第八章　§8.12　圆锥曲线中范围与最值问题-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

高考数学一轮复习策略 1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。第八章§8.12　圆锥曲线中范围与最值问题题型一　范围问题(1)求椭圆C的方程；当MN⊥x轴时，设F1(－c,0)，M(－c，m)，(2)设经过点H(0，－1)的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于y轴的对称点为F，直线FQ与y轴交于点G，求△PQG面积的取值范围.由题意得直线PQ的斜率一定存在且不为0，设直线PQ的方程为y＝kx－1(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，F(－x1，y1)，Δ＝64k2＋32(3＋4k2)＝192k2＋96>0，令2k2＋1＝t，t∈(1，＋∞)，圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.跟踪训练1　(2024·佛山模拟)已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B，D两点，且△ABD是直角三角形.(1)求双曲线C的方程；依题意，∠BAD＝90°，焦半径c＝2，得a2＋2a＝22－a2，解得a＝1(a＝－2<0舍去)，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3，(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝－2，求点A到直线MN的距离d的取值范围.显然直线MN不可能与x轴平行，故可设直线MN的方程为x＝my＋n，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由k1k2＝－2，得y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0，即y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0，整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0，代入根与系数的关系得，3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝0，化简得n2－4n－5＝0，解得n＝5或n＝－1(舍去)，又M，N都在双曲线的右支上，且k1k2＝－2，题型二　最值问题例2　(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且|AB|＝(1)求p；设A(xA，yA)，B(xB，yB)，所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，即2p2－p－6＝0，解得p＝2(负值舍去).由(1)知y2＝4x，所以焦点F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0，将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得，4m2＝n2－6n＋1，所以4(m2＋n)＝(n－1)2>0，所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，圆锥曲线中最值的求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.跟踪训练2　(2023·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E上，且△OMF的面积为 (O为坐标原点).(1)求抛物线E的方程；故抛物线E的方程为y2＝4x.(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值.由题意知直线l的斜率一定存在且不为0，F(1,0)，设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，易知x1＝ty1＋1>0，x2＝ty2＋1>0，消去x得y2－4ty－4＝0.所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.由AC垂直于l，得直线AC的方程为y－y1＝－t(x－x1)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.所以当x＝2时，f(x)取得最小值，课时精练1.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(a, )在抛物线C上.(1)若|MF|＝6，求抛物线C的标准方程；1234所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或y2＝20x.12341234设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2p＋2t，x1x2＝t2，因为NA⊥NB，＝(x1－1)(x2－1)＋(t－x1)(t－x2)＝2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋t2＋1＝0，12341234所以2t2－(t＋1)(2p＋2t)＋t2＋1＝0，解得t≥2或t≤－2，因为p>0，所以t≤－2不成立，所以t≥2，12341234(1)求椭圆C的方程；即2a＝4，所以a＝2，12341234(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且kOA＋kOB＝ (O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围.当直线l的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意.故设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，1234又由Δ>0，可得16(4k2－m2＋1)>0，所以4k2－4k>0，解得k<0或k>1，123412343.(2024·郑州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线E： ＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，离心率为2，且过点P(2,3).(1)求双曲线E的标准方程；1234①②又c2＝a2＋b2， ③1234(2)设过原点O的直线l1在第一、三象限内分别交双曲线E于A，C两点，过原点O的直线l2在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值.由双曲线的对称性，知四边形ABCD为平行四边形，所以S四边形ABCD＝4S△OAD.由题意知直线AD的斜率不为零且过右焦点F(2,0)，得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0.1234Δ＝36(m2＋1)>0，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，123412341234所以当t＝1时，(S△OAD)min＝6.所以四边形ABCD面积的最小值为24.1234(1)证明：直线l过定点；显然直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，1234设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，又x1y2＋x2y1＝x1(kx2＋m)＋x2(kx1＋m)1234∴(m－k)(m－k－2)＝0，∵PQ不过点A，∴m－k≠0，∴m＝k＋2，∴y＝k(x＋1)＋2，∴直线l过定点(－1,2).12341234(2)若在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR的斜率的最大值.由题意可设直线PR：y＝t(x＋1)＋r(r≠0)，直线AP的斜率为k1，直线AQ的斜率为k2.1234由∠APQ＝∠ARP可知，|AP|2＝|AQ|·|AR|，∵k1≠k2，k1＋k2＝－2，12341234