轴上，S△ABC＝2，
∴eq \f(1,2)AB·OB＝2，∴AB·OB＝4，∴k＝AB·OB＝4.
6．C 【解析】∵函数y＝eq \f(4,x)(x>0)与y＝x－1的图象交于点P(a，b)，∴ab＝4，b＝a－1，
∴b－a＝－1，∴eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝eq \f(b－a,ab)＝－eq \f(1,4).
7．B 【解析】设点C到AB的距离为h，小正方形的边长为1.由勾股定理可知AC＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，AB＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10).
∵S△ABC＝32－eq \f(1,2)×2×2－eq \f(1,2)×1×3－eq \f(1,2)×1×3＝4，∴eq \f(1,2)AB·h＝4，∴h＝eq \f(4\r(10),5)，
∴sin∠BAC＝eq \f(h,AC)＝eq \f(2\r(5),5).
8．D 【解析】延长BC交PQ于点D，过点A作AH⊥PQ于点H.
由题易知BC⊥AC，BD⊥PQ，CD＝AH，DH＝AC.
在Rt△BDP中，∵∠BPD＝45°，∴PD＝BD.
在Rt△ABC中，∵tan 76°＝eq \f(BC,AC)，AC＝7米，
∴BC＝7tan 76°≈28(米)．
∵斜坡AP的坡比为12.4，∴eq \f(AH,PH)＝eq \f(1,2.4)＝eq \f(5,12).
设AH＝5k米，则PH＝12k米，
由勾股定理，得AP＝13k米．
易知PH＋HD＝BC＋CD，
∴12k＋7≈28＋5k，解得k≈3，∴AP＝13k≈39米．
9．C 【解析】过点N作NE⊥CD于点E.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝∠DAB＝90°，AB＝CD＝5.
由折叠的性质可知DM＝MN，∠DAM＝∠NAM，∠ANM＝∠D＝90°.
∵AN平分∠MAB，∴∠NAM＝∠BAN.
∴∠DAM＝∠NAM＝∠BAN.
∵∠DAB＝∠DAM＋∠NAM＋∠BAN＝90°，
∴∠DAM＝∠NAM＝30°，∴∠DAN＝60°，
∴DM＝AD·tan 30°＝2eq \r(3)×eq \f(\r(3),3)＝2.
∴MN＝DM＝2.
∵∠D＋∠DAN＋∠ANM＋∠DMN＝360°，
∴∠DAN＋∠DMN＝360°－90°－90°＝180°，
又∵∠CMN＋∠DMN＝180°，
∴∠CMN＝∠DAN＝60°.
∴NE＝MN·sin 60°＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，
ME＝MN·cs 60°＝2×eq \f(1,2)＝1.
∴CE＝5－2－1＝2.
在Rt△ECN中，由勾股定理可得
CN＝eq \r((\r(3))2＋22)＝eq \r(3＋4)＝eq \r(7).
10．B 【解析】过点C作CD⊥y轴，垂足为点D.
∵直线y＝x＋1与x轴、y轴分别相交于点A，B，
∴A(－1，0)，B(0，1)，∴AB＝eq \r(2).
∵BC＝2BA，∴BC＝2eq \r(2).
易知∠ABO＝45°，
又∵BC⊥AB，
∴∠CBD＝180°－90°－∠ABO＝45°.
在Rt△BCD中，∵eq \f(BD,BC)＝cs 45°＝eq \f(\r(2),2)，eq \f(CD,BD)＝tan 45°＝1，
∴CD＝BD＝2.∴OD＝OB＋BD＝3，
∴C(－2，3)．
第1次旋转后点C对应点的坐标为(3，2)，第2次旋转后点C对应点的坐标为(2，－3)，第3次旋转后点C对应点的坐标为(－3，－2)，第4次旋转后回到起点.2 026÷4＝506……2，
∴点C′的坐标为(2，－3)，∴k＝－3×2＝－6.
二、11.0 【解析】∵点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，m－2))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(m,2)))都在反比例函数y＝eq \f(k－1,x)的图象上，
∴meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－2))＝2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(m,2)))，解得m＝1或m＝0.
当m＝1时，k－1＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－2))＝－1，解得k＝0；
当m＝0时，k－1＝0(不符合题意，舍去)．
综上所述，k的值为0.
12．60° 【解析】∵在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，
sin A＝eq \f(\r(3),2)，cs B＝eq \f(1,2)，
∴∠A＝∠B＝60°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝60°.
13.eq \f(12,7) 【解析】∵点A在函数y＝eq \f(k,x)的图象上，AB垂直于x轴，△OAB的面积为6，∴|k|＝2×6＝12.
易知k>0，∴k＝12，∴y＝eq \f(12,x).
把P(a，7)的坐标代入y＝eq \f(12,x)，得7＝eq \f(12,a)，解得a＝eq \f(12,7).
14．10eq \r(5) 【解析】设他下降的高度为x米，
∵斜坡的坡度为1∶2，
∴他滑行的水平距离为2x米，
由勾股定理得x2＋(2x)2＝502，
解得x＝10eq \r(5)(负值舍去)，
∴他下降的高度为10eq \r(5)米．
15.eq \f(4,3) 【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴CA为∠BCD的平分线，AD∥BC，∴∠ADN＝∠DNC.∵点M，N关于对角线AC所在的直线对称，∴CM＝CN.又∵DM＝1，∴CM＝CN＝3，∴tan∠ADN＝tan∠DNC＝eq \f(DC,NC)＝eq \f(4,3).
16.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，1)) 【解析】∵一次函数y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(5,2)与反比例函数y＝eq \f(2,x)的图象相交于点A，B，
∴令eq \f(2,x)＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(5,2)，整理得－eq \f(1,2)x2＋eq \f(5,2)x－2＝0，
解得x1＝1，x2＝4.
对于y＝eq \f(2,x)，当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝eq \f(1,2)，
∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2))，∴AC＝eq \f(1,2)，BD＝1.
∵△BDP∽△ACP，∴eq \f(PB,PA)＝eq \f(BD,AC)＝2.
设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，－\f(1,2)x＋\f(5,2)))，
则PB＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x))2＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(5,2)))))2)，
PA＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－x))2＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(5,2)))))2)，
∴eq \f(PB,PA)＝eq \f(\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x))2＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(5,2)))))2),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－x))2＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(5,2)))))2))＝2，
解得x1＝3，x2＝7(不符合题意，舍去)．
∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，1)).
三、17.【解】(1)原式＝2×eq \f(\r(3),2)－eq \r(3)＋1－eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)－eq \r(3)＋1－eq \f(\r(3),4)＝eq \f(4－\r(3),4).
(2)原式＝2eq \r(3)－2×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2)＝2eq \r(3)－1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝2eq \r(3).
18．【解】设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(3,a)))(a>0)．∵BD垂直平分OA，∴BA＝BO.
∵△ABC的周长为4，即AB＋BC＋AC＝4，
∴OC＋AC＝4.易知OC＝a，AC＝eq \f(3,a)，
∴a＋eq \f(3,a)＝4，解得a＝1(舍去)或a＝3，
∴点A的坐标为(3，1)．
19．【解】(1)(5，2)
(2)由题意可得C(5，－3)．
∵反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象经过点C，
∴－3＝eq \f(k,5)，解得k＝－15，
∴反比例函数的表达式为y＝－eq \f(15,x).
20．【解】(1)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝8米，
∠ABC＝42°，
∴AC＝AB·sin∠ABC≈8×0.67＝5.36(米)．
答：台阶的高AC约为5.36米．
(2)该长廊需要拆除．理由如下：
设改造后的台阶的水平长度为x 米，
则tan 20°＝eq \f(AC,x)，∴x＝eq \f(AC,tan 20°)≈eq \f(5.36,0.36)≈14.89(米)．
在Rt△ABC中，∵cs∠ABC＝eq \f(BC,AB)，∠ABC＝42°，
∴BC＝AB·cs∠ABC≈8×0.74＝5.92(米)．
∵5.92＋8.5＝14.42(米)＜14.89米，
∴该长廊需要拆除．
21．【解】(1)在Rt△DEA中，∵DE＝2，sin A＝eq \f(2,3)，
∴AD＝eq \f(DE,sin A)＝eq \f(2,\f(2,3))＝3.
∵DB＝9，∴AB＝DB＋AD＝12.
在Rt△ABC中，∵AB＝12，sin A＝eq \f(2,3)，
∴BC＝AB·sin A＝12×eq \f(2,3)＝8.
(2)在Rt△ABC中，∵AB＝12，BC＝8，
∴AC＝eq \r(AB2－BC2)＝eq \r(122－82)＝4eq \r(5).
在Rt△DEA中，∵DE＝2，AD＝3，
∴AE＝eq \r(AD2－DE2)＝eq \r(32－22)＝eq \r(5).
∴CE＝AC－AE＝3eq \r(5).
∴tan ∠CDE＝eq \f(CE,DE)＝eq \f(3\r(5),2).
22．【解】(1)过点D作DF⊥AE，交AE的延长线于点F，如图．
由已知可得四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC＝200米．
∵点D在点E的北偏东45°方向，即∠DEF＝45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE＝eq \r(2)DF＝200eq \r(2)≈283(米)．
∴步道DE边的长度约为283米．
(2)由(1)知△DEF是等腰直角三角形，DE≈283米，EF＝DF＝200米．
∵点B在点A的北偏东30°方向，即∠EAB＝30°，
∴∠BAC＝90°－∠EAB＝60°，
∴BC＝AC·tan 60°＝200eq \r(3)米，AB＝eq \f(AC,cs 60°)＝400米．
∵BD＝100米，∴经过点B到达点D的路程为AB＋BD＝400＋100＝500(米)．
∵CD＝BC＋BD＝(200eq \r(3)＋100)米，
∴AF＝CD＝(200eq \r(3)＋100)米，∴AE＝AF－EF＝(200eq \r(3)＋100)－200＝200eq \r(3)－100(米)，
∴经过点E到达点D的路程为AE＋DE≈200eq \r(3)－100＋283≈529(米)．
∵529>500，∴经过点B到达点D较近．
23．【解】(1)设直线AB的表达式为y＝kx＋b(k≠0)．
根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝10，,2k＋b＝14，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝2，,b＝10，))
∴直线AB的表达式为y＝2x＋10.
当x＝5时，y＝2×5＋10＝20，
∴这个恒温系统设定的恒定温度为20 ℃.
(2)由(1)可知，当0≤x≤5时，y＝2x＋10.
根据图象可知，当5＜x≤10时，y＝20.
设10＜x≤24时，反比例函数表达式为y＝eq \f(k′,x)，
根据题意，得20＝eq \f(k′,10)，∴k′＝200，
∴反比例函数表达式为y＝eq \f(200,x).
∴全天的温度y与时间x之间的函数表达式为
y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋10 (0≤x≤5)，,20 (5(3)当0≤x≤5时，令12＝2x＋10，解得x＝1；
当10＜x≤24时，令12＝eq \f(200,x)，解得x＝eq \f(50,3).
∴相对有利于新品种水果生长的时间共有eq \f(50,3)－1＝eq \f(47,3)(h)．
24．【解】(1)∵AB⊥x轴，AB＝3，∴点B的纵坐标为3.
∵点B在y＝－eq \f(6,x)(x<0)的图象上，
∴令3＝－eq \f(6,x)，解得x＝－2，∴B(－2，3)．
∵AB⊥x轴，∴A(－2，0)，
∵点O是线段AC的中点，∴C(2，0)．
∵CD＝2，CD⊥x轴，∴D(2，2)．
∵点D在y＝eq \f(k,x)(k>0，x>0)的图象上，
∴2＝eq \f(k,2)，解得k＝4，∴y＝eq \f(4,x)(x>0)．
(2)由题易知S△OBD＝S梯形ACDB－S△BAO－S△OCD＝eq \f(1,2)×(3＋2)×4－eq \f(1,2)×2×3－eq \f(1,2)×2×
2＝10－3－2＝5.
(3)存在点P，使得△APQ是等腰直角三角形．
设直线OB的表达式为y＝k′x，
把点B(－2，3) 的坐标代入，得－2k′＝3，解得k′＝－eq \f(3,2)，
∴直线OB的表达式为y＝－eq \f(3,2)x.
设Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，－\f(3,2)t)).
①当∠PAQ＝90°，AP＝AQ时，
点Q与点O重合，此时P(－2，2)；
②当∠APQ＝90°，AP＝PQ时，
t＋2＝－eq \f(3,2)t，解得t＝－eq \f(4,5)，∴AP＝－eq \f(3,2)t＝eq \f(6,5)，
∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(6,5)))；
③当∠PQA＝90°，PQ＝AQ时，
易知∠OAQ＝45°，∴t＋2＝－eq \f(3,2)t，解得t＝－eq \f(4,5)，
∴AP＝－eq \f(3,2)t·2＝eq \f(12,5)，∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(12,5))).
综上所述，点P的坐标为(－2，2)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(6,5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(12,5))).